Радиотехника и электроника, 2024, № 10

Российская академия наук
РАДИОТЕХНИКА
И ЭЛЕКТРОНИКА
Том 69    № 10    2024    Октябрь
Журнал основан в январе 1956 г.
Выходит 12 раз в год
ISSN 0033-8494
Журнал издается под руководством 
Отделения физических наук РАН
Главный редактор
С.А. Никитов
Редакционная коллегия:
А.Ф. Александров, А.С. Бугаев,  Ю.В. Гуляев,
В.А. Калошин, В.А. Кашин, В.Е. Любченко, С.П. Морев,
А.О. Раевский (отв. секретарь), М.В. Терешонок,
В.А. Черепенин, В.Г. Шавров, В.В. Шевченко,
М.С. Ярлыков
Адрес редакции: 125009, Москва, ул. Моховая, 11, корп. 7
Институт радиотехники и электроники РАН,
редакция журнала “Радиотехника и электроника”
Тел. 8-495-6293380
Зав. редакцией И.М. Столярова
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024 
©  Редколлегия журнала “Радиотехника
и электроника” (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 69, номер 10, 2024
К 85-ЛЕТИЮ В.Ф. КРАВЧЕНКО
Повышение точности восстановления qam-символов при применении  
метода ортогонального частотного мультиплексирования с фильтрацией
К. А. Будунова, В. Ф. Кравченко 
935
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
Широкополосный поглотитель электромагнитного излучения
В. А. Богуш, В. А. Лабунов, А. В. Гусинский, В. А. Карпович, В. Н. Родионова, Н. А. Певнева,  
М. М. Касперович, И. А. Кашко 
947 
АНТЕННО-ФИДЕРНЫЕ СИСТЕМЫ
Двухполяризационный сверхширополосный металлодиэлектрический рупорный облучатель 
В. А. Калошин, Нгуен Тхе Тхань 
954
ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
Метод синтеза эффективных оценок параметров сигналов с использованием функций  
от полных достаточных статистик
А. Г. Вострецов, С. Г. Филатова 
960
Исследование и реконструкция кусочно-стертых процессов 
В. В. Климов  
967
РАДИОФИЗИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ И ПЛАЗМЕ
Возбуждение электромагнитных волн при ударном воздействии света на магнитную пленку 
В. С. Власов, В. Г. Шавров, В. И. Щеглов 
973
ЭЛЕКТРОНИКА СВЧ
Замедляющие системы со свойствами метаматериалов для ламп бегущей волны w-диапазона 
А. А. Ростунцова, Е. Е. Колесниченко, Н. М. Рыскин 
982
НАНОЭЛЕКТРОНИКА
Сравнительный анализ магнитных и электронных свойств 2d фаз теллуридов хрома
А. И. Карцев, А. А. Сафронов  
989
О допированных железом алмазоподобных пленках, полученных в разряде с полым катодом
И. А. Сорокин, Д. В. Колодко 
996
Получение сегнетоэлектрических пленок оксида гафния методом магнетронного распыления
В. А. Лузанов 
1000
ЭЛЕКТРОННАЯ И ИОННАЯ ОПТИКА
Точные решения уравнений двумерного нестационарного электронного пучка
Т. М. Сапронова, В. А. Сыровой 
1004

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРАХ
Особенности решения феноменологических уравнений блоха для определения времени  
продольной релаксации Т1 в потоке жидкости
В. В. Давыдов, А. А. Гольдберг, В. И. Дудкин, Р. В. Давыдов 
1020
ХРОНИКА
Памяти Андрея Федоровича Александрова 
1031
Памяти Владимира Григорьевича Шаврова 
1033
Памяти Александра Степановича Бугаева 
1035
 

