Вопросы атомной науки и техники. Серия: Математическое моделирование физических процессов , 2023, № 1

Г л а в н ы й
р е д а к т о р
Шагалиев Р. М.
З а м е с т и т е л и
г л а в н о г о
р е д а к т о р а :
Алексеев А. В., Тишкин В. Ф.
О т в е т с т в е н н ы й
с е к р е т а р ь :
Соколовская Е. В.
Ч л е н ы
р е д к о л л е г и и :
Бартенев Ю. Г., Бетелин В. Б., Бочков А. И., Вронский М. А.,
Дрёмов В. В., Залялов Н. Н., Кибзун А. И., Козелков А. С.,
Козманов М. Ю., Куркин А. А., Мартынов А. П., Петров И. Б.,
Прилуцкий М. Х., Смирнов Н. Н., Соколов С. С., Старостин Н. В.,
Степаненко С. А., Храмченков М. Г., Четверушкин Б. Н.,
Шестаков А. А., Янилкин Ю. В.
Адрес редакции и издателя: 607188,
г. Саров Нижегородской обл., пр. Мира, 37
тел.: (83130)28406, е-mail: sokol@vniief.ru.
Адрес сайта журнала: http://vant.vniief.ru/
c⃝ФГУП "РФЯЦ-ВНИИЭФ", 2023

ФГУП "РОССИЙСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЯДЕРНЫЙ ЦЕНТР — ВНИИЭФ"
ВОПРОСЫ
АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ
СЕРИЯ
Математическое моделирование
физических процессов
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ СБОРНИК
ВЫПУСК 1
Саров — 2023
Издается с 1978 г.
С О Д Е Р Ж А Н И Е
Янилкин Ю. В., Гужова А. Р., Дегтяренко Л. И., Колобянин В. Ю., Шмелёв В. А. Учет
истории процесса перемешивания при прямом численном моделировании турбулентности в
двумерных задачах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Шестаков А. А. Об устойчивости разностных схем TVDR для решения одномерного уравнения переноса излучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Разин А. Н., Змушко В. В., Синельникова А. А. Влияние диссипативных погрешностей методики
МИМОЗА
на
скорость
изменения
кинетической
энергии
при
распаде
вихря
Тейлора—Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Колобянин В. Ю., Чистякова И. Н. Программа ЭГИДА-TECT для численного исследования
параметров высокопроизводительных вычислительных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Запонов А. Э. Валидация модели нагрева пластины из алюминиевого сплава АМГ-6 непрерывным лазерным излучением в программном модуле "Логос Тепло" . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Анисина И. М. К вопросу о зависимости средних значений вертикальных сил, действующих
на рельс, от скорости поезда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Потехин А. Л. Обработка в системе ScientificView результатов моделирования с использованием трехмерных структурированных сеток и адаптивно-встраиваемых подсеток
. . . . . . . 68
Сидоров М. Л., Агапова Т. С. Алгоритм построения двойственных сеток в задачах вычислительной гидрогеологии с использованием распараллеливания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Сведения об авторах
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

C O N T E N T S
Yanilkin Yu. V., Guzhova A. R., Degtyarenko L. I., Kolobyanin V. Yu, Shmelyev V. A. Consideration of the mixing process history in the direct numerical simulation of turbulence for 2D
problems
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Shestakov A. A. On instability of TVDR difference schemes for solution of the 1D radiation
transport equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Razin A. N., Zmushko V. V., Sinelnikova A. A. The influence of dissipative errors of MIMOZA
code on the rate of changes of kinetic energy in the Taylor-Green vortex decay process . . . . . . . . 29
Kolobyanin V. Yu., Chistyakova I. N. The EGIDA-TEST code for numerical study of the highperformance computer parameters
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Zaponov A. E. The "Logos Heat" program module: Validation of the model of heating a plate
made of aluminum alloy AMG-6 by laser radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Anisina I. M. The dependence of mean values of vertical forces affecting a rail on the train
velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Potekhin A. L. Processing of modeling results in the ScientificView system using 3D structured
meshes and adaptively nested sub-meshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Sidorov M. L., Agapova T. S. An algorithm of building dual meshes with parallelization to solve
computational hydrogeology problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Information about authors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Ответственный за выпуск Е. В. Соколовская
Редактор
Е. Н. Старченко
Корректоры
Т. А. Меркушева
Е. А. Окатьева
А. В. Федоренко
Дата выхода в свет 25.03.2023
Формат 60×84/8
Усл. печ. л. ∼11
Уч.-изд. л. ∼14
Тираж 1000 экз.
