Стереометрия: скрещивающиеся прямые, теория, задачи и методы их решения

Тарасов В. А. 
СТЕРЕОМЕТРИЯ 
Скрещивающиеся прямые
Теория, задачи и методы их решения
Подготовка к ЕГЭ, олимпиадам, обучению в вузе
Москва, 2024

УДК 519.21
ББК 22.171
Т19
Тарасов В. А.
Т19 Стереометрия: скрещивающиеся прямые, теория, задачи и методы их 
решения. – М.: ДМК Пресс, 2024. – 208 с.: ил.
ISBN 978-5-93700-198-6
Книга посвящена задачам на скрещивающиеся прямые и методам их решения. 
Эти задачи традиционно относят к сложным задачам стереометрии. Адресована 
абитуриентам, школьникам, учителям, всем любителям математики.
Имеет цель помочь читателю выработать или закрепить устойчивые навыки 
и умения для решения задач, в которых присутствует тема «Скрещивающиеся 
прямые»; повторить или изучить курс «Стереометрия»; подготовиться к любым 
экзаменам, в том числе к Единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике.
Для достижения поставленной цели книга содержит необходимый набор основных опорных фактов, теорем и методов решения задач на скрещивающиеся 
прямые.
Специфика данной работы заключается именно в выделении и описании совокупности основных методов решения типовых задач на скрещивающиеся прямые 
в наиболее распространенных геометрических конструкциях. Это, как показано на 
многочисленных примерах, дает ключи к решению целого ряда экзаменационных задач средней и повышенной сложности.
Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения 
владельцев авторских прав.
Материал, изложенный в данной книге, многократно проверен. Но, поскольку вероятность технических ошибок все равно существует, издательство не может гарантировать 
абсолютную точность и правильность приводимых сведений. В связи с этим издательство 
не несет ответственности за возможные ошибки, связанные с использованием книги.
 
                         © Тарасов В. А., 2024
ISBN 978-5-93700-198-6 
                         © Издание, оформление, ДМК Пресс, 2024

Оглавление
Введение .............................................................................................. 5
Глава 1. Основные опорные факты, типовые задачи и общие 
схемы их решения ............................................................................... 7
1.1. Определение и опорные факты ..................................................................7
1.2. Две типовые задачи, общие схемы их решения ......................................10
1.3. Выводы........................................................................................................15
Глава 2. Основные методы решения задач на скрещивающиеся 
прямые ............................................................................................... 17
2.1. Метод параллельной плоскости ................................................................17
2.2. Метод перпендикулярной плоскости .......................................................19
2.3. Примеры применения методов параллельной и перпендикулярной 
плоскостей .................................................................................................23
2.4. Взаимосвязь методов параллельных и перпендикулярных  
плоскостей, основных элементов, сопутствующих  
скрещивающимся прямым .......................................................................33
2.5. Метод вспомогательного объема ..............................................................35
2.6. Пример применения метода вспомогательного объема ........................36
2.7. Векторный метод .......................................................................................38
2.8. Пример применения векторного метода .................................................41
2.9. Координатный метод .................................................................................45
2.10. Пример применения координатного метода.........................................52
2.11. Метод описанного параллелепипеда......................................................57
2.12. Пример применения метода описанного параллелепипеда ................61
2.13. Выводы ......................................................................................................63
Глава 3. Основные методы в правильных геометрических 
фигурах .............................................................................................. 64
3.1. Правильная треугольная пирамида ..........................................................64
3.2. Правильная четырехугольная пирамида .................................................76
3.3. Куб ...............................................................................................................81
3.4. Правильная четырехугольная призма ......................................................83
3.5. Выводы........................................................................................................86

