Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики, 2024, № 9-10 (Том 120)

Ɋ Ɉ ɋ ɋ ɂ Ƀ ɋ Ʉ Ⱥ ə   Ⱥ Ʉ Ⱥ Ⱦ ȿ Ɇ ɂ ə   ɇ Ⱥ ɍ Ʉ
ɉ ɂ ɋ ɖ Ɇ Ⱥ
ȼ
ɀɍɊɇȺɅ
ɗɄɋɉȿɊɂɆȿɇɌȺɅɖɇɈɃ
ɂ ɌȿɈɊȿɌɂɑȿɋɄɈɃ ɎɂɁɂɄɂ
Ɉɫɧɨɜɚɧ ɜ 1965 ɝɨɞɭ      ȼɵɯɨɞɢɬ 24 ɪɚɡɚ ɜ ɝɨɞ
ɬɨɦ 120
Ƚɥɚɜɧɵɣ ɪɟɞɚɤɬɨɪ ȼ. Ɇ. ɉɭɞɚɥɨɜ
Ɋɟɞɤɨɥɥɟɝɢɹ
Ʉɨɧɞɟɧɫɢɪɨɜɚɧɧɵɟ ɫɪɟɞɵ: Ƚ. ȿ. ȼɨɥɨɜɢɤ (ɡɚɦ. ɝɥ. ɪɟɞɚɤɬɨɪɚ), ɗ. ȼ. Ⱦɟɜɹɬɨɜ,
Ⱥ. ɋ. ɂɨɫɟɥɟɜɢɱ, Ʉ. ɗ. ɇɚɝɚɟɜ, ȼ. Ɇ. ɉɭɞɚɥɨɜ, Ⱥ. Ʌ. Ɋɚɯɦɚɧɨɜ, Ⱥ. Ⱥ. Ƚɢɩɩɢɭɫ, ȼ. ɂ. Ⱥɥɶɲɢɰ 
ɗɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɟ ɱɚɫɬɢɰɵ ɢ ɮɢɡɢɤɚ ɹɞɪɚ: Ⱥ. ȼ. ɇɟɮɟɞɶɟɜ, ɂ. ȼ. ɉɨɥɸɛɢɧ,
ɇ. ɇ. ɇɢɤɨɥɚɟɜ, Ⱦ. ɋ. Ƚɨɪɛɭɧɨɜ
Ƚɢɞɪɨɞɢɧɚɦɢɤɚ, ɩɥɚɡɦɚ: ȼ. ɉ. ɉɚɫɬɭɯɨɜ (ɡɚɦ. ɝɥ. ɪɟɞɚɤɬɨɪɚ),
Ʉ. ȼ. ɑɭɤɛɚɪ, ɇ. Ʌ. Ⱥɥɟɤɫɚɧɞɪɨɜ
Ɉɩɬɢɤɚ, ɮɢɡɢɤɚ ɥɚɡɟɪɨɜ, ɧɟɥɢɧɟɣɧɚɹ ɨɩɬɢɤɚ: ɋ. ɉ. Ʉɭɥɢɤ, Ɉ. Ƚ. Ʉɨɫɚɪɟɜɚ, Ⱥ. ȼ. ɇɚɭɦɨɜ 
Ʉɜɚɧɬɨɜɚɹ ɢɧɮɨɪɦɚɬɢɤɚ: ɘ. Ƚ. Ɇɚɯɥɢɧ
Ƚɪɚɜɢɬɚɰɢɹ, ɤɨɫɦɨɥɨɝɢɹ: Ⱥ. Ⱥ. ɋɬɚɪɨɛɢɧɫɤɢɣ, Ɇ. Ɋ. Ƚɢɥɶɮɚɧɨɜ, Ʉ. Ⱥ. ɉɨɫɬɧɨɜ,
Ⱦ. ɋ. Ƚɨɪɛɭɧɨɜ
Ɇɨɫɤɜɚ
ɎȽȻɍ «ɂɡɞɚɬɟɥɶɫɬɜɨ «ɇɚɭɤɚ»

Р О С С И Й С К А Я А К А Д Е М И Я Н А У К
П И С Ь М А
В
ЖУРНАЛ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ
И ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
том 120
Выпуск 9
10 ноября 2024
Журнал издается под руководством
Отделения физических наук РАН
Главный редактор В. М. Пудалов
Заместители главного редактора
Г. Е. Воловик, В. П. Пастухов
Зав. редакцией
И. В. Подыниглазова
Адрес редакции
119334 Москва, ул. Косыгина 2
тел./факс
(499)-137-75-89
e-mail
letters@kapitza.ras.ru
Web-страница
http://www.jetpletters.ru
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Письма в ЖЭТФ” (составитель), 2024

