Математическое моделирование в механике сплошных сред

Содержание 
1 
МИНИСТЕРСТВО  НАУКИ  И  ВЫСШЕГО  ОБРАЗОВАНИЯ 
 РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ 
Федеральное государственное автономное 
образовательное        учреждение высшего образования 
«ЮЖНЫЙ  ФЕДЕРАЛЬНЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ» 
Инженерно-технологическая академия 
 
 
 
 
 
Д. В. ТИМОШЕНКО 
Г. В. КУПОВЫХ 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ  МОДЕЛИРОВАНИЕ                  
В  МЕХАНИКЕ  СПЛОШНЫХ   СРЕД 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов-на-Дону – Таганрог  
Издательство Южного федерального университета 
2023 
 
 

Содержание 
2 
УДК 811.11(075.8)+517/519(075.8)  
ББК  81.2 
         Т737 
Печатается по решению кафедры высшей математики                                   
Института компьютерных технологий и информационной безопасности 
Южного федерального университета                                                  
(протокол № 9 от 31 мая 2022 г.) 
Рецензенты: 
Заместитель директора института математики и физики                                   
Кабардино-Балкарского государственного университета                                   
имени Х. М. Бербекова, доцент кафедры алгебры и дифференциальных 
уравнений, кандидат физико-математических наук Л. В. Канукоева 
Доцент кафедры высшей математики Института компьютерных                          
технологий и информационной безопасности Южного федерального                        
университета, кандидат физико-математических наук, доцент А. Г. Клово 
 
 
Тимошенко, Д. В. 
Т737     Математическое моделирование в механике сплошных сред : учебное пособие / Д. В. Тимошенко, Г. В. Куповых ; Южный федеральный 
университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2023. – 206 с. 
ISBN 978-5-9275-4594-0 
Пособие посвящено изложению основ моделирования задач динамики 
сплошных сред и конструкций методами конечно-элементного анализа. 
Материалы данного пособия соответствуют продвинутому уровню и рассчитаны на студентов и магистрантов, уже имеющих некоторый опыт решения задач динамики в MSC/NASTRAN. 
УДК 811.11(075.8)+517/519(075.8)  
ББК 81.2 
ISBN 978-5-9275-4594-0 
 
 
© Южный федеральный университет, 2023 
© Тимошенко Д. В., Куповых Г. В. 
© Оформление. Макет. Издательство 
    Южного федерального университета, 2023 
 
 

Содержание 
3 
 
СОДЕРЖАНИЕ 
ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………… 
7 
1. УРАВНЕНИЯ  ДВИЖЕНИЯ ………………………………………… 
9 
2. СИСТЕМА  ЕДИНИЦ ………………………………………………... 
20 
3. ДЕМПФИРОВАНИЕ ………………………………………………… 
21 
3.1. Общие замечания …………………………………………………. 
21 
3.2. Вязкое демпфирование …………………………………………… 
22 
3.3. Структурное (конструкционное) демпфирование ……………… 
23 
3.4. Взаимосвязь вязкого и структурного демпфирования …………. 
23 
3.5. Определение демпфирования в MSC/NASTRAN ………………. 
24 
3.6. Единицы измерения величин демпфирования ………………….. 
25 
4. МАТРИЦА  МАСС  В  MSC/NASTRAN …………………………… 
26 
5. ПРЯМОЙ  МАТРИЧНЫЙ  ВВОД …………………………………... 
33 
6. АНАЛИЗ  СОБСТВЕННЫХ  ЧАСТОТ                                                  
И  ФОРМ  КОЛЕБАНИЙ  КОНСТРУКЦИЙ ………………………….. 
44 
6.1. Общие замечания …………………………………………………. 
44 
6.2. Основные мотивы вычисления собственных частот …………… 
44 
6.3. К вопросу о методах вычисления собственных значений ……... 
45 
6.4. Вывод дополнительной расчетной информации ……………….. 
47 
6.4.1. Эффективная модальная масса. Эффективный модальный вес ………………………………………………………………………… 
47 
6.4.2. Энергия деформации элементов как инструмент диагностики ………………………………………………………………………. 
51 
6.4.3. Оценка возможности некоторого набора собственных 
форм структуры представляет статическое решение ……………. 
52 
6.4.4. Добавление собственных форм к существующему SOL-103 
решению ………………………………………………………………………. 
61 
7. TRANSIENT RESPONSE-АНАЛИЗ ………………………………… 
64 
7.1. Direct Transient Response-анализ (SOL 109) …………………….. 
64 
7.1.1. Общие положения …………………………………………………… 
64 
 

