Известия Российской академии наук. Серия физическая, 2024, № 7

ИЗВЕСТИЯ 
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК 
СЕРИЯ  
ФИЗИЧЕСКАЯ
Том 88         № 7         Июль         2024
Журнал основан в сентябре 1936 г. 
Выходит 12 раз в год  
ISSN 0367-6765
Журнал издается под руководством Отделения физических наук РАН
Главный редактор
чл.-корр. РАН Д.Р. Хохлов
Редакционная коллегия:
докт. физ.-мат. наук В.В. Воронов (зам. главного редактора)  
чл.-корр. РАН А.В. Наумов (зам. главного редактора)
Редакционный совет:
докт. физ.-мат. наук, проф. Н.С. Зеленская, 
чл.-корр. РАН А.А. Калачев,
академик НАНБ, иностр. чл. РАН С.Я. Килин,  
иностр. чл. РАН, Prof. Dr. G. Leuchs,
чл.-корр. РАН М.В. Либанов, Prof. Dr. T. Plakhotnik,  
Prof. Dr. A. Rebane, академик РАН А.С. Сигов,
докт. физ.-мат. наук Е.В. Хайдуков
Заведующий редакцией 
канд. физ.-мат. наук К.Р. Каримуллин
Адрес: 117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17Б  
Телефон: +7(499)658-0102
izvphys@gmail.com
 www.izv-fiz.ru
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Известия РАН. Серия физическая”,  
     (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 88, номер 7, 2024
Люминесценция и лазерная физика
Нелокальные эффекты в методе интегральных уравнений теории жидкостей
Ю.В. Аграфонов, И.С. Петрушин
1006
Нелинейное возбуждение люминесценции широкозонных кристаллов фемтосекундным  
лазерным излучением
В.И. Барышников, О.В. Горева, Т.А. Колесникова, О.Л. Никонович, Ю.А. Мурзина
1011
О влиянии собственных дефектов на структурные и оптические свойства боросиликатных  
стекол, содержащих редкоземельные ионы
Е.В. Мальчукова, В.С. Левицкий, Н.Г. Тюрнина, З.Г. Тюрнина
1016
Пределы лазерного охлаждения легких щелочных металлов в полихроматическом световом поле
Р.Я. Ильенков, О.Н. Прудников, А.В. Тайченачев, В.И. Юдин
1025
Кинетика и траектории интенсивности люминесценции одиночных центров окраски  
в кристаллах фторида натрия
Е.А. Протасова, А.Л. Ракевич, Е.Ф. Мартынович
1033
Новые центры окраски коротковолнового диапазона во фторидах натрия и лития
Н.Т. Максимова, Д.Д. Мирошник, А.И. Евдокимова
1039
Спектрально-люминесцентные свойства кристаллов щелочноземельных фторидов, 
имплантированных ионами серебра
В.Л. Паперный, А.А. Черных, А.С. Ищенко, С.В. Мурзин, А.С. Мясникова, Р.Ю. Шендрик, 
Е.Ф. Мартынович, В.П. Дресвянский
1045
Сравнение эффективности генерации второй гармоники в алюмо- и германосиликатных  
стеклах при объемном оптическом полинге
Л.И. Вострикова, И.А. Карташев
1050
Спиновая физика, спиновая химия и спиновые технологии
Экспериментальное исследование эффекта близости в тонкопленочных гетероструктурах 
с варьируемой толщиной сверхпроводящего слоя свинца
А.А. Камашев, А.А. Валидов, Д.А. Арбузов, Н.Н. Гарифьянов, И.А. Гарифуллин
1059
Исследование температурно-индуцированных одноосных деформаций в планарных 
ферромагнитных микрочастицах методами ферромагнитного резонанса и зондовой микроскопии
Н.И. Нургазизов, Д.А. Бизяев, А.П. Чукланов, А.А. Бухараев, Л.В. Базан, В.Я. Шур,  
А.Р. Ахматханов
1065
Синтез, магнитные свойства и моделирование процесса перемагничивания искусственного 
антиферромагнетика на базе L10-PdFe
М.В. Пасынков, И.В. Янилкин, А.И. Гумаров, А.В. Петров, Л.Р. Тагиров, Р.В. Юсупов
1072
Разработка оборудования и методик магнитно-резонансной томографии для исследований 
биологических и сельскохозяйственных объектов
Я.В. Фаттахов, В.Л. Одиванов, А.А. Баязитов, А.Р. Фахрутдинов, В.А. Шагалов
1077
Ферромагнитный резонанс и спиновый эффект Холла в бислое Fe3Al/Pt
А.Х. Кадикова, Б.Ф. Габбасов, И.В. Янилкин, А.И. Гумаров, Д.Г. Зверев, А.Г. Киямов,  
Л.Р. Тагиров, Р.В. Юсупов
1083