Pis’ma v ZhETF, vol. 120, iss. 9, pp. 659 – 660
© 2024 November 10
Devoted to memory of Alexei Alexandrovich Starobinsky
Schwinger vs Unruh
G. E. Volovik1)
Low Temperature Laboratory, Aalto University, P.O. Box 15100, FI-00076 Aalto, Finland
Landau Institute for Theoretical Physics, 142432 Chernogolovka, Russia
Submitted 3 September 2024
Resubmitted 5 September 2024
Accepted 23 September 2024
It is shown that the temperatures which characterise the Unruh effect, the Gibbons–Hawking radiation
from the de Sitter cosmological horizon and the Hawking radiation from the black hole horizon acquire the extra factor 2 compared with their traditional values. The reason for that is the coherence of different processes.
The combination of the coherent processes also allows us to make the connection between the Schwinger pair
production and the Unruh effect.
DOI: 10.31857/S0370274X24110014, EDN: PBFIOH
There were many discussions concerning the problem
with a factor 2 in the temperature of Hawking radiation,
see, e.g., [1, 2]. The doubling of the Gibbons–Hawking
temperature was also discussed for the de Sitter expansion [3]. Since the Schwinger pair creation bears some
features of the thermal radiation, one may also expect
the factor 2 problem.
The Schwinger pair creation [4, 5] of particles with
mass M and charges ±q in electric field E per unit volume per unit time is given by:
ΓSchw(M) = dW Schw
dt
= q2E2
(2π)3 exp

−πM 2
qE
 
.
(1)
Since a = qE/M corresponds to the acceleration of a
charged particle, there were attempts to connect the
Schwinger mechanism with the Unruh effect [6], see [7–
10] and references therein.
If one tries to make the direct analogy between these
processes, this is already problematic. The original state
is the vacuum in the constant electric field. Being the
vacuum it does not provide any physical acceleration.
Acceleration in electric field appears only in the presence
of a charged particle. That is why one can try to find the
situation, when the two effects are physically connected.
The connection may arise if we split the pair creation in
several steps. In the first step the pair of particles with
masses M are created by Schwinger mechanism. Then
the created particles with positive and negative charges
are accelerated by electric fields and they play the role
of two Unruh–deWitt detectors. If due to the acceler1)e-mail: volovikgrigory@gmail.com
ation the mass of each detector is increased by m, the
total process is equivalent to the pure Schwinger effect
of creation of particles with masses M + m:
ΓSchw(M + m) = ΓSchw(M) ΓUnruh
+
(m)ΓUnruh
−
(m). (2)
Each of the two Unruh processes is governed by the
temperature ˜TU, which is twice the Unruh temperature:
ΓUnruh
±
(m) = exp

−m
˜TU
 
, ˜TU = a
π = 2TU.
(3)
The coherence of processes (or co-tunneling) plays
an important role in temperature doubling. A similar
temperature doubling occurs in the de Sitter Universe.
According to [3] the comoving observer perceives the de
Sitter environment as the thermal bath with temperature T = H/π. It is twice larger than the Gibbons–
Hawking temperature [11] of the cosmological horizon,
TGH = H/2π. The temperature T = H/π determines in
particular the process of ionization of an atom in the de
Sitter environment. Here the atom plays the role of the
local Unruh–deWitt detector, which is excited in the de
Sitter environment. The temperature T = H/π determines the thermodynamics of the de Sitter state [3] and
the local entropy density of this state sdS = (3π/4G)T .
The entropy density is linear in temperature, which
demonstrates that de Sitter thermal state experiences
the analog of the Sommerfeld law in Fermi liquids.
The difference between the local T and TGH = H/2π
of Gibbons–Hawking process also comes from the analog
of co-tunneling. In the Gibbons–Hawking process, two
particles are coherently created: one particle is created
inside the horizon, while its partner is simultaneously
Письма в ЖЭТФ
том 120
вып. 9 – 10
2024
659

