Гидродинамика напорных течений ньютоновской несжимаемой жидкости

УДК 532.5
ББК 30.123
З-93
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор Н.В. Ханов,  
заведующий кафедрой гидротехнических сооружений  
Института мелиорации, водного хозяйства и строительства им. А.Н. Костякова  
Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования 
«Российский государственный аграрный университет – МСХА им. К.А. Тимирязева»; 
доктор технических наук, профессор А.А. Комаров,  
профессор кафедры гидравлики и гидротехнического строительства НИУ МГСУ
 
Зуйков, Андрей Львович.
З-93	 	
Гидродинамика напорных течений ньютоновской несжимаемой жидкости  [Электронный ресурс]  : [учебное пособие для обучающихся по направлению подготовки 2.1.6  Гидротехническое строительство, гидравлика и инженерная гидрология]  / 
А.Л. Зуйков, Ю.В. Брянская ; Мини-стерство науки и высшего образования Российской 
Федерации, Национальный исследовательский Мос-ковский государственный строительный университет, кафедра гидравлики и  гидротехнического строительства.  — Электрон. дан. и прогр. (4,0 Мб). — Мос-ква : Издательство МИСИ – МГСУ, 2024. — URL: 
http://lib.mgsu.ru. — Загл. с титул. экрана.
ISBN 978-5-7264-3530-5 (сетевое)
ISBN 978-5-7264-3531-2 (локальное)
В учебном пособии изложены сведения по напорному движению капельных жидкостей в трубопроводах. Приведены дифференциальные уравнения движения капельных ньютоновских жидкостей, обзор полуэмпирических теорий турбулентности, кинематические и динамические характеристики напорного движения несжимаемой жидкости.
Для обучающихся по программе подготовки научно-педагогических кадров по научной 
специальности 2.1.6 Гидротехническое строительство, гидравлика и инженерная гидрология.
Учебное электронное издание
© ФГБОУ ВО «НИУ МГСУ», 2024

Учебное электронное издание
Зуйков Андрей Львович, Брянская Юлия Вадимовна
ГИДРОДИНАМИКА НАПОРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
НЬЮТОНОВСКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Учeбноe поcобиe 
Редактор Л.В. Себова
Корректор Ю.М. Викторова
Верстка и дизайн титульного экрана Д.Л. Разумного 
Для создания электронного издания использовано:
Microsoft Word 2010, Adobe InDesign CS6, ПО Adobe Acrobat
Подписано к использованию 07.08.2024. Объем данных 4,0 Мб.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования 
«Национальный исследовательский 
Московский государственный строительный университет».
129337, Москва, Ярославское ш., 26.
Издательство МИСИ – МГСУ. 
Тел.: (495) 287-49-14, вн. 14-23, (499) 183-91-90, (499) 183-97-95.
E-mail: ric@mgsu.ru, rio@mgsu.ru

Оглавление
Условные обозначения.....................................................................................................................................5
1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ КАПЕЛЬНЫХ НЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ................................7
1.1. Два режима движения жидкости........................................................................................................7
1.2. Уравнения ламинарных течений.........................................................................................................8
1.2.1. Уравнения неразрывности.........................................................................................................8
1.2.2. Уравнения гидродинамики.......................................................................................................8
1.3. Уравнения турбулентных течений.................................................................................................... 11
1.3.1. Уравнения неразрывности....................................................................................................... 12
1.3.2. Уравнения гидродинамики...................................................................................................... 12
1.3.3. Полуэмпирические теории турбулентности.......................................................................... 15
1.3.4. Двухслойная модель турбулентного течения........................................................................ 18
2. ТЕЧЕНИЯ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА............................................................................. 19
2.1. Установившееся равномерное течение в прямой круглой трубе................................................... 19
2.1.1. Особенности течения, граничные условия и система уравнений....................................... 19
2.1.2. Распределение касательных напряжений.............................................................................. 21
2.1.3. Радиальное распределение скоростей....................................................................................22
2.1.4. Коэффициенты Буссинеска и Кориолиса...............................................................................24
2.1.5. Функция тока............................................................................................................................25
2.1.6. Вихревая структура течения...................................................................................................26
2.1.7. Гидравлические потери............................................................................................................ 27
2.2. Установившееся неравномерное течение на начальном участке прямой круглой трубы..........28
2.2.1. Особенности течения, граничные условия и система уравнений.......................................28
2.2.2. Распределение аксиальных скоростей................................................................................... 29
2.2.3. Распределение радиальных скоростей...................................................................................34
2.2.4. Функция тока............................................................................................................................ 35
2.2.5. Вихревая структура течения................................................................................................... 36
2.2.6. Тензор вязких напряжений...................................................................................................... 37
2.2.7. Гидравлические потери............................................................................................................ 39
3. УСТАНОВИВШЕЕСЯ РАВНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ПРЯМОЙ КРУГЛОЙ ТРУБЕ  
ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА............................................................................................ 41
3.1. Расчетная схема, граничные условия и система уравнений.......................................................... 41
3.2. Распределение касательных напряжений........................................................................................ 43
3.3. Течение в ламинарном пограничном слое....................................................................................... 43
3.4. Течение в турбулентном ядре потока............................................................................................... 45
3.4.1. Теория переноса количества движения Прандтля................................................................46
3.4.2. Модель Прандтля – Альтшуля................................................................................................ 51
3.4.3. Теория переноса завихренности Тейлора............................................................................... 55
3.4.4. Теория подобия Кармана.......................................................................................................... 59
3.4.5. Сводные данные по теориям турбулентности ......................................................................60
Библиографический список........................................................................................................................... 61

