99 вариантов доказательства

Филип Ординг
99 вариантов доказательства

Philip Ording
99 Variations 
on a Proof
Princeton University Press
Princeton and Oxford

Филип Ординг
99 вариантов 
доказательства
Москва, 2023

УДК	 51
ББК 22.1
О65
Ординг Ф.
О65 	 99 вариантов доказательства / пер. с англ. А. А. Слинкина. – М.: ДМК Пресс, 2023. – 270 с.: ил. 
ISBN 978-5-93700-243-3
Эта книга предлагает взглянуть на математику с разных сторон, ознакомившись с 99 различными доказательствами одной и той же теоремы разными стилями – разными с точки зрения исторического контекста, 
уровня формализации и богатства воображения. Вы встретите средневековую, топологическую, стихотворную, хроматическую, электростатическую и психоделическую вариации; обнаружите неожиданные связи 
самых разных областей человеческого духа: от мистицизма до технологии и от архитектуры до языка жестов. 
Вне зависимости от уровня подготовки читатель откроет в этих доказательствах и сопровождающих их 
комментариях новые удивительные черты математического ландшафта.
УДК  51
ББК  22.1
All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or 
mechanical, including photocopying, recording or by any information storage and retrieval system, without permission in writing 
from the Publisher.
Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме 
и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения владельцев авторских прав.
ISBN 978-0-691-15883-9 (англ.) 	
Copyright © 2019 by Philip Ording
ISBN 978-5-93700-243-3 (рус.) 	
©  Перевод, оформление, издание, ДМК Пресс, 2023

Посвящается Александре,  
которая никогда не говорит «это невозможно»

0
Опущенное 
15
Содержание
От издательства 11
Предисловие 12
1
Однострочное 
17
2
В два столбца 
19
3
Иллюстрированное 
21
4
Элементарное 
23
5
Головоломка 
25
6
Аксиоматическое 
27
7
Обретенное 
31
8
Считающееся 
известным 
33
9
Моносиллабическоеi 
35
10
Без слов 
37
11
На экзамене 
39
12
Циркулем 
и линейкой 
41
13
Приведение 
к противоречию 
43
14
От противного 
45
15
Матричное 
47
16
Древнее 
49
17
Интерпретация 
51
18
С отступами 
53
19
Жаргонное 
55
20
Дефинитивное 
57
21
На доске 
61
22
С подстановкой 
63
23
Симметрия 
65
24
Еще одна 
симметрия 
67
25
Открытое 
коллективное 
71
26
Акустическое 
75
27
Алгоритмическое 
77
28
В виде блок-схемы 
79
29
Модель 
81
30
Полученное по 
формуле 
83
31
Контрпример 
85
32
Еще один 
контрпример 
87
33
Методами 
дифферен-циального 
исчисления 
89
34
Средневековое 
91
35
Сверстанное 
93

Содержание
7
36
Социальные сети 
97
37
Препринт 
99
38
Бессоюзное 
101
39
Оригами 
103
40
По индукции 
105
41
Новость 
107
42
Аналитическое 
109
43
Сценарий 
111
44
Опущенное 
с высокомерным 
снисхождением 
119
45
Вербальное 
121
46
Остроумное 
123
47
Хитроумное 
125
48
С помощью 
компьютера 
127
49
Взгляд 
постороннего 
129
50
Хроматическое 
131
51
Топологическое 
133
52
Античное 
135
53
Заметки на полях 
139
54
Древовидное 
143
55
Префиксное 
145
56
Постфиксное 
147
57
На калькуляторе 
149
58
Парадокс 
изобретателя 
151
59
В форме патента 
153
60
Геометрическое 
155
61
Современное 
157
62
Аксонометрическое 
159
63
На обороте 
конверта 
163
64
Научный семинар 
165
65
За чаем 
167
66
Размахивание 
руками 
169
67
Приближенное 
171
68
Текстовая задача 
173
69
Статистическое 
175
70
Еще одно 
средневековое 
177
71
Из блога 
181

Содержание
8
72
Переведенное 
185
73
Еще одно 
переведенное 
187
Послесловие 249
Благодарности 250
Сноски 252
Источники 259
Предметный указатель 266
74
Еще одна 
интерпретация 
189
75
На логарифмической линейке 
195
76
Экспериментальное 
197
77
Методом  
Монте-Карло 
199
78
Вероятностное 
201
79
Интуиционистское 
203
80
Параноидальное 
205
81
Скверностишие 
207
82
Противоречие 
209
83
Переписка 
211
84
Табличное 
213
85
Полный перебор 
215
86
Еще одна 
подстановка 
217
87
Механическое 
221
88
Диалог 
223
89
Внутренний 
монолог 
227
90
От конца к началу 
229
91
Мистическое 
231
92
Отзыв на статью 
233
93
Неологизм 
235
94
Со ссылкой 
на авторитет 
237
95
От первого лица 
239
96
Электро-статическое 
241
97
Психоделическое 
243
98
Не расслышал 
245
99
В качестве 
упражнения 
247

