Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики, 2024, № 7-8 (Том 120)

Р О С С И Й С К А Я   А К А Д Е М И Я   Н А У К
П И С Ь М А
В
ЖУРНАЛ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ
И ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Основан в 1965 году      Выходит 24 раза в год
том 120
Главный редактор В. М. Пудалов
Редколлегия
Конденсированные среды: Г. Е. Воловик (зам. гл. редактора), Э. В. Девятов,
А. С. Иоселевич, К. Э. Нагаев, В. М. Пудалов, А. Л. Рахманов, А. А. Гиппиус, В. И. Альшиц 
Элементарные частицы и физика ядра: А. В. Нефедьев, И. В. Полюбин,
Н. Н. Николаев, Д. С. Горбунов
Гидродинамика, плазма: В. П. Пастухов (зам. гл. редактора),
К. В. Чукбар, Н. Л. Александров
Оптика, физика лазеров, нелинейная оптика: С. П. Кулик, О. Г. Косарева, А. В. Наумов 
Квантовая информатика: Ю. Г. Махлин
Гравитация, космология: А. А. Старобинский, М. Р. Гильфанов, К. А. Постнов,
Д. С. Горбунов
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»

Р О С С И Й С К А Я А К А Д Е М И Я Н А У К
П И С Ь М А
В
ЖУРНАЛ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ
И ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
том 120
Выпуск 7
10 октября 2024
Журнал издается под руководством
Отделения физических наук РАН
Главный редактор В. М. Пудалов
Заместители главного редактора
Г. Е. Воловик, В. П. Пастухов
Зав. редакцией
И. В. Подыниглазова
Адрес редакции
119334 Москва, ул. Косыгина 2
тел./факс
(499)-137-75-89
e-mail
letters@kapitza.ras.ru
Web-страница
http://www.jetpletters.ru
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Письма в ЖЭТФ” (составитель), 2024

Письма в ЖЭТФ, том 120, вып. 7, с. 481 – 489
© 2024 г. 10 октября
Посвящается памяти Алексея Александровича Старобинского
Альтернативная идея об источнике барионной асимметрии во
Вселенной
С. Н. Вергелес1)
Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН, 142432 Черноголовка, Россия
Московский физико-технический институт, Кафедра теоретической физики, 141707 Долгопрудный, Россия
Поступила в редакцию 30 мая 2024 г.
После переработки 19 августа 2024 г.
Принята к публикации 30 августа 2024 г.
В работе предложен альтернативный сценарий возникновения барионной асимметрии во Вселенной.
Этот сценарий реализуется в модели решеточной гравитации, связанной с дираковским полем, следующим образом. При сверхвысоких температурах порядка Великого Объединения Tc ∼1018 ГэВ и выше система находится в PT -симметричной фазе. Но при понижении температуры происходит фазовый
переход в несимметричную фазу, в которой появляется ненулевая тетрада, т.е. пространство-время с
метрикой Минковского, и волновая функция системы распадается на две: |⟩= |+⟩+ |−⟩. Поля тетрад
в состояниях |+⟩и |−⟩различаются знаком. В самый первый момент времени длительностью порядка
планковского возможен переход фермионов между этими состояниями. Эти переходы в разных участках пространства не скоррелированы между собой. Поэтому окончательная асимметрия фермионного
заряда между этими состояниями относительно чрезвычайно мала, и она сохраняется во времени, так
как взаимодействие состояний |+⟩и |−⟩прекращается на временах больше планковского.
DOI: 10.31857/S0370274X24100012, EDN: YUBSFX
Введение. Проблема существования барионной
асимметрии во Вселенной не решена в настоящее
время. Большая информация, а также значительное
множество ссылок по этой проблеме содержатся в обзорах [1, 2]. Здесь мы коротко отметим лишь следующие факты.
1) Обычно предполагается, что электрослабый
фазовый переход, спонтанно нарушающий симметрию SU(2)L × U(1)Y , является переходом первого
рода. Накопление барионов происходит в непосредственной близости к точке этого перехода в несимметричной фазе, причем доменные стенки зародышей и пузырей несимметричной фазы ускоряют процесс [1, 3].
2) Все подходы к решению проблемы (например,
использование механизма Кобаяси–Маскавы в Стандартной модели или так называемого сфалеронного
бариогенезиса, заложенного Кузьминым, Рубаковым
и Шапошниковым) приводят к оценкам средней барионной плотности, меньше наблюдаемой на много
порядков (< 10−5).
Здесь представлен альтернативный сценарий накопления барионной асимметрии на самом раннем
1)e-mail: vergeles@itp.ac.ru
этапе развития Вселенной. Этот сценарий возможен
в решеточной теории гравитации. В работах автора [4–10] изучалась решеточная теория гравитации,
связанная с дираковскими полями. В частности, в
работе [8] была описана дискретная Z2-симметрия
(названная PT -симметрией), взаимно переставляющая дираковское и его сопряженное поля и меняющая знак тетрады. В работе [10] было доказано, что
при сверхвысоких температурах эта PT -симметрия
не нарушена, но при понижении температуры PT -
симметрия нарушается. В настоящей работе показано, что в несимметричной фазе в непосредственной близости к точке фазового перехода по температуре и времени симметричная волновая функция
(в.ф.) Вселенной распадается на суперпозицию двух
в.ф. |+⟩и |−⟩. В течение этого малого планковского времени τ ∼tP ≈
p
8πGℏ/c5 ≈10−43 с матричный элемент ⟨+|HΨ|−⟩̸= 0. Поскольку гамильтониан
сохраняет полное число фермионов, то в указанном
неравенстве содержатся амплитуды переходов фермионов из |−⟩в |+⟩, и наоборот. При временах t > τ
имеем ⟨+| ˆO|−⟩= 0 для всех локальных операторов
ˆO. Поэтому накопившийся за время τ дисбаланс фермионов между состояниями |+⟩и |−⟩сохраняется,
что и является источником барионной асимметрии.
Письма в ЖЭТФ
том 120
вып. 7 – 8
2024
481

