Радиотехника и электроника, 2024, № 8

Российская академия наук
РАДИОТЕХНИКА
И ЭЛЕКТРОНИКА
Том 69    № 8    2024    Август
Журнал основан в январе 1956 г.
Выходит 12 раз в год
ISSN 0033-8494
Журнал издается под руководством 
Отделения физических наук РАН
Главный редактор
С.А. Никитов
Редакционная коллегия:
А.Ф. Александров, А.С. Бугаев, Ю.В. Гуляев,
В.А. Калошин, В.А. Кашин, Д.С. Лукин,
В.Е. Любченко, С.П. Морев,
А.О. Раевский (отв. секретарь), М.В. Терешонок,
В.А. Черепенин, В.Г. Шавров, В.В. Шевченко,
М.С. Ярлыков
Адрес редакции: 125009, Москва, ул. Моховая, 11, корп. 7
Институт радиотехники и электроники РАН,
редакция журнала “Радиотехника и электроника”
Тел. 8-495-6293380
Зав. редакцией И.М. Столярова
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024 
© Редколлегия журнала “Радиотехника
и электроника” (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 69, Номер 8, 2024
Поздравление юбиляру
699
К 90-летию М.С. Ярлыкова
Ошибки квазиоптимальных алгоритмов с обратными связями по дискретным параметрам для 
приема и обработки BOC-сигналов в глобальных навигационных спутниковых системах
М. С. Ярлыков
701
Анализ фазовой структуры сигнала с линейной частотной модуляцией при обработке 
в радиолокаторах с высокой разрешающей способностью
К. Ю. Гаврилов, М. А. Митькин
714
Определение аномальных измерений псевдодальности до навигационного космического аппарата 
в аппаратуре приема сигналов спутниковой радионавигационной системы 
А. В. Иванов, С. П. Москвитин, А. А. Иванов, Н. А. Лежнева
727
Пространственно-временные марковские модели в оценочно-корреляционно-компенсационной 
обработке сигналов в дискретном времени
В. В. Костров, Ю. Н. Паршин
741
Авиационные радиоэлектронные системы управления. Концептуальный подход к оптимизации
В. И. Меркулов
754
Синтез алгоритма комплексного сопровождения-распознавания аэродинамических целей
А. В. Аврамов, В. Ю. Шишкин
763
Оптимальная дискретная интерполяция с постоянным запаздыванием отсчётов дискретнонепрерывного марковского процесса на фоне коррелированного марковского шума
А. Н. Детков
773
Комплексная обработка сигналов глобальной навигационной системы и модулей 
позиционирования 5G в целях навигационного обеспечения полетов беспилотных летательных 
аппаратов в условиях массовой застройки современных мегаполисов
Э. А. Болелов, А. Т. Кудинов, Н. М. Романенко
785
Оценка помехозащитной эффективности адаптивной антенной решетки при действии 
двухточечной когерентной помехи
В. Н. Юдин, Д. А. Савченко
792
Адаптация порогов обнаружения по результатам межобзорного накопления радиолокационных 
сигналов на фоне негауссовских шумов
В. И. Кошелев, В. А. Белокуров
802


К расчету дисперсионных характеристик экранированной микрополосковой линии
А. Н. Коваленко, А. Д. Ярлыков
809
Математическое ожидание ошибок имитации шумов угловых координат распределенного 
радиолокационного объекта, замещаемого двухточечной геометрической моделью
А. В. Киселев, А. В. Таюров
817
Распознавание морских объектов в тепловизионных обзорно-прицельных системах летательных 
аппаратов
В. А. Бухалëв, И. Ф. Хисматов, А. А. Скрынников, В. А. Болдинов, К. Ю. Рожков
824

