Нелинейные динамические системы и хаос. Применение в физике, биологии, химии и технике

Стивен Строгац
Нелинейные  
динамические системы  
и хаос

Steven H. Strogatz
Nonlinear Dynamics 
and Chaos
With Applications to Physics, Biology, 
Chemistry, and Engineering
Third Edition

Стивен Строгац
Нелинейные 
динамические системы 
и хаос
Применение в физике,  
биологии, химии и технике
Москва, 2024

УДК	 514, 512.64
ББК 22.151
С86
Строгац С.
С86 	 Нелинейные динамические системы и хаос / пер. с англ. В. С. Яценкова. – М.: 
ДМК Пресс, 2024. – 580 с.: ил. 
ISBN 978-5-93700-246-4
Перед вами перевод 3-го издания бестселлера Стивена Строгаца, основанного 
на многолетнем опыте преподавания курса нелинейной динамики. Особое внимание автор уделяет аналитическим методам и геометрическим представлениям. 
Погружение в теорию происходит постепенно и сопровождается практическими 
примерами из разных областей науки – от механики до химии и биологии. Для 
закрепления знаний приведены упражнения в конце каждой главы.
Ожидается, что читатель знаком с многомерным исчислением и линейной 
алгеброй, а также знает физику на уровне первого курса. Применяются идеи из 
вероятностного, комплексного анализа и анализа Фурье, но либо разрабатываются 
с нуля, либо их можно безопасно пропустить.
Издание предназначено студентам вузов, преподавателям, а также широкому 
кругу специалистов, желающих изучить нелинейную динамику и хаос с прикладной точки зрения.
УДК  514, 512.64
ББК  22.151
All Rights Reserved. Authorised translation from the English language edition published by 
CRC Press, a member of the Taylor & Francis Group LLC
Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения 
владельцев авторских прав.
ISBN 978-0-367-02650-9 (англ.) 	
©  2024 Steven H. Strogatz
ISBN 978-5-93700-246-4 (рус.) 	
©  Перевод, оформление, издание,  
ДМК Пресс, 2024

Содержание
От издательства.......................................................................................................12
Предисловие к третьему изданию....................................................................13
Предисловие ко второму изданию...................................................................15
Предисловие к первому изданию.....................................................................17
Об авторе...................................................................................................................19
Глава 1. Обзор темы................................................................................................20
1.0	
Хаос, фракталы и динамика..............................................................................20
1.1	
Краткая история динамики...............................................................................21
1.2	
Почему так важна нелинейность......................................................................24
Неавтономные системы....................................................................................27
Почему нелинейные задачи настолько сложны?.............................................28
1.3	
Мир с точки зрения динамики..........................................................................28
Часть I. ОДНОМЕРНЫЕ ПОТОКИ...................................................................32
Глава 2. Потоки на прямой...................................................................................33
2.0	
Введение.............................................................................................................33
2.1	
Геометрический подход к решению.................................................................34
2.2	
Неподвижные точки и устойчивость................................................................36
2.3	
Рост популяции организмов.............................................................................40
Критика логистической модели........................................................................42
2.4	
Линейный анализ устойчивости.......................................................................43
2.5	
Существование и единственность....................................................................46
2.6	
Невозможность колебаний................................................................................48
Механический аналог: сильно затухающие системы.....................................49
2.7	
Потенциалы........................................................................................................50
2.8	
Решение уравнений на компьютере.................................................................52
Метод Эйлера.....................................................................................................52
Улучшенный метод Эйлера...............................................................................53
Практические вопросы......................................................................................55
Упражнения к главе 2...................................................................................................56
Глава 3. Бифуркации..............................................................................................68
3.0	
Введение.............................................................................................................68
3.1	
Седлоузловая бифуркация................................................................................69
Графические обозначения................................................................................69

Содержание
Терминология.....................................................................................................71
Нормальные формы...........................................................................................73
3.2	
Закритическая бифуркация..............................................................................74
3.3	
Лазерный порог..................................................................................................77
Физические основы...........................................................................................77
Модель................................................................................................................78
3.4	
Вилочная бифуркация.......................................................................................80
Сверхкритическая вилочная бифуркация........................................................80
Докритическая вилочная бифуркация.............................................................83
Терминология.....................................................................................................85
3.5	
Бусина с сильным затуханием на вращающемся обруче...............................86
Анализ системы первого порядка....................................................................87
Анализ методом размерностей и масштабирование......................................89
Парадокс.............................................................................................................91
Анализ фазовой плоскости...............................................................................92
Сингулярный предел.........................................................................................94
3.6	
Несовершенные бифуркации и катастрофы....................................................94
Бусина на наклонной струне.............................................................................98
3.7	
Вспышка популяции насекомых.......................................................................99
Модель................................................................................................................99
Безразмерная форма.......................................................................................100
Анализ неподвижных точек............................................................................101
Расчет бифуркационных кривых....................................................................103
Сравнение с наблюдениями............................................................................104
Упражнения к главе 3.................................................................................................106
Глава 4. Потоки на окружности........................................................................123
4.0	
Введение...........................................................................................................123
4.1	
Примеры и определения.................................................................................124
4.2	
Однородный осциллятор.................................................................................125
4.3	
Неоднородный осциллятор.............................................................................126
Векторные поля................................................................................................127
Период колебаний............................................................................................128
Призраки и узкие места..................................................................................129
4.4	
Сильно затухающий маятник.........................................................................131
4.5	
Светлячки.........................................................................................................134
Модель..............................................................................................................134
Анализ...............................................................................................................135
4.6	
Сверхпроводящие джозефсоновские переходы............................................137
Физические основы.........................................................................................138
Соотношения Джозефсона..............................................................................139
Эквивалентная схема и аналог маятника......................................................139
Типичные значения параметров....................................................................141
Безразмерная формулировка..........................................................................141
Упражнения к главе 4.................................................................................................144
Часть II. ДВУХМЕРНЫЕ ПОТОКИ................................................................151