С. Н. Вергелес
Попытаемся объяснить физику явления на предельно простом примере из одномерной квантовой
механики. Пусть одночастичный гамильтониан имеет вид H = −(1/2m)d2/dx2 −κ[δ(x −a) + δ(x + a)].
Этот гамильтониан симметричен относительно преобразования четности x −→−x, но из двух связанных состояний одно φs(x) является четным, а другое φa(x) — нечетным. Их линейные комбинации
φ±(x) = φs(x, t) ± φa(x, t) не являются стационарными, переходят друг в друга при преобразовании
четности и описывают в.ф. состояний, в которых частица находится вблизи x = ±a соответственно. Если частица находится в состоянии φ+(x), то через
некоторое время она окажется в состоянии φ−(x),
и т.д. Если же в некий момент времени возникает
непроницаемый барьер в точке x = 0, то вероятности обнаружения частицы в области x > 0 и x < 0
“замерзают”, не являясь, вообще говоря, равными.
Нечто подобное происходит в изучаемой модели. Хотя действие системы является PT -инвариантным, состояния |+⟩и |−⟩таковыми не являются и они переходят друг в друга при PT -преобразовании. В.ф. φ±
являются упрощенными аналогами состояний |±⟩.
Последние являются суперпозицией многих состояний, в том числе с различными значениями фермичастиц. Упомянутый выше “непроницаемый барьер”
между состояниями φ+ и φ−в рассматриваемой модели возникает спонтанно и в течение минимального
времени tP .
Рассмотрение носит модельный характер.
Следует заметить, что настоящая работа не является пионерской в том смысле, что гравитация как
источник барионной асимметрии впервые рассматривалась в [11]. В этой работе вводилось в лагранжиан дополнительное слагаемое {(1/M 2
∗)√−g(∂µR)Jµ
B},
нарушающее CP-инвариантность. Здесь R – скалярная кривизна, Jµ
B – барионный несохраняющийся ток
и M 2
∗– параметр обрезания эффективной теории. Из
последних работ, развивающих эту идею, отметим
работы [12, 13], в которых можно найти множество
ссылок по этой тематике. Не вдаваясь в подробности, укажем на фундаментальное различие нашего
подхода к проблеме с подходом в работах [11–13]: в
последнем подходе изучается континуальная теория
гравитации, в которую исходно вносится CP – неинвариантное слагаемое; в нашем подходе изучается решеточная, т.е. регуляризованная, теория гравитации,
которая инвариантна относительно всех симметрий в
высокотемпературной фазе, но в результате спонтанного фазового перехода в низкотемпературную фазу с потерей PT -симметрии генерируется барионная
асимметрия (см. текст ниже).
Для облегчения чтения статьи в следующем разделе дается определение той модели решеточной гравитации, которая здесь изучается.
Определение
решеточной
теории
гравитации.
Рассмотрим
ориентируемый
4-мерный
симпрлициальный комплекс K. Мы рекомендуем
книгу [14], §§ 2, 4 для ознакомления с определением
абстрактных
симплициальных
комплесов.
Предположим, что каждый его 4-симплекс принадлежит такому подкомплексу K′ ∈K, который
имеет геометрическую реализацию в R4 без пустот. Вершины
обозначаются aV,
индексы
V
и
W
нумеруют вершины и 4-симплексы s4
W
соответственно. Необходимо использовать локальную
нумерацию
вершин,
принадлежащих
заданному
4-симплексу:
все
5
вершин
4-симплекса
s4
W
нумеруются как aV(W)i, i
=
1, 2, 3, 4, 5. В дальнейшем обозначения с дополнительным нижним
индексом (W) указывает на принадлежность соответствующей величины 4-симплексу s4
W. Обозначим
εV(W)1V(W)2V(W)3V(W)4V(W)5 = ±1 символ Леви–Чивита.
Верхний (нижний) знак зависит от ориентации 4симплекса
s4
W
=
aV(W)1aV(W)2aV(W)3aV(W)4aV(W)5.
Элемент
компактной группы
Spin(4)
и
элемент
алгебры Клиффорда
ΩV1V2 = Ω−1
V2V1 = exp (ωV1V2) =
= exp
1
2σabωab
V1V2