Оглавление 
Глава 4. Решение задач повышенной сложности несколькими 
методами ........................................................................................... 87
4.1. Основные методы в задаче на призму .....................................................87
4.2. Основные методы в задаче на пирамиду .................................................97
4.3. Выводы......................................................................................................107
Глава 5. Задачи на скрещивающиеся прямые в треугольной 
пирамиде ..........................................................................................108
5.1. Сечения пирамиды плоскостью, параллельной противоположным 
ребрам ......................................................................................................108
5.2. Перпендикулярность противоположных ребер и пересечение высот 
пирамиды .................................................................................................117
5.3. Выводы......................................................................................................132
Глава 6. Применение основных методов в задачах  
по подготовке к ЕГЭ по математике ...............................................134
6.1. Задачи на круглые тела ............................................................................134
6.2. Задача на тетраэдр с перпендикулярным основанию боковым  
ребром  .....................................................................................................138
6.3. Задача на сечение тетраэдра плоскостью, параллельной его 
противоположным ребрам. ....................................................................140
6.4. Задача на треугольную призму ...............................................................143
6.5. Выводы......................................................................................................145
Глава 7. Избранные задачи на скрещивающиеся прямые ...........146
7.1. Задачи на треугольную призму (правильную и наклонную) ................146
7.2. Задачи на треугольную пирамиду ...........................................................161
7.3. Задачи с «нестандартным» заданием правильной треугольной 
пирамиды .................................................................................................178
7.4. Скрещивающиеся прямые в пространстве ............................................183
7.5. Дополнительная формула для объема треугольной пирамиды ............193
7.6. Пример экзаменационной задачи ..........................................................196
7.7. Выводы ......................................................................................................200
Глава 8. Задачи для самостоятельного решения ...........................201
Ответы .............................................................................................................203
Заключение .......................................................................................205
Литература ........................................................................................206

Введение
Издание посвящено решению задач, в которых присутствует тема 
«Скрещивающиеся прямые», и методам их решения. Эти задачи традиционно относят к одним из наиболее сложных задач стереометрии. 
Причина, видимо, заключается в отсутствии прямого аналога скрещивающимся прямым на плоскости в отличие от многих других объектов 
стереометрии. Например, аналогами треугольной пирамиды, сферы 
являются треугольник и окружность соответственно. 
В первой главе приводятся основные опорные факты, описывающие 
геометрию скрещивающихся прямых; выделяются две типовые задачи – нахождение 1) угла и 2) расстояния между скрещивающимися прямыми, построение их общего перпендикуляра; сопутствующие задачи.
Вторая глава является центральной. В ней описаны основные методы 
решения типовых задач на скрещивающиеся прямые, приведены примеры применения каждого метода.
Остальные главы – это последовательное решение задач различной 
сложности с помощью основных методов, их дальнейшее изучение и 
применение в наиболее распространенных геометрических конструкциях. Здесь описано:
• решение задач для правильных геометрических фигур (третья 
глава);
• решение задач повышенной сложности сразу несколькими методами (четвертая глава);
• решение задач на скрещивающиеся прямые в треугольной пирамиде (пятая глава);
• решение задач из материалов по подготовке к ЕГЭ по математике 
(шестая глава);
• решение избранных задач повышенной сложности (глава 7); 
Приведен список задач для самостоятельного решения с ответами 
(глава 8).
В заключение констатируется эффективность изложенных методов, 
целесообразность их освоения и применения при повторении или 
изуче нии курса «Стереометрия», при подготовке к любым экзаменам, 
в том числе при подготовке к ЕГЭ по математике.
Специфика книги заключается в том, что в ней для скрещивающихся 
прямых:

Введение 
• воедино собраны основные опорные свойства, типовые задачи, набор основных методов их решения;
• задачи и методы их решения изучены для наиболее распространенных геометрических конструкций;
• продемонстрированы применение и эффективность методов путем решения достаточного количества задач различной сложности.
Для удобства чтения нумерация рисунков и задач иногда начинается 
заново с началом главы.
Формулировки задач в основном отобраны из популярных изданий 
[1–20]. Иногда они незначительно изменены в целях более наглядной 
демонстрации методов и их возможностей; например, к требованию 
найти угол между скрещивающимися прямыми добавляется требование найти расстояние и общий перпендикуляр между ними.

Глава 1.  
Основные опорные факты, 
типовые задачи и общие 
схемы их решения
1.1. Определение и опорные факты
1.1.1. Определение
Скрещивающимися называются прямые a и b, не лежащие в одной 
плоскости (рис. 1).
Для краткости их иногда обозначают символом a ∸ b.
1.1.2. Признак скрещивающихся прямых
Если прямая a лежит в плоскости 𝜶, а прямая b пересекает ее в 
точке B, не принадлежащей прямой a, то прямые a и b скрещиваются (рис. 1). 
a
b
b'

n
n
 
Рис. 1
Рис. 2
Рисунок 2 показывает один из очевидных способов получения пары 
скрещивающихся прямых a ∸ b из двух пересекающихся прямых a и b'; 
прямая b получена параллельным переносом прямой b' на некоторый 
вектор ⃗n , не параллельный плоскости 𝛼.
Так полученные прямые a и b наглядно иллюстрируют важное опорное свойство (теорему).

