Космические исследования, 2024, № 3

Российская академия наук
КОСМИЧЕСКИЕ 
ИССЛЕДОВАНИЯ
том 62      № 3      2024      Май–Июнь
Основан в 1963 г. 
Выходит 6 раз в год 
ISSN: 0023-4206
Журнал издается под руководством 
Президиума РАН
Главный редактор
чл.-корр. РАН А.А. Петрукович
Редакционная коллегия:
д. ф.-м. наук А.В. Грушевский, д. ф.-м. наук В.В. Калегаев,
д. ф.-м. наук Б.В. Козелов, д. ф.-м. наук В.Г. Курт,
д. ф.-м. наук Р.Ю. Лукьянова, д. ф.-м. наук М.Ю. Овчинников
чл.-корр. РАН В.Г. Петухов, акад. РАН Г.А. Попов,
д. ф.-м. наук В.В. Сидоренко, д. ф.-м. наук А.Г. Тучин,
к. ф.-м. наук И.В. Хатунцев, к. ф.-м. наук М.Г. Широбоков,
канд. ф.-м. наук Ю.С. Шугай, prof. Daniel Hestroffer
Зав. редакцией А.В. Фатеева
Адрес редакции: 117997, г. Москва, ул. Профсоюзная 84/32 
E-mail: kos.is@cosmos.ru
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Космические исследования” 
     (составитель), 2024
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука» 

СОДЕРЖАНИЕ
Том 62, номер 3, 2024
Модель потоков высокоэнергичных электронов на орбитах ГЛОНАСС
П. И. Шустов, А. А. Петрукович, А. В. Артемьев
239
Радиационная стойкость покрытия для космических аппаратов, полученного принтерной печатью
М. М. Михайлов, С. А. Артищев, А. Н. Лапин, С. А. Юрьев, В. А. Горончко, 
Н. С. Труфанова, О. А. Михайлова, Д. С. Федосов
249
О температурах аэродинамического нагрева сферических микрочастиц, моделирующих 
микробиологические объекты, входящие в атмосферу Земли с космическими скоростями
Е. К. Колесников, С. В. Чернов	

254
Оптимизация траекторий с малой тягой в переменных Кустаанхеймо–Штифеля
К. Р. Корнеев, С. П. Трофимов
264
Об асимптотических свойствах вековой части пертурбационной функции 
в ограниченной круговой задаче трех тел
П. С. Красильников, А. В. Доброславский
275
Управление процессом сближения тросовой системы с пассивным космическим объектом 
на околокруговой орбите
Ю. М. Заболотнов, Чанцин Ван, Чжэн Минь
285
Мультипольное представление поля притяжения астероида (433) Эрос
А. А. Буров, В. И. Никонов
295
Модельная задача о движении по леерной связи под солнечным парусом
В. С. Васькова, А. В. Родников
302
О движениях гантели в обобщенной круговой задаче Ситникова
П. С. Красильников, А. Е. Байков
311

КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2024, том 62, № 3, с. 239–248
ВВЕДЕНИЕ
Динамика потоков высокоэнергичных электронов во внешнем радиационном поясе земной 
магнитосферы контролируется широким спектром разномасштабных процессов, ответственных 
как за потери электронов, так и за их ускорение [1, 
2]. Основные причины потерь электронов — это 
различные эффекты резонансного взаимодействия волна — частица, приводящие к высыпанию 
электронов в ионосферу [3], а также эффекты радиального транспорта электронов, включающие 
транспорт к границе магнитосферы, магнитопаузе, 
и потери электронов за счет их ухода в магнитослой [4, 5]. Основными процессами, влияющими за 
ускорение электронов и рост их потоков, являются 
процессы локального ускорения за счет резонансного взаимодействия с волнами [6, 7] и процессы 
нагрева при радиальном транспорте [8–10]. Современные модели радиационных поясов включают 
детальное описание существенной части данных 
процессов [11–15], эффективность которых, как 
правило, определяется из статистических моделей 
волновой активности [16–19] и характеризуется 
индексами геомагнитной активности [20–22]. При 
этом несмотря на то, что точность расчетов и перечень рассматриваемых физических процессов 
в таких моделях постоянно растет, использование 
рассчитанных распределений потоков энергичных 
электронов все еще уступает по точности прогноза 
использованию эмпирических моделей таких потоков [23–26].
Важность разработки, верификации и  совершенствования эмпирических моделей обусловлена, в первую очередь, необходимостью аккуратно 
предсказывать динамические диапазоны потоков энергичных электронов на орбитах спутников 
[27–31]. Существенные вариации таких потоков 
в ходе крупномасштабных геомагнитных возмущений (мощных суббурь и бурь) могут нанести 
значительный ущерб чувствительной электронике 
спутников [32]. Наибольший риск для спутниковой 
электроники представляет общая ионизирующая 
доза радиации (total ionizing dose), которая определяет ионизацию в полупроводниковых элементах, 
взаимодействующих с релятивистскими электронами радиационных поясов Земли [33, 34]. Эффект 
ионизации приводит к сбоям в работе спутниковой электроники и, в отдельных случаях, к потере 
аппаратов [35, 36, 28]. При этом следует отметить, 
что общая доза ионизации и поглощенная доза радиации определяются интегральным (во времени) 
эффектом взаимодействия электроники и релятивистских электронов, приводящим к постепенной 
деградации полупроводниковых элементов [35, 37, 
34]. Как правило, спутниковая электроника защищена от ионизации алюминиевым покрытием толщиной в несколько миллиметров, которое существенным образом уменьшает потоки электронов 
с энергиями менее 1 МэВ [35, 37]. Таким образом, 
наибольшую опасность представляют длительные интервалы повышенных потоков с энергиями выше 1 МэВ [35], а модели потоков электронов 
DOI: 10.31857/S0023420624030019
Моделирование динамики потоков энергичных электронов во внутренней магнитосфере Земли представляет собой актуальную задачу изучения “космической погоды”, учитывая роль, которую энергичные электроны играют в сбоях аппаратуры космических аппаратов. В настоящей работе исследуется 
возможность построения эмпирической модели потоков электронов на средневысотной круговой орбите спутников ГЛОНАСС. В качестве основной базы данных потоков использованы измерения спутниковой миссии Radiation Belt Storm Probes за 2012–2019 гг. Околоэкваториальные измерения Radiation 
Belt Storm Probes спроецированы на высоты орбит спутников ГЛОНАСС с использованием эмпирической модели магнитного поля. Главной особенностью представляемой модели потоков энергичных 
электронов является тот факт, что вместо среднего потока модель восстанавливает функцию распределения вероятностей амплитуд потоков в зависимости от энергии электронов и геомагнитных условий.
Поступила в редакцию 25.12.2022
Переработанный вариант 02.07.2023
Принята к публикации 01.08.2023
Институт космических исследований РАН, Москва, Россия
*p.shustov@gmail.com
© 2024 г.    П. И. Шустов*, А. А. Петрукович, А. В. Артемьев
МОДЕЛЬ ПОТОКОВ ВЫСОКОЭНЕРГИЧНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ 
НА  ОРБИТАХ ГЛОНАСС
УДК: 533.9