∈Spin(4),
σab ≡1
4[γaγb],
γaγb + γbγa = 2δab,
a = 1, 2, 3, 4,
γ5 ≡γ1γ2γ3γ4,
ˆeV1V2 ≡ea
V1V2γa ≡−ΩV1V2ˆeV2V1Ω−1
V1V2,
|eV1V2| < 1,
|eV1V2| ≡
sX
a
(ea
V1V2)2
(1)
определены на каждом ориентированном 1-симплексе aV1aV2. По предположению, множество переменных {Ω, ˆe} является множеством независимых динамических переменных. Фермионные степени свободы (дираковские спиноры) определены на вершинах
комплекса:
Ψ†
V,
ΨV.
(2)
Множество переменных {Ψ†, Ψ} взаимно независимы, причем спиноры Ψ†
V и ΨV находятся во взаимной инволюции (или анти-инволюции) относительно
операции эрмитова сопряжения.
Рассмотрим модель с действием
A = Ag + AΨ + AΛ0.
(3)
Здесь Ag и AΨ являются действиями чистой гравитации и дираковского поля соответственно:
Письма в ЖЭТФ
том 120
вып. 7 – 8
2024

Альтернативная идея об источнике барионной асимметрии во Вселенной
483
Ag = −
1
5! · 2 · l′2
P
X
W
×
(4)
×
X
σ
εσ(V(W)1)σ(V(W)2)σ(V(W)3)σ(V(W)4)σ(V(W)5)
×trγ5

Ωσ(V(W)5)σ(V(W)1)Ωσ(V(W)1)σ(V(W)2) ×
× Ωσ(V(W)2)σ(V(W)5)ˆeσ(V(W)5)σ(V(W)3)ˆeσ(V(W)5)σ(V(W)4)

.
Каждая σ является одной из 5! перестановок вершин
V(W)i −→σ(V(W)i).
AΨ =
1
5 · 242 ×
×
X
W
X
σ
εσ(V(W)1)σ(V(W)2)σ(V(W)3)σ(V(W)4)σ(V(W)5) ×
×trγ5

ˆΘσ(V(W)5)σ(V(W)1)ˆeσ(V(W)5)σ(V(W)2) ×
× ˆeσ(V(W)5)σ(V(W)3)ˆeσ(V(W)5)σ(V(W)4)

,
(5)
ˆΘV1V2 ≡Θa
V1V2γa = ˆΘ†
V1V2,
(6)
Θa
V1V2 = i
2

Ψ†
V1γaΩV1V2ΨV2 −Ψ†
V2ΩV2V1γaΨV1

.
Можно проверить, что (ср. с (1))
ˆΘV1V2 ≡−ΩV1V2 ˆΘV2V1Ω−1
V1V2.
(7)
Вклад в решеточное действие от космологической
постоянной имеет вид
AΛ0 = −
1
5! · 12 · Λ0
l′2
P
εabcd ×
×
X
W
X
σ
εσ(V(W)1)σ(V(W)2)σ(V(W)3)σ(V(W)4)σ(V(W)5)×
×ea
σ(V(W)5)σ(V(W)1)eb
σ(V(W)5)σ(V(W)2) ×
× ec
σ(V(W)5)σ(V(W)3)ed
σ(V(W)5)σ(V(W)4).
(8)
Статистическую сумма представляется интегралом
Z =
Y
1−simplices
Z
|eV1V2 |<1
Y
a
dea
V1V2
Z
dµ{ΩV1V2} ×
×
Y
V
Z
d؆
VdΨV exp(A).
(9)
Действие (3), а также интеграл (9), инвариантны
относительно калибровочных преобразований
˜ΩV1V2 = SV1ΩV1V2S−1
V2 ,
˜ˆeV1V2 = SV1 ˆeV1V2 S−1
V1 ,
˜ΨV = SVΨV,
˜
Ψ†V = Ψ†
VS−1
V ,
SV ∈Spin(4).
(10)
Проверка этого факта облегчается при использовании соотношения (ср. с соотношением для ˆeV1V2
в (10))
˜ˆΘV1V2 = SV1 ˆΘV1V2S−1
V1 ,
(11)
которое непосредственно следует из (10).
Рассматриваемая
решеточная
модель
инвариантна
относительно
глобальной
дискретной
Z2-симметрии, которая является аналогом комбинированной PT -симметрии. Обозначим ˆUP T оператор
этого преобразования. Тогда преобразованные динамические переменные выражаются через исходные
переменные следующим образом:
ˆU−1
P T ΨV ˆUP T = UP T

