Метод конечных элементов в САЕ-системах для Windows

Метод конечных элементов в САЕ-системах для Windows 
1 
МИНИСТЕРСТВО  НАУКИ  И  ВЫСШЕГО  ОБРАЗОВАНИЯ                                  
РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ 
Федеральное государственное автономное 
образовательное  учреждение высшего образования 
«ЮЖНЫЙ  ФЕДЕРАЛЬНЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ» 
Инженерно-технологическая академия 
 
 
 
 
 
 
Д. В. ТИМОШЕНКО 
Г. В. КУПОВЫХ 
 
 
МЕТОД  КОНЕЧНЫХ  ЭЛЕМЕНТОВ                                 
В  САЕ-СИСТЕМАХ  ДЛЯ   WINDOWS 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов-на-Дону – Таганрог 
Издательство Южного федерального университета 
2024 
 
 

Метод конечных элементов в САЕ-системах для Windows 
2 
 
УДК 811.11(075.8)+517/519(075.8) 
ББК  81.2 
         Т737 
Печатается по решению кафедры физико-математических основ                    
инженерного образования Института компьютерных технологий                      
и информационной безопасности Южного федерального университета 
(протокол № 12 от 27 июня 2024 г.) 
Рецензенты: 
Зам. директора института математики и физики                                           
Кабардино-Балкарского государственного университета                                    
имени Х. М. Бербекова, доцент кафедры алгебры и дифференциальных 
уравнений, кандидат физико-математических наук Л. В. Канукоева 
доцент кафедры высшей математики Института компьютерных                
технологий и информационной безопасности Южного федерального                
университета, кандидат физико- математических наук, доцент А. Г. Клово 
Тимошенко, Д. В. 
Т737         Метод конечных элементов в САЕ-системах для Windows : учебное пособие / Д. В. Тимошенко, Г. В. Куповых ; Южный федеральный 
университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного    
федерального университета, 2024. – 189 с. 
ISBN 978-5-9275-4593-3 
В пособии изложены основы одного из наиболее распространенных в 
настоящее время подходов к математическому моделированию широкого 
класса систем – метода конечных элементов (МКЭ). Также дается подробное 
описание проведения исследований при помощи МКЭ средствами специализированного пакета MSC/NASTRAN для операционной системы Windows. 
УДК 811.11(075.8)+517/519(075.8)  
ББК 81.2 
ISBN 978-5-9275-4593-3 
 
© Южный федеральный университет, 2024 
© Тимошенко Д. В., Куповых Г. В., 2024 
© Оформление. Макет. Издательство 
    Южного федерального университета, 2024 
 
 

Содержание 
3 
СОДЕРЖАНИЕ 
1. ОСНОВЫ  ДИНАМИЧЕСКОГО  АНАЛИЗА ……………………… 
7 
1.1. Уравнения движения ……………………………………………... 
7 
1.2. Описание процесса динамического анализа ……………………. 
18 
1.3. Типы динамического анализа ……………………………………. 
19 
2. ИСХОДНЫЕ  ДАННЫЕ                                                                        
ДЛЯ  КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЙ  МОДЕЛИ ……………………….. 
22 
2.1. Исходные данные по массовым характеристикам ……………… 
22 
2.2. Исходные данные по характеристикам демпфирования ……….. 
29 
2.3. Единицы измерения в динамическом анализе ………………….. 
33 
2.4. Прямой ввод матриц ……………………………………………… 
35 
2.4.1. Прямой ввод матриц ……………………………………………….. 
36 
2.4.2. Формат команды DMIG в секции Bulk Data …………………… 
37 
2.4.3. Формат команды DMIG в секции Case Control ……………….. 
38 
2.4.4. Примеры ………………………………………………………………. 
38 
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ  ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ                                             
СОБСТВЕННЫХ  ЗНАЧЕНИЙ ……………………………………….. 
40 
3.1. Зачем необходимо вычислять нормальные формы колебаний? .. 
42 
3.2. Описание методы вычисления нормальных форм колебаний …. 
43 
3.3. Методы расчета ………………………………………………….. 
50 
3.3.1. Метод Ланцоша …………………………………………………….. 
51 
3.3.2. Метод Гивенса и Хаусхолдера …………………………………… 
51 
3.3.3. Модифицированные методы Гивенса и Хаусхолдера ……….. 
52 
3.3.4. Автоматические методы Гивенса и Хаусхолдера …………… 
52 
3.3.5. Обратностепенной метод ………………………………………... 
53 
3.3.6. Модифицированные обратностепенной метод Штурма ….. 
53 
3.4. Сравнение методов ……………………………………………….. 
54 
3.5. Интерфейс пользователя при анализе собственных значений …. 
56 
3.5.1. Интерфейс пользователя для метода Ланцоша …………….. 
56 
3.5.2. Интерфейс пользователя для других методов ……………….. 
59 
3.6. Управление решением при вычислении нормальных форм колебаний ………………………………………………………………… 
63 
3.6.1. Секция Execute Control ……………………………………………... 
63 
 