Релаксация многоквантовых когерентностей в спиновых парах 1H гипса,  
связанных дипольным взаимодействием
Э.Б. Фельдман, Е.И. Кузнецова, А.В. Федорова, К.В. Паничева, С.Г. Васильев, А.И. Зенчук
1089
Модификация поверхности кремния мощными световыми импульсами
Б.Ф. Фаррахов, Я.В. Фаттахов, А.Л. Степанов
1099
Кристаллическая структура и спектры ЭПР Mn2.25Co0.75BO5
Р.М. Еремина, Е.М. Мошкина, И.В. Яцык, В.А. Шустов
1104
Сверхпроводящие свойства гетероструктуры Co1/Cu/Co2/Cu/Pb на пьезоэлектрической  
подложке PMN-PT
А.А. Камашев, А.А. Валидов, С.А. Большаков, Н.Н. Гарифьянов, И.А. Гарифуллин
1111
Особенности температурной зависимости спектра спиновых волн в тонкой пленке Pd-Fe 
градиентного состава
И.В. Янилкин, А.И. Гумаров, Б.Ф. Габбасов, Р.В. Юсупов, Л.Р. Тагиров
1116
Синтез и магнитные свойства Fe1.1Ga0.9O3, измеренные методом электронного спинового резонанса
И.В. Яцык, Р.М. Еремина, Е.М. Мошкина, Р.Г. Батулин, А.В. Шестаков
1122
Намагничивание системы высокоспиновых ионов в нулевом магнитном поле  
СВЧ-импульсами при конечных температурах
М.Р. Арифуллин, В.Л. Бердинский
1130
Влияние заместителя в лиганде и противоиона на свойства гептаядерного разновалентного 
комплекса железа
E.E. Батуева, A.Р. Шарипова, E.Н. Фролова, Л.И. Савостина, Л.В. Базан, M.A. Черосов, 
Р.Г. Батулин, O.A. Туранова, A.Н. Туранов
1135
Вязкое трение в коаксиальном слое магнитной жидкости при равномерном  
поступательном движении стенок
А.С. Иванов, М.А. Косков, С.А. Сомов
1141
Особенности поведения сверхпроводящего спинового клапана Fe1/Cu/Fe2/Cu/Pb 
на пьезоэлектрической подложке
А.А. Камашев, А.А. Валидов, Н.Н. Гарифьянов, С.А. Большаков, Р.Ф. Мамин, И.А. Гарифуллин
1149
Сравнительное исследование структуры и электромагнитных характеристик  
манганитов, допированных парами катионов (Fe, Zn), (Fe, Co), (Fe, Mg)
А.Г. Баделин, В.К. Карпасюк, С.Х. Эстемирова
1156