Ψ†
V
t
,
ˆU−1
P T Ψ†
V ˆUP T = −(ΨV)t U −1
P T ,
UP T = iγ1γ3
ˆU−1
P T ea
V1V2 ˆUP T = −ea
V1V2,
ˆU−1
P T ωab
V1V2 ˆUP T = ωab
V1V2.
(12)
Здесь верхний индекс “t” обозначает транспонирование дираковских матриц и спиноров. Имеем:
U −1
P T γaUP T = (γa)t,
U −1
P T σabUP T = −(σab)t.
(13)
Из (12) и (13) следует что
U −1
P T ΩV1V2UP T = (ΩV2V1)t ,
(14)
ˆU−1
P T Θa
V1V2 ˆUP T = −Θa
V1V2.
(15)
Перейдем к длинноволновому пределу, т.е. к пределу медленно изменяющихся при движении вдоль
решетки полей. В этом пределе действие (3) трансформируется в хорошо известное континуальное действие гравитации в форме Палатини и дираковского
поля, минимально связанного с гравитацией, плюс
вклад космологической постоянной. Этот предельный переход имеет смысл вместе с переходом к сигнатуре Минковского. В результате компактная калибровочная группа Spin(4) преобразуется в некомпактную группу Spin(3, 1). Далее в этом разделе все
решеточные переменные в случае Евклидовой сигнатуры снабжены штрихом. Для полевых переменных
в случае сигнатуры Минковского используются старые обозначения.
Для указанной трансформации действия необходимы следующие деформации контуров интегрирования в интеграле (9):
ω′4α
V1V2 = iω0α
V1V2,
ω′αβ
V1V2 = −ωαβ
V1V2,
e′4
V1V2 = e0
V1V2,
e′α
V1V2 = ieα
V1V2.
(16)
Письма в ЖЭТФ
том 120
вып. 7 – 8
2024

С. Н. Вергелес
Переменные ωab
Wij, ea
Wij в сигнатуре Минковского являются вещественными, и их индексы принимают
значения
a, b . . . = 0, 1, 2, 3,
α, β, . . . = 1, 2, 3.
(17)
В ортонормированном базисе (ОНБ) метрический
тензор ηab = diag(1, −1, −1, −1). Дираковские матрицы преобразуются как
γ′4 = γ0,
γ′α = iγα,
γ′5 = γ5 = iγ0γ1γ2γ3.
(18)
Таким
образом,
для
спиновых
матриц
σab
=
= (1/4)[γa, γb] имеем:
σ′4α = iσ0α,
σ′αβ = −σαβ.
(19)
При помощи (16)–(19) находим:
ω′V1V2 = 1
2ωab
V1V2 σab ≡ωV1V2,
ˆe′
V1V2 = γaea
V1V2 ≡ˆe cV 1V2,
(20)
Ω′
V1V2 = exp
1
2ω′ab
V1V2σ′ab

= exp
1
2ωab
V1V2σab

≡ΩV1V2 ∈Spin(3, 1).
(21)
При переходе к сигнатуре Минковского дираковские
спиноры преобразуются следующим образом:
Ψ′
V = ΨV,
Ψ′†
V = Ψ†
Vγ0 = ΨV.
(22)
Переход к длинноволновому пределу возможен
для таких конфигураций полей, которые достаточно медленно изменяются при переходах от симплекса к симплексу, т.е. при небольших или значительных
перемещения по решетке. Это правило касается любых решеток. В нашей теории именно на этапе перехода к длинноволновому пределу возникает необходимость введения локальных координат. Локальные
координаты — это маркеры вершин решетки. Рассмотрим некоторый 4D подкомплекс K′ ∈K с тривиальной топологией четырехмерного диска и геометрической реализацией в R4. Таким образом каждая
вершина подкомплекса приобретает координаты xµ,
являющиеся координатами образа вершины в R4:
xµ
V ≡xµ(aV),
µ = (0, 1, 2, 3) = (0, i).
(23)
На этом этапе координаты являются безразмерными.
Пусть s4
W ∈K′, и обозначим все пять вершин этого
4-симплекса как Vi, i = 1, 2, 3, 4 и Vm ̸= Vi. Свойства геометрической реализации таковы, что четыре
бесконечно малых вектора
dxµ
VmVi ≡xµ
Vi −xµ
Vm = −dxµ
ViVm ∈R4,
i = 1, 2, 3, 4
(24)
линейно независимы.
В работе [10] доказано, что в R4 существуют 1формы ωµ(x) и ˆeµ(x) такие, что справедливы равенства
ωµ
1
2 (xVm + xVi)