	
КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ      том 62      № 3      2024
240	
Шустов и др.
должны хорошо воспроизводить статистику таких 
редких временных интервалов. При этом потоки 
релятивистских электронов представляют наибольшую опасность для спутников с орбитами на высотах от 20 000 до 40 000 км, пересекающими внешний 
радиационный пояс Земли, в котором в ходе геомагнитных бурь на длительных интервалах фиксируются повышенные потоки электронов с энергией 1…2 МэВ [38, 39, 28, 24, 40, 41].
Основным подходом к построению эмпирических 
моделей потоков энергичных электронов является 
сбор больших статистических баз данных спутниковых измерений, в которых амплитуда потока для 
заданного диапазона энергии распределяется в параметрическом пространстве координат (как правило, заданных L-оболочкой и магнитной широтой) 
и пространстве геомагнитных индексов и параметров солнечного ветра [42, 43]. Такие базы данных 
могут использоваться как для построения аппроксимаций потоков, как функций геомагнитных индексов и пространственных координат [44, 45], так 
и для построения более сложных статистических моделей, использующих методы машинного обучения 
[46–50]. И в том, и в другом случае вариабельность 
конфигурации магнитного поля в ходе геомагнитных 
возмущений учитывается при нахождении пространственных координат (L-оболочки), а основным результатом модели становится значение потока в соответствующем диапазоне модельных параметров. Очевидным неустранимым недостатком такого подхода 
является однозначность сопоставления величины 
потока и ограниченного набора параметров системы, в то время как из-за невозможности учета всех 
факторов, определяющих динамику потоков, для любого заданного диапазона параметров спутниковые 
измерения выдают некоторое распределение амплитуды потоков. Характеризовать такое распределение 
средними (или средними взвешенными) значениями удобно с точки зрения аппроксимаций модели, 
но при этом теряется информация о динамическом 
диапазоне вариаций потоков в каждом из модельных 
диапазонов параметров системы.
Основная идея настоящей работы состоит в создании статистической модели потоков энергичных 
электронов, которая для заданных характеристик 
энергии и параметров геомагнитной активности 
предоставляет распределение вероятностей наблюдения потоков различной амплитуды. В качестве 
пространственной области, для которой создается 
данная модель, выбрана область средневысотной 
круговой орбиты спутников ГЛОНАСС с высотой 
порядка 19 400 км (~3RE, три радиуса Земли). Создаваемая модель основана на данных измерений 
спутников Van Allen Probes, ранее носивших название Radiation Belt Storm Probes (RBSP) [51], и проекции этих измерений вдоль силовых линий магнитного поля, восстановленных по эмпирической 
модели магнитного поля[52].
Спутниковые данные
В представленной работе используются данные 
со спутниковой миссии Van Allen Probes (RBSP) [53]. 
Данная спутниковая миссия состоит из двух слабо разнесенных космических аппаратов, вращающихся по одинаковой экваториальной (наклонение 10°) сильно эллиптической орбите с высотами 
перицентра ~620 км (1.1RE) и апоцентра ~30 000 км 
(5.8RE), проработавших с октября 2012 по октябрь 
2019 г. В работе используются данные прибора The 
Magnetic Electron Ion Spectrometer (MagEIS) [54]. 
Прибор представляет собой набор из четырех магнитных спектрометров, которые охватывают три 
различных диапазона энергии. MagEIS измеряет 
электроны от ~20 кэВ до 4 МэВ с разрешением 
в 23 энергетических диапазона и 11 питч-угловых 
интервалов. Кроме того, спектрометр MagEIS содержит твердотельный телескоп, регистрирующий 
протоны с энергиями от ~60 кэВ до ~1.3 МэВ.
Обработка данных
Для проекции значений потоков энергичных 
заряженных частиц на конкретную орбиту (в случае представленной работы — на орбиту спутников 
ГЛОНАСС) используются существующие модели 
магнитного поля в качестве “промежуточной ступени” между входными параметрами геомагнитной 
активности (Kp, DST, SymH) и самими значениями 
предсказываемых потоков. Такая промежуточная 
ступень необходима для учета изменения в амплитудах потоков на заданной высоте при изменении 
конфигурации магнитного поля и, как следствие, 
смещении проекций околоэкваториальных измеряемых потоков.
Проецирование потоков заряженных частиц
Для каждого момента времени, когда доступно 
измерение потоков электронов, на спутниках RBSP 
используется трассировка положения спутника 
вдоль силовых линий магнитного поля в исследуемую область — на высоту H
R
G = 3
E  от поверхности 
Земли (соответствует высоте орбиты ГЛОНАСС). 
Для трассировки используется эмпирическая модель магнитного поля T96 [55]. В силу экваториальности орбиты спутников RBSP, в большинстве случаев их траектории оказываются в непосредственной близости от самой удаленной от Земли точки 
пересекаемой силовой линии (рис. 1). Силовая 
линия может пересекать исследуемую высоту HG 
в двух точках или не пересекать вовсе (за исключением вырожденного случая одного пересечения). 
Таким образом, каждому моменту времени наблюдений спутниковой миссии RBSP ставится в соответствие две координаты пересечения исследуемой 
поверхности, если такие пересечения есть. В итоговой статистике для каждого момента времени 
наблюдений записывается поток электронов, равный среднему значению от рассчитанных потоков 

