Прямые и обратные функции: теория и задачи с логарифмами, степенями, радикалами, тригонометрическими выражениями

Тарасов В. А. 
  
ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ 
ФУНКЦИИ
Теория и задачи с логарифмами, 
степенями, радикалами, 
тригонометрическими выражениями
Подготовка к ЕГЭ, олимпиадам, обучению в вузе
Москва, 2023

УДК 514.116
ББК 22.151
Т19
Тарасов В. А.
Т19	
Прямые и обратные функции: теория и задачи с логарифмами, степенями, радикалами, тригонометрическими выражениями. – М.: ДМК Пресс, 
2023. – 414 с.: ил.
ISBN 978-5-93700-216-7
По единому плану, с использованием наглядного функционально-графического метода вводятся, изучаются, применяются в задачах (включая задачи ЕГЭ) 
следующие важные понятия: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, 
арифметический корень, логарифм числа и соответствующие им функции.
Известны определенные трудности, которые сопровождают изучение и 
освоение этих важных понятий и функций. Специфика работы состоит в том, 
что для преодоления этих трудностей активно используются элементы сходства всех понятий и всех функций. Каждое понятие (арксинус, логарифм и др.) 
рассматривается как частный случай одного более общего понятия – «аргумент 
монотонной функции». Каждая функция рассматривается как частный случай 
одного общего понятия – «обратная функция».
Изложение теории закрепляется решением задач разной сложности со степенями, радикалами, логарифмами, тригонометрическими выражениями; описанием современных методов решения задач повышенной сложности, в частности 
метода замены множителей для неравенств.
Сказанное облегчает изучение объективно сложного материала, подготовку 
к экзаменам, обучению в вузе.
Книга предназначена для школьников, учителей, студентов, всех любителей 
математики.
Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения 
владельцев авторских прав.
Материал, изложенный в данной книге, многократно проверен. Но, поскольку вероятность технических ошибок все равно существует, издательство не может гарантировать 
абсолютную точность и правильность приводимых сведений. В связи с этим издательство 
не несет ответственности за возможные ошибки, связанные с использованием книги.
	
                         ©  Тарасов В. А., 2023
ISBN 978-5-93700-216-7	
                         ©  Издание, оформление, ДМК Пресс, 2023

Оглавление
Введение...............................................................................................7
ЧАСТЬ I. 
Аргумент монотонной функции и его частные случаи:  
арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, 
арифметический корень, логарифм числа........................................9
Глава 1. Функция, основные сведения о монотонной функции.....................10
1.1. Введение..............................................................................................................10
1.2. Функция...............................................................................................................10
1.3. Область определения функции..........................................................................12
1.4. Множество значений функции..........................................................................13
1.5. Две основные задачи..........................................................................................14
1.6. Монотонность функции.....................................................................................15
1.7. Свойство монотонной функции.........................................................................17
1.8. Аргумент монотонной функции........................................................................18
1.9. Выводы................................................................................................................19
Глава 2. Арксинус...............................................................................................20
2.1. Определения.......................................................................................................20
2.2. Комментарии......................................................................................................21
2.3. График функции у = sin х, х ∈ 
 и значения арксинусов........................22
2.4. Тригонометрический круг и значения арксинусов..........................................23
2.5. Свойства арксинуса............................................................................................25
2.6. Вычисления, преобразования выражений с арксинусом.................................30
2.7. Арксинус и уравнение sin t = а...........................................................................38
2.8. Арксинус и неравенство вида sin t v а...............................................................46
2.9. Единый план для введения и изучения арксинуса и других понятий............52
2.10. Выводы..............................................................................................................52
Глава 3. Арккосинус...........................................................................................54
3.1. Определения.......................................................................................................54
3.2. График функции у = cos х, х ∈ [0; π] и значения арккосинусов........................56
3.3. Тригонометрический круг и значения арккосинусов......................................57
3.4. Свойства арккосинуса........................................................................................58
3.5. Вычисления, преобразования выражений с арккосинусом.............................62
3.6. Арккосинус и уравнение cos t = а.......................................................................69
3.7. Арккосинус и неравенство вида cos t v а..................................................................75
3.8. Выводы................................................................................................................78
Глава 4. Арктангенс............................................................................................79
4.1. Определения.......................................................................................................79
4.2. График функции у = tg х, х ∈ 
 и значения арктангенсов........................81