Зак. тип. 2348-2022
8 статей
Учредитель: ФГУП "РФЯЦ-ВНИИЭФ"
Свидетельство о регистрации ПИ №ФС77-29789 от 04 октября 2007 г.
выдано Роскомнадзором
Оригинал-макет подготовлен
в Математическом отделении ФГУП "РФЯЦ-ВНИИЭФ"
Отпечатано в ИПЦ ФГУП "РФЯЦ-ВНИИЭФ"
607188, г. Саров Нижегородской обл., ул. Силкина, 23
c⃝ФГУП "РФЯЦ-ВНИИЭФ", 2023

ВАНТ, сер. Математическое моделирование физических процессов. 2023. Вып. 1
УДК
519.6
УЧЕТ ИСТОРИИ ПРОЦЕССА ПЕРЕМЕШИВАНИЯ
ПРИ ПРЯМОМ ЧИСЛЕННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
В ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ
Ю. В. Янилкин, А. Р. Гужова, Л. И. Дегтяренко, В. Ю. Колобянин, В. А. Шмелёв
(ФГУП "РФЯЦ-ВНИИЭФ", г. Саров Нижегородской области)
Предлагается новый подход к прямому численному моделированию турбулентного
перемешивания разноплотных смешивающихся и несмешивающихся веществ.
Идея
подхода заключается в том, чтобы в смешанных ячейках, содержащих перемешивающиеся вещества, разделить состояния гомогенных смесей и гетерогенных смесей, состоящих из фрагментов с контактными границами. Описывается метод решения двумерных задач, разработанный в методике ЭГАК для реализации описанного выше подхода.
Метод тестируется на классической задаче турбулентного перемешивания, возникающего вследствие неустойчивости Рэлея—Тейлора при постоянном ускорении контактной границы между двумя разноплотными газами.
Ключевые слова: неустойчивость Рэлея—Тейлора, зона турбулентного перемешивания, прямое численное моделирование, степень гомогенного смешения, методика ЭГАК.
Введение
В последние годы для исследований турбулентности все большее значение приобретает
подход, основанный на прямом численном моделировании (ПЧМ), т. е.
численном решении
уравнений Эйлера или Навье—Стокса без использования каких-либо дополнительных моделей на сеточном уровне.
В
работе
предлагается
новый
подход
к
ПЧМ турбулентного перемешивания разноплотных смешивающихся и несмешивающихся веществ. Идея подхода заключается в том, чтобы
в смешанных ячейках, содержащих перемешивающиеся вещества, разделить состояния гомогенных смесей и гетерогенных смесей, состоящих из
фрагментов с контактными границами (КГ).
Одна из ключевых проблем при предлагаемом
подходе — это определение локальной (по пространству) степени гомогенного смешения. Под
термином локальная понимается то, что определение степени гомогенного смешения производится для каждой смешанной ячейки, содержащей два и более веществ. Вторая возникающая
проблема — это корректный расчет движения
смесей при определении потоков из одной ячейки
в другую. Наконец, третья проблема — это учет
истории перемешивания, заключающийся в том,
чтобы вещества, перешедшие в состояние гомогенного смешения, оставались в этом состоянии
до конца счета.
Широкое применение при моделировании течений с большими деформациями КГ нашел метод концентраций (VOF) [1, 2], позволяющий
аппроксимировать уравнения для многокомпонентной среды в эйлеровых переменных на неподвижной счетной сетке. Данный метод позволяет локализовать положение КГ с точностью до
одной счетной ячейки. При использовании подробных счетных сеток этого вполне достаточно
для корректного моделирования движения КГ.