Содержание 
4 
7.1.2. Демпфирование в прямом Transient Response-анализе ………. 
66 
7.2. Modal Transient Response-анализ (SOL 112) …………………….. 
67 
7.2.1. Общие положения …………………………………………………… 
67 
7.2.2. Демпфирование в модальном Transient Response-анализе …... 
70 
7.2.3. Получение динамических данных в модальном Transient 
Response-анализе ……………………………………………………………. 
71 
7.2.4. Mode Truncation ……………………………………………………… 
72 
7.3. Динамическое возбуждение структуры …………………………. 
73 
7.4. Шаг интегрирования по времени ………………………………… 
75 
7.5. Начальные условия ……………………………………………….. 
76 
7.5.1. Начальные условия в модальном Transient Responseанализе ………………………………………………………………………… 
78 
7.6. Использование рестартов в Transient Response-анализе ……….. 
82 
7.6.1. Рестарты в стандартных динамических решениях ………… 
82 
7.6.2. Рестарт с выбранного временного шага в Transient 
Response-анализе ……………………………………………………………. 
85 
8. FREQUENCY RESPONSE-АНАЛИЗ ………………………………... 
98 
8.1. Прямой (Direct) Frequency Response-анализ …………………….. 
99 
8.1.1. Общие положения …………………………………………………… 
99 
8.1.2. Демпфирование в прямом (Direct) Frequency Responseанализе ………………………………………………………………………… 
99 
8.2. Модальный (Modal) Frequency Response-анализ ………………... 100 
8.2.1. Общие положения …………………………………………………… 
100 
8.2.2. Демпфирование в модальном Frequency Response-анализе …. 
101 
8.2.3. Mode Truncation в модальном Frequency Response-анализе ... 
102 
8.2.4. Получение динамических данных (Dynamic Data Recov ery) в 
модальном Frequency Response-анализе ………………………………... 
102 
8.3. Определение частотно-зависимого возбуждения структуры ….. 
103 
8.4. Определение возбуждающих частот …………………………….. 
104 
8.4.1. Команда FREQ3 ……………………………………………………… 
105 
8.4.2. Команда FREQ4 ……………………………………………………… 
107 
8.4.3. Команда FREQ5 ……………………………………………………… 
109 
8.4.4. Некоторые возможности использования FREQi-команд ….. 
109 
8.5. 
Некоторые 
соображения 
по 
выполнению 
Frequency 
Response-анализа ………………………………………………………. 
114 

Содержание 
5 
 
9. ОБЩИЕ  ИНСТРУМЕНТЫ                                                                    
ДИНАМИЧЕСКОГО  АНАЛИЗА ……………………………………... 
116 
9.1. Использование Residual Vectors (остаточных или разностных 
векторов) для повышения аккуратности модального решения …….. 
116 
9.1.1. Общие положения …………………………………………………… 
116 
9.1.2. Основная идея ………………………………………………………… 
116 
9.1.3. Пользовательский интерфейс ……………………………………. 
117 
9.1.4. Ограничения метода ………………………………………………... 
118 
9.1.5. Численный пример …………………………………………………… 
119 
9.2. Mode Acceleration Method (метод модальных ускорений) ……... 
119 
9.3. Удаление “ненужных” форм ……………………………………... 
126 
9.3.1. Общие замечания ……………………………………………………. 
126 
9.3.2. Определение доминантных форм в динамических решениях  
127 
9.3.3. Процедуры удаления “ненужных” собственных форм ……… 
129 
9.4. Статическая преднагруженность (Static Pre-loads) в динамических решениях …………………………………………………………. 
130 
9.4.1. Static Pre-loads в анализе собственных частот и форм …… 
131 
9.4.2. Static Pre-loads в Transient Response-анализе …………………. 133 
9.4.3. Static Pre-loads в Frequency Response-анализе ……………….. 
140 
10. НЕЛИНЕЙНЫЙ  ДИНАМИЧЕСКИЙ  АНАЛИЗ …………………. 
141 
10.1. Пользовательский интерфейс. Обзор …………………………... 
141 
10.2. Case Control ………………………………………………………. 
142 
10.3. Нелинейные функции нагрузок (NOLINi). Передаточные 
(transfer) функции ……………………………………………………… 
143 
10.4. Начальные условия. Учет преднагруженности системы ……… 
153 
10.5. Итерационный процесс ………………………………………….. 
155 
10.6. Автоматическое регулирование временного шага …………….. 157 
10.7. Контроль неявного процесса интегрирования: запись TSTEPNL 160 
10.8. Вывод диагностической информации о процессе по итерациям 
164 
10.9. Рестарты в нелинейном Transient Response-анализе …………... 
165 
11. ОПЦИЯ  INERTIA  RELIEF ………………………………………... 
176 
11.1. Общие замечания ………………………………………………... 
176 
11.2. Основные идеи метода Inertia Relief …………………………… 
178 
11.3. Рекомендации по выбору SUPORT-степеней свободы ……….. 
179 