Оглавление 
4.3. Тригонометрический круг и значения арктангенсов......................................82
4.4. Свойства арктангенса.........................................................................................83
4.5. Вычисления, преобразования выражений с арктангенсом.............................86
4.6. Арктангенс и решение уравнения tg t = а.......................................................................... 94
4.7. Арктангенс и неравенство вида tg t v а..............................................................................100
4.8. Выводы..............................................................................................................103
Глава 5. Арккотангенс......................................................................................105
5.1. Определения.....................................................................................................105
5.2. График функции у = ctg х, х ∈ ൫0; π൯ и значения арккотангенсов..................107
5.3. Тригонометрический круг и значения арккотангенсов................................108
5.4. Свойства арккотангенса...................................................................................109
5.5. Вычисления, преобразования выражений с арккотангенсом.......................112
5.6. Арккотангенс и решение уравнения ctg t = а..................................................115
5.7. Арккотангенс и решение неравенства ctg t v а...............................................120
5.8. Выводы..............................................................................................................125
Глава 6. Арифметический корень n-й степени, n = 2, 3, 4…..........................126
6.1. Арифметический корень второй степени.......................................................126
6.2. Арифметический корень третьей степени.....................................................136
6.3. Арифметический корень n-й степени.............................................................140
6.4. Неарифметический (отрицательный) корень нечетной степени.................142
6.5. Свойства арифметических корней, задачи.....................................................144
6.6. Иррациональные уравнения (теория).............................................................151
6.7. Примеры иррациональных уравнений (практика)........................................152
6.8. Анализ подкоренных выражений....................................................................156
6.9. Выводы..............................................................................................................157
Глава 7. Логарифм............................................................................................158
7.1. Основные сведения о логарифмах...................................................................158
7.2. Основные формулы и особенности их применения.......................................165
7.3. Дополнительные формулы (тождества)..........................................................169
7.4. Действия с логарифмами..................................................................................172
7.5. Логарифм и решение показательных уравнений и неравенств....................181
7.6. Показательно-степенные уравнения...............................................................187
7.7. Выводы...............................................................................................................192
Заключение......................................................................................................194
ЧАСТЬ II.  
Обратная функция и ее частные случаи. Функции y = arcsin x,   
y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x, y = 
n√x, y = logax...........................195
Глава 1. Основные сведения об обратной функции, методика  
ее получения.............................................................................................196
1.1. Монотонная функция.......................................................................................196
1.2. Что такое обратная функция............................................................................197
1.3. График обратной функции...............................................................................198
1.4. Переобозначение переменных в обратной функции....................................200

