Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времен Евклида до наших дней

Мартин Айгнер, Гюнтер М. Циглер
Лучшие доказательства  
со времен Евклида до наших дней

Martin Aigner 
Günter M. Ziegler
Proofs from 
THE BOOK
Sixth Edition 
Including Illustrations by Karl H. Hofmann

Мартин Айгнер,  
Гюнтер М. Циглер
Доказательства 
из Книги
Лучшие доказательства  
со времен Евклида до наших дней
6-е издание 
Иллюстрации Карла Г. Хофманна
Москва, 2024

УДК	 51.1
ББК 22.1
А36
Айгнер М., Циглер Г. М.
А36 	 Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времен Евклида до 
 
ISBN 978-5-93700-239-6
Мартин Айгнер и Гюнтер Циглер, основываясь на предложениях и рекомендациях Пауля Эрдёша, собрали много замечательных и удивительных результатов из различных областей математики и сумели с блеском изложить их полные, но краткие 
доказательства, которые используют неожиданные сочетания разнородных идей. 
Цель книги – не столько изложить какие-то части математических теорий, сколько 
предоставить читателю возможность насладиться изяществом математических 
рассуждений и почувствовать единство областей математики, кажущихся далекими друг от друга. В 6-е издание добавлено несколько новых результатов, а доказательства нескольких прежних улучшены — сделаны более краткими и изящными.
Издание предназначено всем, кто увлечен математикой: в первую очередь 
студентам, аспирантам, а также преподавателям, научным работникам и просто 
любителям изящных математических рассуждений. Многое в книге доступно 
школьникам старших классов.
УДК  51.1
ББК  22.1
First published in English under the title Proofs from THE BOOK by Martin Aigner and Günter 
M. Ziegler, edition: 6.
This edition has been translated and published under licence from Springer-Verlag GmbH, 
DE, part of Springer Nature.
Springer-Verlag GmbH, DE, part of Springer Nature takes no responsibility and shall not be 
made liable for the accuracy of the translation.
Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения 
владельцев авторских прав.
ISBN 978-3-662-57264-1 (англ.) 
	Copyright ©  Springer-Verlag GmbH 
Germany, part of Springer Nature, 2018
ISBN 978-5-93700-239-6 (рус.) 	
©  Перевод 4-е изд., Лаборатория 
знаний, 2015 	
©  Перевод 6-е изд., оформление, 
издание, ДМК Пресс, 2024

Содержание
От издательства..........................................................................................................7
Предисловие редактора перевода................................................................................8
Предисловие..................................................................................................................10
Предисловие ко второму русскому изданию..............................................................12
Предисловие к шестому изданию...............................................................................13
Часть I. Теория чисел..............................................................................................15
1. Шесть доказательств бесконечности множества простых чисел.....................16
2. Постулат Бертрана..................................................................................................24
3. Биномиальные коэффициенты (почти) никогда не являются степенями.....33
4. Представления чисел в виде сумм двух квадратов............................................37
5. Закон взаимности квадратичных вычетов.........................................................48
6. Каждое конечное кольцо с делением – поле.......................................................58
7. Спектральная теорема и задача Адамара о максимальном определителе....64
8. Некоторые иррациональные числа......................................................................74
9. Четыре раза о π2/6 ..................................................................................................82
Часть II. Геометрия..................................................................................................95
10. Третья проблема Гильберта: разбиения многогранников..............................96
11. Прямые на плоскости и разложения графов...................................................108
12. Задача о направлениях.......................................................................................116
13. Три применения формулы Эйлера...................................................................123
14. Теорема Коши о жесткости................................................................................132
15. Колец Борромео не существует.........................................................................137
16. Касание симплексов...........................................................................................148
17. Каждое большое точечное множество имеет тупой угол..............................154
18. Гипотеза Борсука.................................................................................................163
Часть III. Математический анализ...................................................................172
19. Множества, функции и гипотеза континуума................................................173
20. Во славу неравенств............................................................................................196
21. Основная теорема алгебры................................................................................206
22. Один квадрат и нечетное число треугольников.............................................210
23. Теорема Пойа о многочленах............................................................................222
24. Гипотеза Ван дер Вардена о перманенте.........................................................230
25. О лемме Литтлвуда и Оффорда.........................................................................241
26. Котангенс и прием Герглотца............................................................................246
27. Задача Бюффона об игле....................................................................................253