CONTENTS
Vol. 88, No. 7, 2024
Luminescence and Laser Physics
Nonlocal effects in the method of integral equations of the theory of liquids
Y.V. Agrafonov, I.S. Petrushin
1006
Nonlinear excitation of luminescence of wide-gap crystals by femtosecond laser emission
V.I. Baryshnikov, O.V. Goreva, T.A. Kolesnikova, O.L. Nikonovich, Yu.A. Murzina
1011
About the precursors defects influence on structural and optical properties of borosilicate  
glass containing rare-earth ions
E.V. Malchukova, V.S. Levitskiy, N.G. Tyurnina, Z.G. Tyurnina
1016
Limits of laser cooling of light alkaline metals in polychromatic light field
R. Ya. Ilenkov, O.N. Prudnikov, A.V. Taichenachev, V.I. Yudin
1025
Kinetics and quantum trajectories of luminescence intensity of single-color centers in sodium  
fluoride crystals
E.A. Protasova, A.L. Rakevich, E.F. Martynovich
1033
New color centers in short-wave range in sodium and lithium fluorides
N.T. Maksimova, D.D. Miroshnik, A.I. Evdokimova
1039
Spectral luminescent properties of alkaline earth fluoride crystals implanted with silver ions
V.L. Paperny, A.A. Chernykh, A.S. Ischenko, S.V. Murzin, A.S. Myasnikova, R. Yu. Shendrik, 
E.F. Martynovich, V.P. Dresvyanskiy
1045
Comparison of second harmonic generation efficiency in alumo- and germanosilicate glasses  
at volumetric optical poling
L.I. Vostrikova, I.A. Kartashev
1050
Spin physics, spin chemistry and spin technologies
Experimental study of the proximity effect in thin-film heterostructures with varying thickness  
of the superconducting lead layer
А.А. Kаmаshev, A.A. Validov, A.D. Arbuzov, N.N. Garif’yanov, I.А. Gаrifullin
1059
The study of temperature-induced uniaxial deformations in planar ferromagnetic microparticles  
by ferromagnetic resonance and probe microscopy
N.I. Nurgazizov, D.A. Bizyaev, A.P. Chuklanov, A.A. Bukharaev, L.V. Bazan, V. Ya. Shur, 
A.R. Akhmatkhanov
1065
Synthesis, magnetic properties, and modelling of remagnetization of an artificial antiferromagnet  
based on L10-PdFe
M.V. Pasynkov, I.V. Yanilkin, A.I. Gumarov, A.V. Petrov, L.R. Tagirov, R.V. Yusupov
1072
Development of MRI equipment and techniques for research of biological and agricultural objects
Ya.V. Fattakhov, V.L. Odivanov, A.A. Bayazitov, A.R. Fakhrutdinov, V.A. Shagalov
1077
Ferromagnetic resonance and the spin Hall effect in the Fe3Al/Pt bilayer
A. Kh. Kadikova, B.F. Gabbasov, I.V. Yanilkin, A.I. Gumarov, D.G. Zverev, A.G. Kiiamov,  
L.R. Tagirov, R.V. Yusupov
1083
Relaxation of multiple-quantum coherences in dipolar coupled 1H spin pairs in gypsum
E.B. Fel’dman, E.I. Kuznetsova, A.V. Fedorova, K.V. Panicheva, S.G. Vasil’ev, A.I. Zenchuk
1089

Modification of the implanted silicon surface by a powerful light pulse
B.F. Farrakhov, Ya.V. Fattakhov, A.L. Stepanov
1099
Crystal structure and EPR spectra of Mn2.25Co0.75BO5
R.M. Eremina, E.M. Moshkina, I.V. Yatsyk, V.A. Shustov
1104
Superconducting properties of Co1/Cu/Co2/Cu/Pb heterostructure on piezoelectric  
substrate PMN-PT
А.А. Kаmаshev, A.A. Validov, S.A. Bol’shakov, N.N. Garif’yanov, I.А. Gаrifullin
1111
Features of the temperature dependence of the spectra of spin waves in a thin Pd-Fe film  
of gradient composition
I.V. Yanilkin, A.I. Gumarov, B.F. Gabbasov, R.V. Yusupov, L.R. Tagirov
1116
Synthesis and magnetic properties of Fe1.1Ga0.9O3 measured by electron spin resonance technique
I. V. Yatsyk, R.M. Eremina, E.M. Moshkina, R.G. Batulin, A.V. Shestakov
1122
Magnetization of a system of high-spin ions in zero magnetic field with microwave pulses  
at finite temperatures
M.R. Arifullin, V.L. Berdinskiy
1130
Influence of substitute in the ligand and counterion on the properties of heptanuclear iron complex
E.E. Batueva, A.R. Sharipova, E.N. Frolova, L.I. Savostina, L.V. Bazan, M.A. Cherosov,  
R.G. Batulin, O.A. Turanova, A.N. Turanov
1135
Viscous friction in a coaxial layer of magnetic fluid under uniform translational motion of walls
A.S. Ivanov, M.A. Koskov, S.A. Somov
1141
Features of the behavior of the superconducting spin valve Fe1/Cu/Fe2/Cu/Pb  
on a piezoelectric substrate
А.А. Kаmаshev, A.A. Validov, N.N. Garif’yanov, S.А. Bolshakov, R.F. Mamin, I.А. Gаrifullin
1149
Comparative study of the structure and electromagnetic characteristics of manganites  
doped with cation pairs (Fe, Zn), (Fe, Co), (Fe, Mg)
A.G. Badelin, V.K. Karpasyuk, S. Kh. Estemirova
1156