Содержание	
7
Глава 5. Линейные системы...............................................................................152
5.0	
Введение...........................................................................................................152
5.1	
Определения и примеры.................................................................................152
Терминология стабильности...........................................................................157
5.2	
Классификация линейных систем..................................................................158
Классификация неподвижных точек..............................................................166
5.3	
Динамика любовных отношений...................................................................167
Упражнения к главе 5.................................................................................................170
Глава 6. Фазовая плоскость...............................................................................175
6.0	
Введение...........................................................................................................175
6.1	
Фазовые портреты...........................................................................................175
Численный расчет фазовых портретов..........................................................176
6.2	
Существование, уникальность и топологические последствия....................178
6.3	
Неподвижные точки и линеаризация............................................................180
Линеаризованная система..............................................................................180
Эффект малых нелинейных членов................................................................181
Гиперболические неподвижные точки, топологическая  
эквивалентность и структурная устойчивость..............................................185
6.4	
Кролики против овец.......................................................................................186
6.5	
Консервативные системы................................................................................190
Нелинейные центры........................................................................................194
6.6	
Обратимые системы........................................................................................195
6.7	
Маятник............................................................................................................200
Цилиндрическое фазовое пространство........................................................202
Затухание..........................................................................................................204
6.8	
Теория индекса................................................................................................205
Индекс замкнутой кривой...............................................................................206
Свойства индекса.............................................................................................209
Индекс точки....................................................................................................210
Упражнения к главе 6.................................................................................................213
Глава 7. Предельные циклы...............................................................................233
7.0	
Введение...........................................................................................................233
7.1	
Примеры...........................................................................................................234
7.2	
Исключение замкнутых орбит........................................................................237
Градиентные системы.....................................................................................237
Функции Ляпунова..........................................................................................238
Критерий Дюлака.............................................................................................239
7.3	
Теорема Пуанкаре–Бендиксона......................................................................240
О невозможности хаоса в фазовой плоскости...............................................246
7.4	
Системы Льенара.............................................................................................248
7.5	
Релаксационные колебания............................................................................249
7.6	
Слабо нелинейные осцилляторы....................................................................252
Регулярная теория возмущений и ее неудача...............................................253
Метод двойственного времени.......................................................................256
Усредненные уравнения..................................................................................260

Содержание
Применимость метода двойственного времени...........................................265
Упражнения к главе 7.................................................................................................265
Глава 8. Еще раз о бифуркациях......................................................................281
8.0	
Введение...........................................................................................................281
8.1	
Седлоузловая, закритическая и вилочная бифуркации................................281
Седлоузловая бифуркация..............................................................................282
Закритические и вилочные бифуркации.......................................................286
8.2	
Бифуркации Хопфа..........................................................................................289
Сверхкритическая бифуркация Хопфа...........................................................290
Эмпирические правила...................................................................................291
Докритическая бифуркация Хопфа................................................................292
Докритическая, сверхкритическая или вырожденная бифуркация?...........293
8.3	
Осциллирующие химические реакции..........................................................295
«Якобы сделанное открытие» Белоусова........................................................295
Реакция диоксида хлора, йода и малоновой кислоты...................................296
8.4	
Глобальные бифуркации циклов....................................................................301
Седлоузловая бифуркация циклов.................................................................301
Бифуркация с бесконечным периодом..........................................................302
Гомоклиническая бифуркация........................................................................303
Законы масштабирования...............................................................................305
8.5	
Гистерезис ведомого маятника и джозефсоновского перехода...................306
Основные уравнения.......................................................................................307
Неподвижные точки........................................................................................307
Существование замкнутой орбиты................................................................308
Единственность предельного цикла...............................................................310
Гомоклиническая бифуркация........................................................................311
Гистерезисная вольт-амперная характеристика...........................................314
8.6	
Связанные осцилляторы и квазипериодичность..........................................315
Несвязанная система.......................................................................................316
Связанная система...........................................................................................318
8.7	
Отображения Пуанкаре...................................................................................320
Линейная устойчивость периодических орбит.............................................323
Упражнения к главе 8.................................................................................................326
Часть III. ХАОС.......................................................................................................349
Глава 9. Уравнения Лоренца..............................................................................350
9.0	
Введение...........................................................................................................350
9.1	
Хаотическое водяное колесо...........................................................................351
Обозначения....................................................................................................353
Сохранение массы...........................................................................................354
Баланс крутящего момента.............................................................................356
Амплитудные уравнения................................................................................357
Неподвижные точки........................................................................................359
9.2	
Простые свойства уравнений Лоренца..........................................................360
Нелинейность...................................................................................................361
Симметрия.......................................................................................................361

