Радиотехника и электроника, 2024, № 11

Российская академия наук
РАДИОТЕХНИКА 
И ЭЛЕКТРОНИКА
Том 69    № 11    2024    Ноябрь
Журнал основан в январе 1956 г.
Выходит 12 раз в год
ISSN 0033-8494
Журнал издается под руководством  
Отделения физических наук РАН
Главный редактор
Ю.В. Гуляев
Редакционная коллегия:
В.А. Калошин, В.А. Кашин, В.Е. Любченко,  
С.П. Морев, С.А. Никитов, В.В. Проклов,
А.О. Раевский (отв. секретарь), М.В. Терешонок,
В.А. Черепенин, В.В. Шевченко,
М.С. Ярлыков
Адрес редакции: 125009, Москва, ул. Моховая, 11, корп. 7
Институт радиотехники и электроники РАН,
редакция журнала “Радиотехника и электроника”
Тел. 8-495-6293380
Зав. редакцией И.М. Столярова
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024 
©  Редколлегия журнала “Радиотехника 
и электроника” (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 69, номер 11, 2024
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
Метод дискретных источников для задачи подповерхностного радиозондирования 
сверхширокополосными импульсами двумерных диэлектрических тел 
К. В. Музалевский 
1039
Электродинамические модели намагниченных графеновых дифракционных решеток,  
основанные на решении интегральных уравнений  
для плазмонных анизотропных структур 
А. М. Лерер 
1053
Взаимосвязь энергии, спектра и длительности сверхкороткого  
электромагнитного импульса с его временной формой 
В. Г. Усыченко, Л. Н. Сорокин 
1060
ПРИМЕНЕНИЕ РАДИОТЕХНИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ  
В БИОЛОГИИ И МЕДИЦИНЕ
Использование иттербиевых комплексов порфиринов в тераностике рака 
И. П. Шилов, В. Д. Румянцева, А. С. Горшкова, А. В. Иванов 
1067
НАНОЭЛЕКТРОНИКА
О влиянии кислородной бомбардировки на структурообразование пленок оксида гафния 
В. А. Лузанов  
1076
ЭЛЕКТРОННАЯ И ИОННАЯ ОПТИКА
Параксиальная модель во внешней задаче теории формирования  
интенсивных электронных пучков 
Т. М. Сапронова, В. А. Сыровой 
1079
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРАХ
Диагностика сильноточного нераспыляющего магнетронного разряда в водороде 
А. В. Казиев, Д. В. Колодко, Н. С. Сазонов, М. М. Харьков, А. В. Тумаркин  
1095
НОВЫЕ РАДИОЭЛЕКТРОННЫЕ СИСТЕМЫ И ЭЛЕМЕНТЫ
Особенности дифракции лазерного пучка на периодических  
фазовых решетках с прямоугольной формой рельефа 
В. А. Комоцкий 
1099

Анализ коэффициента шума приемного тракта на основе смесителя  
с управлением по току
А. С. Коротков, Т. Д. Чан 
1110
СТАТИСТИЧЕСКАЯ РАДИОФИЗИКА
Компенсация шума движения морского электронного датчика  
электрического поля
В. Г. Максименко 
1121
ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ
Система Лоренца как нелинейно связанные радиофизические  
RC-фильтры первого порядка
В. И. Пономаренко, М. Д. Прохоров 
1126
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРАХ
Вклад емкостных и индуцированных токов в полные токи  
на металлические электроды и теорема Шокли-Рамо
С. Г. Дмитриев 
1132

РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2024, том 69, № 11, с. 1039–1052
DOI: 10.31857/S0033849424110016, EDN: HOTFGK
Исследован модифицированный метод дискретных источников (МДИ) для решения задачи 
дифракции сверхширокополосного (СШП) электромагнитного импульса на подповерхностном 
диэлектрическом цилиндрическом теле с  произвольной формой поперечного сечения (круговой, 
эллиптической и каплевидной). Диэлектрически-однородные полупространство и подповерхностный 
цилиндр возбуждались из воздушной среды нитевидным импульсным источником стороннего 
электрического тока. Показано, что импульсные поля, рассчитанные МДИ с  заданной точностью 
совпадают с  результатами численных расчетов методом конечных разностей. Установлено, что 
увеличение среднего показателя преломления (вмещающей среды и  заполняющей цилиндр) 
примерно в два раза требует во столько же раз увеличения взаимного числа ДИ и точек коллокации 
для сохранения одинаковой точности решения. В случае монохроматического возбуждения показано, 
что при уменьшении K с 0.99 до 0.2, а также при увеличении частоты тока с 300 до 900 МГц, взаимное 
число ДИ и точек коллокации необходимо увеличить примерно в три раза для сохранения одинаковой 
точности решения.
Ключевые слова: сверхширокополосные электромагнитные импульсы, метод дискретных источников, функция Грина
Поступила в редакцию 29.03.2024 г.
После доработки 14.04.2024 г.
Принята к публикации 25.04.2024 г.
Институт физики им. Л.В. Киренского СО РАН – обособленное подразделение ФИЦ КНЦ СО РАН,
ул. Академгородок, 50, стр. 38, Красноярск, 660036 Российская Федерация
E-mail: rsdkm@ksc.krasn.ru
© 2024 г.   К. В. Музалевский
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ИСТОЧНИКОВ ДЛЯ ЗАДАЧИ 
ПОДПОВЕРХНОСТНОГО РАДИОЗОНДИРОВАНИЯ 
СВЕРХШИРОКОПОЛОСНЫМИ ИМПУЛЬСАМИ ДВУМЕРНЫХ 
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ТЕЛ
УДК 537.87
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА 
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
ВВЕДЕНИЕ
Круг граничных задач электродинамики, решаемых аналитическими методами, ограничен. За последние 50 лет широкое распространение получили численные и численно-аналитические методы, 
одним из представителей которых является метод 
дискретных источников (МДИ) [1]. Разработка 
данного метода восходит к способу устранения особенностей ядер в интегральных уравнениях (ИУ) 
граничных задач электродинамики [2, с. 23–26]. 
Оказалось возможным удовлетворить граничным 
условиям задачи при построении дискретного аналога ИУ, используя линейную комбинацию полей вспомогательных или дискретных источников 
(ДИ), размещаемых на дополнительной поверхности, не совпадающей с физической поверхностью 
тела [3, с. 65–68].
В качестве ДИ наиболее часто выбирают нитевидные источники тока [4–8] для двумерных задач, 
и ортогонально ориентированные диполи [9–13] 
электрического или магнитного типа (в зависимости 
от природы сторонних возбуждающих токов) – для 
трехмерных задач, реже применяются метагармонические функции [4]. В свободном пространстве поля
этих источников описываются либо функциями Ханкеля первого (второго) рода, либо полем точечного 
диполя или в случае слоистых сред соответствующими функциями Грина задачи [1, 4, 13, 14]. Неизвестные комплексные амплитуды ДИ отыскиваются из системы линейных алгебраических уравнений 
(СЛАУ), в большинстве случаев получаемой при поточечном (метод коллокаций) удовлетворении граничным условиям задачи на поверхности тел.
В случае гладких идеально проводящих или импедансных тел ДИ располагают внутри тела на замкнутой дополнительной поверхности, подобной 
поверхности тела [9]. На основе анализа взаимного расположения ДИ, локализации сингулярностей дифрагированного волнового поля, аналитически продолженного вглубь рассеивателя, показано, что при охвате дополнительной поверхностью 

РАДИОТЕХНИКА  И  ЭЛЕКТРОНИКА        том   69       № 11         2024
1040 
МУЗАЛЕВСКИЙ
Общим подходом [27–31] являлось использование преобразования Фурье для построения полей 
во временной области на основе найденных спектральных амплитуд ДИ. Однако в указанных работах практически не изучены вопросы сходимости 
МДИ в зависимости от формы цилиндров и их оптических размеров, геометрии расположения ДИ,  
частоты стороннего источника поля, вариации КДП 
вмещающего полупространства и среды, заполняющей зондируемые тела. В отличие от исследований [27–29, 31], в данной работе рассеивающий 
цилиндр является диэлектрическим и заполнен 
средой с произвольной КДП, а в отличие и от [30],  
поле внутри цилиндра описывается суперпозицией полей ДИ (функция Бесселя нулевого порядка), 
которые расположены на вспомогательной поверхности внутри цилиндра. В отличие от исследований [25, 26], в данной работе диэлектрическое 
цилиндрическое тело с произвольной направляющей возбуждается импульсным источником стороннего тока и располагается в диэлектрическом 
полупространстве.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. СХЕМА 
ПОСТРОЕНИЯ МДИ
1.1. Постановка задачи
В декартовой системе координат ось 0y направлена вертикально вверх по отношению к границе  
y = h, лежащей на плоскости XZ. Граница y = h разделяет два однородных полупространства с относительными КДП:
ε
≤
(y)=⎧
⎨
⎩
ε1 = 1,   у > h,
ε2(ω),   у     h,                       (1)
где ω = 2πf (f – частота электромагнитного поля). 
Рассматриваются среды с относительной магнитной 
проницаемостью μ = 1. В нижнем полупространстве 
(y < h) расположен прямой цилиндр с замкнутой криволинейной направляющей γ, однородно заполненный средой с КДП, равной ε3(ω) (рис. 1). Пространство возбуждается точечным импульсным источником электрического тока с объемной плотностью