РАДИОТЕХНИКА  И  ЭЛЕКТРОНИКА, 2024, том 69, № 8, с. 699–700
31 июля 2024 г. исполнилось 90 лет со дня 
рождения крупного российского ученого в области статистической радиотехники, навигации, связи и радиоэлектронных комплексов прицеливания 
и управления вооружением летательных аппаратов, 
доктора технических наук, заслуженного деятеля 
науки и техники РСФСР, генерал-майора авиации 
в отставке, члена редколлегии журнала “Радиотехника и электроника” профессора Михаила Семеновича Ярлыкова. 
М.С. Ярлыков родился 31 июля 1934 г. в Ташкенте. В 1952 г. окончил с серебряной медалью 
среднюю школу № 34 им. Алишера Навои в Намангане и поступил на радиотехнический факультет Харьковского высшего авиационно-инженерного военного училища, которое окончил с золотой медалью в 1957 г.
Научной и педагогической деятельностью Михаил Семенович начал заниматься с 1957 г., когда был назначен помощником ведущего инженера-испытателя в Научно-испытательном институте Военно-воздушных сил. С 1961 г. он проходил 
службу в  Военно-воздушной инженерной академии (ВВИА) им. проф. Н.Е. Жуковского и одновременно поступил в  адъюнктуру академии. 
В 1964 г. он защитил кандидатскую диссертацию, 
а в 1973 г. – докторскую диссертацию. С 1976 г. 
по 1994 г. М.С. Ярлыков возглавлял одну из ведущих кафедр академии, а с 1995 г. и по 2012 г. являлся профессором той же кафедры.
Михаил Семенович внес существенный вклад 
в становление и развитие в России и за рубежом 
одной из наиболее заметных теорий синтеза радиотехнических систем различного назначения – 
марковской теории оптимального нелинейного 
оценивания случайных процессов и  полей, которая базируется на  математическом аппарате условных марковских процессов, созданном 
Р.Л. Стратоновичем. 
В период 1968–1980 гг. на базе марковской теории оптимального оценивания М.С. Ярлыковым 
разработаны и обобщены методы и соответствующие алгоритмы обработки радиосигналов для систем авиационной помехоустойчивой радиосвязи. 
Научные исследования Михаила Семеновича 
в 1980–1988 гг. привели к становлению и развитию 
статистической теории радионавигации. Разработанные им статистические методы анализа и синтеза позволили существенно расширить возможности структурной оптимизации, расчета и конструирования авиационных помехоустойчивых 
систем радионавигации и пилотажно-навигационных комплексов современных и перспективных 
самолетов. 
 ПОЗДРАВЛЕНИЕ ЮБИЛЯРУ


РАДИОТЕХНИКА  И  ЭЛЕКТРОНИКА        том   69       № 8         2024
В период 1988–1994 гг. М.С. Ярлыковым разработаны теоретические основы построения информационных систем радиоэлектронных комплексов 
навигации, прицеливания и управления вооружением летательных аппаратов, сформирована марковская теория оптимального комплексирования 
устройств и систем, предложены марковский метод оценивания гауссовских разделимых случайных полей и метод поэтапного решения уравнения 
Стратоновича. 
Научные работы М.С. Ярлыкова в 1995–2007 гг. 
были направлены на развитие и применение методов марковской теории оптимального оценивания 
для приема и комплексной нелинейной обработки радиосигналов спутниковых радионавигационных систем типа ГЛОНАСС; обобщение методов 
марковской теории оценивания смешанных случайных процессов на случай многокомпонентных 
дискретных субвекторов состояния, а также разработку субоптимальных алгоритмов функционирования пилотажно-навигационных комплексов для 
обеспечения захода на посадку и посадки самолетов по сигналам ГЛОНАСС.
Научные исследования, проводимые Михаилом Семеновичем с 2007 г. и по настоящее время, 
посвящены развитию теории и оценке возможностей меандровых шумоподобных радиосигналов, 
их разновидностей и обобщений (BOC-сигналов, 
CBOC-сигналов, AltBOC-сигналов и GBOC-сигналов) для спутниковых радионавигационных систем. 
М.С. Ярлыков основал признанную в стране 
и за рубежом научную школу по авиационным радиоэлектронным комплексам, в рамках которой 
подготовил 6 докторов наук и 26 кандидатов наук. 
Основные научные результаты профессора М.С. 
Ярлыкова отражены в 10 монографиях, среди которых следует выделить: «Применение марковской теории нелинейной фильтрации в радиотехнике» (Сов. радио, 1980 г.); “Статистическая теория радионавигации” (М.: Радио и связь, 1985 г.); 
“Марковская теория оценивания случайных процессов” (в соавторстве с М.А. Мироновым. М.: 
Радио и  связь, 1993 г.), которая была переведена на  английский язык: M.S. Yarlykov and M.A. 
Mironov, “The Markov Theory of Estimating Random 
Processes”, N. Y.: Begell House, Inc., 1996; “Радиоэлектронные комплексы навигации, прицеливания 
и управления вооружением летательных аппаратов”, Т. 1 и Т. 2. (в соавторстве с А.С. Богачевым, 
В.И. Меркуловым, В.В. Дрогалиным. Радиотехника, 2012 г.); “Меандровые шумоподобные сигналы 
(BOC-сигналы) и их разновидности в спутниковых 
радионавигационных системах” (Радиотехника, 
2017 г.). 
Научная и общественная деятельность Михаила Семеновича отмечена орденом “Красной звезды” и многими медалями. М.С. Ярлыков – действительный член Академии инженерных наук им. 
А.М. Прохорова и Международной академии связи; 
лауреат премии С.И. Мосина (2001 г.); лау-реат премии А.М. Прохорова (2008 г.). За большой вклад 
в  развитие инженерной науки России ему присуждена настольная Золотая медаль им. В.Г. Шухова (2004 г.). М.С. Ярлыков удостоен почетных 
званий “Заслуженный деятель науки и техники 
РСФСР”, “Почетный профессор ВВИА им. проф. 
Н.Е. Жуковского”.
Михаил Семенович продолжает активно трудиться – в этом номере опубликована работа юбиляра по ошибкам алгоритмов при приеме и обработке BOC-сигналов. 
По решению Редколлегии данный выпуск журнала посвящен юбилею М.С. Ярлыкова.
Редколлегия и редакция журнала “Радиотехника и электроника” вместе с коллегами, учениками 
и последователями поздравляют дорогого Михаила 
Семеновича со знаменательной датой, желают ему 
доброго здоровья, счастья, благополучия в жизни, 
творческого долголетия и новых успехов в науке.