Метод концентраций изначально был разработан для моделирования течений с четко выделенными КГ и в силу этого обладает свойством
самолокализации положения КГ в процессе счета. В методе потоки из смешанных ячеек рассчитываются таким образом, чтобы минимизировать количество смешанных ячеек, что позволяет лучше определять положение КГ. Тем самым метод в процессе счета ограничивает характерную для эйлеровых методов счетную диффузию контактных разрывов. В то же время он допускает существование ячеек, содержащих смеси веществ. Однако существуют методы, в ко– 3 –

Ю. В. Янилкин, А. Р. Гужова, Л. И. Дегтяренко, В. Ю. Колобянин, В. А. Шмелёв
торых смеси в ячейках вообще не допускаются:
предполагается, что в них, в крайнем случае, находятся фрагменты веществ, границы которых
могут быть локализованы. К таким методам относятся, например, MOF [3], являющийся дальнейшим развитием метода VOF, и метод, реализованный в работе [4].
Метод
концентраций
позволяет
проводить
ПЧМ турбулентного перемешивания двух и более разноплотных несмешивающихся веществ в
широком диапазоне чисел Маха.
В настоящей
работе под ПЧМ понимается численное решение двумерных (2D) газодинамических уравнений Эйлера без использования каких-либо моделей турбулентности. Широкий набор задач турбулентного перемешивания, исследованных методом ПЧМ по методике ЭГАК [5] с использованием метода концентраций, представлен в книге [6].
При турбулентном перемешивании смешивающихся веществ КГ между веществами размывается и вместо нее возникает зона, содержащая
смесь веществ, поэтому стандартный метод концентраций в этом случае непригоден и требуется его модификация. Отметим, что самый простой способ моделирования перемешивания смешивающихся веществ заключается в отказе от
их представления как отдельных компонентов со
своими объемными концентрациями и термодинамическими параметрами [7]. Однако этот подход непригоден для моделирования течений, содержащих вещества с различающимися моделями среды и уравнениями состояний.
Особое место среди физических процессов,
включающих турбулентное перемешивание, занимает процесс горения, как химического, так и
термоядерного. Особенностью данного процесса
является то, что он сильно зависит от степени
смешения участвующих в горении веществ, т. е.
от того, находятся вещества в состоянии гомогенного смешения или состоят из гетерогенных
фрагментов.
При ПЧМ для определения степени гомогенности широко используется модель, предложенная в [8], далее это модель 1. С использованием этой модели выполнен ряд исследований задачи гравитационного перемешивания. Расчеты
проводились в двух постановках.
В одной из
них вещества представлялись одним компонентом (концентрацией) с одним уравнением состояния. Во второй постановке вещества описывались разными компонентами, каждый со своей
плотностью, энергией, объемной долей и, вообще говоря, своим уравнением состояния.
Анализ показал, что имеются, во-первых, значительный разброс расчетных данных по интегральной
степени гомогенности Θ в зависимости от постановки расчетов и, во-вторых, значительное отличие некоторых расчетных данных от экспериментальных значений. В [7] установлена связь
значения Θ с методом расчета (с выделением
границы раздела или без него), а также способом обработки результатов. Показано, что для
несмешивающихся жидкостей (в расчетах этому случаю соответствует выделение КГ между
компонентами смеси) значения Θ лежат в пределах 0,25—0,3. К сожалению, экспериментальные данные имеются лишь для смешивающихся
жидкостей и отсутствуют для несмешивающихся. Если задачу моделировать без выделения веществ (в предположении только одного компонента), результаты расчетов согласуются с опытными данными для смешивающихся веществ.
По модели 1 интегральную степень гомогенности Θ находят для фрагмента задачи или для
всей зоны турбулентного перемешивания (ЗТП).
Для локального определения степени гомогенности в отдельной ячейке использование модели затруднено или требует большого объема
вычислений из-за необходимости рассмотрения
значительного числа счетных ячеек из окружения данной ячейки. Используемая ниже модель
КГ (модель 2) предназначена прежде всего для
определения именно локальной степени гомогенности, для нее требуется информация о состоянии минимального количества соседних ячеек.
Первоначальный вариант алгоритма, реализующего модель 2, представлен в [9]. Для его тестирования используется модель 1.