 
j
r r t
I
t
0
i
,
,
0
0
(
) =
( )δ 


r
r
ez
0
−
(
)
,
где δ G
G
r
r
−
(
)
0  – дельта-функция Дирака, r (x, y) и r =
0
 
= (x0, y0) – радиус-вектор точки пространства и расположения источника, I0(t) – временная форма амплитуды тока, ez – единичный орт в направлении 
оси 0z. Нитевидный источник стороннего тока расположен в верхнем полупространстве y0 > h. В соответствии с МДИ поле, рассеянное цилиндром, 
будет строиться в виде интерференции полей от N 
вспомогательных ДИ электрического тока

 
j
r r t
I
t
n
n
n
,
,
(
) =
( )δ 


r
r
e
n
z
−
(
)
«достаточного» множества локальных сингулярностей [15–20] существует «псевдорешение» задачи, минимизирующее норму невязки граничного 
условия. Отметим, что за счет размещения ДИ на 
дополнительной поверхности в комплексной плоскости [20] также удается учесть локальные особенности поля (подобный подход аналогичен использованию полей кольцевых токов в вещественном пространстве [4]).
В случае возбуждения диэлектрически однородных тел для описания поля внутри тела требуется 
вторая дополнительная поверхность с размещенными на ней ДИ. В большинстве случаев данная дополнительная поверхность охватывает тело с внешней стороны [7, 8, 21–23] и используются ДИ той же 
природы, что и для описания поля вне рассеивателя 
(с особенностью в точке источника). Вместе с тем 
ранее было указано [4, с. 30], что удобней строить 
систему ДИ для описания поля внутри рассеивателя 
на основе целых функций (с особыми точками на 
бесконечности). Кроме того, опираясь на свойство 
полноты системы из суммы полей электрических 
и магнитных волн [24, с. 191], могут быть построены 
полные системы ДИ [4], располагаемые на любых 
произвольных поверхностях и кривых (необязательно замкнутых и охватывающих все сингулярности 
поля, рассеянного телом). Данные идеи нашли конкретное воплощение в последних работах [25, 26],  
в которых для акустического [25] и электромагнитного (двумерный диэлектрический цилиндр, расположенный в безграничном пространстве) [26] случаев при описании поля внутри цилиндрического 
тела в качестве ДИ (расположенных внутри тела) 
используется функция Бесселя нулевого порядка, 
а в качестве дополнительной поверхности может 
быть использована либо замкнутая направляющая, 
либо криволинейный отрезок.
Несмотря на ранее полученные результаты [27–34],  
все еще слабо изучена проблема применимости 
МДИ для моделирования процессов дифракции 
импульсных волн на телах во временной области, 
в  частности, дифракции сверхширокополосных 
(СШП) электромагнитных импульсных полей на заглубленных телах для приложений подповерхностного радиозондирования. Рассеяние импульсных 
волн изучалось в основном в двумерной постановке задачи на круговых импедансных [27–29], ди- 
электрических [30] и идеально проводящих [30, 31] 
цилиндрах, размещенных в однородном [30] и слоистом [27–29] диэлектрическом полупространстве. 
Сторонними источниками поля выступали нити 
электрического, магнитного тока [27–29, 31] и плоская волна [30]. Вмещающие и заполняющие цилиндр среды представляли собой талые и мерзлые 
почвогрунты [27–29], среды нефтегазового коллектора [31], обладающие частотной дисперсией комплексной диэлектрической проницаемости (КДП), 
а также диэлектрики без потерь [30].