Содержание 
4 
 
3.6.2. Секция Case Control ………………………………………………… 
63 
3.6.3. Секция Bulk Data …………………………………………………….. 
64 
3.7. Примеры …………………………………………………………... 
65 
3.7.1. Модель с двумя степенями свободы …………………………….. 
65 
3.7.2. Модель консольной балки ………………………………………….. 
67 
3.7.3. Модель кронштейна ………………………………………………... 
75 
3.7.4. Модель рамы автомобиля …………………………………………. 
82 
3.7.5. Модель испытательного приспособления ……………………… 
89 
3.7.6. Модель четверти пластины ……………………………………… 
90 
3.7.7. Пример прямого ввода матриц …………………………………. 
93 
4. ФОРМЫ  ДВИЖЕНИЯ  КАК  АБСОЛЮТНО                           
ЖЕСТКОГО  ТЕЛА ……………………………………………………. 
99 
4.1. Команда SUPORT ………………………………………………… 100 
4.1.1. Трактовка команды SUPORT при анализе собственных значений ………………………………………………………………………….. 101 
4.1.2. Теоретические основы …………………………………………….. 103 
4.1.3. Соглашения по моделированию ………………………………….. 106 
4.2. Примеры …………………………………………………………... 108 
4.2.1. Модель незакрепленной балки ……………………………………. 108 
4.2.2. Пример незакрепленного кронштейна ………………………….. 113 
5. ГАРМОНИЧЕСКИЙ  АНАЛИЗ ……………………………………. 119 
5.1. Гармонический анализ методом прямого интегрирования …….. 120 
5.1.1. Демпфирование в гармоническом анализе ……………………… 121 
5.2. Гармонический анализ методом нормальных форм ……………. 122 
5.2.1. Демпфирование в гармоническом анализе методом нормальных форм ……………………………………………………………………… 123 
5.2.2. Усечение частот в методе нормальных форм ……………….. 126 
5.2.3. Получение результатов в гармоническом анализе методом 
нормальных форм …………………………………………………………... 127 
5.3. Сравнение методов – нормальных форм и прямого интегрирования …………………………………………………………………… 128 
5.4. Задание частотно-зависимого воздействия ……………………... 129 
5.4.1. Частотно зависимое нагружение – команда RLOAD1 ……… 130 
5.4.2. Частотно зависимые нагрузки – команды RLOAD2 …………. 131 

Содержание 
5 
5.4.3. Пространственное распределение нагрузки – команда DAREA 132 
5.4.4. Задержка времени – команда DELAY …………………………… 132 
5.4.5. Фазовое опережение – команда DPHASE ……………………… 133 
5.4.6. Табулирование функции динамического нагружения – команда TABLEDi …………………………………………………………….. 133 
5.4.7. Пример команды DAREA ………………………………………….. 135 
5.4.8. Наборы статических нагрузок – команда LSEQ ……………… 136 
5.4.9. Пример использования команды LSEQ ………………………….. 138 
5.4.10. Комбинация динамических случаев нагружения – команда 
DLOAD ……………………………………………………………………….. 139 
5.5. Частоты решения …………………………………………………. 140 
5.5.1. FREQ ………………………………………………………………….. 141 
5.5.2. FREQ1 …………………………………………………………………. 141 
5.5.3. FREQ2 …………………………………………………………………. 141 
5.5.4. FREQ3 …………………………………………………………………. 142 
5.5.5. FREQ4 …………………………………………………………………. 142 
5.5.6. FREQ5 …………………………………………………………………. 143 
5.6. Рекомендации при гармоническом анализе …………………….. 144 
5.7. Команды управления решением в гармоническом анализе ……. 145 
5.8. Примеры …………………………………………………………... 149 
5.8.1. Система с двумя степенями свободы ………………………….. 149 
5.8.2. Модель консольной балки ………………………………………….. 152 
5.8.3. Модель кронштейна ………………………………………………… 160 
6. АНАЛИЗ  НЕУСТАНОВИВШИХСЯ                                                  
КОЛЕБАНИЙ …………………………………………………………... 165 
6.1 Метод прямого интегрирования ………………………………….. 165 
6.2. Демпфирование в методе прямого интегрирования ……………. 167 
6.2.1. Начальные условия при анализе неустановившихся колебаний 168 
6.2.2. Анализ неустановившихся колебаний методом нормальных 
форм …………………………………………………………………………... 169 
6.2.3. Демпфирование при анализе неустановившихся колебаний 
методом нормальных форм …………………………………………….. 
171 
6.2.4. Усечение частот в методе нормальных форм ……………….. 174 
6.2.5. Получение результатов в анализе неустановившихся колебаний методом нормальных форм ……………………………………… 175 