Отметим также работу [10], в которой для описания интегральной степени гомогенного смешения предложена оригинальная феноменологическая модель. Однако полученные в [10] формы
профилей θ (далее так обозначается степень гомогенности в слое ячеек) существенно отличаются от тех, которые получаются при использовании модели 1, общепринятой в научной среде, поэтому в работе [9] и в данной работе модель [10]
не используется.
Эксперименты и расчеты показывают, что в
процессе перемешивания степень гомогенности
сильно зависит от того, являются вещества смешивающимися или несмешивающимися. Отметим, что модель 1 может применяться как для
смешивающихся, так и несмешивающихся веществ. Например, в расчетах трехмерных (3D)
– 4 –

Учет истории процесса перемешивания при прямом численном моделировании турбулентности. . .
задач гравитационного перемешивания в ЗТП
интегральная степень гомогенного смешения для
несмешивающихся веществ Θ ∼0,25 ÷ 0,3, а
для смешивающихся Θ ∼0,75 ÷ 0,8. При большом разнообразии веществ, присутствующих в
реальных конструкциях, сложно классифицировать их по степени смешиваемости. Для численного моделирования, по-видимому, можно считать, что газы являются смешивающимися веществами, а конденсированные вещества и жидкости — несмешивающимися.
Другой возможный подход состоит в классификации веществ по
плотности (легкие — тяжелые).
Так как метод концентраций в эйлеровых расчетах по методике ЭГАК является основой для
моделирования задач, содержащих как устойчивые, так и неустойчивые КГ, возникает необходимость его модификации для реализации возможности моделирования течений веществ с такими
различающимися свойствами.
Метод концентраций сам по себе не предоставляет данных о состоянии веществ в ячейке. Поэтому в [9] для него при ПЧМ 2D и 3D задач
турбулентного перемешивания разработан специальный алгоритм, позволяющий определять
степень смешения веществ в любой смешанной
ячейке. Тестирование методики с этим алгоритмом на задаче гравитационного перемешивания
показало, что результаты моделирования с его
использованием согласуются с моделью 1 по интегральной степени гомогенного смешения.
Однако метод концентраций в процессе расчета перемешивания на КГ может негативным
образом сказаться на процессе смешения (из-за
его отмеченного свойства самолокализации), так
как может происходить обратный переход веществ в смешанных ячейках из состояния гомогенного смешения в гетерогенное. Поэтому в задачах, в которых необходимо знать степень гомогенного смешения в каждой смешанной ячейке в любой момент времени, обратный переход
должен быть запрещен.
Далее описывается алгоритм, позволяющий
учесть
историю
процесса
перемешивания,
а
именно обеспечивающий, чтобы вещества, уже
перешедшие в состояние гомогенного смешения,
оставались в этом состоянии и при дальнейшем
счете.
1.
Алгоритмы метода
Реализация описанного подхода проведена в
рамках 2D методики ЭГАК, используемой для
решения уравнения невязкой газовой динамики
в форме Эйлера.
Соответствующий метод состоит из следующих алгоритмов:
– определения состояния смешения в смешанной ячейке (на основе модификации разработанной в [9] модели 2);
– расчета движения смесей;
– учета истории перемешивания для запрета
обратного перехода смеси из гомогенного состояния в гетерогенное.
1.1.
Определение состояния веществ в
смешанной ячейке.
1.1.1.
Случай несмешивающихся веществ.
Для несмешивающихся веществ используется
модель 2. Она предложена в [9] и основана на
следующих двух предположениях:
1. Вещества в смешанной ячейке могут находиться только в одном из двух состояний: либо в гомогенно перемешанном, либо
в неперемешанном, т. е. в виде гетерогенных
фрагментов с КГ раздела. Промежуточные
состояния не идентифицируются.
2. Определение степени смешения производится по критерию: возможно в данной ячейке
восстановить КГ или нет. В первом случае
полагается, что вещества находятся в неперемешанном состоянии, во втором случае —
в гомогенно перемешанном.
Соответствующий алгоритм представляет собой упрощенный алгоритм метода концентраций, который по полю объемных концентраций
может восстановить положение КГ в ячейке (если она есть). В данном случае необходимо определить лишь факт наличия или отсутствия КГ в
смешанной ячейке. Подробности алгоритма описаны в [9]. Более простой способ, использованный в настоящей работе, заключается в проверке
наличия хотя бы одной чистой соседней ячейки.