От издательства
Отзывы и пожелания
Мы всегда рады отзывам наших читателей. Расскажите нам, что вы ду-маете об 
этой книге – что понравилось или, может быть, не понравилось. Отзывы важны 
для нас, чтобы выпускать книги, которые будут для вас максимально полезны.
Вы можете написать отзыв на нашем сайте www.dmkpress.com, зайдя на страницу книги и оставив комментарий в разделе «Отзывы и рецензии». Также можно 
послать письмо главному редактору по адресу dmkpress@gmail.com; при этом 
укажите название книги в теме письма. 
Если вы являетесь экспертом в какой-либо области и заинтересованы в написании новой книги, заполните форму на нашем сайте по адресу http://dmkpress.com/
authors/publish_book/ или напишите в издательство по адресу dmkpress@gmail.com.
Список опечаток
Хотя мы приняли все возможные меры для того, чтобы обеспечить высокое качество наших текстов, ошибки все равно случаются. Если вы найдете ошибку 
в одной из наших книг, мы будем очень благодарны, если вы сообщите о ней главному редактору по адресу dmkpress@gmail.com. Сделав это, вы избавите других 
читателей от недопонимания и поможете нам улучшить последующие издания 
этой книги. 
Нарушение авторских прав
Пиратство в интернете по-прежнему остается насущной проблемой. Издательство 
«ДМК Пресс» очень серьезно относится к вопросам защиты авторских прав и лицензирования. Если вы столкнетесь в интернете с незаконной публикацией какой-либо 
из наших книг, пожалуйста, пришлите нам ссылку на интернет-ресурс, чтобы мы 
могли применить санкции.
Ссылку на подозрительные материалы можно прислать по адресу элект-ронной 
почты dmkpress@gmail.com.
Мы высоко ценим любую помощь по защите наших авторов, благодаря которой 
мы можем предоставлять вам качественные материалы.

Предисловие
19 апреля 1610 года, получив сигнальный экземпляр «Звездного вестника» Галилея, Иоганн Кеплер написал письмо от почитателя. «Наверное, может показаться, 
что я тороплюсь согласиться с Вашими утверждениями так безоговорочно, не 
имея для того оснований в собственном опыте, – писал Кеп-лер Галилею. – Но 
с какой стати я не должен доверять самому ученому математику, стиль которого 
уже свидетельствует об основательности его суждений?»1 Сегодня нам непривычно говорить о работе математика в терминах стиля. Доказательство – это форма 
рассуждения, но истинность доказываемой теоремы вряд ли зависит от риторических изысков, не говоря уже о стилистических особенностях. Накопленная веками мудрость убеждает нас, что у математики, универсального языка науки, есть 
только один стиль – математический, – который характеризуется символической 
нотацией, абст-ракцией и логической строгостью2.
Цель этой книги – поставить под сомнение такое понимание математики. Хотя 
вера в универсальность и единство ars mathematica не лишена оснований, стоит на минутку задуматься, как возникает целый ряд важных вопросов. Откуда 
берет начало «правильный» математический стиль? Как он развивался по мере 
накопления математических знаний? Какие возможности он открывает или, наоборот, исключает? Как его потенциал эволюционировал вместе с изменениями 
в форме написания, а стало быть, и чтения математических работ? Каковы его 
выразительные, познавательные и образные возможности?
Эти вопросы, по существу, относятся к математической литературе. Представить обзор этой литературы – огромного материала, тематически простирающегося от алгебры до геометрии, от теории чисел до физики, от логики до статистики, 
а по времени от вавилонских глиняных табличек бронзового века до современных 
рецензируемых журналов и электронных препринтов, – очевидно невозможно 
в книге такого объема. Вместо этого я опишу одно сечение математики, вдохновляясь эссе Раймона Кено «Упражнения в стиле»i. В этой литературной работе, 
написанной в 1947 го-ду, одна и та же история – странного человека, которого мы 
впервые наблюдаем спорящим в автобусе, а затем в беседе с приятелем о положении пуговицы на пиджаке, – изложена девяносто девятью разными способами. 
Стилистические экзерсисы Кено дают примеры различных форм прозы, поэзии 
и разговорной речи, но встречаются и более интересные изыски, например «Ономатопея», «Вульгарное» и «Перекрестные перемещения групп букв». Кено был не 
только автором и поэтом, но и математиком-любителем и вместе с историком 
математики Франсуа ле Лионнезом основал экспериментальную группу писатеi	
Раймон Кено. Упражнения в стиле / пер. М. Голованивской. М.: Има-пресс, 1992.