Содержание 
6 
11.4. Корректность решения, получаемого с использованием Inertia 
Relief ……………………………………………………………………. 
180 
11.5. Активизация Inertia Relief средствами MSC/PATRAN ………... 182 
11.6. К вопросу о возможности использования аппарата Inertia 
Relief совместно с динамическими решениями ……………………... 
183 
12. ИССЛЕДОВАНИЕ  НДС  ЛОКАЛЬНЫХ  ЗОН  КОНСТРУКЦИЙ 
С  ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ  MSC/PATRAN  FEM  FIELDS-ОПЦИИ … 
197 
СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………………………… 
205 
 
 

Содержание 
7 
 
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время принято считать, что система автоматизированного проектирования машиностроительной продукции (САПР) состоит 
из ряда составных систем, которые предназначены: для проектирования 
конструкций CAD-системы (Computers-Aided Design); инженерных расчётов CAE-системы (Computer-Aided Engineering); проектирования и 
моделирования технологических процессов обработки материалов 
CAM-системы (Computers- Aided Manufacturing); системы для управления процессом разработки проектов-PDM (Product Data Management). 
MSC.Patran – это программный продукт, относящийся к CAE-системам, 
которые позволяют использовать компьютер для конструирования модели объекта, затем моделировать поведение объекта в условиях действия комплекса нагрузок при заданных граничных условиях, которые 
отражают условия работы объекта в сложной конструкции. Обычно 
CAE-системы применяют для оптимизации конструкции с целью улучшения характеристики, снижения цены, выявления недостатков конструкции, оценки возможности работы конструкции в сборе с другими 
деталями. Одно из преимуществ компьютерного проектирования и моделирования заключается в том, что оно позволяет выполнить конструкцию от замысла до «реального» воплощения на компьютере не создавая 
прототипы в металле. Это позволяет совершенствовать конструкцию, 
сокращать время проектирования, снижать цену изделия. CAE-процесс 
начинается с моделирования изделия на компьютере, во многих случаях 
это изделие уже создано с помощью какой-либо CAD-системы. CAE- и 
CAD-процессы тесно связаны, в CAE-процессах происходит проверка 
расчётом характеристик изделия, и затем изделие возвращается на доработку или переработку. После доработки происходит возврат изделия в 
CAE-систему, в которой происходит очередная проверка. Таким образом, осуществляется необходимая взаимосвязь между этими системами. 
Современные САD-системы снабжаются встроенными расчётными модулями CAE, а CAE-системы дополняются CAD-модулями. MSC.Patran 
является системой, которая позволяет управлять всеми фазами САЕпроцесса в одном месте. Это программный продукт, который позволяет 
построить модель конструкции, моделировать внешние условия работы 
 