	
Модель потоков высокоэнергичных электронов
241
КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ      том 62      № 3      2024
в Северном и Южном полушариях. Такое усреднение необходимо, чтобы избежать искусственного 
удвоения статистики спутниковых измерений за 
счет проекций в два полушария.
Для расчета полного потока заряженных частиц на исследуемой высоте HG вводится сетка 
с  малым шагом ( dθ =
°
0 1.
) по питч-углам (угол 
между направлением магнитного поля и  скоростью электронов), и для каждой ячейки данной 
сетки ставится в соответствие поток dF
fdS
=
,  где 
f — дифференциальный поток в единичном телесном угле по данным со спутника RBSP, dS  — площадь сферического сегмента питч-угловой ячейки. 
Далее, с использованием модельного магнитного 
поля, восстановленного по значениям геомагнитных индексов для каждого момента времени измерения потоков электронов, вычисляется вариация 
питч-угла при движении электронов вдоль силовой 
линии от точки наблюдения на спутнике к точке на 
исследуемой высоте HG (данная вариация рассчитывается из предположения сохранения магнитного момента заряженных частиц). На этой основе 
определяются питч-угловые ячейки, частицы в которых доходят до исследуемой точки HG. Сумма 
потоков в данных питч-угловых ячейках и будет 
давать интегральный поток заряженных частиц 
на исследуемой высоте HG. Рисунок 2 демонстрирует соотношение интегральных потоков энергичных электронов, измеренных спутниками RBSP, 
и интегральных потоков, спроектированных на 
исследуемую высоту HG. Диагональ занята наблюдениями в непосредственной близости от исследуемой высоты HG либо наблюдениями изотропных 
питч-угловых распределений: в обоих случаях геомагнитная проекция не меняет измеряемого потока. Ниже диагонали лежит основное количество 
наблюдений, для которых проекция вдоль силовых 
линий магнитного поля на исследуемую высоту  
HG приводит к уменьшению потоков энергичных 
электронов. Как следствие, комбинация спутниковых измерений и эмпирической модели магнитного поля позволяет создать базу данных модельных 
измерений потоков электронов на поверхности 
заданной высоты в зависимости от энергии электронов и геомагнитных условий (в случае с T96 это 
геомагнитные индексы Dst или SymH).
2.5
Z, RE
Y, RE
X, RE
Y, RE
2
1.5
1
0.5
0
–0.5
–1
2.5
2
1.5
1
0.5
0
–0.5
–1
1
0
–1
–2
–3
–4
–4
–3
–2
–1
0
1
–4
–3
–2
–1
0
1
–4
–3
–2
–1
0
1
Рис. 1. Проекции силовых линий магнитного поля 
(красный цвет), проходящих через один виток траектории орбиты спутника RBSP (синий цвет) на три 
плоскости. Красными точками отмечено пересечение 
силовых линий с высотой HG.