Если такая ячейка имеется, то в рассматриваемой смешанной ячейке содержится КГ, в противном случае — смесь.
Отметим, что данный алгоритм дает возможность локального (в каждой смешанной ячейке) определения степени гомогенности при ПЧМ
турбулентного перемешивания для несмешивающихся веществ на конкретный момент времени.
1.1.2. Случай смешивающихся веществ. Как
уже отмечено, моделирование смешивающихся
– 5 –

Ю. В. Янилкин, А. Р. Гужова, Л. И. Дегтяренко, В. Ю. Колобянин, В. А. Шмелёв
веществ может быть проведено при объявлении разных веществ одним компонентом с одним
уравнением состояния. Однако в общем случае,
очевидно, этот подход непригоден, поэтому в методике ЭГАК разработан альтернативный подход, в котором такие вещества, оставаясь индивидуальными (со своими термодинамическими параметрами и объемными долями), объявляются так называемыми компонентами смеси.
В программе газовой динамики такие компоненты рассчитываются по алгоритмам, которые
несколько отличаются от тех, что используются
для стандартных компонентов. Отметим, что в
методике ЭГАК решение уравнений газовой динамики проводится в два этапа [5]:
1. В лагранжевой газовой динамике (первый
этап) расчет компонентов смеси ничем не
отличается от расчета стандартных компонентов. Укажем только, что для компонентов смеси из нескольких методов замыкания уравнений газовой динамики в смешанных ячейках [11, 12], имеющихся в методике,
необходимо использовать те, которые основаны на выравнивании давлений компонентов.
2. На эйлеровом (втором) этапе вычислений
при расчете конвективных потоков объема из смешанной ячейки в смешанную
смесевые компоненты выступают как один
компонент-смесь.
При этом общий поток
объема смеси распределяется между ее составными компонентами донорным методом, т. е.
пропорционально их объемным
долям в донорной ячейке.
Методы более
высокого порядка аппроксимации для распределения компонентов смеси не применяются.
Сделано это потому, что использование схем высокого порядка может приводить к существенному изменению состава
смеси. Расчет потоков из смешанной ячейки
со смесью в чистую ячейку осуществляется
по обычным алгоритмам метода концентраций для несмешивающихся компонентов без
представления смеси как отдельного компонента.
1.2. Учет истории процесса перемешивания. Ранее было отмечено свойство метода концентраций к самолокализации КГ, что корректно для задач с устойчивыми границами. Однако в задачах турбулентного перемешивания эта
особенность метода превращается в его недостаток, так как ведет к уменьшению гомогенного
перемешивания, особенно в задачах со смешивающимися компонентами. Тем не менее метод дает приемлемую точность результатов по степени
гомогенности в задачах с малыми конвективными потоками в численном решении. Это имеет
место, когда средние массовые скорости потока малы по сравнению со скоростью звука.
В
этом случае относительно малы и погрешности
аппроксимации потоковых членов, полученных
с использованием метода концентраций.
В задачах с большими конвективными потоками погрешности метода концентраций при расчете потоков из смешанных ячеек могут оказаться
существенными, так как количество таких ячеек в расчетах турбулентности сравнимо с общим
количеством ячеек в задаче.
В частности, это
может иметь место при определении степени гомогенности в ячейках, что существенно, например, для задач горения.
Далее описывается алгоритм, позволяющий
минимизировать погрешности метода концентраций
при
моделировании
перемешивания
несмешивающихся компонентов.
Моделирование для смешивающихся компонентов описано
в п. 1.1.2:
в этом случае компоненты просто
объявляются смесевыми и далее описываются
как смесь.
Алгоритм моделирования несмешивающихся
компонентов основан на учете истории перемешивания и следующих положениях:
1. Исходные перемешивающиеся компоненты
(список этих компонентов задается пользователем при расчете начальных данных) —
это обычные вещества, и их движение и взаимодействие со всеми другими компонентами рассчитываются по стандартному алгоритму метода концентраций.