Оглавление 
1.5. Методика получения обратной функции и ее графика.................................200
1.6. Пример получения обратной функции и ее графика.....................................201
1.7. Дифференцирование обратной функции.......................................................202
1.8. Выводы..............................................................................................................203
Глава 2. Функция у = arcsin x............................................................................. 205
2.1. Получение и график функции..........................................................................205
2.2. Исследование и свойства функции..................................................................207
2.3. Задачи с функцией у = arcsin x................................................................................................210
2.4. Функция у = arcsin(sin x) и ее график...............................................................225
2.5. Функция у = sin(arcsin x) и ее график...............................................................227
2.6. Выводы..............................................................................................................228
Глава 3. Функция у = arccos x............................................................................. 229
3.1. Получение и график функции.........................................................................229
3.2. Исследование и свойства функции..................................................................232
3.3. Задачи с функцией у = arccos x.........................................................................234
3.4. Функция у = arccos(cos x) и ее график..............................................................246
3.5. Функция у = cos(arccos x) и ее график..............................................................247
3.6. Выводы..............................................................................................................248
Глава 4. Функция у = arctg x.............................................................................249
4.1. Получение и график функции..........................................................................249
4.2. Исследование, свойства функции у = arctg x...................................................252
4.3. Задачи с функцией у = arctg x...........................................................................253
4.4. Функция у = arctg(tg x) и ее график..................................................................266
4.5. Функция у = tg(arctg x) и ее график..................................................................267
4.6. Выводы..............................................................................................................268
Глава 5. Функция у = arcсtg x............................................................................. 269
5.1. Получение и график функции..........................................................................269
5.2. Исследование, свойства функции....................................................................272
5.3. Задачи с функцией у = arcctg x.........................................................................274
5.4. Функция у = arcctg(ctg x) и ее график...............................................................287
5.5. Функция у = ctg(arcctg x) и ее график...............................................................288
5.6. Выводы..............................................................................................................288
Глава 6. Функция у = 
n√x, х ≥ 0, n = 2, 3, 4….......................................................289
6.1. Получение и график функции..........................................................................289
6.2. Исследование и свойства функции..................................................................292
6.3. Задачи с функцией у = 
n√x, x ≥ 0.........................................................................294
6.4. Выводы..............................................................................................................311
Глава 7. Функция у = logах, х > 0, 0 < а ≠ 1.........................................................312
7.1. Получение и график функции..........................................................................312
7.2. Исследование и свойства логарифмической функции у = logаx.....................315
7.3. Задачи с функцией у = logаx..............................................................................315
7.4. Выводы...............................................................................................................334
Глава 8. Метод замены множителей...............................................................335
8.1. Описание метода..............................................................................................335

Оглавление 
8.2. Таблица взаимозаменяемых множителей......................................................337
8.3. Неравенства с обратными тригонометрическими функциями....................341
8.4. Метод замены множителей в сложных неравенствах....................................346
8.5. Выводы..............................................................................................................349
Глава 9. Метод перебора участков ОДЗ..........................................................351
9.1. Общие замечания; суть метода.......................................................................351
9.2. Неравенство с арксинусом...............................................................................352
9.3. Неравенство с арктангенсом............................................................................352
9.4. Неравенство с логарифмом..............................................................................353
9.6. Выводы..............................................................................................................358
Глава 10. Задачи с обратными функциями....................................................359
10.1. Задачи с «арками»...........................................................................................359
10.2. Задачи с логарифмической функцией, радикалами, степенями,  
модулями, арками..........................................................................................392
10.3. Выводы............................................................................................................402
Упражнения для самостоятельной работы и ответы....................403
Упражнения для самостоятельной работы к части I.............................................403
Ответы к упражнениям для самостоятельной работы части I.............................405
Упражнения для самостоятельной работы к части II...........................................405
Ответы к упражнениям для самостоятельной работы части II...........................409
Заключение........................................................................................411
Литература.........................................................................................412

Введение
В части I работы из одного понятия «аргумент монотонной функции» 
получаем важные частные случаи – понятия «арок» (арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса, арифметического корня, логарифма числа).
В части II из одного понятия «обратная функция» получаем важные 
частные случаи – функции y = arcsin x; y = arccos x; y = arctg x; y = arcctg x; 
, n = 2, 3, 4, …; y = loga x.
Формальные определения арок, корней, логарифмов мы узнаем в 
разное время, изолированно и, главное, – без акцента на взаимосвязь 
между ними. Видимо, в этом одна из причин (кроме объективной 
сложности) того, что эти определения бывает трудно понять, осознать, 
запомнить. Между тем все означенные понятия можно рассматривать 
как частные случаи одного общего понятия «аргумент монотонной 
функции», а он – результат решения известной обратной задачи, в 
которой ищется значение аргумента (независимой переменной) по 
известному значению функции (ее зависимой переменной).
Значению аргумента дается обозначение (например, «arcsin») и название (например, «арксинус»).
Именно так, естественным образом, по единому плану, с графической 
иллюстрацией получаем понятия:
а)	 арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс для тригонометрических функций (главы 2–5 соответственно);
б)	 арифметический корень для степенной функции (глава 6);
в)	 логарифм для показательной функции (глава 7).
Изложение, содержание каждой из глав 2–7 идентично, подчинено 
единому плану:
•	 рассматривается обратная задача для конкретной (в этой главе) 
монотонной функции;
•	 ее единственному решению – аргументу исходной функции – даются общепринятые обозначения и названия;
Математика – там, где мало определений, 
но много следствий