 
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ИСТОЧНИКОВ 
1041
РАДИОТЕХНИКА  И  ЭЛЕКТРОНИКА        том   69       № 11         2024
той же природы, что и 

j0
i. Здесь r =
n
 (xn, yn) и In(t) – 
радиус-вектор точки и временные формы амплитуды тока n-го источника, n = 1,…, N. Необходимо найти временные формы компонент напряженностей электромагнитного поля в  верхнем 
полупространстве.
1.2. Поле нитевидного ДИ в  неоднородной среде
Сначала найдем выражения полей ДИ (функции Грина задачи) для неоднородного пространства с плоской границей раздела y = h. В рассматриваемом случае двумерной задачи (s/sz
 w 0) 
векторы напряженностей электромагнитного поля 
(возбуждаемые нитью тока и рассеянные/дифракционные поля от цилиндра) будут иметь только три 
отличные от нуля составляющие (Ez, Hx, Hy). Электромагнитные поля будем искать в виде спектральных комплексных амплитуд ψ(ω), связанных с процессами во времени ψ(t) преобразованием Фурье
ψ
π
ψ ω
ω
ω
t
i t d
( ) =
( )
−(
)
−∞
∞∫
1
2
exp
,
здесь t – время, i – мнимая единица, преобразование 
между значениями плотности стороннего тока во 
временной и частотной области, также осуществлялось на основе данного выражения. Искомые комплексные амплитуды векторов напряженности электромагнитного поля (

E, 

H) выразим через скалярную 
компоненту электродинамического потенциала электрических токов 
G
A(r , ω) = Az(r , ω)ez [31, 32]:
Ez = iωμ0 Az, Hx 
yAz
= ∂
∂
, H
xA
y
z
= −∂
∂
,        (2)
где μ0 = 8.854×10–12 Ом×с/м – магнитная проницаемость вакуума. Скалярная компонента 
H1 = 1
H2 (Z)
H3(Z)
h
0
jz,0(x0, y0, Z)
jz, n(xn, yn, Z)
Ja
J
Q(x, y)
y
x
i
Рис. 1. Геометрия задачи.
потенциала Az(r , ω) должна удовлетворять волновым уравнениям Гельмгольца [35, 36]:
∇
(
) +
( )
(
) = −
( )
−
(
)
x y
z
z
n
n
A
r
k
A
r
I
r
r
,
,
,
,
,
,
2
1 2
2
0
0




ω
ω
ω
ω
, (3)
(k1,2(ω) = k0 
ε1,2(ω) – волновое число верхнего 
и нижнего полупространства, k0 = ω/c – волновое 
число свободного пространства), условиям сшивания тангенциальных компонент поля на границе 
раздела сред y = h:
E
y
h
E
y
h
z
z
=
−
(
) =
=
+
(
)
0
0 , 
H
y
h
H
y
h
x
x
=
−
(
) =
=
+
(
)
0
0 ,             (4)
и условиям излучения Зоммерфельда
lim
r
r
u
r
ik u
→∞
∂
∂
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
0
0,
где u – произвольная компонента поля (в свободном пространстве амплитуда поля должна стремиться к нулю при удалении на бесконечность от 
источника). Пользуясь разложением потенциала 
Az(r , ω) по плоским волнам
Az(r , ω) = π
ψ
−∞
∞∫
1
2
dk a k
y exp ik x
x
x
x
,
(
)
(
)       (5)
(a(kx, y, ω) – неизвестные спектральные амплитуды плоских волн с волновым числом kx), условиями (4) и условиями в точке источника [37, с. 271]
y
∂
∂a(kx, y, ω)|y = y0,n + 0  – y
∂
∂a(kx, y, ω)|y = y0,n – 0 =
= I0,n(ω)exp(–ikxx0,n),
a(kx, y = y0,n – 0, ω) = a(kx, y = y0,n + 0, ω),   (6)
приходим к следующим выражениям для электродинамических потенциалов:
1) в случае стороннего источника тока, расположенного в верхнем полупространстве y0 > h, имеем
Az
0 r r0
 
,  ,
(
)
ω  
I
F
r r
0
0
0
 
,  ,
;
, ,
=
( )
(
)
> <
ω
ω
F
r r
0
0
 
,  ,
, , (
)
> <
ω
 
i H0
1
4
=
( )(
) +
k R
1 0
−
(
) +
(
dk
w
R
ik
x
x
x
h
x
1
12
0
,
exp
π
∞∫
1
−∞
4
+ iw1(y + y0 – 2h)), y
p h;
F0,< r r0
 
,  ,
(
)
ω  = 
1
12
0
,
exp
−
(
) +
dk
w T
ik
x
x
x
h
x
(
π
∞∫
i
−∞
4
1
0
2
+
−
(
) +
−
iw
y
h
iw
h
y
(
))
≤
, y
h;            (7)
2) для ДИ, расположенных в нижнем полупространстве yn < h, –
 