Для каждого из этих компонентов заводятся дополнительные компоненты, являющиеся дубликатами исходных.
Дубликаты имеют те же
уравнения состояния и модели среды, однако, в отличие от исходных веществ, объявляются компонентами смеси. В начальный
момент времени они являются пустыми, т. е.
с нулевыми объемными долями и термодинамическими параметрами.
Отметим, что
если дубликаты не объявлять компонентами смеси, то они будут обычными компонентами и их движение будет описываться
по стандартным алгоритмам метода концен– 6 –

Учет истории процесса перемешивания при прямом численном моделировании турбулентности. . .
траций с той лишь разницей, что количество
компонентов при этом увеличится.
2. На каждом временном шаге в смешанных
ячейках, содержащих исходные компоненты, указанные в заданном пользователем
списке, определяется состояние смешения.
Если смешение гомогенное, то все компоненты переводятся в свои смесевые дубликаты.
Далее эти компоненты рассчитываются по
алгоритмам, описанным в п. 1.1.2.
3. Указанный алгоритм учета истории процесса реализован для неограниченного количества компонентов, при этом каждый тяжелый компонент может перемешиваться с любым легким, а в ячейке может быть несколько компонентов.
Еще раз подчеркнем, что проверки и переводы
в смесевые дубликаты выполняются только для
компонентов, указанных пользователем, и только в смешанных ячейках, содержащих эти компоненты или их дубликаты. Смешанные ячейки,
содержащие какие-либо другие компоненты, даже если один из компонентов входит в указанный пользователем список, в алгоритме не рассматриваются. Таким образом, описанный алгоритм позволяет учесть историю процесса перемешивания для определения локальной (в каждой
смешанной ячейке) степени гомогенного смешения при ПЧМ турбулентного перемешивания.
2.
Тестирование метода на задаче
о гравитационном перемешивании
Задача о гравитационном перемешивании —
это классический тест, на котором проводится
верификация и валидация методик для расчета
турбулентного перемешивания.
Имеются большая база расчетных данных, а также экспериментальные данные для одной из постановок.
Достаточно подробный обзор имеющихся данных представлен в [6]. Далее приводятся результаты моделирования задачи в разных постановках расчетов, которые сравниваются как с расчетными данными других авторов, так и с экспериментальными данными.
2.1. Постановка задачи и расчетов. В начальный момент два полупроcтранcтва, разделенные плоcкоcтью y = 0, заполнены покоящимися идеальными газами c плотноcтями ρ1 = 1
и ρ2 = 3.
Ускорение тяжести g = −1 направлено от тяжелого вещества к легкому. Счетная
область — квадрат со стороной 2π.
На границе раздела (в слое толщиной в одну ячейку) с
помощью генератора случайных чисел задаются случайные возмущения плотности δρ = ±ρ0δ,
где δ = 0,1.
Начальный профиль давления задавался исходя из условия гидростатического равновесия по
формуле
p (y) = p0 −
yZ
y1
ρ (y) gdy.
Здесь координата верхней грани y = 2,75, нижней — y1 = −3,53. Значение p0 = 50 обеспечивает достаточно корректное выполнение условия
несжимаемости для течения. Уравнение состояния — для идеального газа с постоянной адиабаты γ = 1,4. Счетная сетка состоит из квадратных ячеек с линейным размером h = 2π/1 000.
На всех границах счетной области задавалось
условие жесткая стенка.
Проведено три расчета задачи. Информация о
расчетах представлена в табл. 1. Отсутствие истории процесса в расчете 1 означает, что в нем
использовался метод концентраций без какихлибо модификаций.
Расчеты 2 и 3 проведены
с использованием разработанного метода. Расчет 2 проведен без объявления веществ компонентами смеси, т. е. в предположении несмешивающихся веществ; соответственно, он близок к
расчету 1, однако с запретом перехода дубликатов в исходные вещества.