dxµ
VmVi = ωVmVi,
(25)
ˆeµ
1
2 (xVm + xVi)

dxµ
VmVi = ˆeVmVi.
(26)
Выпишем длинноволновый предел действия (3):
A′
g −→iAg,
Ag = −1
4 l2
P
εabcd
Z
Rab ∧ec ∧ed,
1
2σabRab = 1
2σabRab
µνdxµ ∧dxν
=
∂µων −∂νωµ + [ωµ, ων ]


dxµ ∧dxν,
(27)
A′Ψ −→iAΨ,
AΨ = 1
6εabcd
Z
Θa ∧eb ∧ec ∧ed,
Θa = i
2

ΨγaDµ Ψ −
Dµ Ψ


γaΨ
 
dxµ,
Dµ = (∂µ + ωµ) ,
(28)
A′
Λ0 −→iAΛ0,
AΛ0 = −2Λ0
l2
P
Z
e0 ∧e1 ∧e2 ∧e3.
(29)
Все остальные слагаемые при таком переходе будут содержать дополнительные множители в положительной степени (lP /λ) −→0, и потому они опускаются. Здесь λ – характерная длина волн физической подсистемы. Эта ситуация типична при переходе к длинноволновому пределу в любой решеточной
теории.
Действие
(27)–(29)
является
действием
Гильберта–Эйнштейна,
минимально
связанным
с
дираковским
полем
и
записанным
в
форме
Палатини.
Оно
инвариантно
относительно
диффеоморфизмов. Этот факт не случаен, так как в
(23) сам способ введения координат таков, что уже
на этом этапе видна независимость действия от
произвола введения координат. Мы говорим “почти
произвольно”, так как и диффеоморфизмы — это
не произвольные замены координат, а локально
взаимно однозначные и дифференцируемые нужное
число раз. Важно, что и малые в длинноволновом
пределе слагаемые, пропорциональные положительным степеням величины (lP /λ), также инвариантны
относительно диффеоморфизмов.
Для ясности укажем на тот факт, что на решетке все переменные и константы безразмерны и порядка единицы. В частности, безразмерна константа
Письма в ЖЭТФ
том 120
вып. 7 – 8
2024

Альтернативная идея об источнике барионной асимметрии во Вселенной
485
l′
P ∼1 в (4) и (8), а также дифференциалы dxµ
VmVi в
(24). При переходе к размерностным величинам мы
полагаем
dxµ
VmVi = dxµ/lP ∼1,
(30)
где дифференциал dxµ измеряется в сантиметрах и
lP ∼10−32 см. Из (30) видно, что шаг нерегулярной
решетки имеет размер порядока lP . И при этом все
слагаемые действия безразмерны, но переменные величины и константы приобретают размерность. Например, в слагаемом (29) космологическая постоянная Λ0 ∼l−2
P .
В сигнатуре Минковского PT -симметрия действия определяется формулами (12)–(13), (15) с той
лишь разницей, что в этих формулах следует сделать
замену Ψ† −→Ψ.
Высокотемпературная PT-симметричная и
низкотемпературная
несимметричная
фазы.
Подробное доказательство того факта, что в изучаемой решеточной модели при сверхвысоких температурах реализуется симметричная фаза относительно
PT -преобразований, содержится в работе [10]. Там
же была дана оценка температуры в точке фазового
перехода из симметричной в несимметричную фазу:
Tc ∼ℏc
lP
∼1018 ГэВ
или
Tc ∼1031 K.
(31)
Температуру фазового перехода можно оценить также как энергию дираковского подвала, заключенную
в планковский объем VP ∼l3
P : Tc ∼(ℏc/l4
P)l3
P ∼
∼ℏc/lP. Эта температура по порядку величины совпадает с температурой Великого Объединения.
Здесь приводятся лишь некоторые необходимые
формулы.
Пусть 4D решетка имеет две 3D подрешетки Σ1 и
Σ2, которые образуют ее границу. Для простоты мы
предполагаем, что между Σ1 и Σ2 имеется N < ∞4D
решеточных слоев. По предположению, подрешетки
Σ1 и Σ2 одинаковы, что в принципе дает возможность вычислить статистическую сумму.
Пусть переменные Ψ†
1V и Ψ2V определены на Σ1 и
Σ2 соответственно, и Φξ{. . .} обозначает голоморфную функцию фермионных переменных либо на Σ1,
либо на Σ2. Для простоты предположим, что все коэффициенты в этих функциях вещественны. Примем следующие обозначения: Φ1ξ ≡Φξ{Ψ†
1V}, Φ†
2ξ ≡
≡