РАДИОТЕХНИКА  И  ЭЛЕКТРОНИКА, 2024, том 69, № 8, с. 701–713
 К 90-ЛЕТИЮ М.С. ЯРЛЫКОВА
ВВЕДЕНИЕ
Функционирование глобальных навигационных спутниковых систем (ГНСС), таких как GPS 
(США), Galileo (Евросоюз), ГЛОНАСС (Россия) 
и BeiDou (Китай), а также региональных спутниковых систем NavIC (Индия) и QZSS (Япония) основано на использовании шумоподобных сигналов 
(ШПС) [1, 2]. В настоящее время применительно 
к ГНСС все более широкое распространение получает класс меандровых ШПС – BOC-сигналов 
(binary offset carrier modulated signals) [3–6].
Отличительная особенность BOC-сигналов, 
которая выделяет их из традиционных ШПС, заключается в  наличии в  составе модулирующей 
функции (МФ) меандрового поднесущего колебания (МПК). Длительность меандровых импульсов 
МПК в NM раз короче длительности элемента псевдослучайной последовательности (ПСП) BOC-сигналов, где NM – коэффициент кратности меандровых импульсов [3–6].
На базе марковской теории оценивания (МТО) 
[7–10] задача структурного синтеза оптимальных 
и  квазиоптимальных алгоритмов с  обратными 
связями по дискретным параметрам (ДП) для приема и обработки BOC-сигналов решена в [11, 12].
Структурный синтез в [11, 12] выполнен применительно к марковскому векторному дискретно-непрерывному процессу (ДНП) для случая, 
когда его непрерывная часть представляет собой 
векторный диффузионный марковский процесс, 
а  ДП характеризуется простой цепью Маркова 
на несколько положений.
Важной составной частью разработки синтезированных алгоритмов является анализ их потенциальной точности и помехоустойчивости. Количественной мерой точности и помехоустойчивости 
таких алгоритмов приемников служат дисперсии 
оптимальных и квазиоптимальных ошибок оценивания непрерывных параметров (НП) и, в частности, случайной фазы φ (t), а также вероятность 
ошибочного приема ДП.
Основной характеристикой, которая определяет точность приемников, является зависимость 
названных показателей от отношения сигнал/шум 
на входе приемника.
Для упрощения задачи и простоты описания 
НП полагаем, что приемник BOC-сигналов ГНСС 
УДК 621.391.2
ОШИБКИ КВАЗИОПТИМАЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ С ОБРАТНЫМИ 
СВЯЗЯМИ ПО ДИСКРЕТНЫМ ПАРАМЕТРАМ ДЛЯ ПРИЕМА 
И  ОБРАБОТКИ BOC-СИГНАЛОВ В  ГЛОБАЛЬНЫХ НАВИГАЦИОННЫХ 
СПУТНИКОВЫХ СИСТЕМАХ
© 2024 г.  М. С. Ярлыков 
Редакция журнала “Радиотехника и электроника”,
ул. Моховая, 11, стр. 7, Москва, 125009 Российская Федерация
E-mail: red@cplire.ru 
Поступила в редакцию 27.05.2023 г. 
После доработки 14.06.2023 г.  
Принята к публикации 25.06.2023 г.
Выполнена оценка потенциальной точности и  помехоустойчивости синтезированных на  базе 
марковской теории оценивания с использованием метода с обратными связями по дискретным 
параметрам квазиоптимальных алгоритмов приема и обработки шумоподобных сигналов и, в частности, 
BOC-сигналов, предназначенных для применения в  глобальных навигационных спутниковых 
системах, таких как GPS (США), Galileo (Евросоюз), ГЛОНАСС (Россия) и BeiDou (Китай). Получены 
аналитические соотношения для дисперсии квазиоптимальной ошибки оцениваемой случайной фазы 
и вероятности ошибочного приема дискретного параметра принимаемых BOC-сигналов. Приведены 
результаты расчета характеристик точности этих параметров. Построены соответствующие графики.
Ключевые слова: BOC-сигнал, глобальная навигационная спутниковая система, шумоподобный сигнал, 
апостериорная плотность вероятности, марковская теория оценивания, вероятность ошибочного 
приема, дисперсия квазиоптимальной ошибки, ГЛОНАСС, Galileo, GPS, BeiDou
DOI: 10.31857/S0033849424080017, EDN: HPCZGG