Условные обозначения
D — дефицит максимальной скорости
d — диаметр трубы
g — ускорение силы тяжести
hw — гидравлические потери (потери напора)
J — квадратичный инвариант тензора скоростей деформации
Ji (…) — функция Бесселя первого рода i-го порядка
j — гидравлический уклон
l — длина пути перемешивания
Ni — число Никурадзе
P — давление
Q — расход потока
R — радиус трубы
Rг — гидравлический радиус
Re — число Рейнольдса
s — смоченный периметр
t — текущее время
U — местная скорость течения
Um — максимальная скорость
Uδ — скорость течения на границе ламинарной пленки и турбулентного ядра
U* — динамическая скорость
ux, uy, uz — составляющие вектора местной скорости по осям декартовой системы координат
ux, uθ, ur —  составляющие вектора местной скорости по осям цилиндрической системы 
координат
iu , 
iu′ — регулярная и пульсационная составляющие при турбулентном режиме движения 
жидкости
V — средняя скорость потока
X, Y, Z — ускорения от действия внешних массовых (объемных) сил
x, y, z — оси прямоугольной (декартовой) системы координат
x, θ, r — оси цилиндрической системы координат
x, r, 
x
u — нормированные переменные
α, α0 — коэффициенты Кориолиса и Буссинеска
∆ — абсолютная шероховатость стенок трубы
δ — толщина ламинарного пограничного слоя

ζ — коэффициент местного гидравлического сопротивления
Λ — расстояние от твердой границы потока (стенки)
λ — коэффициент гидравлического сопротивления по длине
λn — нуль функции Бесселя 1-го рода 2-го порядка
µ — динамическая вязкость жидкости
µt — турбулентная вязкость 
ν — кинематическая вязкость жидкости
П — потенциал внешних массовых сил
ρ — плотность жидкости
σii — вязкие нормальные напряжения
σ′ii — нормальные рейнольдсовые напряжения
τij — вязкие касательные напряжения
τ′ij — касательные рейнольдсовые напряжения
τ0 — касательные напряжения на стенках трубы
χ — постоянные Прандтля, Кармана, универсальная постоянная
Ψ — функция тока
Ω — угловая скорость вихря
ωx, ωθ, ωr — составляющие угловой скорости вихря по осям цилиндрической системы 
координат
ω — площадь сечения трубы

1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ  
КАПЕЛЬНЫХ НЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ
В учебном пособии дан обзор дифференциальных уравнений движения капельных ньютоновских жидкостей. Исследуются решения этих уравнений при малых и больших числах Рейнольдса. Описание движения жидкости рассматривается в эйлеровой постановке [1] в декартовой прямоугольной (x, y, z) и цилиндрической (x, θ, r) системах координат (рис. 1.1).
z
y
0
x
z
y
x
r
ux
uy
ur
uz
U
uθ
θ
Рис. 1.1. Прямоугольная и цилиндрическая системы координат
Обозначим вектор скорости бесконечно малой частицы жидкости в точке пространства 
с координатами x, y, z или x, θ, r через U, а его составляющие по осям координат — через ux, 
uy, uz или ux, uθ, ur. При этом
	
	
	
	
    
.	
(1.1)
По Эйлеру компоненты вектора скорости ux, uy, uz или ux, uθ, ur в общем случае являются 
функциями координат точки x, y, z или x, θ, r и времени t. При установившемся движении жидкости, когда скорости не зависят от времени, они являются функциями только координат пространства.
1.1. Два режима движения жидкости
Существуют два режима движения жидкости: ламинарный и турбулентный. Ламинарным 
называется течение, при котором слои жидкости, не смешиваясь, скользят относительно друг 
друга в условиях вязкого трения. Турбулентным называется течение, при котором частицы 
жидкости движутся по постоянно меняющимся траекториям, и в жидкости происходит интенсивное перемешивание, именуемое турбулентной диффузией.
Особенности двух режимов движения жидкости впервые изучил Осборн Рейнольдс1. Он 
установил, что увеличение скорости потока вызывает возмущения, дестабилизирующие его 
структуру. Если под устойчивостью понимать способность потока подавлять возникающие 
в нем малые возмущения, то переход к турбулентному режиму может рассматриваться как 
потеря устойчивости. При этом из двух действующих на жидкие частицы категорий сил: сил 
вязкости и сил инерции — первые играют стабилизирующую роль, а вторые — дестабилизирующую. При ламинарном режиме с низкими скоростями течения силы вязкости, пропорци1Reynolds O. On the Dynamical Theory of Incompressible Viscous Fluids and the Determination of the Criterion  / 
O. Reynolds // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. — 1895. — Series A. — V. 186. — P. 123–164.