Φξ{Ψ†
2V}
†
= Φξ{Ψ2V}. Индекс ξ перечисляет независимые ортонормированные функции из их
полного набора. Функционал
Φ†
2ξ exp(βA)Φ1ξ
(32)
должен быть помещен под интеграл (9) и вычислена сумма по ξ. В интеграле (9) на отождествленных между собою 1-симплексах, принадлежащих Σ1
и Σ2, должны быть отождествлены переменные {Ω}
и {ea}. В (32) параметр β ≡1/T ≪1 является обратной температурой.
Имеет место следующее.
Утверждение. В некоей конечной окрестности
точки β = 0 свободная энергия статистической суммы (9), за исключением слагаемого вида (const · N ·
β−1 ln β), является голоморфной функцией переменной β. Все симметрии действия (3), включая дискретную PT-симметрию, сохранены.
Сформулируем важный вывод из Утверждения.
Поместим под интеграл (9) величину (ср. с (32))
Φ†
2ξΘa
V1V2 exp(βA)Φ1ξ и вычислим лишь интеграл по
дираковским полям и по переменным {e}. В работе [10] было показано, что этот интеграл равен нулю при условии справедливости Утверждения. Этот
результат записывается как ⟨Θa
V1V2⟩Ψ, e = 0, но для
дальнейшего удобнее запись
⟨Θa
V1V2⟩Gauge Fix = 0,

ea
V1V2

Gauge Fix = 0. (33)
Нижний индекс в равенствах (33) указывает на то
что полный интеграл (9) вычисляется при (локально) фиксированной калибровке. В противном случае
любая калибровочно неинвариантная величина автоматически обращалась бы в ноль под знаком интеграла. Второе равенство в (33) получается тем же
путем, что и первое, а также оно является следствием того, что под знаком среднего имеем ⟨ea
V1V2⟩=
= ⟨Θa
V1V2⟩[15, 16]. Последнее равенство находится в
согласии с тем фактом, что независимые величины
ea
V1V2 и Θa
V1V2 трансформируются одинаково под действием всех симметрий (ср. (1) и (7), (10) и (11), (12)
и (15)).
При
понижении
температуры
происходит
фазовый
переход,
суть
которого
–
рождение
пространства-времени.
Это
значит,
что
появляется
ненулевое
среднее

ea
V1V2

Gauge Fix
̸=
0,
возникает
сигнатура
Минковского
и
начинается
фаза инфляции. В этой фазе система принципиально
описывается
действием
(27)–(29).
Теория
гравитации
относится
к
неперенормируемым,
в
которых
квантовые
флуктуации
нарастают
по
степенному закону в сторону коротких волн. Тем
самым квантовые флуктуации быстро убывают в
длинноволновом пределе. Поэтому поле тетрады
ea
µ можно считать “замерзшим” или классическим.
Дираковские квантованные поля флуктуируют на
фоне классического гравитационного поля.
Письма в ЖЭТФ
том 120
вып. 7 – 8
2024