РАДИОТЕХНИКА  И  ЭЛЕКТРОНИКА, 2024, том 69, № 10, с. 935–946
 К 85-ЛЕТИЮ В.Ф. КРАВЧЕНКО 
УДК 621.396.41
ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ QAM-СИМВОЛОВ 
ПРИ ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ОРТОГОНАЛЬНОГО ЧАСТОТНОГО 
МУЛЬТИПЛЕКСИРОВАНИЯ С ФИЛЬТРАЦИЕЙ
© 2024 г. К. А. Будуноваa,*, В. Ф. Кравченкоa,b,c,**
aИнститут радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова РАН, 
ул. Моховая, 11, корп.7, Москва, 125009 Российская Федерация 
bМосковский государственный технический университет им.Н.Э.Баумана, 
ул. 2-я Бауманская, 5, Москва, 105005 Российская Федерация 
cНаучно-технологический центр уникального приборостроения РАН, 
ул. Бутлерова, 15, Москва, 117342 Российская Федерация
E-mail: *1917schw@mail.ru,** kvf-ok@mail.ru
Поступила в редакцию 24.08.2024 г. 
После доработки  07.09.2024 г.  
Принята к публикации  15.09.2024 г.
Проанализирован 
метод 
ортогонального 
частотного 
мультиплексирования 
с 
фильтрацией, 
применяющийся для передачи сигналов, спектры которых расположены в соседних субполосах частот. 
Описано три вида погрешностей, образующихся при применении метода для передачи символов 
квадратурной амплитудной модуляции. С целью снижения погрешности разработан модифицированный 
алгоритм, основанный на свойствах циклической свертки. В численном эксперименте стандартный 
и модифицированный алгоритмы использованы в сочетании со схемами модуляции высокого порядка.
Ключевые слова: метод OFDM с фильтрацией, QAM модуляция, беспроводная связь
DOI: 10.31857/S0033849424100017, EDN: HQSZFK
ВВЕДЕНИЕ
Технология цифровой модуляции, основанная на мультиплексировании с ортогональным 
частотным разделением каналов [1,2] (orthogonal 
frequency division multiplexing, OFDM) широко 
используется для беспроводной передачи данных. Преимущества схемы OFDM заключаются 
в устойчивости к искажениям в канале, а также в ее 
гибкости — возможности менять параметры модуляции, например, размер сигнального созвездия 
и скорость кодирования [1]. Технология OFDM 
и ее сочетание с методами множественного доступа (orthogonal frequency-division multiple access, 
OFDMA) применяются в современных стандартах 
беспроводной связи IEEE 802.11 (Wi-Fi), IEEE 
802.16 (WiMAX), LTE.  
Сигналы OFDM имеют медленно спадающий 
спектр [1]. Из-за этого возникает внеполосное излучение, влияющее на сигналы, спектры которых 
расположены в соседних частотных полосах [3–7]. 
Медленный спад спектра может отрицательно 
влиять на восстановление данных, передающихся по схеме OFDMA [6], в которой имеющийся 
диапазон частот разделяется на субполосы, соответствующие различным пользователям. Внеполосное излучение также плохо сказывается 
на работе когнитивных и программно-определяемых радиосистем [7], где соседние полосы частот 
используются различными радиосредствами.
Для 
подавления 
внеполосного 
излучения 
спектра OFDM-сигнала в классической схеме используется оконная обработка [1,8]. Разработаны 
и другие методы улучшения спектра: схема OFDM 
с фильтрацией [5–7] и предварительное кодирование [4]. 
Цель данной работы — исследовать возможность 
повышения 
эффективности 
алгоритма 
фильтрации OFDM-сигналов.

БУДУНОВА, КРАВЧЕНКО
936
РАДИОТЕХНИКА  И  ЭЛЕКТРОНИКА   том 69   № 10  2024
Алгоритм OFDM с фильтрацией применяется 
в случае, когда имеющаяся полоса частот разделена на несколько субполос, для каждой из которых формируется свой сигнал. Сигнал, соответствующий субполосе, подвергается фильтрации, 
что позволяет снизить его излучение вне данной 
субполосы. При использовании классической 
схемы OFDM для снижения взаимодействия 
между соседними спектрами сигналов выделяется набор нулевых защитных поднесущих частот, 
что приводит к снижению эффективности использования имеющегося частотного диапазона. 
Технология OFDM с фильтрацией может быть 
использована при существенно меньшем количестве защитных частот по сравнению с классической схемой [5]. 
Благодаря низкой сложности расчета в схеме 
OFDM с фильтрацией наиболее часто применяются цифровые фильтры, полученные усечением 
идеальной импульсной характеристики (ИХ) весовой оконной функцией [5–7]. 
1. МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНОГО ЧАСТОТНОГО 
МУЛЬТИПЛЕКСИРОВАНИЯ
Низкочастотное комплексное представление 
OFDM-символа имеет вид [1]
−
=
⎧
π
−
∈
+
⎪
= ⎨
⎪
∉
+
⎩
∑
1
0
exp(2
(
) /
),  
[ ,
],
( )
0,                                  
[ ,
],
N
k
s
s
s
k
s
s
d
jk t
t
T
t
t t
T
S t
t
t t
T
 (1)
где st  — время начала символа, T  — его длительность, 
−
0
1
,..., N
d
d
 — символы квадратурной амплитудной 
модуляции 
(quadrature 
amplitude 
modulation, QAM). Данная формула соответствует 
OFDM-сигналу с набором поднесущих частот
−
+
(
1 / 2) /
cf
k
T , 
= −
−
/ 2,...,
/ 2
1
k
N
N
,
расположенных симметрично вокруг несущей частоты cf . Сигнал ( )
S t  на отрезке ∈
+
[ ,
]
s
s
t
t t
T  полностью описывается конечным числом своих отсчетов 
в 
моменты 
времени 
−
=
1
/
s
t
t
Tl
N , 
=
−
1
0,...,
1
l
N
, 
≥
1
N
N, поэтому OFDM-символу 
(1) эквивалентен дискретный сигнал ls , равный
 