G. E. Volovik
created outside the horizon. Since de Sitter Universe behaves as the thermal bath with temperature T = H/π,
then the rate of the coherent creation of two particles,
each with energy E, is w ∝exp(−2E
T ). However, the
observer who uses the Unruh–DeWitt detector can detect only the particle created inside the horizon. For this
observer the creation rate w ∝exp(−2E
T ) is perceived
as exp(−E
T/2) = exp(−
E
TGH ), and thus the Hawking radiation looks as the thermal process with the Gibbons–
Hawking temperature, while the real temperature of the
de Sitter environment is twice larger.
The doubling of the Unruh and de Sitter temperatures may also have connection with the ’t Hooft proposal of the doubling of the temperature of the Hawking
radiation from the black hole [12, 13]. In this scenario
the coherence is supported by the partner (the clone)
of the black hole – the mirror image of the black hole
space-time. Instead of the clone, the coherence can be
provided by the simultaneous creation of two particles
in the tunneling process [14, 15]: the particle outside the
black hole horizon and its partner – the hole created inside the horizon. Due to coherence of these two processes
the physical temperature is twice the Hawking temperature. However, the external observer has no information
about the physics inside the horizon and perceives the
radiation as thermal with the Hawking temperature.
The double Hawking temperature may arise also
from the Brown–York approach [16]. According to [17]
the only way to reconcile the Brown–York black hole
energy E = 2M with the relation dE = T dS is by introducing the Brown–York temperature TBY = 2TH.
In conclusion, due to coherence of different processes,
all three effects (Unruh effect, Gibbons–Hawking radiation from the cosmological horizon and Hawking radiation from the black hole horizon) acquire the extra
factor 2 compared with their traditional values.
In the case of de Sitter, the double Gibbons–
Hawking temperature T = 2TGH = H/π coincides with
the thermodynamic temperature of the de Sitter state,
which in particular responsible for the ionization rate
of an atom in the de Sitter environment. This temperature also determines the local entropy sdS of the de
Sitter, which being integrated over the Hubble volume
VH reproduces the entropy of the cosmological horizon,
sdSVH = A/4G, where A is the horizon area.
In the case of the Unruh effect, the double Unruh
temperature is supported by the analog of the Unruh
effect in the accelerated superfluid liquid such as 3He-B.
In the Unruh process, two Bogoliubov fermions (quasiparticle and quasihole, each with energy E), are created
simultaneously. Since the two fermions are created in
unison, such coherent process looks as thermal but with
the factor 2 in the exponent, e−2E/T . This is the reason
why the temperature T corresponding to this coherent
process is twice the Unruh temperature, T = 2TU, where
TU = ℏa/2π and a is the acceleration of the liquid.
In case of the black hole Hawking radiation, the double Hawking temperature emerges also due to the combination of the coherent processes. Such coherence is
similar to that in the scenario suggested by ’t Hooft,
where the black hole interior is considered as a quantum
clone of the exterior region, which leads to the doubling
of the Hawking temperature.
The coherence of the processes is also used for the
consideration of the back reaction of the black hole to
the Hawking radiation and the detector recoil to the
Unruh effect [7, 8, 15, 18, 19].
Funding. This work was supported by ongoing institutional funding. No additional grants to carry out or
direct this particular research were obtained.
Conflict of interest. The author of this work declare that he has no conflicts of interest.
1. V. Akhmedova, T. Pilling, A. de Gill, and D. Singleton,
Phys. Lett. B 673, 227 (2009).
2. A. de Gill, Am. J. Phys. 78, 685 (2010).
3. G. E. Volovik, Symmetry 16, 763 (2024).
4. J. Schwinger, Phys. Rev. 82, 664 (1951).
5. J. Schwinger, Phys. Rev. 93, 616 (1953).
6. W. G. Unruh, Phys. Rev. D 14, 870 (1976).
7. R. Parentani and S. Massar, Phys. Rev. D 55, 3603
(1997).
8. D. Kharzeev and K. Tuchin, Nucl. Phys. A 753, 316
(2005).
9. V. Sudhir, N. Stritzelberger, and A. Kempf, Phys. Rev.
D 103, 105023 (2021).
10. M. Teslyk, O. Teslyk, L. Zadorozhna, L. Bravina, and
E. Zabrodin, Particles 5, 157 (2022).
11. G. W. Gibbons and S. W. Hawking, Phys. Rev. D 15,
2738 (1977).
12. G. ’t Hooft, Universe 8, 537 (2022).
13. G. ’t Hooft, J. Phys.: Conf. Ser. 2533, 012015 (2023).
14. G. E. Volovik, JETP Lett. 69, 705 (1999).
15. M. K. Parikh and F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 85, 5042
(2000).
16. J. D. Brown and J. W. York, Jr., Phys. Rev. D 47, 1407
(1993).
17. S. Nojiri, S. D. Odintsov, and V. Faraoni, Phys. Rev. D
104, 084030 (2021).
18. B. Reznik, Phys. Rev. B 57, 2403 (1998).
19. R. Casadio and G. Venturi, Phys. Lett. A 252, 109
(1999).
Письма в ЖЭТФ
том 120
вып. 9 – 10
2024