Содержание	
9
Сокращение объема.........................................................................................361
Неподвижные точки........................................................................................363
Линейная устойчивость начала координат....................................................364
Глобальная устойчивость начала координат.................................................364
Устойчивость C + и C –....................................................................................................................................................................365
9.3	
Хаос на странном аттракторе.........................................................................367
Экспоненциальное расхождение соседних траекторий................................370
Определение хаоса..........................................................................................372
Определение аттрактора и странного аттрактора........................................373
9.4	
Отображение Лоренца.....................................................................................375
Исключение стабильных предельных циклов...............................................377
9.5	
Исследование пространства параметров.............................................................379
9.6	
Использование хаоса для отправки секретных сообщений.........................384
Демонстрация Куомо.......................................................................................384
Доказательство возможности синхронизации..............................................387
Упражнения к главе 9.................................................................................................390
Глава 10. Одномерные отображения.............................................................398
10.0	
Введение...........................................................................................................398
10.1	
Неподвижные точки и метод паутины...........................................................399
Уточнение терминологии................................................................................399
Неподвижные точки и линейная устойчивость.............................................400
Паутина.............................................................................................................400
10.2	
Логистическое отображение: числовой подход.............................................403
Удвоение периода............................................................................................403
Хаос и периодические окна............................................................................405
10.3	
Логистическое отображение: аналитический подход...................................407
10.4	
Периодические окна........................................................................................411
Прерывистость.................................................................................................413
Удвоение периода в окне................................................................................415
10.5	
Показатель Ляпунова.......................................................................................416
10.6	
Универсальность и эксперименты.................................................................419
Качественная универсальность: U-последовательность...............................420
Количественная универсальность..................................................................422
Экспериментальные проверки.......................................................................424
Как одномерные отображения связаны с наукой?........................................426
10.7	
Перенормировка..............................................................................................429
Перенормировка простыми словами.............................................................433
Упражнения к главе 10...............................................................................................437
Глава 11. Фракталы..............................................................................................449
11.0	
Введение...........................................................................................................449
11.1	
Счетные и несчетные множества...................................................................450
11.2	
Множество Кантора.........................................................................................452
Фрактальные свойства множества Кантора...................................................453
11.3	
Размерность самоподобных фракталов.........................................................455
Парадокс...........................................................................................................456

Содержание
Измерение сходства.........................................................................................457
Более общие множества Кантора....................................................................458
11.4	
Блочная размерность.......................................................................................459
Определение блочной размерности...............................................................460
Критика блочной размерности.......................................................................461
11.5	
Поточечные и корреляционные размерности...............................................462
Мультифракталы..............................................................................................466
Упражнения к главе 11...............................................................................................467
Глава 12. Странные аттракторы.......................................................................473
12.0	
Введение...........................................................................................................473
12.1	
Простейшие примеры.....................................................................................473
Изготовление слоеного теста..........................................................................474
Терминология...................................................................................................475
Важность диссипации......................................................................................478
12.2	
Отображение Эно.............................................................................................479
Элементарные свойства отображения Эно....................................................480
Выбор параметров...........................................................................................482
Странный аттрактор под увеличительным стеклом.....................................483
Неустойчивое многообразие седловой точки................................................484
12.3	
Система Рёсслера.............................................................................................485
12.4	
Химический хаос и реконструкция аттрактора.............................................487
Комментарии к реконструкции аттрактора...................................................491
12.5	
Вынужденный двухъямный осциллятор........................................................493
Магнитоупругая механическая система........................................................493
Двухъямный аналог.........................................................................................494
Модель и симуляции........................................................................................495
Переходный хаос..............................................................................................498
Границы фрактального бассейна....................................................................498
Упражнения к главе 12...............................................................................................499
Часть IV. Коллективное поведение.................................................................506
Глава 13. Модель Курамото...............................................................................507
13.0	
Введение...........................................................................................................507
13.1	
Определяющие уравнения..............................................................................508
13.2	
Визуализация и параметр порядка................................................................511
Комплексный параметр порядка....................................................................512
Зависимость параметра порядка от времени................................................514
Смелая догадка................................................................................................515
13.3	
Связь среднего поля и вращающаяся система координат............................516
Перепишите член связи, используя r и Ψ......................................................516
Просмотр динамики во вращающейся системе координат..........................517
13.4	
Устойчивое состояние......................................................................................519
Запертые осцилляторы....................................................................................520
Дрейфующие осцилляторы.............................................................................521
Загадка дрейфующих осцилляторов..............................................................522
Стационарное распределение дрейфующих осцилляторов.........................522