Содержание 
6 
 
6.3. Рекомендации по выбору метода расчета ………………………. 175 
6.4. Задание внешнего воздействия ………………………………….. 177 
6.4.1. Задание силы, зависящей от времени, командой TLOAD1 …. 178 
6.4.2. Задание силы, зависящей от времени, командой TLOAD2 ….. 179 
6.4.3. Пространственное распределение нагрузки – команда DAREA 179 
6.4.4. Временная задержка − команда DELAY ……………………….. 180 
6.4.5. Табличная функция динамического нагружения (команда 
TABLEDi) …………………………………………………………………….. 180 
6.4.6. Пример использования команды DAREA ……………………….. 182 
6.4.7. Статические случаи нагружения − команда LSEQ ………….. 183 
6.4.8. Пример применения команды LSEQ …………………………….. 185 
6.4.9. Комбинация динамических случаев нагружения – команда 
DLOAD ……………………………………………………………………….. 186 
СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………………………... 188 
 
 
 

1.1. Уравнения движения 
7 
 
Глава 1 
ОСНОВЫ  ДИНАМИЧЕСКОГО                                               
АНАЛИЗА 
При статическом анализе конструкций описание работы MSC/NASTRAN 
возможно без детального обсуждения основополагающих уравнений. 
Ввиду наличия нескольких типов динамического анализа и различных математических описаний каждого из них, для квалифицированного и эффективного выполнения динамического анализа с помощью MSC/NASTRAN 
необходимо понимание физики динамических процессов и их математических описаний. 
Знание терминологии и обозначений, используемых в этой главе, значительно облегчит понимание последующих разделов.  
Два аспекта динамического анализа отличают его от статического 
анализа. Во-первых, прикладываемые динамические нагрузки являются 
функциями времени. Во-вторых, приложение изменяющихся во времени 
нагрузок вызывает реакцию, зависящую от времени (перемещения, скорости, ускорения, силы и напряжения). Эти зависящие от времени характеристики делают динамический анализ более сложным и более реальным, 
чем статический. 
Эта глава содержит уравнения движения динамической системы с одной степенью свободы (см. разд. 1.1), описание процесса динамического 
анализа (см. разд 1.2), характеризует типы динамического анализа, описанные в данном руководстве (см. разд 1.3). Кому хорошо знакомы эти вопросы, могут перейти к рассмотрению последующих глав. 
1.1. Уравнения движения 
Движение динамической системы описывается перемещением u, первой u и второй u производными перемещения по времени. Эти производные соответственно скорость и ускорение: 
dt
du
u =

 − скорость;                                 (1.1) 
a
dt
u
d
u
2
=
=
2

 − ускорение. 
 

Глава 1. Основы динамического анализа 
8 
 
Скорость есть мера изменения перемещения по времени. Ско-              
рость представляет собой наклон графика перемещения. Подобно этому 
ускорение есть мера изменения скорости по времени или наклон графика скорости. 
Самая простая динамическая система – система с одной степенью 
свободы (SDOF) (см. рис. 1.1). В этой системе изменяющееся по времени 
перемещение определяется одной компонентой движения и ускорение u 
определяются из перемещения. 
 