Ярлыков
РАДИОТЕХНИКА  И  ЭЛЕКТРОНИКА        том   69       № 8         2024
размещается на  стационарном объекте, например маяке, морском буе и т.п. При этом НП представляет собой случайную фазу φ (t) принимаемого BOC-сигнала, описываемую винеровским 
процессом.
Определение текущих координат объекта, как 
обычно, в ГНСС основывается на псевдодальномерном беззапросном методе, при котором требуется одновременная видимость минимум четырех 
навигационных космических аппаратов (НКА) [1, 
2]. Кроме того, для вычисления на основе измеренных псевдодальностей прямоугольных координат 
объекта (например, в системе ПЗ-90 или WGS-84) 
в приёмнике необходимо располагать служебной 
информацией (СИ), которая представляет собой 
для каждого НКА сведения об эфемеридах, альманахе, поправках к бортовой шкале времени (ШВ) 
и т.д., получаемые с помощью ДП [1, 2]. При этом 
ДП представляет собой манипулируемую фазу принимаемого BOC-сигнала s (t) от какого-либо одного 
НКА.
В работе рассматриваем упрощенную постановку задачи, при которой полагаем, что принимается 
сигнал только от одного НКА, а оцениваемые НП 
и ДП представляют собой скаляры. Как обычно, 
принимаем, что выполняется оправдываемое практикой ограничение на скорость изменения фазы 
сигнала s (t): τкор >> T, где τкор – время корреляции 
случайной фазы φ (t), T – длительность тактового 
интервала BOC-сигнала s (t) [7–10]. При такой постановке задачи результаты анализа точности приемников BOC-сигналов удается получить в виде 
аналитических соотношений.
Цель данной работы – на базе МТО с использованием метода синтеза с обратной связью по ДП 
рассчитать дисперсию квазиоптимальной ошибки 
оценивания НП φ (t) и вероятность ошибочного 
приема ДП Θk применительно к синтезированным 
квазиоптимальным алгоритмам для приема и обработки BOC-сигналов приемников ГНСС, а также 
построить соответствующие графики.
В определенной мере данная работа является 
продолжением и развитием [11, 12].
В примерах рассматриваются двоичные фазоманипулированные ШПС, используемые в ГНСС 
типа ГЛОНАСС и GPS, а также sinBOC-сигналы 
типа BOC(1,1) и BOC(10,5), которые применяются 
GPS и Galileo [3–6].
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Как отмечали, для упрощения выкладок всюду 
полагаем, что объект, на котором установлен приемник ГНСС является стационарным. Кроме того, 
принимаем, что на входе приемника наблюдается 
BOC-сигнал от какого-либо одного НКА. В такой 
постановке наблюдение на входе приемника ГНСС 
представляет собой аддитивную смесь полезного 
BOC-сигнала и шума: 
	