Люминесценция 
и лазерная физика
Редактор тематического выпуска
докт. физ.-мат. наук Е. Ф. Мартынович

ИЗВЕСТИЯ РАН. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ, 2024, том 88, № 7,  с. 1006–1010
1006
ВВЕДЕНИЕ
Классические жидкости являются системой сильно взаимодействующих частиц, в которой нет малого 
параметра. Макроскопические свойства такой системы тесно связаны с локальной микроструктурой 
конкретной жидкости. Изучение локальной микроструктуры (ближний порядок) является приоритетной задачей физики жидкостей. Для решения этой 
задачи широко используются методы численного 
эксперимента и интегральных уравнений для частичных функций распределения. Метод интегральных 
уравнений базируется на соотношениях Орнштейна-Цернике (ОЦ), связывающих между собой прямую 
и парную корреляционную функцию [1—5]. Формула для прямой корреляционной функции содержит 
бесконечный функциональный ряд многомерных 
интегралов (неприводимых диаграмм) от парной 
корреляционной функции, что приводит к сложной математической проблеме. В настоящее время 
факторизация таких диаграмм проводится либо их 
заменой простыми аналитическими выражениями 
[1—5], либо разложением в медленно сходящиеся ряды по степеням плотности [6, 7]. Тем самым 
исключается возможность учитывать нелокальные 
эффекты, которые существенны для молекулярных 
систем высокой плотности. В том числе нет уверенности, что такой подход правильно учитывает структурные особенности переохлажденных жидкостей 
при их стекловании [8—10].
Таким образом, вычисление бесконечного ряда 
неприводимых диаграмм остается актуальной задачей.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Статистическая физика термодинамически равновесных жидкостей базируется на цепочке уравнений Боголюбова—Борна—Грина—Кирквуда—Ивона 
для частичных функций распределения [1—5], либо 
эквивалентной ей цепочке уравнений Орнштейна—
Цернике для одночастичной F1 и двухчастичной F12
функций распределения:
                     ω
µ
1
2 12
1
12
12
2
3 13
2
23
2
3
=
( ) +
=
=
+
( )
( )
( )
( )
∫
∫
n F C
d
h
C
n F C
h d
.
(1)
Заданными параметрами в (1) являются потенциальная энергия частицы во внешнем поле Φ(ri), энергия межмолекулярного взаимодействия  r
r
i
j


, 
температура T и численная плотность n, где σ — характерный размер молекулы. Численная плотность 
изменяется в пределах 0 ≤
=
≤≈
n
N
V σ3
1, что соответствует изменению концентрации от идеального газа 
до плотной жидкости. Для систем, межмолекулярное 
взаимодействие в которых задано парными потенциалами, наиболее важными являются одночастичная 
F
F
r
kT
1
1
1
1
1

  


exp(
/
)


 и двухчастичная 
F
F
r r
kT
2
12
1
2
12
12


 



,
exp(
/
)


 функции распределения. Знание этих функций дает возможность 
вычислить структурные и термодинамические характеристики вещества. В свою очередь, в (1) входят парная 
h
r r
F
r r
ij
i
j
ij
i
j


,
,

 

  1 и прямые C
r r
ij
k
i
j
  


,
корреляционные функции. Интегрирование ведется по координатам i-й частицы d i
dri
  
; где n — плотность; 
DOI: 10.31857/S0367676524070012, EDN: PCZIQC
Ключевые слова: метод функций распределения, неприводимая диаграмма, синглетное приближение, 
жидкость
Рассмотрены интегральные уравнения Орнштейна—Цернике для термодинамически равновесных 
жидкостей с учетом неприводимых диаграмм. Для пространственно-однородной жидкости сформулирован алгоритм вычисления первой неприводимой диаграммы. Для жидкостей, граничащих с твердой поверхностью получено уравнение, в неявном виде учитывающем все неприводимые диаграммы.
Поступила в редакцию 19.02.2024
После доработки 18.03.2024
Принята к публикации 29.03.2024
1Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования 
Иркутский государственный университет, Иркутск, Россия
*E-mail: agrafonov@physdep.isu.ru
© 2024 г.    Ю. В. Аграфонов1, *, И. С. Петрушин1
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ В МЕТОДЕ 
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ЖИДКОСТЕЙ
УДК 532.782

НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ В МЕТОДЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ...
1007
ИЗВЕСТИЯ РАН. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ
том 88
№ 7
2024
Gi = exp(–Φi / kT + ωi)—одночастичная функция распределения, описывающая положение частицы в лабораторной системе координат; Φi –потенциальная энергия частицы во внешнем поле; ωi — одночастичный 
термический потенциал; µ—химический потенциал, 
определяемый из условия перехода к пространственно-однородной системе; hij = [exp(–Φij / kT + ωij)—1]—
парная корреляционная функция, связанная с двухчастичной функцией распределения соотношением 
Gij = GiGj,(1 + hij); ωij — двухчастичный термический 
потенциал, учитывающий опосредованное взаимодействие двух частиц через их окружение; C k
ij
( ) —прямые 
корреляционные функции:
                C
h
h
B
ij
ij
ij
ij
ij
ij
1
1
1
2
 
 








,
(2)
                          C
h
B
ij
ij
ij
ij
2
2
 
 




.
(3)
Здесь B
r
ij
ij
1   , B
r
ij
ij
2    — бридж-функционалы 
(бесконечные функциональные ряды неприводимых диаграмм):
      B
r
B
r
ij
ij
ij
ij
1
2
1
3
1
6
 
 
  
  
1
12

, (4)
B
r
ij
ij
2
1
2
    
+
+ 
 +
                  + 
 + 1
2
 …
(5)
Каждая диаграмма является многомерным интегралом. Линии соответствуют парным корреляционным функциям hij(rij). Черные точки означают 
умножение на nGi с интегрированием по соответствующей координате dri
. Светлые точки соответствуют аргументам rij. Таким образом, значения 
бридж-функционалов зависят не только от аргумента 
rij, но и от распределения плотности в окрестности 
точек 
r r
i
j
, . При решении конкретных задач нелокальные бридж-функционалы заменяют локальной функцией B
r
B
h r
ij
ij
1
12
1
12
 
 

 



, B
r
B
h r
ij
ij
2
12
2
12
 
 

 



. 
Логическое обоснование такой замены отсутствует, тем не менее такой подход до сих пор активно 
используется и приводит к приближенным интегральным уравнения для парной корреляционной 
функции h(r12).
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ 
ПРОСТРАНСТВЕННО-ОДНОРОДНЫХ 
СИСТЕМ. ЛОКАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Важное значение имеют пространственно-однородные изотропные среды (объемные жидкости 
в отсутствии внешних полей и вдали от ограничивающих поверхностей). В этом случае F1 = 1, и уравнение для одночастичной функции распределения 
сводится к определению избыточного химического 
потенциала µ. Уравнение (3) определяет парную 
корреляционную функцию h12(r12), зависящую от расстояния между центрами двух частиц r
r
r
12
1
2



. 
При вычислении бридж-функций в этих рядах оставляют слагаемые, которые сводятся к интегралам 
типа свертки.
В результате получается связь между прямой 
и парной корреляционной функцией (замыкание). 
Это сводит соотношение ОЦ к приближенным нелинейным интегральным уравнениям, которые решаются численно. Наиболее известными из них являются 
гиперцепное, Перкус—Йевика, Роджерса—Янга, 
Мартынова—Саркисова [1—5]. Аналитическое решение нелинейных уравнений получено только для 
системы твердых сфер в аппроксимации Перкус—
Йевика [13]. Как правило, для решения нелинейных 
уравнений приходится прибегать к численным методам. Основной вывод по результатам численных 
расчетов сводится к тому, что любое из перечисленных замыканий дает лучшие результаты по сравнению с другими, в зависимости от вида потенциала 
межмолекулярного взаимодействия, температуры 
и плотности [1—5]. Таким образом, на данный момент нет однозначных физических критериев, позволяющих отдать предпочтение какому-либо приближению (замыканию). Оценка погрешности решения 
приближенных нелинейных уравнений проводится 
сравнением с данными численного эксперимента, 
являющимися эталоном точности.
Попытки получить все более точные интегральные 
уравнения [1—5] в рамках замены бридж-функционалами бридж-функциями, так и не привели к каким-либо значимым результатам.
ПРОСТРАНСТВЕННО-ОДНОРОДНЫЕ 
СИСТЕМЫ. НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ
Рассмотрим первую неприводимую диаграмму в (5):
 =
=
(
) =
(
) (
) (
) (
) (
)
∫∫
I
r
dr dr h r
h r
h r
h r
h r
12
12
13
14
13
23
14
24
34