−
=
=
π
≤
≤
−
∑
1 1
1
1
1
0
1
exp(2
/
),   0
1.
N
l
k
k
s
d
jlk
N
l
N
N
 (2)
Для чисел 
>
1
N
N дискретизация сигнала 
( )
S t  
имеет запас по частоте. Избыточная дискретизация 
требуется для реконструкции сигнала ( )
S t  в цифро-аналоговом преобразователе [1]. Формула (2) 
представляет собой обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ) размера 
1
N  последовательности QAM-символов, дополненной 
−
1
N
N 
нулями.
Числа 
k
d  можно восстановить, вычисляя дискретное преобразование Фурье (ДПФ) последовательности ls :
     
−
=
=
−π
=
−
∑
1 1
1
1
0
exp( 2
/
),  
0,...,
1.
N
k
l
l
d
s
jkl
N
k
N
 
(3)
Сигнал OFDM состоит из набора символов ( )
S t . 
При прохождении сигнала через канал отдельные 
поднесущие могут задерживаться. В этом случае 
возникает эффект, называемый интерференцией 
между поднесущими [1]. При наличии данного 
эффекта QAM-символы не могут быть восстановлены в форме ДПФ (3). Для устранения интерференции между поднесущими к каждому OFDMсимволу вида (2) слева добавляется циклический 
префикс (ЦП) — набор из n последних отсчетов 
символа. Сигнал lu , состоящий из одного OFDMсимвола и ЦП, имеет вид
 
−+
−
≤
≤
−
⎧⎪
= ⎨
≤
≤
−
⎪⎩
1
1
,    0
1,
 
,     
+
1.  
N
n l
l
l n
s
l
n
u
s
n
l
N
n
2. МЕТОД OFDM С ФИЛЬТРАЦИЕЙ И ЕГО 
ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ АСИНХРОННОЙ 
ПЕРЕДАЧЕ ДАННЫХ
При применении метода OFDM с фильтрацией 
в частотной области выделяется P субполос
 
ω
ω
=
,1
,2
[
,
], 
1,..., .
p
p
p
P  
Каждой субполосе ω
ω
,1
,2
[
,
]
p
p
 соответствует свой 
OFDM-сигнал 
( )
p
lx
, образованный отсчетами K  
OFDM-символов 
+
−
=
( , )
1
{
}
p q
n N
l n
lu
 длиной N с ЦП 
−
=
( , )
1
0
{
}
p q
n
l
lu
 длиной n, 
= 1,...,
q
K :
 
−
=
= ∑
( )
( , )
1
,
q
K
p
p q
l
l l
q
x
u
 
(4)
где 
=
−
+
(
1)(
)
ql
q
N
n . В сумме (4) отсчеты 
( , )
p q
lu
 
удовлетворяют условиям
 
=
<
=
≥
+
( , )
( , )
0, 
0,
0, 
.
p q
l
p q
l
u
l
u
l
n
N
 
На отрезках ω
ω
,1
,2
[
,
]
p
p
 расположены центры 
спектров поднесущих, образующих сигнал 
( )
p
lx
, 
а интервалы вида 
+
ω
ω
,2
1,1
(
,
)
p
p
 содержат защитные 
частоты. 
Символы 
+
−
=
( , )
1
{
}
p q
n N
l n
lu
 — ОДПФ последовательности 
−
=
( , )
1
0
{
}
p q
N
k
k
d
:

ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ QAM-СИМВОЛОВ
937
РАДИОТЕХНИКА  И  ЭЛЕКТРОНИКА   том 69   № 10  2024
−
+
=
=
π
=
−
∑
1
( , )
( , )
0
1
exp( 2
/
),  
0,...,
1,
N
p q
p q
n l
k
k
u
d
j
kl
N
l
N
N
где числа ( , )
p q
k
d
, =
−
0,...,
1
k
N
, — символы QAM-модуляции при π
∈ω
ω
,1
,2
2
/
[
,
]
p
p
k
N
 или нулевые коэффициенты 
=
( , )
0
p q
k
d
, если π
∉ω
ω
,1
,2
2
/
[
,
].
p
p
k
N
Блок-схема метода OFDM с фильтрацией 
для асинхронной передачи данных [6] показана 
на рис. 1. 
После формирования последовательностей ( )
p
lx
 