Часть IV. Комбинаторика.....................................................................................258
28. Принцип Дирихле и двойной счет...................................................................259
29. Плиточные разбиения прямоугольников........................................................275
30. Три знаменитые теоремы о конечных множествах.......................................281
31. Тасование карт.....................................................................................................288
32. Пути на решетке и определители.....................................................................302
33. Формула Кэли для числа деревьев....................................................................309
34. Тождества и биекции..........................................................................................317
35. Конечная задача Какея.......................................................................................324
36. Дополнения до полных латинских квадратов................................................330
Часть V. Теория графов........................................................................................339
37. Перманенты и степень энтропии.....................................................................340
38. Задача Диница.....................................................................................................352
39. Задача о пяти красках для плоских графов.....................................................361
40. Как охранять музей.............................................................................................367
41. Теорема Турана о графах...................................................................................372
42. Связь без ошибок................................................................................................379
43. Хроматическое число графов Кнезера.............................................................392
44. О друзьях и политиках.......................................................................................400
45. Вероятность (иногда) упрощает перечисление..............................................404
Об иллюстрациях.......................................................................................................417
Предметный указатель.............................................................................................419

От издательства
Отзывы и пожелания
Мы всегда рады отзывам наших читателей. Расскажите нам, что вы ду-маете 
об этой книге – что понравилось или, может быть, не понравилось. Отзывы 
важны для нас, чтобы выпускать книги, которые будут для вас максимально 
полезны.
Вы можете написать отзыв на нашем сайте www.dmkpress.com, зайдя на страницу книги и оставив комментарий в разделе «Отзывы и рецензии». Также 
можно послать письмо главному редактору по адресу dmkpress@gmail.com; 
при этом укажите название книги в теме письма. 
Если вы являетесь экспертом в какой-либо области и заинтересованы в написании новой книги, заполните форму на нашем сайте по адресу http://
dmkpress.com/authors/publish_book/ или напишите в издательство по адресу 
dmkpress@gmail.com.
Список опечаток
Хотя мы приняли все возможные меры для того, чтобы обеспечить высокое качество наших текстов, ошибки все равно случаются. Если вы найдете 
ошибку в одной из наших книг, мы будем очень благодарны, если вы сообщите о ней главному редактору по адресу dmkpress@gmail.com. Сделав это, 
вы избавите других читателей от недопонимания и поможете нам улучшить 
последующие издания этой книги. 
Нарушение авторских прав
Пиратство в интернете по-прежнему остается насущной проблемой. Издательство «ДМК Пресс» очень серьезно относится к вопросам защиты авторских прав 
и лицензирования. Если вы столкнетесь в интернете с незаконной публикацией 
какой-либо из наших книг, пожалуйста, пришлите нам ссылку на интернет-ресурс, чтобы мы могли применить санкции.
Ссылку на подозрительные материалы можно прислать по адресу электронной почты dmkpress@gmail.com.
Мы высоко ценим любую помощь по защите наших авторов, благодаря которой мы можем предоставлять вам качественные материалы.