Az
0(r , rn, ω) = In(ω)Fn,>,<(r , rn, ω);

РАДИОТЕХНИКА  И  ЭЛЕКТРОНИКА        том   69       № 11         2024
1042 
МУЗАЛЕВСКИЙ
Fn,>(r , 
rn, ω) = 
2
dk
w
x
π
∞∫
i
−∞
4
Th,21exp(ikx(x – xn) +
+ iw1(y – h) + iw2(h – yn)), y
w h;
Fn,<(r , 
rn, ω) = Fn,<
i (r , 
rn, ω) + Fn,<
r (r , 
rn, ω), 
Fn,<
i (r , 
rn, ω) = i H0
1
4
( )(k2,Rn),
 Fn,<
r (r , 
rn, ω) = 
dk
w
x
2
π
∞∫
1
−∞
4
Rh,21exp(ikx(x – xn) +
+ iw2(2h – y – yn)), y
≤ h,                   
(8)
Здесь R
x
x
y
y
n
n
n
0
0
2
0
2
,
,
,
=
−
(
) +
−
(
) ; H0
1( ) ( )
ω  – 
функция Ханкеля первого рода нулевого порядка, 
Rh,12 = (w1 – w2)/(w1 + w2), Rh,21 = –Rh,12 и Th,12 = 
= 2w2/(w1 + w2), Th,21 =2w1/(w1 + w2) – коэффициенты отражения и прохождения плоской волны на 
границе y = h; w1,2 = 
k
kx
1 2
2
2
, −
 – поперечное волновое число в среде 1 и 2. Полученные решения 
удовлетворяют условию излучения на бесконечности при Im w1,2 > 0.
1.3. Нахождение неизвестных  
спектральных амплитуд ДИ  
и  поля в  верхнем полупространстве
Далее при расчете электромагнитного поля, 
рассеянного диэлектрическим цилиндром, разместим две группы ДИ (в одних и тех же точках) внутри цилиндра на дополнительной направляющей 
γa = Kγ, (К < 1 – коэффициент подобия). В соответствии с классическим подходом МДИ электродинамический потенциал в нижнем полупространстве y ≤ h вне цилиндра (в области r  w  r γ, где  r γ –  
радиус-вектор точки ‰ γ) будет представляться 
в виде суперпозиции (8):
A
r
I
F
z
n
N
n
n
1
1
G,
,
ω
ω
(
) =
( )
=
<
∑
( r , rn, ω).        (9а)
Электродинамический потенциал внутри цилиндра  r  ≤  r γ будет представляться [25, 26] в виде 
суперпозиции функции Бесселя нулевого порядка 
J0(k3Rn):
Az
2 r
I
n
N
1
G,ω
(
) =
=∑Pn(ω)J0(k3Rn).                  (9б)
Комплексные амплитуды ДИ In(ω), Pn(ω) на каждой 
из частот в спектре стороннего тока определим из 
СЛАУ, полученной при удовлетворении граничным 
условиям тангенциальных составляющих спектральных амплитуд напряженностей электрического Е и магнитного Н поля соответственно
ν
ν
γ
γ
G
G
G
G
G
G
×
×
=
−
+
E
E
r
r
0
0,
 
ν
ν
γ
γ
G
G
G
G
G
G
×
×
=
−
+
H
H
r
r
0
0
на направляющей цилиндра γ:
Az
0 r r0
 
,  ,
(
)
ω  + Az
2 rG,ω
(
)|rG
γ − 0 = [Az
0 r r0
 
,  ,
(
)
ω  + A
r
z
1 G,ω
(
)]|rG
γ + 0
∂
∂ν
G [Az
0 r r0
 
,  ,
(
)
ω  + Az
2 rG,ω
(
)]|rG
γ − 0 = 
= ∂
∂ν
G [Az
0 r r0
 
,  ,
(
)
ω  + A
r
z
1 G,ω
(
)]|rG
γ + 0,              (10)
где ν
G
 – внешняя нормаль к γ (направлена в среду ε2),
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
+
ν
ν
ν
G
x
y
x
y
– производная по направлению, записанная в декартовой системе координат.
Удовлетворяя граничным условиям (10) в M 
точках коллокации на направляющей цилиндра, 
была получена СЛАУ (M w N):
A
I
D
P
b
A
I
D
P
b
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
( ) ( ) +
( ) ( ) = ( )
( ) ( ) +
( ) ( ) =
( )
⎧
⎨⎪
⎩⎪
,
.