Введение 
8 
конструкции, управлять процессом конечно-элементного представления конструкции и её анализом и интерпретировать полученные при 
расчёте результаты. 
В среде MSC.Patran можно выполнять все указанные действия, использовать её с другими CAD-программами, моделирующими пакетами, 
или использовать в ней базу данных – объектный код, созданный какойлибо другой CAE-системой, например ANSYS. Следует отметить пять 
ключевых особенностей системы MSC.Patran, заключённых в его уникальной структуре, связывающей эти особенности, придавая этому программному продукту большие возможности и универсальность. Прежде 
всего, интерфейс – это то, что мы видим на экране, когда работаем с системой MSC.Patran. Интерфейс включает меню и линейки инструментов 
для инструментария и приложений, форму для ввода данных, просмотра 
геометрических объектов, а также изображения статуса состояния операций. Интерфейс обеспечивает доступ ко всем функциям MSC.Patran. Инструменты и приложения – это основа системы MSC.Patran. 
 

1. Уравнения движения 
9 
 
1. УРАВНЕНИЯ  ДВИЖЕНИЯ 
На рис. 1.1 представлена очень простая динамическая система, имеющая единственную степень свободы. 
 
Рис. 1.1. Простая динамическая система с одной степенью свободы,                               
где m − масса (груз); k − жесткость (упругая пружина); b − демпфирующий 
элемент (обеспечивающий диссипацию энергии); t − время;                                           
p(t) − прикладываемая нагрузка; u(t) − перемещение груза 
Уравнение равновесия, описывающее динамику движения системы, 
называют уравнением движения. Это уравнение, определяющее равновесное состояние динамической системы в каждый момент времени, 
представимо как 1, 2 
Решение получается для сил, действующих на структуру в каждый 
момент времени. Обычно эти силы разделяются на внутренние и внешние 
силы. Внутренние силы входят в левую часть уравнения движения. 
А внешние силы определены в его правой части. 
Первая компонента уравнения движения, представляет собой инерционную нагрузку, индуцированную в системе движущейся с ускорением 
массой. 
Механизм диссипации (рассеяния) энергии индуцирует силу, которая является функцией постоянной диссипации и скорости. Эта сила известна как сила вязкого демпфирования. Силы демпфирования преобразуют кинетическую энергию системы в другие формы энергии (обычно − 
тепловую), что снижает вибрации системы. 
 

1. Уравнения движения 
10 
Последняя индуцирующаяся в динамической системе сила соответствует упругому сопротивлению конструкции и является функцией перемещения и жесткости системы. Эту силу называют упругой силой. 
Нагрузка p(t), прикладываемая к системе, находится в правой части 
уравнения движения и также определена как функция от времени. Эта 
нагрузка не зависит от структуры, к которой она приложена (например, 
сила тяжести). 
Решение уравнения движения, т.е. получение как функций от времени величин перемещений, скоростей, ускорений, напряжений... − является предметом динамического анализа. 
Первоначальная задача динамического анализа заключается в определении типа выполняемого анализа. 
Задачи динамического анализа могут быть разделены на два базовых 
класса: свободные колебания и вынужденные колебания. 
Под свободными понимаются колебания системы, когда на нее не 
действует внешняя нагрузка. Если при этом и демпфирование пренебрежимо мало, то говорят о недемпфированных свободных колебаниях. 
Величину  n называют собственной круговой частотой системы. 
Индекс “n” здесь обозначает единственную собственную круговую частоту, присущую нашей системе (см. рис. 1.1) с одной степенью свободы. 
Системы, имеющие более чем одну степень свободы, имеют и более чем 
одну собственную частоту. В таких системах индекс при  (например, “i” 
в i ) обычно указывает номер собственной частоты. 
Величина собственной круговой частоты имеет размерность радиан 
за единицу времени (например, [рад/с]). 
Собственная частота обычно определяется в терминах количества 
циклов за единицу времени (обычно − циклов в секунду, [cps]). И размерность этой величины более известна как Герц [Гц], (Hertz [Hz]). 
Обратная собственной частоте колебаний величина называется периодом колебаний. 
Период определяет время, необходимое для выполнения одного 
полного цикла колебаний 3, 4. 
Это уравнение является решением задачи о свободных колебани-  
ях нашей (см. рис. 1.1) недемпфированной системы с одной степенью 
свободы. Графически этот отклик является синусоидальной волной