в передатчиках выполняется свертка каждого 
из сигналов ( )
p
lx
 с субполосным фильтром ( )
p
lh
:
=
∗
=
( )
( )
( ),  
1,..., .
p
p
p
l
l
l
y
h
x
p
P
Фильтры ( )
p
lh
 имеют амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) 
ω
|
(exp(
)) |
p
H
j
, полоса пропускания которых включает в себя отрезок 
ω
ω
,1
,2
[
,
]
p
p
. При ω ∈
π
[0,2 ] в общем случае у АЧХ 
ω
|
(exp(
)) |
p
H
j
 должно быть две полосы подавления,  одна из которых содержит отрезок 
−
ω
1,2
[0,
]
p
, 
а вторая — отрезок 
+
ω
π
1,1
[
,2 ]
p
. В случае конечной 
ИХ (КИХ) и физической реализуемости фильтра 
[9] коэффициенты ( )
p
lh
 удовлетворяют следующим 
условиям:
=
<
=
≥
+
( )
( )
0,   
0,
0,   
2
1,
p
l
p
l
h
l
h
l
L
где  
+
2
1
L
 — длина фильтра. 
Сигналы 
( )
p
ly
 передаются в различное время, 
причем допускается запаздывание 
( )
p
ly
, превышающее длительность защитного интервала [6]. 
На вход приемника поступает сигнал lr:
=
=
∗
+
∑
( )
( )
1
P
p
p
l
l
l
l
p
r
h
y
z


,
где 
( )
p
lh
 — ИХ канала между p-м передатчиком 
и приемником, lz  — аддитивный белый гауссовский 
шум (АБГШ), 
−ν
=
( )
( )
p
p
p
l
l
y
y

 — сигнал на выходе p-го 
передатчика с учетом задержки на νp отсчетов.
Полученный сигнал lr подается на вход субполосных фильтров 
( )
p
lf
:
=
∗
=
( )
( )
,   
1,..., .
p
p
l
l
l
r
f
r
p
P
Коэффициенты ИХ фильтров 
( )
p
lf
 определяются формулой
−
<
⎧
⎪⎪
=
≤
≤
⎨
⎪
>
⎪⎩
( )
( )
2
0,      
0,
, 0
2 ,
0,   
2 .
p
p
l
L l
l
f
h
l
L
l
L
Для произведения частотных характеристик 
ω
(exp(
))
p
H
j
, 
ω
(exp(
))
p
F
j
 фильтров ( )
p
lh
, ( )
p
lf
 выполняется равенство
 
ω
ω
=
=
−
ω
ω
2
(exp(
))
(exp(
))
exp(
2
) |
(exp(
)) | .
p
p
p
H
j
F
j
j L
H
j
 
(5)
После фильтрации для каждой из последовательностей ( )
p
lr
 проводится временная синхронизация с p-м передатчиком [6]. Восстановление симȾɚɧɧɵɟ
ɫɭɛɩɨɥɨɫɵ 
Ⱦɚɧɧɵɟ
ɫɭɛɩɨɥɨɫɵ Ɋ
QAM
ɦɨɞɭɥɹɰɢɹ 
QAM
ɦɨɞɭɥɹɰɢɹ Ɋ
ȾɉɎ 
Ⱦɟɬɟɤɬɨɪ
ɉɨɥɭɱɟɧɧɵɟ
ɞɚɧɧɵɟ
ɫɭɛɩɨɥɨɫɵ 
ɉɨɥɭɱɟɧɧɵɟ
ɞɚɧɧɵɟ
ɫɭɛɩɨɥɨɫɵ P
Ⱦɟɬɟɤɬɨɪ
ɈȾɉɎ Ɋ
ɈȾɉɎ 
ȾɉɎ Ɋ
ȼɫɬɚɜɤɚ ɐɉ
ȼɫɬɚɜɤɚ ɐɉ
Ɏɢɥɶɬɪ 
Ɏɢɥɶɬɪ 
ȼɪɟɦɟɧɧɚɹ
ɫɢɧɯɪɨɧɢ
ɡɚɰɢɹ  
ɫɢɧɯɪɨɧɢ
ɡɚɰɢɹ  Ɋ
ɍɞɚɥɟɧɢɟ
ɐɉ
ɍɞɚɥɟɧɢɟ
ɐɉ
ȼɪɟɦɟɧɧɚɹ
Ɏɢɥɶɬɪ Ɋ
Ɏɢɥɶɬɪ Ɋ
Рис. 1. Блок-схема метода OFDM с фильтрацией.

БУДУНОВА, КРАВЧЕНКО
938
РАДИОТЕХНИКА  И  ЭЛЕКТРОНИКА   том 69   № 10  2024
волов QAM-модуляции 
( , )
p q
k
d
 для чисел 
= 1,...,
p
P, 
= 1,...,
q
K  при   π
∈ω
ω
,1
,2
2
/
[
,
]
p
p
k
N
 осуществляется по формуле
−
+
=
=
−π
∑
,
1
( , )
( , )
0
exp( 2
/
),
p q
N
p q
p q
k
l
D
l
d
r
jkl
N