Рис. 1.1. Система с одной степенью свободы:                                                   
m − масса (инерция), b − демпфирование (рассеивание энергии),                                   
k − жесткость (восстанавливающая сила при единичном перемещении),                           
p − приложенная сила, u − перемещение массы,                                                 
u − скорость массы, u − ускорение массы u( t ) 
Масса и демпфирование ассоциируются с движением динамической 
системы. Степени свободы с массой и демпфированием часто называют динамическими степенями свободы. Степени свободы с жесткостью называют статическими степенями свободы. В моделях сложных систем возможно (а часто и желательно) наличие меньшего числа динамических степеней свободы, чем статических. 
Четыре основных свойства динамической системы – масса, рассеяние 
энергии (демпфер), сопротивление (жесткость) и приложенная нагрузка. 
Поскольку конструкция движется, реагируя на приложенную силу, возникают силы, являющиеся функцией как приложенной нагрузки, так и движения каждого компонента. Уравнение равновесия, представляющее динамическое поведение системы, известно как уравнение движения. Это уравнение, которое определяет условия равновесия системы в каждый момент времени, представляется как 6: 
)
(
)
(
)
(
t
p
t
ku
t
u
b
(t)
u
m
=
+
+ 

. 
 
 
       (1.2) 

1.1. Уравнения движения 
9 
 
Уравнение движения учитывает силы, действующие на конструкцию в 
каждый момент времени. Обычно эти силы разделяются на внутренние и 
внешние. Внутренние силы находятся в левой части уравнения, внешние 
силы указаны в правой части. Результирующее уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, представляющим 
движение системы как функцию перемещения и высших производных перемещения. 
Движущаяся с ускорением масса вызывает силу, которая пропорциональна массе и ускорению. Эта сила называется силой инерции − 
(t)
u
m 
 
Механизмы рассеивания энергии вызывают силу, являющуюся функцией коэффициента рассеивания и скорости. Эта сила называется силой 
вязкого демпфирования − 
)
(t
u
b 
 Сила демпфирования позволяет смоделировать превращение кинетической энергии в другую форму энергии, 
обычно тепловую, что ведет к затуханию колебаний. 
Третье слагаемое уравнения (1.2) является описанием упругого              
сопротивления системы и является функцией перемещения и жесткос-       
ти системы. Эта сила называется упругой силой или иногда силой пружины − ku(t). 
Приложенная сила − p(t) в правой части уравнения (1.2) определена 
как функция от времени. Эта сила не зависит от объекта, к которому она 
приложена (например, землетрясение есть одно и то же землетрясение, действует ли оно на жилой дом, офис или мост), и результаты ее действия на 
различные системы могут сильно отличаться. 
Предметом динамического анализа является решение уравнения              
движения для перемещений, скоростей, ускорений и/или напряжений                 
как функций от времени. Основная задача специалиста по динамике – выбрать тип динамического анализа. Природа динамического процесса во 
многих случаях определяет выбор соответствующего метода решения. 
Требуемая выходная информация также диктует необходимые подход и 
шаги решения . 
Динамический анализ может быть разделен на две основные части: 
свободные колебания и вынужденные колебания. Анализ свободных колебаний применяется при определении динамических характеристик системы с нулевой правой частью уравнения (1.2) (т.е. без нагрузки). 

Глава 1. Основы динамического анализа 
10 
 
При анализе свободных колебаний без демпфирования уравне-         
ние движения системы с одной степенью свободы сводится к виду свободных колебаний 
0
)
(
=
+
t
ku
(t)
u
m 
. 
 
 
         (1.3) 
Общее решение уравнения (1.3) следующее 
 
t
B
t
Asin
u(t)
n
n


cos
+
=
. 
 
 
     (1.4) 
u(t) − решение для перемещения как функции времени t. Как показывает (1.4), реакция системы является циклической. 
Одно из свойств системы называется круговой собственной частотой 
системы ωn. Индекс n означает, что эта собственная (натуральная) частота 
системы с одной степенью свободы. Если у системы более одной динамической степени свободы и более одной собственной частоты, то индекс может означать номер частоты. Для системы с одной степенью свободы круговая собственная частота равна 2 
n
k
n =

. 
 
 
 
 
(1.5) 
Единица измерения круговой – радиан в единицу времени. 
fn определяется как 
 


2
/
n
nf =
.  
 
 
 
(1.6) 
Собственная частота часто измеряется количеством циклов в единицу 
времени, обычно циклов за секунду (cps), больше известным как Герц (Гц). 
Эта характеристика указывает на число синусоидальных или косинусоидальных волн функции, приходящихся на данный отрезок времени (обычно 
одну секунду). 
Величина, обратная собственной частоте, называется периодом колебания, определяется как 
 
n
n
n
f
T

/
2
/
1
=
=
. 
 
                            (1.7) 
Период колебаний – длительность одного полного цикла колебаний. 
В решении уравнения (1.4) A и B – постоянные интегрирования. Эти 
константы определяются из начальных условий для системы. Поскольку 
начальное перемещение и начальная скорость системы известны, A и B