Письма в ЖЭТФ, том 120, вып. 9, с. 661 – 666
© 2024 г. 10 ноября
Формула Марбургера для эллиптически поляризованных световых
пучков в нелинейной нелокальной среде
Н. Ю. Кузнецов, К. С. Григорьев, В. А. Макаров1)
Физический факультет, МГУ имени М. В. Ломоносова, 119991 Москва, Россия
Поступила в редакцию 10 сентября 2024 г.
После переработки 10 сентября 2024 г.
Принята к публикации 19 сентября 2024 г.
Численно исследована возможность применения формулы Марбургера для нахождения связи между
мощностью пучка и расстоянием, на котором происходит нелинейный коллапс пучка с начальным гауссовым профилем интенсивности и однородной эллиптической поляризацией. Показано, что адекватного
описания этой зависимости удается достичь путем подстройки параметров, входящих в эту формулу,
в зависимости от степени эллиптичности эллипса поляризации падающего излучения и от механизма
нелинейного оптического отклика
DOI: 10.31857/S0370274X24110027, EDN: PHVEFA
1. Введение. Немногим более шестидесяти лет
назад была предсказана [1] самофокусировка светового пучка, являющаяся причиной возникновения множества нелинейных оптических эффектов,
связанных с лавинообразным увеличением энергии
электромагнитного поля в малой области, окружающей определенную точку пространства. Описанные в
обзорах [2–9] успехи в исследовании самофокусировки линейно или циркулярно поляризованных пучков
с различным плавным распределением интенсивности, а впоследствии и импульсов с длительностью,
большей или меньшей времени релаксации нелинейности среды, и создание мощных фемтосекундных
лазерных систем обеспечили стремительное изучение
филаментации лазерных импульсов в различных средах и анализ ее возможных применений (см. обзоры
[8–15]).
Самофокусировка света – пороговый эффект, возникающий, если мощность светового пучка P превышает критическое значение Pc. Последнее не только
зависит от поперечного пространственного распределения интенсивности и поляризации света на границе
среды, но и по-разному (с точностью до числового
коэффициента) определяется авторами в зависимости от различных способов аналитического решения
уравнений распространения или от методов, используемых при их численном решении. В последнем случае порог самофокусировки определяется из условия одновременного достижения бесконечного сжатия пучка и неограниченного возрастания его интенсивности и становится возможным связать введен1)e-mail: vamakarov@phys.msu.ru
ное в [16] расстояние zc от границы среды, на котором это происходит, с P/Pc. Впервые такая формула,
полученная в приближении неизменности линейной
поляризации света в процессе распространения, была получена в [17]
zc
zR
=
A

(

P/Pc −B)2 −C
1/2 .
(1)
Здесь zR – длина Рэлея для пучка, распространяющегося в линейной среде, и A = 0.366, B = 0.825, C =
= 0.03. Увеличение точности расчетов позднее привело к немного другим значениям входящих в (1)
констант: A = 0.367, B = 0.852 и C = 0.0219. Равенство (1) с этими значениями A, B и C получило название формулы Марбургера [18]. Ее значение трудно переоценить, так как она позволяет быстро оценить возможность возникновения самофокусировки,
нежелательной во многих практических приложениях. Усиление строгости в описании распространения света, связанное с учетом его поляризационного самовоздействия (Мейкер–Терхьюновское вращение, нелинейная оптическая активность), продольной “диффузии” комплексной амплитуды электрического поля и, наконец, малой продольной составляющей поляризации электрического поля E(x, y, z, t),
возникающей благодаря уравнению div D = 0 в системе уравнений Максвелла, ограничивают минимальный радиус пучка и ограничивают интенсивность в фокусе. Это приводит к необходимости корректировки формулы (1).
Как правило, самофокусировка и филаментация
света исследуются в приближении неизменности лиПисьма в ЖЭТФ
том 120
вып. 9 – 10
2024
661