где 
=
+ ν
+
+
−
+
,
2
(
1)(
)
p q
p
D
L
n
q
N
n .
3. ПОГРЕШНОСТИ, ВОЗНИКАЮЩИЕ 
ПРИ ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА OFDM 
С ФИЛЬТРАЦИЕЙ
При использовании метода OFDM с фильтрацией даже при условии отсутствия помех во время передачи сигналов по каналу QAM-символы 
в приемнике восстанавливаются с ошибкой. 
Погрешность, 
вносимая 
методом, 
образуется 
из нескольких составляющих, которые рассматриваются ниже. 
3.1. Погрешность, вызываемая фильтрацией  
OFDM-символа с циклическим префиксом 
и усечением полученной последовательности
Для фиксированных чисел p и q положим
+
⎧
=
−
⎪
= ⎨
≥
⎪⎩
⎧
=
−
⎪
= ⎨
≥
⎪⎩
( , )
( , )
, 
0,...,
1,,  
0,     
,
, 
0,...,
1,
0,     
,
p q
l
l
p q
n l
l
u
l
n
c
l
n
u
l
N
s
l
N
где 
−
( , )
( , )
0
1
,...,
p q
p q
n
u
u
 
— 
отсчеты 
префикса, 
+
−
( , )
( , )
1
,...,
p q
p q
n
n N
u
u
 — отсчеты OFDM-символа, n и N — 
длина ЦП и символа соответственно. Здесь и далее 
последовательности считаются физически реализуемыми, т.е. для любой последовательности 
lx  
предполагается 
= 0
lx
 при < 0
l
. 
Рассмотрим последовательность 
 
−
=
+
,
l
l
l n
u
c
s
 
(6)
образованную отсчетами одного OFDM-символа 
с ЦП:
+ −
=
−
−
=
1
0
0
1
0
1
{ }
{
,...,
,
,...,
}.
N
n
l l
n
N
u
c
c
s
s
Фильтрация сигнала (6) в передатчике с применением фильтра ( )
p
lh
, а затем в приемнике с использованием фильтра 
( )
p
lf
 эквивалентна линейной свертке l
w  последовательности (6) с фильтром, 
имеющим ИХ 
=
∗
( )
( )
p
p
l
l
l
g
h
f
:
=
∗
.
l
l
l
w
g
u
Если длина ИХ ( )
p
lh
 равна 
+
2
1
L
, то ИХ lg  будет 
состоять из 
+
4
1
L
 отсчетов и задержка сигнала изза фильтрации составит 2L отсчетов. Запишем 
l
w  
в виде суммы
 
−
=
+
,
l
l
l n
w
c
s


 
(7)
где 
=
∗
=
∗
, 
.
l
l
l
l
l
l
c
g
c
s
g
s


Символ 
( , )
p q
k
d
 QAM-модуляции, соответствующий поднесущей с номером k, 
≤
≤
−
0
1
k
N
, можно найти, вычисляя значение спектра 
ω
(exp(
))
S
j
 
сигнала { }
−
=
1
0
N
l l
s
−
=
ω
=
−ω
∑
1
0
(exp(
))
exp(
)
N
l
l
S
j
s
j l
в точке ω =
π
2
/
.
k
N  
Фильтр 
lg  имеет частотную характеристику 
ω
(exp(
))
G
j
, равную, в соответствии с (5),
ω
=
ω
ω
=
=
−
ω
ω
2
(exp(
))
(exp(
))
(exp(
))
exp( 2
)
(exp(
)) .
p
p
p
G
j
H
j
F
j
j L H
j
Если 
ω
ω
,1
,2
[
,
]
p
p
 
— 
полоса 
пропускания 
ω
(exp(
))
p
H
j
 и
γ
ω =
ω
−
( )
(exp(
))
1
p
p
H
j
– неравномерность АЧХ в полосе ω
ω
,1
,2
[
,
]
p
p
, то 
в 
точке 
ω =
π
2
/
k
N 
при 
условии 
ω
≤
π
≤ω
,1
,2
2
/
p
p
k
N
 
характеристика 
ω
exp(
)
G
j
 
удовлетворяет равенству
 
π
π
=
+ δ( )
exp(4
/
) (exp(2
/
))
1
,
p
k
j kL
N G
kj
N
 (8)
где 
δ
=
γ
π
+ γ
π
( )
2
2
(2
/
)
(2
/
).
p
p
p
k
k
N
k
N
Поэтому для функции
+
−
+
=−
ω
=
−ω
∑
2
1
2
2
(exp(
))
exp(
)
N
L
l
L
l
L
S
j
s
j l


справедливо выражение
π
=
+ δ
π
( )
(exp( 2
/
))
(1
) (exp( 2
/
)).
p
k
S
j
k
N
S
j
k
N

В сигнале 
l
w  отсчеты состоят из сумм вида (7). 
Для восстановления QAM-символов ( , )
p q
k
d
 используется формула

ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ QAM-СИМВОЛОВ
939
РАДИОТЕХНИКА  И  ЭЛЕКТРОНИКА   том 69   № 10  2024
−
+ +
=
=
−
π
∑
1
( , )
2
0
exp(
2
/
).
N
p q
l
n
L
k
l
d
w
j
kl
N