. (6)
Выражая парную корреляционную функцию h(r34) 
через ее фурье-компоненту hχ с помощью обратного 
фурье-преобразования получим
I
r
dr dr h r
h r
h r
h r
d
12
12
13
14
13
23
14
24
0
2
4
2
(
) =
(
) (
) (
) (
)
×
×
∫∫
∫
∞


π
χ
χ
( π
χ
χ
χ
)
sin
.
3
34
34
h
r
r
(7)
При вычислении внутреннего интеграла применим теорему сложения для цилиндрических функций. Ось z декартовой системы координат направляем вдоль вектора r12, проходящего через центры 
частиц 1 и 2:
sin
coscos





r
r
j
r
r
P
34
34
0
13
14
2
1















, (8)

ИЗВЕСТИЯ РАН. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ
том 88
№ 7
2024
1008
АГРАФОНОВ, ПЕТРУШИН
  
P
P
P
m
m
P
m
m







cos
cos
cos
!
!
cos
γ
θ
θ
θ
(
) =
(
)
(
) +
+
−
(
)
+
(
)
=
∑
13
14
1
13
2
(
)
(
) ×
×
−
(
)
P
m
m

cos
cos
,
θ
ϕ
ϕ
14
13
14
       
(9)
где θ13, θ14 и φ13, φ14 — полярные и азимутальные 
углы, задающие ориентацию векторов r13  и r14
соответственно; Pcos 

 — полиномы Лежандра, 
P m
ij

cos

— присоединенные полиномы Лежандра.
При интегрировании по угловым переменным φ13, 
φ14, слагаемые, содержащие присоединенные полиномы Лагранжа, обращаются в нуль, что приводит 
к следующему выражению:
I
r
d
h
I
r
12
12
0
2
3
0
12
2
4
2
2
1
(
) =
+
(
)
(
)


∞
=
∞
∫
∑
π
χ
χ
π
χ
χ
(
)
,
,



 (10)
  I
r
dr h r
h r
j
r
P
ℓ
ℓ
ℓ

12
13
13
23
13
13
,
cos




  

 




.  (11)
При вычислении внутреннего интеграла парную 
корреляционную функцию h(r23) выразим через ее 
фурье-образ, тем самым:
              
I
r
k dk dr h r
kr
kr
j
r
P
ℓ
ℓ

12
0
2
3
13
13
23
23
13
4
2
,
(
)
sin
χ
π
π
χ
(
) =
∫
(
) ×
×
(
)
∞∫
ℓcos
.
θ13
(
)
         
(12)
Применяя теорему сложения для цилиндрических 
функций, аналогично (8) и выполняя интегрирование 
по угловым переменным, получим
   
I
r
k dkh j
kr
r h r
j
r
j
kr
k




12
0
2
12
0 13
2
13
13
13
2
,



 

 










.
    
(13)
Меняя местами порядок интегрирования и выражая фурье-образ hχ с помощью прямого преобразования через парную корреляционную функцию, 
придадим (13) следующий вид:
I
r
r dr h r
j
r
K
r
r



12
0 13
2
13
13
13
12
13
2
,
,




 







, (14)
K
r
r
r r
rdrh r P
r
r
r
r
r
r
r
r


12
13
12 13
12
2
13
2
2
1
1
2
12
13
12
13
,

 
 





2 13
r





. (15)
Таким образом, получаем окончательное выражение для первой неприводимой диаграммы:
I
r
r drh r K
r
r
R dRh R K
12
12
2
0
0
2
12
0
2
2
2
1
(
) =
+
(
)
( )
(
) ×
×
( )
=
∞
∞
∞
∑
∫
∫
π




,
r
R K
r R
12,
,
.
(
)
(
)

(16)
Заметим, что первый член ряда (l = 0) является 
уточнением аппроксимации Мартынова—Саркисова. 
Действительно, в этом случае полином Лежандра 
равен единице и первая неприводимая диаграмма 
принимает вид
            
I
r
r dr h r
K
r
r
R dRh R K
r
R
12
12
0 13
2
13
13
0
12
13
0
2
0
12

 



 

 





,
, 


K
r
R
0
13,
.
       