Н. Ю. Кузнецов, К. С. Григорьев, В. А. Макаров
нейной или циркулярной поляризации света в процессе распространения. В этом же приближении получена формула Марбургера и ее немногочисленные
модификации [19, 20]. Критические мощности, определяющие режимы самофокусировки эллиптически
поляризованного света в изотропной среде с пространственной дисперсией кубической нелинейности,
в которой при распространении света распределение его интенсивности теряет задаваемую на входе
в среду гауссову форму, а поляризация становится неоднородной в плоскости поперечного сечения,
в безаберрационном приближении определены в [21].
В среде, где компоненты тензора кубической нелинейности имеют разные знаки, в поперечном распределении распространяющегося пучка возможно появление кольцеобразных областей с чередующимся
правым или левым вращением вектора напряженности электрического поля [22]. В случае аномальной
частотной дисперсии импульсное излучение распадается на фрагменты с противоположными направлениями вращения вектора напряженности электрического поля [23]. В [24, 25] показано, что при самофокусировке изначально эллиптически поляризованного гауссова пучка в изотропной среде с различными механизмами кубической нелинейности возникают замкнутые линии сингулярности круговой поляризации (С-линии). Они появляются как в допороговых, так и в сверхпороговых режимах самовоздействия света и имеют в общем случае вид трехмерных
кривых, форма которых близка к окружностям, лежащим в плоскости поперечного сечения пучка, центры которых находятся на его оси. При самофокусировке света в изотропной фазе жидких кристаллов в предпереходной области температур резко возрастает нелокальность нелинейного оптического отклика на внешнее световое поле. В этом случае образуется сложная система C-линий с правой и левой циркулярной поляризацией в его сечениях, близких к локальным экстремумам пиковых интенсивностей, соответствующих циркулярно поляризованных
компонент электрического поля. Некоторые аспекты
коллапса оптического пучка с определенным неоднородным распределением поляризации обсуждались в
[19, 26].
В настоящей работе исследуется возможность использования соотношения близкого к формуле (1)
в случае самофокусировки световых пучков гауссова профиля в изотропной гиротропной среде (класс
симметрии ∞∞), демонстрирующей пространственную дисперсию кубической нелинейности.
2. Постановка задачи. Пусть неоднородно поляризованный монохроматический световой пучок с
частотой ω распространяется вдоль оси z цилиндрической системы координат (r, z) в изотропной гиротропной непоглощающей среде, обладающей пространственной дисперсией кубической нелинейности.
Вектор напряженности его электрического поля E
может быть выражен через медленно меняющуюся
комплексную амплитуду E(r, z):
E(r, z, t) = Re [E(r, z) exp(i(kz −ωt))] .
(2)
Здесь r = (x, y), k = nω/c – волновое число, n –
линейный действительный показатель преломления
среды, c – скорость света в вакууме. Возникающая
при этом нелинейная поляризация среды PNL =
= PNL
loc + PNL
nloc, где
P NL
loc,i(ω) = χ(3)
ijlm(ω; −ω, ω, ω)E∗
j ElEm,
(3)
P NL
nloc,i(ω) = γ(3)
ijlmk(ω; −ω, ω, ω)E∗
j El∂kEm +
+ γ(3)
ijlmk(ω; ω, ω, −ω)EjEl∂kE∗
m.
(4)
В (3) и (4) индексы i, j, k, l и m принимают значения x, y и z. Ненулевые компоненты симметричного по перестановке последних двух индексов тензора локальной кубической восприимчивости ˆχ(3) задаются двумя константами χ1,2 [2, 27, 28]: χ(3)
ijlm =
= χ1(δilδjm + δimδjl) + χ2δijδlm. Здесь δij – символ
Кронекера. Тензоры нелокальной кубической восприимчивости ˆγ(3)(ω; −ω, ω, ω) и ˆγ(3)(ω; ω, ω, −ω) характеризуют пространственную дисперсию нелинейной среды. В отсутствие поглощения второй из них
тождественно равен нулю [29], а первый симметричен по перестановке индексов i и j [29]. Использование далее метода медленно меняющихся амплитуд
[3] для описания распространения пучка позволяет
упростить формулу (4)
P NL
nloc,i = ikγ(3)
ijlmzE∗
j ElEm,
(5)
и делает тензор γ(3)
ijlmz в (5) дополнительно симметричным по перестановке индексов l и m. Все ненулевые компоненты такого тензора определяются единственной константой γ1 [27, 28, 30]:
γ(3)
ijlmz(ω; −ω, ω, ω) = γ1(eizlδjm + eizmδjl+
+ejzlδim + ejzmδil),
(6)
где eijk – символ Леви–Чивиты. В этом случае волновое уравнение сводится к системе двух связанных
уравнений параболического типа для медленно меняющихся амплитуд E± = (Ex ± iEy)/
√
2 циркулярно
Письма в ЖЭТФ
том 120
вып. 9 – 10
2024

Формула Марбургера для эллиптически поляризованных световых пучков. . .
663
поляризованных компонент напряженности электрического поля:
∂E±
∂z
−i
2k
∂2E±
∂r2
+ 1
r
∂E±
∂r
 