Введем функцию
−
+ +
=
ω
=
−ω
∑
1
2
0
(exp(
))
exp(
).
N
l
n
L
l
W
j
w
j l

Число ( , )
p q
k
d
 можно записать в виде
( , )
( )
(exp( 2
/
))
(exp( 2
/
))
(1
) (exp( 2
/
)).
p q
k
p
k
d
W
j
k
N
S
j
k
N
S
j
k
N
=
π
−
π
+
+
+ δ
π



 (9)
Из (9) следует, что числа 
( , )
p q
k
d
 и 
( , )
p q
k
d
 связаны 
соотношением
 
=
+ δ
+ ε
( , )
( )
( , )
( , )
1,
(1
)
,
p q
p
p q
p q
k
k
k
k
d
d

 
(10)
где 
−
+ +
=
−
+
=−
+
−
+
=
ε
=
π
−
π
=
=
−
π
−
−
−
π
−
−
−
π
∑
∑
∑
( , )
1,
1
2
0
1
2
2
2
1
2
(exp( 2
/
))
(exp( 2
/
))
exp(
2
/
)
exp(
2
/
)
exp(
2
/
).
p q
k
N
l n
L
l
l
L
l
L
N
L
l
L
l
N
W
j
k
N
S
j
k
N
c
j
kl
N
s
j
kl
N
s
j
kl
N





Таким 
образом, 
при 
фильтрации 
одного 
OFDM-символа вместе с ЦП и усечении полученной последовательности возникает погрешность, 
имеющая следующие составляющие:
1) ошибка, возникающая из-за наложения 
на сигнал 
+
−
=
2
1
2
{ } L N
l l
L
s
 задержки от фильтрации префикса;
2) погрешность из-за отсечения от последовательности  
+
−
=
4
1
0
{ }N
L
l l
s
 первых 2L и последних 2L 
отсчетов;
3) ошибка, вызванная N отклонением фильтра 
в полосе пропускания.
Последняя ошибка для качественного фильтра 
может быть незначительной по сравнению с общей погрешностью. В этом случае теряется выгода 
от применения фильтров с малым отклонением 
в полосе пропускания.
3.2. Погрешность, вносимая соседними по времени 
сигналами
В результате фильтрации каждый OFDM-символ искажается задержкой от соседних по времени 
сигналов, попавшей в область, где вычисляется 
ДПФ. Этот эффект для двух символов показан 
на рис. 2.
Для фиксированного числа р рассмотрим субполосный сигнал 
( )
p
lx
 (4), состоящий из OFDMсимволов 
+
−
=
( , )
1
{
}
p q
n N
l n
lu
 длиной N с ЦП 
−
=
( , )
1
0
{
}
p q
n
l
lu
 
длиной n, 
= 1,...,
q
K . Обозначим 
=
∗
=
( , )
( , ), 
1,...,
,
p q
p q
l
l
l
w
g
u
q
K
где 
=
∗
( )
( )
p
p
l
l
l
g
h
f
, 
=
( , )
0
p q
lu
 при ≥
+
l
n
N.
После фильтрации сигнала ( )
p
lx
 с применением 
фильтра lg  в интервале ДПФ OFDM-символа с номером q, 
≤
≤
1
q
K , будут располагаться отсчеты, 
заданные суммами
 
−
+
+ +
−−
+
+
=
+
+
+
−
( ,
1)
( , )
( ,
1),  
2 ,...,
2
1.
p q
p q
p q
l n N
l
l n N
w
w
w
l
n
L
n
L
N
 
(11)
В формуле (11) 
=
( , )
0
p q
l
w
 для q = –1 и 
=
+ 1
q
K
.
Для восстановления символа QAM-модуляции 
( , )
p q
k
d
, соответствующего поднесущей с номером k, 
≤
≤
−
0
1
k
N
, используется выражение
 
+ +
−
−
+
+
=
+
+
−
−
=
+
+
+
−π
−
−
∑
2
1
( , )
( ,
1)
( , )
2
( ,
1)
(
)exp( 2
(
2
) /
).
L n N
p q
p q
p q
k
l
N
n
l
l
L n
p q
l N
n
d
w
w
w
jk l
L
n
N

 
(12)
Обозначим 
2
1
( , )
( ,
1)
( ,
1)
2,
2
(
)
exp( 2
(
2
) /
).
L n N
p q
p q
p q
l
N
n
l N
n
k
l
L n
w
w
jk l
L
n
N
+ +
−
−
+
+
+
−
−
=
+
ε
=
+
×
×
−π
−
−
∑
wl
(1), wl
(2)
l
0
Рис. 2. Последовательности wl
( )
1  и 
(2)
l
w
 (светлая 
и темная кривые соответственно), полученные в результате фильтрации двух соседних OFDM-символов (1)
lu
 и (2)
lu
 с циклическим префиксом; задержка 
от фильтрации сигнала (2)
lu
 попадает в область взятия ДПФ сигнала (1)
lu
, границы которой показаны 
штриховыми линиями.