ξ (t) = s (t) + n (t), t ∈ [t0,t),
(1)
где s (t) – принимаемый полезный BOC-сигнал от 
НКА на входе приемника ГНСС; n (t) – аддитивная 
флуктуационная помеха.
Флуктуационная помеха n (t), аппроксимируемая стационарным белым гауссовским шумом 
(БГШ), имеет статистические характеристики, которые представим в виде 
	
M n t
M n t n t
N
( )

=
( )
+
(
)

=
0
1
2
0
;
,
τ
δ τ 
(2)
где N0 – интенсивность БГШ, M [·] – символ математического ожидания (МО), δ|τ| – дельта-функция.
Принимаемый BOC-сигнал s (t) с использованием для передачи СИ двоичной фазовой манипуляции (ФМ) определяется следующим соотношением 
[4, 6, 11]: 
s (t) = s (t,Θ (tk), φ (t)) = 
	
= A0d(t)cos[ω0t + Θ (tk) π + φ (t)],
(3)
где A0 – амплитуда BOC-сигнала от НКА на входе 
приемника ГНСС; d(t) – МФ BOC-сигнала s (t), отражающая специфику навигационных ШПС и собственно BOC-сигналов; ω0 = 2πf0 – круговая несущая частота BOC-сигнала; f0 – несущая частота 
BOC-сигнала; Θk = Θ (tk) – ДП, содержащий СИ от 
НКА; φ (t) – фаза принимаемого BOC-сигнала s (t); 
tk = t0 + kT (T = const, k = 0,1,2,..). Начало отсчета 
в (3) принято равным t0 = 0.
Применительно к (3) имеем, что ДП Θk представляет собой последовательность двоичных 
символов длительностью T =


t
t
k
k
+ −
1
. Длительность такта T ДП Θk для ГНСС типа GPS, Galileo 
и  ГЛОНАСС равна длительности посылки СИ: 
T =τСИ= 20 мс [1,2].
Принимаемый BOC–сигнал s (t)(3) можно представить в виде: 
s t
s t
t
t
s
t
t
A d t
t
t
k
k
  


 

 
 

 
 

 

,
,
,
[







1
0
0
1
cos
при

 

  
 

 








0
1
2
0
0
2
;
,
[
.
.
s
t
t
A d t
t
t
k




cos
при


 
(4)
Видно, что для двоичных противоположных 
ФМ-сигналов и, в частности, BOC-сигналов s (t)
согласно (4) выполняется равенство 
s
t
t
s
t
t
1
2














,
,
.
ϕ
ϕ
( )
(
)=−
( )
(
) 
(5)
Полагаем, что ДП Θk описывается простой 
симметричной цепью Маркова на два состояния 

	
ОШИБКИ КВАЗИОПТИМАЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ
703
РАДИОТЕХНИКА  И  ЭЛЕКТРОНИКА        том   69       № 8         2024
и может принимать одно из значений ϑi, где i = 1 
или 2, с одношаговыми вероятностями переходов, 
равными 1/2.
Возможные переходы ДП Θk из одного состояния в другое являются дискретными и определяются выражением 
t
t
kT
k =
+
0
, где k = 0, 1, 2, 
На каждом тактовом полуинтервале времени 
t
t
k
k
,
+

)
1 , где k = 0 1 2
, , ,..