Глава 1. Основные опорные факты, типовые задачи и общие схемы их решения  
1.1.3. Теорема
Если прямые a и b скрещиваются, то через прямую a можно 
провести единственную плоскость 𝞪, параллельную прямой b (рис. 3).
Способ получения плоскости ఈ очевиден. Достаточно через любую 
точку O прямой a провести прямую b' || b.
Через пересекающиеся прямые a и b' проходит единственная искомая 
плоскость 𝛼. Действительно, так как b || b', b' ⊂ 𝛼, то b || 𝛼 по признаку 
параллельности прямой и плоскости. Единственность плоскости 𝛼 докажите самостоятельно (по любому из учебников).
γ 
B
a 
α 
β 
b 
А
b'
a' 
Q 
P 
Рис. 3
Рис. 4
Угол ϕ между пересекающимися прямыми a и b', где b' || b, называется 
углом между скрещивающимися прямыми a и b:
𝜑 = 𝜑 (a, b) = 𝜑 (a, b').
Он не зависит от выбора точки O.
Аналогично, через прямую b можно провести единственную плоскость 𝛽, параллельную прямой a.
Получаем фундаментальное опорное свойство, характеризующее геометрию скрещивающихся прямых:
1.1.4. 
Паре скрещивающихся прямых a и b соответствует единственная пара параллельных плоскостей 𝞪 и 𝜷, проходящих 
через прямые a и b соответственно (рис. 4):

Глава 1. Основные опорные факты, типовые задачи и общие схемы их решения 
a ⊂ α,    b ⊂ 𝛽,    𝛼 || 𝛽.
Опорные свойства 1.1.3, 1.1.4 лежат в основе методов параллельной 
плоскости и описанного параллелепипеда.
Существенную роль, как увидим, играет плоскость γ, перпендикулярная к плоскости 𝛼 (а значит, и к плоскости 𝛽).
 
Комментарий. Пару скрещивающихся прямых а и b (по определению) нельзя разместить в одной плоскости, но можно разместить 
в единственной паре параллельных плоскостей 𝛼 и 𝛽.
1.1.5. 
Параллельные плоскости 𝜶 и 𝜷 проектируются на перпендикулярную им плоскость 𝜸 в параллельные прямые a' и b' 
соответственно, рис. 4.
Важен частный случай, когда плоскость γ перпендикулярна одной из 
скрещивающихся прямых, например прямой a (рис. 5).
γ
B
a
α
β 
b 
А
b'
Q 
P
Рис. 5
Здесь справедливо следующее опорное свойство:
1.1.6. 
Если плоскость 𝜸  перпендикулярна прямой a, то проекциями скрещивающихся прямых a и b на плоскость 𝜸 являются 
точка A и прямая b' соответственно.

Глава 1. Основные опорные факты, типовые задачи и общие схемы их решения  
 
Подчеркнем: если одна из скрещивающихся прямых перпендикулярна плоскости 𝛾 (например, a ⏊ 𝛾), то вторая прямая не перпендикулярна ей.
Иначе (при a ⏊ 𝛾 и b ⏊ 𝛾) прямые a и b были бы параллельными, а не 
скрещивающимися.
Значит, если одна из скрещивающихся прямых проектируется на 
плоскость 𝛾 в точку, то другая – в прямую. Именно это  и утверждается 
в свойстве 1.1.6.
Опорные свойства 1.1.5, 1.1.6 лежат в основе метода перпендикулярной плоскости.
Упомянутые методы (подробно описаны ниже) решают две известные типовые задачи на скрещивающиеся прямые. Напомним их.
1.2. Две типовые задачи, общие схемы их решения
1.2.1. Первая задача. Построить и вычислить угол 𝝋 
между скрещивающимися прямыми a и b
Обозначение: 𝜑 = ∠(a, b) = 

š
b
a;
 = 𝜑(a, b).
Изложим идею одного из методов ее решения в п. 1.2.2.
1.2.2. Метод параллельной плоскости 
(проектирования на параллельную плоскость)
Надо:
1. Выбрать удобную для конкретной решаемой задачи точку O 
(или P) – вершину искомого угла. Она может лежать, например, 
на одной из прямых a или b.
2. Через эту точку провести прямые a' и b' , параллельные прямым a, 
b соответственно (рис. 3; 7)
a' || a , b' || b.
 
Угол, образованный пересекающимися прямыми a' и b', равен искомому углу между скрещивающимися прямыми a и b.
3. Найти величину угла ϕ между прямыми a', b', используя исходные 
данные конкретной задачи:
𝜑 = 𝜑( a', b') = 𝜑(a, b).
4. Выписать ответ.