Таблица 1
Характеристики расчетов
Наличие
Номер
История
у веществ
Тип веществ
расчета
процесса
признака
смесь
1
Нет
Нет
Несмешивающиеся
2
Есть
Нет
Несмешивающиеся
3
Есть
Есть
Смешивающиеся
2.2. Результаты расчетов. В табл. 2 приводятся известные экспериментальные данные и
результаты расчетов по интегральной (во всей
ЗТП) степени гомогенности для смешивающихся и несмешивающихся веществ, полученные по
– 7 –

Ю. В. Янилкин, А. Р. Гужова, Л. И. Дегтяренко, В. Ю. Колобянин, В. А. Шмелёв
Таблица 2
Экспериментальные и расчетные данные по интегральной степени гомогенного смешения Θ
для смешивающихся и несмешивающихся веществ (At — число Атвуда)
Источники данных
Смешивающиеся
Несмешивающиеся
вещества
вещества
[8], At ≈0,04 ÷ 0,05 (эксперимент для смешивающихся веществ)
0,6—0,7
[13], At = 0,5 (эксперимент для смешивающихся веществ)
∼0,7
[14], At = 0,5 (3D расчет)
0,8
0,3
[15], At = 0,5 (3D расчет)
0,7—0,75
0,25
[16], At = 0,5 (3D расчет)
0,75—0,8
[17], At = 0,5 (3D расчет)
0,75—0,8
[18], At = 0,5 (3D расчет)
0,75—0,8
[19], At = 0,5 (3D расчет)
0,75—0,8
[20], At = 0,5 (3D расчет)
0,75—0,8
0,25—0,3
модели 1.
В расчетах разных авторов, в том
числе по методике ЭГАК, интегральная степень
гомогенности Θ сильно зависит от свойств перемешивающихся веществ. Для смешивающихся жидкостей Θ ∼0,7 ÷ 0,8, а для несмешивающихся Θ ∼0,25 ÷ 0,3.
К сожалению, экспериментальные данные для несмешивающихся
жидкостей отсутствуют, а для смешивающихся
Θ ∼0,6 ÷ 0,7. Отметим, что результаты расчетов для смешивающихся веществ получены при
описании веществ одним компонентом без наличия КГ между ними.
На рис. 1 показаны картины распределения
плотности в расчетах 1 и 2 на момент времени t = 4,5, а на рис. 2 — объемные концентрации веществ-дубликатов. Из рис. 2 видно, какая
Рис. 1. Распределения плотности на момент времени t = 4,5: а — расчет 1; б — расчет 2
часть веществ к данному моменту времени перемешана на гомогенном уровне и перешла в новое
состояние (в новое вещество-дубликат).
На рис. 3 приводятся профили концентраций
всех веществ (напомним, что в расчете 2 вещество 3 является смесевым дубликатом вещества 1, а вещество 4 — дубликатом вещества 2).
Профили степени гомогенного смешения в
расчетах 1 и 2, полученные по модели 2, показаны на рис. 4.
Степень гомогенности для вещества ξ по модели 2 в каждом слое ячеек по
высоте (с одинаковой ординатой) определяется
по формуле
θξ =
N
X
i=1
Mгом
ξi
, N
X
i=1
Mξi,
– 8 –

Учет истории процесса перемешивания при прямом численном моделировании турбулентности. . .
Рис. 2. Распределения объемной концентрации веществ-дубликатов в расчете 2 на момент времени t = 4,5:
а — вещество 3 (дубликат вещества 1); б — вещество 4 (дубликат вещества 2)
Рис. 3.
Профили средних объемных концентраций
веществ в расчете 2:
— вещество 1;
— вещество 2;
— вещество 3;
— вещество 4
где Mξi — масса вещества ξ в ячейке i; Mгом
ξi
—
масса вещества ξ в ячейке i, в которой оно считается гомогенно перемешанным; суммирование
проводится по всем смешанным ячейкам i =
= 1, . . . , N соответствующего одномерного слоя,
содержащим данное вещество.
Для среды, состоящей из двух веществ, в целом степень гомогенности определяется по формуле
θ =
2
X
ξ=1
θξMξ
, 2
X
ξ=1
Mξ.
Рис. 4.
Профили степени гомогенного смешения:
а — для вещества 1 из расчета 1 (
) и веществадубликата 3 из расчета 2 (
); б — для вещества 2 из
расчета 1 (
) и вещества-дубликата 4 из расчета 2
(
)
– 9 –