Основы теории сигналов

 
 
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
Федеральное государственное автономное образовательное 
учреждение высшего образования 
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 
Инженерно-технологическая академия 
 
 
 
 
 
А. М. ПИЛИПЕНКО 
 
 
 
ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов-на-Дону – Таганрог 
Издательство Южного федерального университета 
2024 
 

 
 
  
 
УДК 621.391 (075.8) 
ББК  32.811я73 
  П324 
 
Печатается по решению кафедры теоретических основ радиотехники 
Института радиотехнических систем и управления  
Южного федерального университета (протокол № 9 от 19 июня 2024 г.) 
 
Рецензенты: 
заведующий кафедрой «Информационные системы и радиотехника»  
Института сферы обслуживания и предпринимательства (филиала)  
Донского государственного технического университета в г. Шахты, 
доктор технических наук, профессор Н. Н. Прокопенко 
доцент кафедры радиотехнических и телекоммуникационных систем  
Института радиотехнических систем и управления Южного федерального университета,  
кандидат технических наук А. В. Демьяненко 
 
Пилипенко, А. М. 
П324       Основы теории сигналов : учебное пособие / А. М. Пилипенко ; 
Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог :  
Издательство Южного федерального университета, 2024. – 130 с. 
 
ISBN 978-5-9275-4816-3 
 
В учебном пособии представлены материалы лекционных и практических занятий по первой части дисциплины «Теоретические основы радиотехники», в которой рассматриваются теория и методы математического описания детерминированных и случайных сигналов и помех. Учебное пособие предназначено для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки бакалавров 11.03.01 «Радиотехника», 11.03.02 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи», 
11.03.03 «Конструирование и технология электронных средств». 
 
 
УДК 621.391 (075.8) 
 
ББК 32.811я73 
ISBN 978-5-9275-4816-3 
© Южный федеральный университет, 2024 
© Пилипенко А. М., 2024 
© Оформление. Макет. Издательство  
Южного федерального университета, 2024 

СОДЕРЖАНИЕ 
ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................... 5 
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ,  
СИГНАЛАХ И СИСТЕМАХ ........................................................................... 6 
1.1. Основные понятия и определения ........................................................... 6 
1.2. Обобщенная структурная схема радиотехнической системы ............... 7 
1.3. Классификация сигналов .......................................................................... 9 
1.4. Основные характеристики сигналов ..................................................... 11 
1.5. Пространства сигналов ........................................................................... 12 
1.6. Разложение сигналов в обобщенный ряд Фурье .................................. 17 
2. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ ................................. 21 
2.1. Спектральное представление периодических сигналов ...................... 21 
2.2. Спектр периодической последовательности прямоугольных    
 импульсов ................................................................................................. 25 
2.3. Спектральное представление непериодических сигналов .................. 29 
2.4. Свойства преобразования Фурье ........................................................... 31 
2.5. Спектры непериодических сигналов различной формы ..................... 34 
2.6. Оценка ширины спектра сигнала ........................................................... 40 
3. ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ И ИХ СВОЙСТВА ......................................... 43 
3.1. Дискретизация сигналов. Теорема Котельникова ................................ 43 
3.2. Математическое описание и спектральное представление  
 дискретных сигналов .............................................................................. 45 
3.3. Дискретное преобразование Фурье ....................................................... 52 
4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ 
СИГНАЛОВ .................................................................................................... 57 
4.1. Корреляционная функция детерминированных сигналов  
 с конечной энергией ................................................................................ 57 
4.2. Связь корреляционной функции и спектральной плотности .............. 59 
4.3. Корреляционная функция детерминированных сигналов  
 с неограниченной энергией .................................................................... 60 
4.4. Взаимная корреляционная функция ...................................................... 62 