БУДУНОВА, КРАВЧЕНКО
940
РАДИОТЕХНИКА  И  ЭЛЕКТРОНИКА   том 69   № 10  2024
Учитывая (10), из (12) получим
=
+ δ
+ ε
+ ε
( , )
( )
( , )
( , )
( , )
1,
2,
(1
)
.
p q
p
p q
p q
p q
k
k
k
k
k
d
d

Таким образом, если рассматривается сигнал 
из нескольких OFDM-символов, к ошибке ε( , )
1,
p q
k , 
возникающей при фильтрации и усечении последовательности отсчетов отдельного символа, 
добавляется ошибка ε( , )
2,
p q
k , вызванная наличием 
соседних по времени символов. 
3.3. Погрешность, возникающая при фильтрации 
сигналов из других субполос
В общую погрешность метода входит еще одна 
составляющая, появляющаяся из-за применения 
субполосного фильтра к сигналам, спектры которых сосредоточены вне данной субполосы.
При отсутствии шума в канале в приемник поступает сумма 
ly  сигналов 
=
∗
( )
( )
( )
p
p
p
l
l
l
y
h
x
, полученных в результате свертки последовательностей 
( )
p
lx
 с фильтрами ( )
p
lh
, 
= 1,...,
p
P:
 
=
= ∑
( )
1
.
P
p
l
l
p
y
y
 
(13)
Поскольку в приемнике выполняется синхронизация, запаздывание при передаче сигналов 
здесь не учитывается.
Для выделения из (13) одного из сигналов 
( )
p
ly
 
выполняется свертка ly  c фильтром 
( )
p
lf
, имеющим 
АЧХ 
ω
|
(exp(
)) |
p
F
j
:
 
≈
∗
( )
( )
.
p
p
l
l
l
y
f
y  
(14)
Правая часть (14) равна
∗
=
∗
+
( )
( )
,
p
p
l
l
l
l
l
f
y
g
x
w
где  
=
∗
( )
( )
p
p
l
l
l
g
h
f
, а l
w  определяется формулой
 
=
≠
=
∗
∑
( )
( )
1,
.
P
p
r
l
l
l
r
r
p
w
f
y
 
(15)
Из последовательности l
w  при дальнейшей обработке выбирают наборы отсчетов, т.е. выполняется 
ее усечение. Для OFDM-символа с номером q, 
≤
≤
1
q
K , усеченная последовательность имеет  
вид
 
+
−1
{
,...,
},
q
q
l
l
N
w
w
 
(16)
где 
=
+
+
−
+
2
(
1)(
)
ql
L
n
q
N
n . 
При фильтрации в приемнике переходная полоса АЧХ фильтра захватывает небольшую часть 
эффективного носителя спектра соседнего субполосного сигнала (см. рис. 3а). После усечения 
l
w  
получаем последовательность (16) с плохо локализованным спектром 
ω
(exp(
))
W
j

, распространяющимся в субполосу ω
ω
,1
,2
[
,
]
p
p
 (см. рис. 3б).
Результат восстановления 
( , )
p q
k
d
 QAM-символа 
( , )
p q
k
d
, соответствующего поднесущей с номером k, 
определяется выражением
    
=
+ δ
+ ε
+ ε
+ ε
( , )
( )
( , )
( , )
( , )
( , )
1,
2,
3,
(1
)
,
p q
p
p q
p q
p q
p q
k
k
k
k
k
k
d
d

 (17)
где ε( , )
3,
p q
k  — ДПФ последовательности (16):
−
+
=
ε
=
−
π
∑
1
( , )
3,
0
exp(
2
/
).
q
N
p q
l l
k
l
w
j
kl
N
|F1(exp(jZ))|, |Y2(exp(jZ))|
Z
|W(exp(jZ))|, |W(exp(jZ))|
Z
(а)
(б)
Рис. 3. Амплитудно-частотные характеристики: а) 
ω
1
|
(exp(
)) |
F
j
 (светлая кривая), 
ω
2
|
(exp(
)) |
Y
j
 (темная) фильтра 
(1)
lf
 и сигнала 
(2)
ly
(пунктир — границы полосы пропускания 
ω
1
|
(exp(
)) |
F
j
); б) 
ω
|
(exp(
)) |
W
j
 (светлая кривая), 
ω
|
(exp(
)) |
W
j

 (темная) последовательностей (15) и (16). 

ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ QAM-СИМВОЛОВ
941
РАДИОТЕХНИКА  И  ЭЛЕКТРОНИКА   том 69   № 10  2024
Формула (17) определяет общий вид восстанавливающих QAM-символы 
( , )
p q
k
d
 чисел 
( , )
p q
k
d
, получаемых в результате применения метода OFDM 
с фильтрацией при передаче по идеальному каналу.
4. ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ МЕТОДА OFDM 
С ФИЛЬТРАЦИЕЙ
Пусть ls  — последовательность, заданная формулой
+
⎧
≤
≤
−
⎪
= ⎨
>
−
⎪⎩
( , ), 0
1,
0,     
1,    
p q
n l
l
u
l
N
s
l
N
где 
+
−
( , )
( , )
1
,...,
p q
p q
n
n N
u
u
 — отсчеты OFDM-символа длины N, а p и q — фиксированные числа. Рассмотрим 
сигнал lu , образованный суммой
−
−
=
+
+
2 .
l
l
l
N
l
N
u
s
s
s
Последовательность 
−
=
3
1
0
{ } N
l l
u
 составлена из трех 
одинаковых OFDM-символов 
−
=
1
0
{ }N
l l
s
 :
−
=
−
−
−
=
3
1
0
0
1
0
1
0
1
{ }
{ ,...,
,
,...,
,
,...,
}.
N
l l
N
N
N
u
s
s
s
s
s
s
Предполагая, что 
≤
2 +1
L
N , применим к последовательности lu  КИХ-фильтр 
( )
p
lh
 с ИХ 
=
( ) 2
0
{
}
p
L
l
lh
. 
Обозначим
=
∗
( )
.
p
l
l
l
s
h
s

Свертка 
lv  последовательности 
lu  с фильтром 
( )
p
lh
 равна
 
−
−
=
∗
=
+
+
( )
2 .
p
l
l
l
l
N
l
N
l
v
h
u
s
s
s



 
(18)
Вычислим 
свертку 
(18) 
для 
индексов 
=
+
+
−
,....,
2
1
l
L
N
L
N
:
−
−
−
−
= −
+
=
−
−
=
−
−
−
−
−
= −
+
=
=
+
=
+
+
−
=
=
+
−
=
+
=
+
−
∑
∑
∑
∑
∑
2
( )
( )
1
0
2
( )
0
2
2
( )
( )
2
2
1
0
,  
,...,2
1;
,  
2
,...,2
1;
,
2
,...,
2
1.
L
l
N
p
p
l
r
l r
r
l
N
r
r l N
r
L
p
l
r
l
N
r
r
L
l
N
p
p
l
r
l
N
r
r
l
N
r
r l
N
r
v
h
s
h
s
l
L
N
L
N
v
h
s
l
L
N
N
v
h
s
h
s
l
N
L
N
Можно убедиться, что последовательность 
lv, 
равная
+
+
=
=
−
,    
0,...,
1,
l
L N
l
v
v
l
N

представляет собой циклическую свертку сигнала
 
−
−
1
0
1
{
,...,
,
,...,
}
L
N
L
s
s
s
s
 
(19)
с последовательностью 
 
−
−
( )
( )
0
2
1
2
{
,...,
,0,...,0}.
p
p
L
N
L
h
h
	
  
(20)
Кроме того, справедливо
+
−
=
=
+
−
=
=
+
+
−
,        
,...,
1,
,  
2
,...,2
2
1.
l
l
N
l
l N
v
v
l
N
L
N
v
v
l
L
N
L
N
Рассматривая линейную свертку
=
∗
( )
,
p
l
l
l
w
f
v
можно получить аналогичный результат. Сигнал
 
+
+
=
=
−
2
,    
0,...,
1,
l
L N
l
w
w
l
N

 
(21)
является циклической сверткой последовательностей
−
−
1
0
1
{
,...,
,
,...,
},
L
N
L
v
v
v
v




−
−
( )
( )
0
2
1
2
{
,...,
,0,...,0}.
p
p
L
N
L
f
f
	
Формула для ДПФ 
k
W  последовательности (21) 
вытекает из свойств циклической свертки:
−
=
−
=
−
=
−
=
=
−
π
=
=
π
π
×
×
−
π
=
=
π
π
×
×
π
−
π
=
=
π
−
π
∑
∑
∑
∑
1
0
1
0
1
0
1
2
0
exp(
2
/
)
exp(2
/
)
(exp( 2
/
))
exp(
2
/
)
exp(4
/
)
(exp( 2
/
))
(exp( 2
/
))
exp(
2
/
)
(exp( 2
/
))
exp(
2
/
).
N
k
l
l
p
N
l
l
p
N
p
l
l
N
p
l
l
W
w
j
lk
N
jkL
N F
j
k
N
v
j
lk
N
jkL
N F
j
k
N
H
j
k
N
s
j
lk
N
H
j
k
N
s
j
lk
N



Легко показать, что такое же соотношение будет 
справедливо для свертки 
=
∗
∗
( )
( )
,
p
p
l
l
l
l
w
h
f
u
где сигнал lu  равен
+
−
−
−
−
+
+
=
+
−
⎧
= ⎨
>
+
−
⎩
2
2
2 ,   
0,...,
4
1,
0,   
4
1.
l
N
L
l
L
l N
L
l
s
s
s
l
N
L
u
l
N
L