          (11)
Элементы матриц СЛАУ имеют следующий вид:  
где R
x
x
y
y
mn
m
n
m
n
=
−
(
) +
−
(
)
2
2 , «.» – обозначает производную по полному аргументу функции, m = 1,…, M.
Спектральные компоненты полного электродинамического потенциала (прямая волна от источника тока, отраженная волна от границы раздела, 
b
F
r
r
b
F
r
r
i
k
w
m
m
m
m
x
x
y
ω
ω
ω
ω
ν
( ) = −
(
)
( ) = −
(
)
−
<
<
0
0
0
0
,
,
, ,
,
, ,


 










2
0
3
3 0
3
4
4
{
}
( ) = −
(
)
( ) = −
(
)
−
(
,
,
D
i J
k R
D
i k J
k R
x
x
mn
nm
mn
mn
x
m
n
ω
ω
ν




) +
−
(
)
( ) =
(
)
−
(
) +
<
ν
ω
ω
ν
ν
x
m
n
mn
mn
n
i
m
n
x
m
n
x
m
y
y
R
A
F
r
r
k
x
x
y
,
, ,
,
 




2
−
(
) +
(
)
−
{
}
( ) =
<
<
y
R
F
r
r
i
k
w
A
F
r
n
mn
n
r
m
n
x
x
y
mn
n
m
,
,
, ,
,
,












ω
ν
ω
2
rn,
,
ω
(
)
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
                  (12)

 
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ИСТОЧНИКОВ 
1043
РАДИОТЕХНИКА  И  ЭЛЕКТРОНИКА        том   69       № 11         2024
рассеянная волна цилиндром и прошедшая в верхнее полупространство) вычислялись на основе 
выражения
A
r
I
F
r r
z
G
G G
,
, ,
,
ω
ω
ω
(
) =
( )
(
) +
>
0
0
0

I
F
r r
n
N
n
n
n
G G
, ,
,
ω
ω
+
( )
(
)
=
>
∑
1


.                  (13)
Подставляя (13) в (2) и далее пользуясь преобразованием Фурье, вычисляли временную форму импульса для соответствующих компонент электромагнитного поля.
2. ДЕТАЛИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СХЕМЫ 
И ТЕСТИРОВАНИЯ МДИ
2.1. Выбор временной формы источника тока, 
подповерхностных тел зондирования и  методов 
тестирования МДИ
В качестве подповерхностных тел зондирования выберем цилиндры с эллиптической, круговой и каплевидной формой направляющих (рис. 2). 
Уравнения направляющих цилиндров и внешних 
нормалей к ним приведены в табл. 1.
ɚ
ɛ
ra
ra,Uƍa
rb,Uƍb
rb
Ja
Ja
J
J
Uƍb
Uƍa
Q
Q
Рис. 2. Формы направляющих цилиндрических подповерхностных тел зондирования: а – цилиндр, б – капля.
Таблица 1. Основные уравнения для подповерхностных тел зондирования эллиптической и каплевидной форм
Уравнения
Эллипс [38]
Каплевидная [39, с. 148–150]
Направляющей*
x = ra cos t, 
y = rb sin t
Y =
+
−
=
x
r
x
r
a
b
2
2
2
2
1
0
x = ra (1 + sin t), 
y = rb cos t (1 + sin t)
Y
=
−
−
(
) =
r
y
r x
r
x
a
b
a
4
2
2 3 2
0
Нормалей 
vx
b
b
a
r
t
r
t
r
t
=
+
cos
2
2
2
2
cos
sin
vy
a
b
a
r
t
r
t
r
t
=
+
sin
2
2
2
2
cos
sin
vx
b
a
a
b
a
r x
x
r
r y
r x
x
r
=
−
(
)
+
−
(
)
2
2
3
2
2
3
2
2
8
2
4
4
2
vy
a
a
b
a
r
y
r y
r x
x
r
=
+
−
(
)
2
2
2
3
2
8
2
4
4
2
Длины 
lγ x
π(ra + rb)(1 + δ2/4)
δ = (ra – rb)/(ra + rb)
lγ = 
0
2
2
2
∫
+
dt
x
y
t
t


Центра
xc = yc = 0
x
xdt
x
y
l
c
t
t
=
+
−π
π
γ
∫
2
2
2


, yc = 0
*Уравнения даны в параметрическом и каноническом виде. Здесь переменная t ‰
[0, 2π]. Внешняя нормаль к направляющей рассчитывалась как нормаль 