Предисловие 
редактора перевода
Появление монографии «Доказательства из Книги», на мой взгляд, является выдающимся событием: редко бывает, чтобы математическая книга (не 
учебник!) за 5 лет переиздавалась два раза. Мартин 
Айгнер и Гюнтер Циглер, основываясь на предложениях и рекомендациях Пауля Эрдёша, собрали много замечательных и удивительных результатов из 
различных областей математики (теории чисел, геометрии, анализа, комбинаторики, теории графов) 
и сумели с блеском изложить их полные, но краткие 
доказательства, которые используют неожиданные 
сочетания разнородных идей. Текст удачно дополняют со вкусом подобранные и специально для этой 
книги сделанные рисунки.
В чем-то аналогами «Доказательств из Книги» были 
знаменитые «Числа и фигуры» Радемахера и Теплица, а  также некоторые книги из издававшейся 
в СССР серии «Библиотека математического кружка». Однако, в отличие от них, цель «Доказательств 
из Книги» – не столько изложить какие-то части 
математических теорий, сколько предоставить читателю возможность насладиться изяществом математических рассуждений и почувствовать единство 
областей математики, кажущихся далекими друг от 
друга. Кроме того, «Доказательства из Книги» интересны для всех любителей математики, в том числе 
для увлеченных ею школьников (хотя доказательства в книге часто сложнее решений олимпиадных 
задач и  требуют больше знаний), для студентов, 
аспирантов, преподавателей и  для математиковпрофессионалов. С этой точки зрения она не имеет 
аналогов.
Конечно, на отбор тем повлияли вкусы Пауля Эрдёша и ее авторов. Конечно, в других областях математики тоже есть красивые теоремы с  замечательными доказательствами. Возможно, эта книга 
стимулирует их популяризацию.
Надеюсь, что при переводе удалось сохранить непринужденный стиль изложения авторов. С их со

гласия был добавлен ряд замечаний (как правило – 
чтобы упростить понимание материала), а  также 
расширены списки литературы к нескольким главам (ссылки, добавленные при переводе, отмечены 
звездочками).
Москва, ноябрь 2005 года	
А. Зубков
Первое издание «Доказательств из Книги» на русском языке (М.: Мир, 2006) сразу стало библиографической редкостью. Новое издание соответствует 4-му 
англоязычному изданию 2010 года, в которое авторы 
добавили пять новых интересных глав и внесли изменения в другие главы.
Москва, февраль 2014 года	
А. Зубков

Предисловие
Пауль Эрдёш, вспоминая афоризм Г. Г. Харди о том, 
что для скверной математики не должно быть места, любил говорить о Книге, в которую Бог включает совершенные доказательства математических 
теорем. Эрдёш говорил также, что вы не обязаны 
верить в Бога, но как математик вы должны верить 
в Книгу. Несколько лет тому назад мы предложили 
ему написать первое (и достаточно скромное) приближение к Книге. Пауль с энтузиазмом воспринял 
эту идею и, что характерно для него, немедленно 
начал работу, заполняя страницу за страницей своими предложениями. Предполагалось, что наша книга появится в качестве подарка к 85-летию Эрдёша 
в марте 1998 г. К несчастью, летом 1996 г. Пауль умер, 
что не позволило включить его в список соавторов. 
Вместо этого мы посвятили ему эту книгу.
У нас нет определения или четкого описания условий включения доказательства в Книгу. Все, что 
мы здесь предлагаем, – примеры, которые выбраны 
в  надежде на то, что читатели разделят наш восторг от блестящих идей, тонкой интуиции и удивительных наблюдений. Мы надеемся также, что 
читатели получат удовольствие от книги, несмотря 
на несовершенство нашего изложения. Отбор доказательств был произведен в значительной степени 
под влиянием самого Пауля Эрдёша. Он предложил широкий список тем. Многие из доказательств 
найдены Эрдёшем или инициированы его удивительной способностью ставить правильные вопросы и выдвигать правильные гипотезы. Так что эта 
книга в большой степени отражает взгляды Пауля 
Эрдёша на то, каким должно быть доказательство 
из Книги.
Выбор тем ограничивался нашим желанием сделать 
материал книги доступным для читателей, подготовка которых лишь в малой степени включает 
технику студентов-математиков последних курсов. 
Немного сведений из линейной алгебры, основы 
анализа и теории чисел, довольно приличный объем элементарных понятий и соображений из дисПауль Эрдёш
«Книга»