= ±iκ0E±+
+4ikχ1
n2

(1 ± δ)|E±|2 + (1 + β)|E∓|2
E±.
(7)
Здесь δ = 2kγ1/χ1, β = χ2/χ1, κ0 = 2πk2γ0/n2,
n – линейный показатель преломления, γ0 – константа, задающая все ненулевые компоненты тензора линейной гирации. От связанного с ней слагаемого в правой части (7) легко избавиться подстановкой E± = F± exp(±iκ0z). Решение получившейся
системы уравнений для F±, совпадающей с (7) при
κ0 = 0, позволяет найти нормированную интенсивность I = |E+|2 + |E−|2 = |F+|2 + |F−|2, зависимость
которой от пространственных координат представляет интерес при исследовании самофокусировки лазерного излучения. Константа κ0 также не влияет на
изменение степени эллиптичности эллипса поляризации M = (|E+|2 −|E−|2)/I, связанной с параметром
R = (1 −
√
1 −M 2)/M при M ̸= 0; и равным нулю
при M = 0. Модуль R равен отношению длин малой
и большой полуосей эллипса поляризации, а его знак
совпадает со знаком M. Линейно поляризованному
излучению соответствует M = R = 0, а циркулярно
поляризованному – M = R = ±1 (в зависимости от
направления вращения вектора напряженности электрического поля). Использование этого параметра
полезно, поскольку изменение zc от M, описанное далее, практически полностью сосредоточено в узких
областях 0.9 < |M| < 1, в то время как зависимости
zc от R значительно равномернее. Константа κ0 дает
только пропорциональный z вклад в угол поворота Φ
главной оси эллипса поляризации в процессе распространения: Φ = Arg(E+E∗
−)/2 = κ0z + Arg(F+F−).
Пусть на границу среды z = 0 падает осесимметричный эллиптически поляризованный лазерный пучок с гауссовым профилем амплитуды:
E±(x, y, 0) = E0

(1 ± M0)/2 exp
	
−r2/w2
,
(8)
где E0 – напряженность электрического поля в его
центре, а M0 = M(r, z = 0). Для численного решения (7) с начальными условиями (8) использовалась
схема ETD-CN [31] с конечно-разностной аппроксимацией производных по координате r. Координата распространения нормировалась на длину Рэлея
zR = kw2/2, а F± на E0. В итоге падающее излучение
полностью задается двумя безразмерными параметрами: P = 2πχ1E2
0k2w2
0/n2 и M0, а среда – параметрами δ и β. Нашей задачей являлся подбор при разных фиксированных значениях M0, δ и β таких троек независимых параметров A(M0, δ, β), B(M0, δ, β)
и Pc(M0, δ, β), при которых формула (1) наилучшим
образом аппроксимирует зависимость ζc = zc/zR
от P, полученную при численном решении уравнений (7).
3. Методика определения параметров формулы Марбургера. Прежде всего заметим, что B
и C в формуле (1) не являются независимыми величинами. При стремлении P к Pc расстояние zc,
на котором происходит коллапс пучка, должно стремиться к бесконечности, а это возможно только если
C = (1 −B)2. В наших расчетах для каждой комбинации параметров падающего излучения и нелинейной среды значение ζc определялось как координата слоя численной схемы, на котором величина |E+|2 + |E−|2 превышала E2
0 более, чем в 1000
раз. Аппроксимация зависимости ζc(P) производилась по N = 30 значениям начальной безразмерной мощности Pi (i = 1, 2, . . ., N), специальным образом выбранных в диапазоне от P0 до 5P0, где
P0(β, M) =

0.5 + β(1 −M 2)/4
−1 — максимально
возможное значение пороговой мощности самофокусировки гауссова пучка в негиротропной среде с керровской нелинейностью [25]. Оптимальные значения
A, B и Pc определялись в результате минимизации
суммы
σ2 = 1
N
N

i=1
|ζ
′
ci −ζ
′′
ci|2,
(9)
где ζ
′
ci – значение координаты коллапса пучка с начальной мощностью Pi, полученное при помощи численного моделирования его распространения, а ζ
′′
ci –
соответствующее значение мощности, получаемое с
помощью формулы (1). Для этого нами использовался метод дифференциальной эволюции [32], в котором в качестве начальных значений для параметров A и B выбирались величины, выполняющие эту
роль в формуле Марбургера для линейно поляризованного излучения, т.е. A = 0.367 и B = 0.852, а
для начальной безразмерной мощности Pc использовалось значение 0.9P0. Такой выбор обусловлен тем,
что минимальное значение Pi, используемое в численных расчетах, было P0. Поэтому его использование для получения зависимости (1) невозможно,
так как при такой мощности искомая зависимость
ζc(P) имеет сингулярность. Подчеркнем, что результаты поиска A, B и Pc практически не зависели от
их начальных значений, если только они случайно
не совпадали с теми, при которых искомая функция
ζc(P) демонстрирует сингулярность.
Зависимость ζc(P), задаваемая формулой (1),
асимптотически резко возрастает вблизи P = Pc и
Письма в ЖЭТФ
том 120
вып. 9 – 10
2024