Содержание 
4 
4.5. Применение корреляционного анализа сигналов в системах  
 передачи информации ............................................................................ 65 
5. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О МОДУЛЯЦИИ И КОМПЛЕКСНЫХ  
СИГНАЛАХ ................................................................................................... 69 
5.1. Общие сведения о модуляции................................................................ 69 
5.2. Определение комплексного сигнала ..................................................... 70 
5.3. Аналитический сигнал ........................................................................... 70 
5.4. Спектральная плотность аналитического сигнала .............................. 75 
5.5. Спектральная плотность комплексной огибающей ............................ 77 
6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ В КАНАЛАХ СВЯЗИ ........................ 79 
6.1. Общие сведения о каналах связи .......................................................... 79 
6.2. Методы анализа линейных цепей ......................................................... 80 
6.3. Линейные модели частотно-избирательных цепей ............................. 82 
6.4. Анализ преобразований узкополосных сигналов в линейных  
 цепях методом комплексной огибающей ............................................. 94 
6.5. Общие сведения о нелинейных преобразованиях сигналов .............. 97 
7. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ИХ ОСНОВНЫЕ  
ХАРАКТЕРИСТИКИ ................................................................................... 101 
7.1. Определение случайного процесса ..................................................... 101 
7.2. Вероятностные характеристики случайных процессов .................... 101 
7.3. Числовые характеристики случайных процессов ............................. 105 
7.4. Стационарные и эргодические случайные процессы ....................... 107 
7.5. Спектральное представление случайных процессов ........................ 109 
7.6. Законы распределения случайных процессов.................................... 114 
8. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ......................................................................... 122 
8.1. Контрольные вопросы и задания ........................................................ 122 
8.2. Практические задачи ............................................................................ 123 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................................ 127 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ................................................................................ 128 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 
Модуль «Основы теории сигналов» является базовым модулем дисциплины «Теоретические основы радиотехники», которая, в свою очередь, является обязательной профессиональной дисциплиной образовательных программ бакалавриата в области радиоэлектроники и инфокоммуникационных 
технологтй, которые реализуются в Институте радиотехнических систем и 
управления Южного федерального университета. 
Цель изучения модуля «Основы теории сигналов» заключается в освоении теории и методов математического описания сигналов в радиотехнических и телекоммуникационных устройствах различного назначения. 
Задачи модуля: 
- ознакомиться с основными классами сигналов, используемых для передачи информации; 
- изучить современные методы математического описания сигналов и 
их характеристик; 
- освоить основные закономерности анализа преобразований сигналов 
в радиотехнических цепях различных классов. 
Для освоения данного модуля необходимы знания, умения и навыки, 
формируемые следующими дисциплинами: 
Высшая математика (понятия о комплексных числах и операторном исчислении); 
Физика (понятия об электромагнитных колебаниях и волнах, методах 
и средствах проведения экспериментальных исследований и обработки полученных данных); 
Информатика (основы программирования, стандартные пакеты компьютерной математики, алгоритмы моделирования простейших функций); 
Основы теории цепей (основные понятия теории цепей, частотные характеристики линейных цепей, методы анализа переходных процессов). 

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ, 
СИГНАЛАХ И СИСТЕМАХ 
1.1. Основные понятия и определения 
Рассмотрим определения базовых понятий теории сигналов: информация, сообщение и сигнал [1]. 
Информация – это сведения о предметах, явлениях и событиях. 
Сообщение – это форма представления информации в целях ее хранения, обработки, преобразования и непосредственного использования (число, 
текст, звук, изображение). 
Сигнал – это физический процесс, отображающий передаваемое сообщение. 
В радиотехнике и связи в качестве сигнала, как правило, рассматривается напряжение или ток, для которого мгновенное значение или какой-либо 
параметр (например, амплитуда, частота или начальная фаза) изменяется по 
закону передаваемого сообщения. 
Радиотехнические цепи – это устройства, предназначенные для передачи сигналов с помощью электромагнитных волн, а также для приема, преобразования и обработки сигналов [1]. 
Примеры радиотехнических устройств: 
- электрические фильтры и усилители; 
- модуляторы и демодуляторы (детекторы); 
- генераторы электрических колебаний. 
Радиотехническая система – это совокупность радиотехнических 
устройств.  
Примеры радиотехнических систем: 
- система связи (система передачи информации от источника сообщения к получателю сообщения с помощью электрических сигналов); 
- радиолокационная система (система обнаружения воздушных, морских и наземных объектов, а также определения их координат, скорости и 
геометрических параметров); 
- радионавигационная система (система, обеспечивающая определение местоположения движущегося объекта). 

1.2. Обобщенная структурная схема радиотехнической системы  
7 
1.2. Обобщенная структурная схема радиотехнической системы 
Рассмотрим основные виды преобразований сигналов на примере радиотехнической системы передачи информации (РСПИ) [1], структурная 
схема которой показана на рис. 1.1. 
 
Рис. 1.1. Обобщенная структурная схема радиотехнической системы  
передачи информации 
Представленная на рис. 1.1 система связи является одноканальной  
(канал связи), поскольку она обеспечивает передачу информации от одного 
источника к одному получателю. В многоканальной системе связи по одной 
линии связи передаются сигналы между несколькими источниками и приемниками сообщений. Для разделения сигналов используют их различие по частоте, времени и форме. 
Канал связи – это совокупность технических средств, обеспечивающих передачу сообщения от источника к получателю сообщения [1]. 
Передаваемое сообщение (число, текст звук, или изображение) поступает от источника сообщения на преобразователь сообщение/сигнал. 
Преобразователь сообщение/сигнал (например, клавиатура, микрофон 
или видеокамера) – это устройство, преобразующее сообщение в электрический сигнал (напряжение или ток), который называют первичным сигналом, 
так как закон изменения его мгновенного значения совпадает с законом изменения сообщения. 
Кодер – это устройство, преобразующее электрический сигнал в цифровую последовательность кодовых символов по определенному правилу, 