, ДП Θ tk
( ) остается постоянным и описывается априорным уравнением
d
t
dt
k
( ) = 0,
Θ
 где t
t
t
k
k
∈
)
+
,
1 , k = 0 1 2
, , ,.... (6)
Матрица однотактовых вероятностей перехода 
и вектор вероятностей начального состояния ДП 
Θ tk
( ) известны и соответственно имеют вид [9, 10]:
π
π



 

t
t
k
i l
k
(
) =
( )

, где
 
=
−
(
)
0
0
t
P
k
k
=
+
{
}
Θ
Θ
π
ϑ
ϑ
i l
l
k
i
t
t
( )
(
)
=
|
,

i l,
,
= 1 2; 
	
P
t
P
P
θ
ϑ
ϑ
0
1
2
( ) =
=
(
)
=
(
)






Θ
Θ
.
(7)
Для двоичных сигналов матрицу однотактовых 
вероятностей перехода можно записать:
π
π



 

t
t
p q
q
p
k
i l
k
(
) =
( )

= 


, где p
q
+
= 1
.
Часто принимают, что p
q
=
= 1
2
/ .
Случайная фаза  t  принимаемого BOC-сигнала s t( ) (3) описывается винеровским процессом 
и определяется уравнением [8–10] 
	

 




 
 
 

d
t
d t
n
t
t
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
( ) =
( )
( ) =
,
,
0
0 
(8)
где n
t
ϕ ( ) – стационарный БГШ с  известными 
характеристиками: 
	
M n
t
M n
t n
t
N
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
τ
δ τ
( ) =]
[
( )
+
(
)

=
0
1
2
;
, 
(9)
Nϕ – односторонняя спектральная плотность фазовых флуктуаций.
Применительно к ГНСС МФ d t( ) у BOC-сигналов s t( ) (3) в типовом случае является результатом перемножения двух двоичных последовательностей: собственно ПСП дальномерного кода g t( ) 
и МПК r t( ) (специфика BOC-сигналов) [3, 4, 6].
В таком случае МФ d t( ) BOC-сигнала s t( ) (3) записывается в виде [3, 4, 6] 
	
d t
t
g t
t
r t
t
−
(
) =
−
(
)
−
(
)
0
0
0



 ,
(10)
где g t  – ПСП дальномерного кода, характеризующая специфику навигационных ШПС, и r t( ) – 
МПК, отражающее специфику BOC-сигналов s t( ).
Формула, описывающая один период ПСП 
дальномерного кода g t( ), имеет вид [1, 2, 6] 
	
g t
t
t
k
t
k
L
k
С
С
−
(
) =
−
−


=
−
∑
0
0
1
0

 






ν
τ
τ
rect
,	
(11)
где L  – коэффициент расширения спектра, т.е. 
число элементов на периоде ПСП g t( ); τС– длительность элемента (символа) ПСП g t( ); k = 0, 1, 
2, ... , (L – 1).
Кодовые коэффициенты νк, образующие ПСП 
дальномерного кода g t( ) (11), принимают на каждом ее элементе длительностью τС значения +1 
или –1 согласно закону чередования элементов 
на ее периоде. Функция rectτС ⋅[ ] в (11) представляет собой импульс единичной амплитуды и длительностью τ:
rect
при
при





С t
k
k
t
k
k
t
С
С
С
С

 





 
 




 
 


 
 
 







 






1
1
0
;







k
С
1  , где
	
k
L














 

=
−
(
)
0 1 2
1
, , ,
,
.


(12)
Частота следования элементов ПСП g t( ) равна 
fС= 1/ fС. Для длительности периода ПСП g t( ) (10) 
выполняется соотношение
	
T
L
L
С

 .
(13)
Например, дальномерный код стандартной точности в ГНСС типа ГЛОНАСС представляет собой 
периодическую последовательность максимальной длины (М-последовательность) с периодом 
TL = 1 мс и частотой следования элементов ПСП 
fС = 511 кГц [2, 5, 6]. В ГНСС типа GPS дальномерный C/A код является периодической последовательностью Голда с периодом TL= 1 мс и частотой следования элементов ПСП fС= 1.023 МГц 
[2, 5, 6]. У ГНСС ГЛОНАСС длительность элемента ПСП g t( ) τС ≈ 2 мкс и длительность информационной посылки ДП Θ
 tk
( )  TL = τси = 20 мс [1, 2, 6]. 
У ГНСС Galileo для E1OS сигналов и ГНСС GPS 
для L1C сигналов длительность элемента ПСП 
g t( ) τС ≈ 1 мкс и длительность информационной 
посылки ДП Θ (tk) равна τси = 20 мс [1, 2, 6].
В формуле (10) МПК r t( ) определяется следующим выражением [3–6]: 
	
r t
t
( ) =
[
]
sign sin(
M
ω

 ) , 	
(14)
где ω
π
M
M
= 2 
 f
 – круговая частота МПК r t( ), M

 f
 = 
1/TМ– частота МПК r t( ), TМ= 2τМ– период МПК, 
τM – длительность импульса МПК (меандрового 
импульса), функция «сигнум» z равна
	
sign z
z
z
z
=
>
=
<



1
0
0
0
1
0
,
;
,
;
,
.