(17)
Делая предположение, что основной вклад 
в неприводимую диаграмму (6) вносит значение h(r34) = –1 и соответственно в (17) полагая 
K0(r13, R) = –1, получаем аппроксимацию Мартынова—Саркисова [1]:
I
r
12
12
12
2
1
2

  

.                        (18)
Таким образом, (17) является обобщением аппроксимации Мартынова—Саркисова. Естественно, 
для полного вычисления неприводимой диаграммы 
I12(r12) в (16) необходимо учитывать все члены ряда 
по полиномам Лежандра.
ПРОСТРАНСТВЕННОНЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ. 
СИНГЛЕТНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
В случае пространственно-неоднородных систем 
(молекулярная система вблизи твердой поверхности) для вычисления микроструктуры вещества 
и его термодинамических параметров необходимо 
знать обе функции распределения — одночастичную F1 и двухчастичную F12. Функция F1 зависит 
только от одной переменной z1 — удаления частицы 
от поверхности. Однако функция F12 теперь зависит 
от трех переменных: расстояния между центрами частиц r12 и удаления каждой из них от поверхности —
z1 и z2. В синглетном приближении [11] полагают, 
что F12 зависит только от переменной r12 и система 
уравнений (2) и (3) распадаются на два независимых уравнения. Второе уравнение системы решается численно для пространственно-однородной 
системы (граничное условие для F12) и определяет 
парную корреляционную функцию h12(r12). Первое 
уравнение системы в зависимости от замыканий 
между прямой и парной корреляционной функции, 
приводит к нелинейным интегральным уравнениям 
для одночастичной функции распределения F1(z1). 
Обзор численных решений различных синглетных 
уравнений приведен в работе [11]. Отметим, что 
аналитическое решение уравнения для одночастичной функции распределения возможно лишь 
для частных случаев, например для одномерной 
и двумерной задачи [12].
МОДИФИЦИРОВАННОЕ 
СИНГЛЕТНОЕ УРАВНЕНИЕ. 
СУММИРОВАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ 
ДИАГРАММ
В трехмерном случае для молекулярной системы, 
граничащей с твердой поверхностью, аналитическое 

НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ В МЕТОДЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ...
1009
ИЗВЕСТИЯ РАН. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ
том 88
№ 7
2024
решение получить не удается. В подобной ситуации 
возникло предположение, что можно учитывать 
бесконечный ряд неприводимых диаграмм в уравнении ОЦ так, чтобы они взаимно компенсировали друг друга и в результате получалось линейное 
уравнение. Такая идея была реализована в наших 
работах [14—16], в соответствии с которой мы 
полагаем:
G
z
C
r
z z
C
r
S
r
z z
1
2
12
1
12
1
12
12
1 0
12
12
1
12
1
12



 

 


 


 
,
,
,
,
,
, (19)
где S
r
z z
12
1
12
1
12
  

,
,
 учитывает вклад всех неприводимых диаграмм. Однако в работах [14—16] не было 
учтено, что в химическом потенциале µ, входящем 
в уравнения ОЦ, также необходимо выделять неприводимые диаграммы. С учетом этого обстоятельства 
подстановка (19) в уравнения ОЦ с последующим 
интегрированием в цилиндрической системе приводит к уравнениям
e
n
dz
e
r dr C
r
z
z
z
ω
ω
π
1
1
1
2
12
1
2
1
0
2
12
12 12
1 0
12
( )
∞
(
)
∞
(
)
−
(
) −
−
(
) ×
×
(
∫
∫
,
) =
= −
(
)
∞
∞
(
)
∫
∫
2
1
12
12
12
12 12
1 0
12
πn
dz
r dr C
r
z
z
,
,         
(20)
2
1
2
0
2
12
12 12
1
12
1
2
1
2
12
1



n
dz
e
r dr S
r
z z
n
z
z
z




 