= grad
grad 
ν
ζ
ζ  к линии уровня Y с использованием канонического представления, «.
t» – 
обозначена производная по t.
Дискретные источники были расположены равномерно на дополнительной направляющей γa, подобной направляющей цилиндра γ: raa= K ra, rab= K rb. 
В случае каплевидной образующей центры (xc, yc) 
дополнительной γa и основной γ направляющих 
выравнивались (см. рис. 2 и табл. 1). В данной работе ra – полуось цилиндра с каплевидной направляющей была ориентирована вдоль оси 0y, в связи 
с этим к формулам, приведенным в табл. 1, применялась операция вращения

РАДИОТЕХНИКА  И  ЭЛЕКТРОНИКА        том   69       № 11         2024
1044 
МУЗАЛЕВСКИЙ
xa = x cos φ0 + y sin φ0, ya
= – x sin φ0+ y cos φ0,
где xa, ya – новые координаты, φ0 w –90n.
Предполагая, что должно выполняться условие 
одинаковой плотности покрытия направляющих 
γ и γa точками коллокации и ДИ, а также исходя 
из прямо пропорциональной связи между длинами вспомогательной образующей lγa и образующей 
цилиндра lγ (см. табл. 1) с величиной коэффициента подобия K, далее зададим N w KM. В результате 
СЛАУ (11) является переопределенной, псевдорешение которой находили методом преобразований вращения [40, 41]. В частотной области относительную погрешность решения задачи будем 
оценивать по точности выполнения граничных условий на направляющей цилиндра γ с использованием нормы невязки:
Φ =
−
( )
(
) +
⎡⎣
=
<
∑
1
1
1
0
0
0
Q
I
F
r r
q
Q
q
ω
ω
,
, ,
G G

+
1
Az
s (r γq, ω)⎤⎦ /
2
Az
s (r γq, ω),                 (14)
где r γq – радиус-вектор для точек q = 1,…, Q на направляющей цилиндра, которые не совпадают с местами размещения точек коллокации. Для всех оценок, приведенных ниже, Q полагалось равным 50. 
Во временной области рассчитанные МДИ временные формы полей будут сопоставляться с соответствующими значениями, вычисленными на основе 
метода сеток/конечных разностей (МКР) [42, 43]. 
Формулы для нахождения полей (Ez, Hx, Hy) МКР 
по итерационной схеме имеют вид
E
l p
E
l p
z
k
z
k
+ (
) =
(
)
−
⎛
⎝⎜
1
1
,
,
l p Z0Δh
l p
(     )
(
)
⎞
⎠⎟−
,
,
σ
ε
– Z0Δh
l p
(
)
,
ε
+ jk(l, p) +
Z
l p
H
l
p
y
k
0
2ε
1
,
,
(
)
+
(
) −
{
H
l
p
H
l p
H
l p
y
k
x
k
x
k
1
1
1
,
,
,
−
−
(
) −
+
(
) +
−
(
)},
 
H
l p
H
l p
Z
E
l p
E
l p
x
k
x
k
z
k
z
k
+
−
(
) =
(
) −
+
(
) −
−
(
)
{
}
1
1
0
1
2
1
1
,
,
,
,
,
H
l p
H
l p
y
k
y
k
+
−
(
) =
(
) +
1
1
,
,
Z
E
l
p
E
l
p
z
k
z
k
+
+
(
) −
−
(
)
{
}
0
1
2
1
1
,
,
,          (15)
где k – отсчет шага по времени длительностью  
%t = B%h/c [нс], B < 1 – эмпирический параметр  
в нашем случае задавался равным 0.4; l, p – отсчеты 
по декартовым координатам x и y с шагом %h [м], 
который задавали равным %h = λ0/40 (λ0 – средняя длина волны в спектре амплитуды стороннего источника тока), Z0 = 120π [Ом] – импеданс 
свободного пространства, ε, σ – действительная 
часть КДП и проводимость полупространства, содержащего цилиндр, jk(l0 = x0/%h, p0 = y0/%h) – 
плотность стороннего электрического источника 
тока, jk(l0, p0) = I0(k%t)/%h2 (k = 1,…, K, l = 1,…, L,  
p = 1,…, P, где K, L, P – количество отсчетов по 
времени и пространственным координатам соответственно). Временную форму амплитуды источника стороннего тока I0(t) зададим в виде суммы 
двух разнополярных гауссовых импульсов (рис. 3а):
ɚ
1.0
0.5
0.0
í
í
0
1
2
3
4
5
t ɧɫ
 ɧɫ
I0(t $
6
7
8
9
10
Рис. 3. Временная форма (а) и спектр (б) амплитуды импульсного точечного источника электрического тока: a – 
форма импульса (сплошная кривая) и его огибающая (пунктирная).
ɛ
f ȽȽɰ
I0(f Ⱥ î ɫ
0
í
í
í
í
0.0