С. Н. Вергелес
Сохраняющийся
оператор
числа
фермионных
частиц определяется формулой
N = 1
3!εabcd
Z
Σ
(ΨγaΨ)eb ∧ec ∧ed.
(34)
Закон сохранения оператора (34) является следствием равенства ∇a⟨ΨγaΨ⟩= 0, которое выводится
непосредственно из функционального интеграла путем малого варьирования переменных Ψ −→eiαΨ,
Ψ −→e−iαΨ, α −→0. Поскольку такие же манипуляции возможны на решетке, то сохранение оператора
(34) является точным законом.
Так как ˆU−1
P T (ΨγaΨ) ˆUP T = ΨγaΨ согласно (12), то
из (34) имеем
ˆU−1
P T N ˆUP T = −N.
(35)
Укажем на фундаментальное отличие подсчета
числа фермионных частиц, принятого здесь и используемого в традиционной квантовой теории поля. В последнем случае под числом частиц подразумевается число реальных частиц минус число
античастиц, т.е. во внимание принимаются лишь
возбуждения над вакуумом. В нашем случае лишь
для состояния |0; False⟩, удовлетворяющего условию
Ψ|0; False⟩= 0 (ложный вакуум на языке традиционной квантовой теории поля), имеем N|0; False⟩= 0.
Такой подсчет числа фермионов не только возможен
в решеточной теории, но и необходим в нашем случае. Для вакуума в традиционной теории поля |0⟩
имеем N|0⟩= N|0⟩, где N есть число всех заполненных одночастичных состояний дираковского подвала. В общем случае значение оператора N будет равно числу всех заполненных состояний одночастичного оператора Дирака.
Из уравнения (35) следует, что в высокотемпературной PT -симметричной фазе имеем
⟨N ⟩= 0.
(36)
Поскольку оператор N сохраняется, то последнее равенство справедливо во всех фазах.
Мы предполагаем, что в высокотемпературной
фазе энтропия S максимальна по переменной N:
∂S/∂N = −βµ = 0.
(37)
Здесь µ обозначает химический потенциал фермичастиц. Заметим, что равенство (37) не означает, что
энтропия находится в своем абсолютном максимуме, поскольку энтропия зависит также от других параметров. Энтропия (растущая со временем) в пространстве де Ситтера представлена в работе [17].
Пусть |A+⟩– некое квантовое состояние системы,
определенное на пространственно подобной гиперповерхности Σ. Введем нормальные координаты xµ с
центром в точке p ∈Σ. В малой окрестности U этой
точки нормальные координаты являются почти декартовыми, значения тетрады и связности близки к
значениям
ea
µ ≈δa
µ,
ωab
µ ≈0.
(38)
Будем считать, что гиперплоскость x0 = 0 является
касательной к гиперповерхности Σ в точке p. Нормальные координаты всегда можно определить таким образом. В окрестности точки p 4-вектор ea
µdxµ
имеет компоненту e0
µdxµ > 0, лишь если dx0 > 0. Заметим, что свойство e0
µdxµ > 0 является инвариантом относительно непрерывных преобразований Лоренца (или калибровочной группы) 4-вектора ea
µdxµ.
Триада eα
i
∼δα
i
также не может быть приведена
к виду (−δα
i ) при помощи непрерывных элементов
группы трехмерных вращений. В окрестности точки p дираковский гамильтониан имеет простой вид
HΨ = −iγ0γα∂α.
Определим состояние |A−⟩как
|A−⟩= ˆUP T |A+⟩.
(39)
Динамические переменные в.ф. |A−⟩определены на
элементах той же решетки, на которой определены
переменные в.ф. |A+⟩, но принимают другие значения. Поскольку в обоих случаях используется одна
решетка и координаты привязаны к узлам решетки,
то и в случае в.ф. |A−⟩удобно использовать те же
нормальные координаты xµ. Тогда вместо (38) имеем ea
µ ≈−δa
µ, ωab
µ ≈0 в окрестности точки p для в.ф.
|A−⟩.
Если N|A+⟩= N+|A+⟩, то согласно (35) и (39)
N|A−⟩≡N−|A−⟩= ˆUP T ( ˆU−1
P T N ˆUP T )|A+⟩=
= −ˆUP T N|A+⟩= −N+|A−⟩.
В PT -несимметричной фазе реализуется в.ф.
| ⟩= |A+⟩+ |B−⟩
(40)
с условиями ⟨A+|A+⟩= ⟨B−|B−⟩= 1. Ограничение
(36) приводит к следующему соотношению:
N−= −1 + ⟨B −|A+⟩
1 + ⟨A + |B−⟩N+.
Если ⟨A + |B−⟩= ⟨B −|A+⟩, то N+ = −N−.
Для ясности нам необходимо описать состояния
|A±⟩при низких температурах в представлении чисел заполнения. Для этого выпишем в окрестности U
Письма в ЖЭТФ
том 120
вып. 7 – 8
2024

Альтернативная идея об источнике барионной асимметрии во Вселенной
487
в нормальных координатах уравнение для собственных в.ф. одночастичного дираковского гамильтониана: HΨψn = ǫnψn. Обозначим ортонормированные
в.ф. ψ(+)
n
для ǫn > 0 и ψ(−)
n
для ǫn < 0. Матрица γ0γ5 переводит эти в.ф. друг в друга, так что
между ψ(+)
n
и ψ(−)
n
имеется взаимно однозначное соответствие. Разложим оператор дираковского поля:
Ψ(x) = P
n(anψ(+)
n
(x) + bnψ(−)
n
(x)), где операторы
{an, bn}, а также их сопряженные, являются фермиевскими операторами со стандартными антикоммутационными свойствами. Основное состояние |0+⟩
определяется условиями
an|0+⟩= 0,
b†
n|0+⟩= 0.
(41)
Рассмотрим трансформацию оператора Ψ под
действием антиунитарного оператора ˆUP T :
ˆU−1
P T Ψ ˆUP T =
X
n