1. Общие сведения о радиотехнических цепях, сигналах и системах 
8 
например, преобразователь непрерывного сигнала в двоичный код (последовательность 0 и 1). 
Модулятор обеспечивает изменение одного или нескольких параметров несущего колебания (например, амплитуды, частоты, или начальной 
фазы) по закону передаваемого сообщения [1]. В качестве несущего колебания наиболее часто используется гармоническое колебание, кроме того, могут использоваться короткие импульсы и хаотические колебания. 
Генератор радиосигнала формирует модулированный сигнал (радиосигнал) требуемой мощности (от единиц милливатт до сотен киловатт), который передается в линию связи. Средняя частота модулированного сигнала 
определяется частотой несущего колебания и значительно превышает максимальную частоту первичного сигнала. 
В радиотехнических системах передачи информации в качестве линии 
связи может использоваться свободное пространство (в этом случае систему 
связи также называют беспроводной), а также различные виды проводных 
линий (витая пара, коаксиальный кабель, оптоволоконная линия). Беспроводная линия связи обязательно содержит передающую и приемную антенны, которые позволяют излучить и принять электромагнитные волны, переносящие передаваемое сообщение.
На передаваемый сигнал оказывают влияние различные виды помех. 
Помеха – это случайное воздействие, которое приводит к искажению сигнала 
и снижению достоверности воспроизведения принятых сообщений. 
Наибольшее воздействие на сигнал оказывают помехи в линии связи (сигналы от других станций и абонентов, промышленные и атмосферные помехи), кроме того, на передаваемый сигнал влияют шумы электронных приборов приемника и передатчика. 
После прохождения линии связи сигнал через приемную антенну поступает на вход частотно-избирательного усилителя, который осуществляет выделение сигнала на фоне помех и усиление сигнала. 
Демодулятор (детектор) обеспечивает преобразование модулированного сигнала в модулирующий сигнал. 
Декодер используется для восстановления первичного сигнала из цифровой последовательности с помощью определенного правила кодирования. 
Преобразователь сигнал/сообщение представляет собой громкоговоритель (головной телефон, динамик) при передаче речи и других звуков или 
дисплей (монитор) при передаче изображений, текста и данных. 

1.3. Классификация сигналов  
9 
Следует отметить, что кодер и декодер используются в цифровых системах связи, где модулирующий сигнал представляет собой цифровую последовательность, полученную из первичного сигнала с помощью определенного правила кодирования. В аналоговых системах связи модулирующий 
сигнал представляет собой первичный сигнал, мгновенное значение которого изменяется по закону передаваемого сообщения (кодер и декодер не используются). 
Совокупность устройств, обеспечивающих генерирование и формирование радиосигнала, называется передатчиком. Передатчик включает в себя 
преобразователь сообщение/сигнал, кодер, модулятор и генератор радиосигнала. 
Совокупность устройств, обеспечивающих прием и обработку радиосигнала, называется приемником. Приемник включает в себя частотно-избирательный усилитель, демодулятор, декодер и преобразователь сообщение/сигнал. 
Приемник и передатчик, объединенные в одном устройстве, называют 
приемопередатчиком или трансивером.  
Модулятор и демодулятор, объединенные в одном устройстве, называют модемом. Кодер и декодер, объединенные в одном устройстве, называют кодеком. 
1.3. Классификация сигналов 
Математическая модель сигнала представляет собой некоторую функцию времени s(t). Сигналы, применяемые в современной радиотехнике и системах связи, можно разделить на аналоговые, дискретные и цифровые [2]. 
Аналоговый сигнал описывается континуальной функцией времени 
s(t), которая может принимать произвольное значение (непрерывный по времени и по уровню сигнал – рис. 1.2, a). Термин «аналоговый сигнал» подчеркивает, что такой сигнал полностью «аналогичен» порождающему его физическому процессу (сигнал на выходе микрофона  «аналог» звука, сигнал на 
выходе светочувствительной матрицы  «аналог» изображения). 
Дискретный сигнал представляет собой последовательность значений исходного аналогового сигнала в определенные (дискретные) моменты 
времени (дискретный по времени и непрерывный по уровню сигнал – 
рис. 1.2, б). Значения сигнала в дискретные моменты времени sk = s(kΔt)  

1. Общие сведения о радиотехнических цепях, сигналах и системах 
10 
(k – целое число) называются отсчетами сигнала. Временной интервал Δt, 
через который берутся отсчеты сигнала, называется шагом дискретизации 
(интервалом, периодом дискретизации). 
 
Рис. 1.2. Основные виды сигналов: а – аналоговый сигнал; б – дискретный сигнал;  
в – цифровой сигнал; г – цифровая последовательность 
Цифровой сигнал определяется только в дискретные моменты времени и может принимать только заданные конечные значения, называемые 
уровнями квантования (дискретный по времени и квантованный по уровню 
сигнал – рис. 1.2, в). Интервал между соседними уровнями квантования Δ 
называют шагом квантования.