0.4
0.6
0.8

 ɆȽɰ
 ɆȽɰ
 ɆȽɰ

 
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ИСТОЧНИКОВ 
1045
РАДИОТЕХНИКА  И  ЭЛЕКТРОНИКА        том   69       № 11         2024
I
t
q
t
t
q
t
t
0
0
2
0
( ) =
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
−
−
+
(
)
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
(
)
exp
exp
Δ
Δ
Δ
Δ
τ
τ
τ
τ
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
,(16)
где q w lg 0.5, t0 – смещение импульса по временной 
шкале (задавалось равным 4 нс), %τ – четверть длительности импульса по уровню половины амплитуды (задавалась равной 0.4 нс). Спектральная амплитуда I0(f) стороннего источника тока I0(t) (рис. 3б) 
имеет следующее аналитическое представление:
I
f
0 ( ) =
i
q
2
= −
sin
Δ π
(2πfd)exp(2πif0t)exp( πf
q
2
−(
) ⎞
⎠⎟
/
Δ
. (17)
2.2. Материальные среды
В качестве материальных сред, заполняющих 
полупространство и цилиндр, были выбраны талая 
и мерзлая почва, лед, несоленая вода. В ходе численных экспериментов были использованы оценки средних значений диэлектрической проницаемости и проводимости данных сред, приведенные 
в [44, с. 124, 125, 127–129; 45] в мегагерцовом диапазоне частот 100…1000 МГц (табл. 2).
2.3. Способ численного  
интегрирования выражений (7)–(8)
В силу выбранной exp(–iωt) временной зависимости комплексных спектральных амплитуд электродинамических потенциалов, условие излучения на бесконечности выполняется при Im w1,2 > 0  
(свяжем положительный знак мнимой части квадратного корня с верхним листом римановой поверхности, по которой должен проходить путь 
интегрирования). Разрезы, соединяющие двухлистную риманову поверхность, могут быть определены [36, с. 137] из уравнения
Im k
kx
1 2
2
2
0
, −
=
.
Линии этих разрезов выходят из точек ветвления  
kx = ±k1,2 (рис. 4а штриховые линии). В связи с тем, 
что все используемые среды имеют не нулевую мнимую часть, на вещественной оси kx не будут располагаться полюсы функций Th,12(kx), Rh,12(kx) и точки 
ветвления квадратного корня w2 (за исключением w1).  
В результате интегралы (7), (8) могут быть рассчитаны по пути интегрирования Г1 [36, с. 116], который обходит полуокружностями точки ветвления 
kx = ±k1, или по контуру Г2 [46, с. 225–229; 47, 48], 
который не пересекает разрезы. Однако численное 
интегрирование по пути Г1,2 чрезвычайно медленно 
сходится [49]. В данной работе воспользуемся выражением волнового числа kx в цилиндрических координатах kx = k1sin I, где I = Ia+iI´ – комплексный 
угол, Ia,
I´ – действительная и мнимая части соответственно для представления (7), (8) по угловому 
спектру неоднородных плоских волн [46, с. 213–217].  
В результате подобной замены переменных контур 
интегрирования Г1 (см. рис. 4а) преобразуется (см. 
Таблица 2. Действительная часть относительной 
диэлектрической проницаемости и  проводимость 
используемых материальных сред
Среда
εa
 σ*, Ом/м
Воздух
1.0
0.0
Талая почва [45]
15.8
0.147
Мерзлая почва [45]
5.9
0.033
Лед [44]
3.2
0.002
Несоленая вода [44]
81.8
0.186
*Проводимость оценивалась из мнимой части ε´
КДП на основе равенства σ = ε´ωε0 (ε0 = 8.854×10–12, c/(Ом×м) – ди- 
электрическая проницаемость вакуума).
ɚ
Ƚ1
Ƚ2
NƎ
Nƍ
x
x
0
k1
íN1
íN2
k2
Рис. 4. Контуры интегрирования интегралов (7) и (8) в плоскости комплексного переменного kx (а) и I (б).
ɛ
íS/2
S/2
íK2
K2
0
C
KƎ
Kƍ