 

,
,
dz
r dr S
r
z
e
z
z
12
12
12 12
1
12
1
1
12
1
1
1

 




 

 





. 
(21)
Уравнение (20) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода. Его ядро и правая 
часть зависят только от прямой корреляционной 
функции пространственно-однородной жидкости. 
Алгоритм решения уравнения (20) приведен нами 
в [14—16]. Рассмотрим уравнение (21), которое также 
должно решаться в синглетном приближении, то есть 
S
r
z z
S
r
12
1
12
1
12
12
1
12
 
 

 


,
,
. В результате получается 
уравнение
2
1
2
0
2
12
12 12
1
12
12
1
2
12
1
1
π
π
ω
n
dz
e
r dr S
r
n
dz
z
z
z
z
∞
(
)
∞
( )
∞
∫
∫
∫
−
(
)
(
) −
−
2
1
1
12
12 12
1
12
1
1
1
∞
( )
( )
∫
(
) =
=
( ) −
−
(
)
r dr S
r
z
e
z
ω
ω
.
   
(22)
Неизвестной функцией является сумма всех неприводимых диаграмм — S
r
12
1
12
  
. Дифференцированием по переменной z1, уравнение (22) сводится 
к уравнению Вольтерра первого рода:
2
1
2
1
1
1
1
12
1
12
1
1
1




n
xdx e
S
x
n
xdxS
x
z
z
x
z





 

 






 

  
 







z
e
z
1
1
1
1

,   
(23)
которое может быть решено стандартными методами.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Выполнен анализ интегральных уравнений физики жидкостей для одночастичной и двухчастичной функции распределения, которые описывают 
микроструктуру молекулярной системы. Отмечено, 
что все известные на настоящий момент уравнения 
получены в рамках локального приближения. Однако для молекулярных систем высокой плотности 
необходимо учитывать нелокальные эффекты, вклад 
которых в структурные характеристики жидкостей 
описывается бесконечным рядом неприводимых 
диаграмм в уравнении Орнштейна—Цернике. Нами 
построен алгоритм вычисления первой неприводимой диаграммы в уравнении для парной функции 
распределения макроскопической молекулярной 
системы. Показано, что широко известная аппроксимация Мартынова—Саркисова является частным 
случаем предложенного нами алгоритма.
Получено уравнение, обобщающее известное в литературе синглетное уравнение для одночастичной 
функции распределения граничных слоев жидкостей. 
Показано, что в структура уравнения такова, что 
позволяет записать сумму всех неприводимых диаграмм в виде интегрального уравнения Вольтерра 
первого рода.
Авторы признательны Ю.Д. Фомину и В.Н. Рыжову за беседы, способствовавшие написанию данной публикации.
Исследование проведено при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных 
исследований (проект №18-02-00523а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Саркисов Г.Н. // УФН. 2002. Т. 172. №6. С. 647; 
Sarkisov G.N. // Phys. Usp. 2002. V. 45. No. 6. P. 597.
2.
Martynov G.A. Fundamental theory of liquids: method of distribution functions. Bristol: A. Hilger, 1992. 
P. 470.
3.
Крокстон К. Физика жидкого состояния. Статистическое введение. М.: Мир, 1978. 400 с.
4.
Vompe A.G., Martynov G.A. // J. Chem. Phys. 1997. 
V. 106. No. 14. P. 6095.
5.
Rogers F.J., Young D.A. // Phys. Rev. A. 1984. V. 30. 
No. 2. P. 999.
6.
Kwak S.K., Kofke D.A. // J. Chem. Phys. 2005. V. 122. 
No. 10. Art. No. 104508.
7.
Gerasimenko V.I., Gapyak I.V. // Adv. Math. Phys. 
2018. V. 2018. Art. No. 6252919.
8.
Parisi G., Urbani P., Zamponi F. Theory of Simple 
Glasses. Exact Solutions in Infinite Dimensions. 
Cambridge: Cambridge University Press, 2020. 349 p.
9.
Fomin Y.D., Tsiok E.N., Ryzhov V.N., Brazkin V.V. // 
Russ. J. Phys. Chem. A. 2022. V. 96. No. 7. P. 1381.