Н. Ю. Кузнецов, К. С. Григорьев, В. А. Макаров
плавно убывает при P →∞. Поэтому используемые
для численного моделирования Pi (i = 1, 2, . . ., N)
выбирались так, чтобы значения

ln(Pi/P0) были
равномерно распределены в диапазоне от 0 до
√
ln 5.
Это обеспечивало большую плотность точек в области низких мощностей падающего излучения, необходимую для надлежащей аппроксимации зависимости ζc(P). Пример полученной таким методом зависимости ζc(P) в случае самофокусировки лазерного пучка со степенью эллиптичности M0 = 0.8 (отношение осей R = 0.5) в среде, демонстрирующей
ориентационный механизм нелинейного оптического
отклика (β = 6) изображен на рис. 1. Полученная
в результате численного решения уравнений распространения зависимость ζc(P) и аналогичная кривая,
построенная с помощью формулы (1) с найденными
в результате аппроксимации значениями A = 0.293,
B = 0.744 и Pc = 0.857, идеально совпадают. Среднеквадратичная ошибка σ ≈0.0047.
Рис. 1. (Цветной онлайн) Полученные в результате численного решения уравнений распространения зависимость ζc(P) (красные маркеры) и аналогичная кривая,
построенная с помощью формулы (1) с найденными
в результате аппроксимации A = 0.293, B = 0.744 и
Pc = 0.857 (синяя линия) при M0 = 0.8 (R = 0.5), δ = 0
и β = 6
4. Самофокусировка в среде без пространственной
дисперсии.
В
негиротропной
среде
(κ0 = 0 и δ = 0) уравнения (7) для амплитуд E±
становятся
одинаковыми,
а
зависимости
A(M0),
B(M0) и Pc(M0) являются четными функциями M0.
Для электрострикционного механизма нелинейности (β = 0) зависимость параметров A, B и Pc от
степени эллиптичности падающего излучения полностью отсутствует. В этом случае при любых M0
используемый алгоритм давал практически одинаковые значения A(M0) = 0.355 и B(M0) = 0.801, отличающиеся от входящих в формулу Марбургера соответственно на 3.5 и 6 %. При этом величина Pc = 1.89,
что на 5.3 % ниже P0(M0) = 2. Среднеквадратичная
ошибка всех данных аппроксимаций составляла менее σ = 0.006.
В случае электронного механизма нелинейности
(β = 1) появляются незначительные зависимости A
и B от M0, изображенные на рис. 2a соответственно красными и синими маркерами. Для наглядности здесь и далее показаны не только зависимости A и B от M0 (верхняя горизонтальная ось), но
и A и B от R (нижняя горизонтальная ось). Изза нелинейной связи M0 и R возникает неравномерное масштабирование вдоль одной из осей. Для
строго линейной (M0 = 0) и строго циркулярной
(M0 = ±1) поляризаций A(M0) = 0.355 и B(M0) =
= 0.801. Эти значения отличаются от A(0) = 0.367
и B(0) = 0.825 соответственно на 3.5 и 6%. Максимальное значение A (B), равное 0.359 (0.803), достигается при M0 ≈0.62 (M0 ≈0.98), а минимальное значение, равное 0.344 (0.748), – при M0 ≈
≈0.88 (M0 ≈0.55). Амплитуды изменения A(M0)
и B(M0) соответственно равны 0.02A(0) и 0.07B(0),
что соизмеримо с величиной их отличия от значений A и B в формуле Марбургера. Критическая
мощность самофокусировки монотонно возрастает с
увеличением степени эллиптичности (синие маркеры
на рис. 2c) и составляет при разных M0 от 94.1 %
до 94.7 % от P0(β = 1, M0) =

0.5 + (1 −M 2
0 )/4
−1
(красные маркеры на рис. 2c). Максимальная средРис. 2.
(Цветной
онлайн)
Зависимости
параметров
A(M0) и B(M0) (соответственно красные и синие маркеры на рис. (a) и (b)) и критической мощности самофокусировки и P0 = [0.5 + β(1 −M 2)/4]−1 (соответственно синие и красные маркеры на рис. (c) и (d)) от
отношения длин осей эллипса поляризации падающего
излучения при β = 1 ((a) и (c)) и β = 6 ((b) и (d))
Письма в ЖЭТФ
том 120
вып. 9 – 10
2024

Формула Марбургера для эллиптически поляризованных световых пучков. . .
665
неквадратичная ошибка данных аппроксимаций составляла σ = 0.006.
При ориентационном механизме нелинейности
(β = 6) численное значение A(M0) при M0 = 0, равное = 0.354, отличается от A, входящего в формулу
Марбургера, на 3.5 %. С ростом степени эллиптичности функция A(M0) постепенно возрастает, достигая максимального значения 0.387 при M0 ≈0.38,
после чего убывает вплоть до 0.247 при M0 ≈0.91
и далее возвращается к значению 0.354 при строго циркулярной поляризации падающего излучения
(красные маркеры на рис. 2b). Параметр B(M0) изменяется практически точно в “противофазе” (синие
маркеры на рис. 2b). Начиная от B = 0.801 при линейной поляризации, отличающегося от входящего в
формулу Марбургера значения B на 6 %, функция
B(M0) убывает до минимального значения 0.658, достигаемого при M0 ≈0.62, а затем возрастает и при
M0 ≈0.94 достигает максимального значения, равного 0.880, а затем вновь убывает и достигает минимума 0.801 при строго циркулярной поляризации. При
β = 6 амплитуды изменения A(M0) и B(M0) достаточно большие. Они составляют соответственно 39 и
27 % от A(0) и B(0). Критическая мощность самофокусировки монотонно возрастает с ростом M0 (синие
маркеры на рис. 2d), меняясь в пределах от 88 % до
95 % от P0(β = 6, M0) =