 
 
 


 
 
 


 
 
 


(15)

Ярлыков
РАДИОТЕХНИКА  И  ЭЛЕКТРОНИКА        том   69       № 8         2024
Видно, что выполняется соотношение 
	
fM
M




 

=
1
2τ
.
(16)
Различные типы BOC-сигналов характеризуются коэффициентом кратности меандровых импульсов NM, который равен количеству импульсов 
МПК r (t), укладывающихся на длительности элемента ПСП g (t) [3–6]: 
	
N
f
f
С
С
M
M
М
=
=
=
τ
τ
α
β
2
2






,
(17)
где α = fМ
fОП
 и β = fС
fОП
 – параметры меандровой модуляции BOC-сигналов.
На рис. 1 представлены графики МПК r (t), ПСП 
дальномерного кода g (t) (при произвольно заданной в примере реализации) и МФ d (t) BOC-сигналов при коэффициенте кратности меандровых 
импульсов NМ = 4, что соответствует, например, 
типу меандровой модуляции BOC(10, 5), характерной для BOC-сигналов M-кода ГНСС GPS [3, 5].
Оптимальную (квазиоптимальную) оценку 
фазы φ (t) (8) принимаемого BOC-сигнала s (t) (3) 
получим в  соответствии с  критерием минимума дисперсии оптимальной (квазиоптимальной) 
ошибки оценивания фазы φ (t) [10–13].
Применительно к  ДП Θk принимаемого 
BOC-сигнала s (t) (3) пороговый уровень решающего 
устройства приемника устанавливается таким, чтобы вероятность Peθ ошибочного приема двоичных 
символов ДП Θk была бы минимальной [10–13].
Таким образом, поставленная задача в соответствии с (1)–(3), (6)–(9) заключается в нахождении 
ошибок оптимальных (соответствующих квазиоптимальных) оценок компонент векторного марковского ДНП [φ (t),Θ (tk)]T.
Рис. 1.

	
ОШИБКИ КВАЗИОПТИМАЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ
705
РАДИОТЕХНИКА  И  ЭЛЕКТРОНИКА        том   69       № 8         2024
2. ОПТИМАЛЬНЫЕ 
И КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ 
ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНОГО ПРОЦЕССА  
[φ (t),Θ (tk)]T
Задача оптимального оценивания состоит в том, 
чтобы, имея наблюдение ξ t( ) (1)–(3) и располагая 
априорными сведениями о ДНП [φ (t),Θ (tk)]T (6)–
(9), получить оптимальные оценки НП φ (t) и ДП 
Θ (tk). Отметим, что в работе всюду каждый вектор 
представляет собой вектор-столбец.
Оптимальная оценка НП φ (t) должна удовлетворять критерию минимума апостериорного риска 
при квадратичной функции потерь [8–10]. Оптимальной оценкой φ̂ (t) случайной фазы φ (t), удовлетворяющей этому критерию, является ее апостериорное МО: 
	
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ











 



t
M
t
p
t
d
ps
ps
( ) =
( )
{
} =
(
)
∫
,
, 
(18)
где 
	
p
t
p t
ps
t
t







,
, |
ϕ
ϕ ξ
(
)
(
)

0 
(19)
– АПВ случайной фазы φ (t); ξ
ξ τ
τ
t
t
t
t
0
0
=
( )
∈

{
}






:
,
 –
реализация наблюдения ξ t( ) на отрезке t
t
0,

.
Если АПВ p
t
ps



,ϕ
(
)  является унимодальной 
и гауссовской, то оптимальная оценка ϕ  (t) согласно критерию (18) и критерию максимума АПВ совпадают [9, 10, 14], что и используем в дальнейшем.
Оптимальная оценка Θ  (tk) ДП Θ (tk) должна 
удовлетворять критерию минимума апостериорного риска при простой функции потерь, что эквивалентно критерию максимума апостериорной 
вероятности (АВ) ДП Θ   (tk) [8 -10]: 
t
P
t
k
i
ips
k