Введение 
•	 изучаются свойства этого аргумента и на их базе;
•	 излагаются методики решения задач разной степени сложности 
(в том числе задач ЕГЭ по математике).
Таково содержание части I.
В части II также по единому плану вводятся и изучаются обратные 
функции.
В главе 1 излагается общая теория, план введения обратной функции. 
В следующих главах по этому плану последовательно вводятся и изучаются конкретные обратные функции:
y = arcsin x; y = arccos x; y = arctg x; y = arcctg x; 
y = 
, n = 2, 3, …; y = logax.
Изучаются методы решения задач, в том числе метод замены множителя, метод перебора ОДЗ для неравенств.
Решаются разные по сложности задачи.
В заключении констатируется целесообразность принятого здесь 
единого подхода к введению, изучению и применению в задачах важных понятий:
•	 аргумент монотонной функции и его частные случаи: арксинус, 
арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арифметический корень, 
логарифм числа;
•	 обратная функция и ее частные случаи:y = arcsin x; y = arccos x; 
y = arctg x; y = arcctg x; y = 
, n = 2, 3, 4, …; y = loga x. 
Принятый подход включает наглядный функционально-графический метод, что помогает яснее понять смысл каждого из понятий, а 
значит, легче и увереннее его освоить. В результате формируются или 
закрепляются умения и навыки (ключи) для решения задач с арками, 
корнями, логарифмами, тригонометрическими функциями разной 
сложности, развивается общая математическая культура.
Изложение начнем с напоминания о том, что же такое функция и 
в чем специфика монотонной функции.

ЧАСТЬ I
Аргумент монотонной функции 
и его частные случаи: 
арксинус, арккосинус, 
арктангенс, арккотангенс, 
арифметический корень, 
логарифм числа

Глава 1.  
Функция, основные сведения 
о монотонной функции
1.1. Введение
Повторимся, математика – там, где мало определений, понятий, но 
много следствий, других понятий.
В данной работе в части I из одного понятия «аргумент монотонной 
функции» выводятся и изучаются его важнейшие частные случаи, 
а именно «арксинус», «арккосинус», «арктангенс», «арккотангенс», 
«арифметический корень», «логарифм числа».
Существенно, что все эти понятия вводятся единообразно, по одному плану с использованием наглядного функционально-графического 
метода: меняются лишь исходные монотонные функции. Но с каждой 
из них выполняются одни и те же действия, а именно находится и изучается ее аргумент. Именно этот аргумент для каждой конкретной 
функции носит свое конкретное название: арксинус, логарифм и т. д.
Изложенный подход позволяет не зубрить механически труднозапоминаемые определения и свойства, а получить и изучить их естественным образом в рамках изучения свойств исходных функций с наглядной графической иллюстрацией.
Понятно, что следует вспомнить и обсудить смысл основного для нас 
понятия «аргумент монотонной функции». Но без понятия «функция» 
здесь не обойтись. С него и начнем.
1.2. Функция
Понятие «функция» – одно из основных в математике. Напомним и 
прокомментируем его.
Определение. Функцией f называется закон (правило), который 
каждому допустимому значению независимой переменной, или 
аргументу, х из множества Х сопоставляет единственное значение зависимой переменной у:
у = f(х), х ∈ Х.                                                         (1)