ˆU−1
P T an ˆUP T

UP T
ψ
(+)
n

t
+
+ ˆU−1
P T bn ˆUP T

UP T
ψ
(−)
n

t 
=
=
X
n

ˆU−1
P T an ˆUP T ψ(−)
n
+ ˆU−1
P T bn ˆUP T ψ(+)
n

.
(42)
Здесь было учтено, что UP T

ψ
(±)
n
t
= ψ∓
n . Последнее равенство проверяется непосредственно. Так как
поле (42) имеет те же пространственно-временные
трансформационные свойства, что и поле Ψ, то следует сделать вывод:
ˆU−1
P T an ˆUP T = bn,
ˆU−1
P T bn ˆUP T = an,
ˆU−1
P T a†
n ˆUP T = b†
n,
ˆU−1
P T b†
n ˆUP T = a†
n.
(43)
Вторая строка получается аналогично. При помощи
(41), (43) и определения |0−⟩= ˆUP T |0+⟩, находим:
a†
n|0−⟩= ˆUP T b†
n|0+⟩= 0,
bn|0−⟩= ˆUP T an|0+⟩= 0.
(44)
Допуская вольность речи, можно сказать, что состояние |0+⟩является дираковским вакуумом, а состояние |0−⟩— антидираковским. Однако энергии этих
состояний одинаковы и отрицательны (здесь энергии
дираковских морей не вычеркнуты). Кроме того, для
любого локального оператора ˆO или суммы таковых
(например, гамильтониана) имеем
⟨0 + | ˆO|0−⟩= 0,
(45)
поскольку
a†
nan|0+⟩= 0,
a†
nan|0−⟩= |0−⟩,
b†
nbn|0+⟩= |0+⟩,
b†
nbn|0−⟩= 0.
(46)
Возникновение
барионной
асимметрии.
Пусть в традиционной квантовой теории поля в
пространстве Минковского вакуум вырожден, т.е.
имеется несколько вакуумов |v⟩с различными значениями полей. Тогда в случае v ̸= v′ имеет место
утверждение (ср. с (45)): ⟨v| ˆO|v′⟩= 0, доказательство которого основано на факте бесконечности
пространства [18–20]. В нашей теории равенство
(45) возможно также лишь на бесконечной решетке,
так как лишь на бесконечных решетках возможен
фазовый переход и качественное разделение состояний на состояния вида |±⟩. Таким образом, изучать
следует физику над одним из вакуумов |v⟩, но не
над их суперпозицией.
Изучаемая здесь
общая картина
качественно
сложнее по причине динамичности. В результате
фазового перехода из PT -симметричной в несимметричную фазу в.ф. системы приобретает вид (40).
Действительно, в интеграле (9) интегрирование по
ea
V1V2 идет в пределах (|eV1V2| < 1), а дираковские
переменные взаимно заменяемы согласно (12). Поскольку появляется ненулевой параметр порядка ea
µ
(ea
µ ∼δa
µ в состоянии |A+⟩и ea
µ ∼−δa
µ в состоянии
|B−⟩), то появляется время dt = e0
µdxµ. В этих состояниях время течет разнонаправленно. В течение
первоначального кванта времени tP имеет место взаимодействие между указанными состояниями, так
что число фермионов N+ = −N−может измениться.
Но по прошествии времени tP любое взаимодействие
между состояниями |A+⟩и |B−⟩прекращается, и
накопившееся значение N+ сохраняется (ср. с примером из Введения). Это значение N+ сохраняется,
не являясь, вообще говоря, равновесным значением
N (0)
+
при любой температуре и нулевом значении
химического потенциала µ. Этот эффект здесь мы
называем явлением барионной асимметрии. Заметим, что в состоянии |0+⟩(41) реализуется N (0)
+
при
нулевой температуре.
Приведем простейшую иллюстрацию к определению числа N (0)
+
на примере идеального фермигаза, состоящего из двух степеней свободы с энергиями ε = ±ǫ и нулевым химическим потенциалом. Равновесное число частиц на уровне ε равно
n(ε) = (eβε + 1)−1. Полное число частиц N (0) =
= n(−ǫ) + n(ǫ) = 1 при любой температуре. Иными
словами, число возбуждений (электронов) n(ǫ) равно числу дырок (позитронов) 1 −n(−ǫ). В случае
β →0 имеем n(−ǫ) →(1/2 + 0), n(ǫ) →(1/2 −0),
или < ε >→0. N (0) является аналогом N (0)
+ .
Нашей целью является оценка, хотя бы качественная, величины δN+ ≡N+ −N (0)
+ . Величина
δN+ ̸= 0 может возникнуть в результате термодинаПисьма в ЖЭТФ
том 120
вып. 7 – 8
2024