 





1
1
0
0
1
2










 
 

:
,
max
и

(20)
где P
t
ips
k+ −
(
)
1
0
  – АВ состояния ДП Θ (t) в момент 
времени t
tk
=
−
+1
0.
Применительно к методу синтеза с обратными связями по ДП, если в (18) и (19) АПВ p
t
ps


,

 
принимается гауссовской и выполняются при достаточно высокой апостериорной точности оценивания P
t
ips
k
( ) приближенные равенства 
(
)
(
)
( )
(
)
 
 
  
 
,
ips
k
ips
k
ips
k
P
t
P
t
P
t
t
≈
≈
ϕ
ϕ

(21)
то формируются квазиоптимальные оценки НП 
* t  и ДП 
( )
Θ*
kt
 [8–11].
Таким образом, чтобы получить квазиоптимальную оценку фазы ϕ* t( ), полагаем, что выполняется 
условие 
	
p
t
t
t
K t
ps
*
*
,
;
,




 





ϕ
ϕ
ϕ
(
) =
( ) −
( )
( )
{
}
N

(22)
где N – символ гауссовского закона распределения; 
звездочка * означает, что АПВ p
t
ps
,




ϕ
(
) (19) аппроксимирована гауссовской кривой (22); 
	





*
*
t
M
t
p
t
d
ps
ps
  
 

 











 

,

(23)
– квазиоптимальная оценка фазы φ t( ): 
	
K t
M
t
t
t
t
p
t
ps
ps
  
  
 





  
 







 




 









*
*
*
2
2
,


 




d

(24)
– апостериорный одномерный центральный момент второго порядка (дисперсия) квазиоптимальной ошибки оцениваемой фазы φ (t).
Согласно (22) АПВ p
t
ps
*
,
 
ϕ
(
) полностью описывается первыми двумя моментами, которые с учетом (1), (3), (6), (8) характеризуются следующими 
уравнениями [8–10]: 
( )
( )
(
)
( )
Θ
  
   
 
  
   
 
*
*
*
0
0
,
,
;
d
t
F
t
K t
t
dt
ϕ = ϕ
ϕ
∂
ϕ
=
ϕ
= ϕ
∂ϕ
	
( )
( )
(
)
Θ
   
 
 
 
*
2
2
2
,
,
2
N
dK t
F
t
K
t
dt
ϕ
ϕ=ϕ
∂
ϕ
=
+
∂ϕ

(25)
где 
F
t
F
t
P
t
i
i
ips

,
,



(
) =
(
)
(
)
=∑
1
2
– производная по времени от усредненного по ДП 
Θ(tk) парциального (i-го) логарифма функционала 
правдоподобия (ЛФП) F
t
i


,ϕ
(
)  оцениваемой фазы 
 t .
Парциальный (i-й) ЛФП Θi (t,φ) оцениваемой 
фазы  t  равен [9, 11–13]
	
i
t
t
i
t
F
d
k






,
,

 


 



, где i
= 1 2
, .
(26)
Для двоичных противоположных ФМ-сигналов 
(binary phase shift keying signals – BPSK-сигналов) и, 
в частности, BOC-сигналов производная по времени от усредненного по ДП Θ(tk) парциального (i-го) 
ЛФП F
t

,

 характеризуется следующей формулой [13]: 
	
F
t
F
t
t


,
,
,
,



*
*
*
th

 




1
1 


(27)
где F t
1 ,ϕ

(
) согласно (1)–(5) и с учетом того, что 
φ t( ) – неэнергетический параметр, определяется 
на основе следующего выражения [10, 11–13]:
	
F
t
N
t s
t
t
i
i
,
,




 












 
 


2
0
, где i
= 1 2
, ,
(28)
а парциальный ЛФП Φ1 
 
t,ϕ
(
) вычисляется в соответствии с (26).
Видно, что согласно (5) для двоичных противоположных ФМ-сигналов и, в частности, BOC-сигналов s t( ) выполняется равенство 
	
F t
F
t
1
2
,
,
.
ϕ
ϕ

 



 

(
)=−
(
) 
(29)