0.5 + 3(1 −M 2
0 )/2
−1 (красные маркеры на рис. 2d). Максимальная среднеквадратичная ошибка данных аппроксимаций составила
σ = 0.01.
5. Самофокусировка в среде с пространственной дисперсией. В случае изотропной гиротропной среды с нелокальностью нелинейного оптического отклика (β = 6, δ ̸= 0) зависимости A(M0),
B(M0) и Pc(M0), построенные при разных δ, перестают быть четными функциями M0. Проведенные
численные расчеты показали, что рост δ практически не сказывается на характере зависимости A(M0)
и не смещает график этой функции, но увеличивает разность между абсолютными максимальным и
минимальным значениями функции B(M0), а также
сдвигает точки достижения ее локальных экстремумов в сторону положительных значений M0 (рис. 3a).
При этом с ростом δ усиливается небольшая несимметричность графиков A(M0) и B(M0) относительно
оси M0 = 0. Увеличение разности между максимальным и минимальным значениями функций A(M0) и
B(M0) с ростом δ в случае положительных и отрицательных M0 иллюстрирует табл. 1. В ней приведены абсолютные минимумы и максимумы функций A(M0) и B(M0) на отрезках −1 ≤M0 ≤0 и
0 ≤M0 ≤1.
Рис. 3. (Цветной онлайн) (a) – Зависимости A(M0) (линии в теплых оттенках) и B(M0) (линии в холодных оттенках) от отношения длин осей эллипса поляризации
падающего излучения при δ = 0.02 (тонкие сплошные
оранжевые и голубые линии), δ = 0.1 (редкий красный
и синий пунктир) и δ = 0.3 (частый темно-красный
и темно-синий пунктир). (b): Зависимости Pc(M0) при
δ = 0.02 (сплошная голубая линия), 0.1 (синий редкий
пунктир), 0.3 (темно-синий частый пунктир). Тонкая
красная линия – P0(M0) = [0.5 + 3(1 −M 2)/2]−1
Таблица
1.
Диапазоны
изменения
параметров
A(M0)
и
B(M0)
обобщенной
формулы
Марбургера
для
правой
(M0 > 0) и левой (M0 < 0) эллиптических поляризаций излучения, падающего на изотропную гиротропную среду с ориентационной нелинейностью керровского типа
δ
A
B
M ≤0
M ≥0
M ≤0
M ≥0
0
0.247 ÷ 0.387
0.658 ÷ 0.880
0.02 0.246 ÷ 0.372 0.250 ÷ 0.389 0.650 ÷ 0.885 0.650 ÷ 0.879
0.1
0.243 ÷ 0.392 0.259 ÷ 0.404 0.627 ÷ 0.903 0.648 ÷ 0.909
0.3
0.225 ÷ 0.372 0.272 ÷ 0.373 0.582 ÷ 0.966 0.655 ÷ 1.000
Рост δ приводит также к значительному увеличению Pc для падающего на среду эллиптически поляризованного пучка с M0 ≈−1 (рис. 3b), которое
настолько велико, что превышает P0(β = 6, M0) =
=

0.5 + 3(1 −M 2
0 )/2
−1, использованное для первоначальной оценки при нахождении A(M0), B(M0) и
Pc(M0). При δ = 0.3 наибольший рост пороговой
мощности составляет 42.5 % при M = −1. Увеличение δ также существенно снижает Pc при M0 ≈1.
При δ = 0.3 наибольшее уменьшение пороговой мощности составляет 39.1 % при M = 1. Для δ ≈0.01
аналогичные изменения при M0 ≈−1 и M0 ≈1 составляют менее 2 %.
6. Заключение. Основным и немного неожиданным результатом работы является утверждение
о том, что превышение мощности P однородно эллиптически поляризованного лазерного пучка гауссова профиля над критическим значением Pc и расстояние zc, на котором достигается одновременное
его бесконечное сжатие и неограниченное возрастаПисьма в ЖЭТФ
том 120
вып. 9 – 10
2024