	
КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ      том 62      № 3      2024
242	
Шустов и др.
Анализ потоков заряженных частиц
В  результате проекции измеряемых потоков 
энергичных электронов вдоль силовых линий магнитного поля на исследуемую высоту HG получается база данных, которая состоит из амплитуды 
потоков, зависящих от энергии электронов и от 
геомагнитного индекса SymH [56]. Распределение SymH для всех доступных наблюдений RBSP 
представлено на рис. 3. Значениям SymH > 20 нТ 
соответствуют периоды сильного сжатия дневной 
магнитосферы под действием усиленного потока 
солнечного ветра, как правило, такие интервалы 
предвещают начало геомагнитных бурь. Сами бури 
соответствуют SymH < –50 нТ, когда сильный кольцевой ток горячих ионов существенно уменьшает 
экваториальное поле на близких к Земле расстояниях. При этом диапазон SymH < –100 нТ соответствует сильным бурям, для которых будет характерно существенное увеличение потоков релятивистских электронов. Для анализа зависимости 
потоков энергичных электронов от геомагнитного 
индекса SymH диапазон всех значений SymH разбивается на 80 равных интервалов, и выполняется 
отсечка в 1000 событий на интервал, что оставляет 
50 интервалов в диапазоне SymH от –150 до 50 нТ. 
Для каждого диапазона значений SymH и энергии 
из доступного диапазона измерений выполняется 
сбор статистики потоков и статистики проекций 
потоков на исследуемую высоту H
R
G = 3
E. Именно 
эти данные будут составлять эмпирическую основу 
модели.
На рис.  4 (левый столбец) приведены гистограммы числа наблюдений различной амплитуды потоков (в проекции на исследуемую высоту 
HG. для нескольких значений энергии (суммарно 
по всем значениям SymH). Для анализа потоков 
энергичных электронов удобнее работать с плотностью вероятности наблюдения потоков в проекции 
на рассматриваемую высоту HG, которая представлена на рис. 4 (правый столбец).
Для практического использования функций 
плотности вероятности наблюдения потоков удобно провести их аппроксимацию аналитическими 
функциями, которые будут описывать вероятность 
наблюдения потока заданной амплитуды при фиксированной энергии и геомагнитной активности 
(SymH). На рис. 5 представлены аппроксимации 
потоков электронов, спроецированных на высоту 
H
R
G = 3
E , для нескольких значений энергии и геомагнитного индекса. Для аналитической аппроксимации плотности вероятности потока используется 
следующее выражение:
	
f x b x
b x
x
b
b
x x
( ; ,
)
,
0
0
1
1
1
0
=
−
(
)
−
−
−
Γ
e
	
(1)
где x — значение потока; b и x0 — параметры аппроксимации, отвечающие за наклон показательной части функции и  точку “обрезания” потока на больших значениях (размерность потока: 
см–2с–1кэВ–1); Г — гамма-функция. Множитель 
в функции выбран для равенства единице интеграла по всем значениям потока. Ограничения на значения параметров: 0
1
<
<
b
 и  x0
0
> .
Процедура нахождения функциональных зависимостей значений x0 и b от энергии и геомагнитного индекса SymH состоит из двух этапов. На 
первом вычисляются значения параметров xE SymH
0
,
 
и  bE SymH
,
,  которые наилучшим образом аппроксимируют плотность вероятности для каждой пары 
энергия/геомагнитный индекс в отдельности. Для 
простоты аппроксимации используется фиксация 
среднего значения потока для искомой функции 
плотности вероятности. Для приведенной выше 
формулы среднее значение x
x
b
=
−
(
)
0 1
.  Отсюда, 
приравнивая данное выражение к оценке среднего по выборке, можно исключить вариацию параметра x0, и рассмотреть однопараметрическую 
108
107
106
105
104
103
102
102
103
104
105
Ïîòîê íà RBSP, ñì
–2ñ
–1 êýB
–1
Ïîòîê íà HG, ñì
–2ñ
–1 êýB
–1
106
10
7
10
8
10
5
104
103
102
101
Êîëè÷åñòâî íàáëþäåíèé
0
100
–250
10
1
10
2
10
3
10
4
Êîëè÷åñòâî íàáëþäåíèé
10
5
10
6
10
7
–200
–150
–100
SymH, íÒ
–50
50
Рис. 2. Распределение потоков энергичных электронов с энергиями 33–4096 кэВ, измеренных на RBSP, 
и потоков на исследуемой высоте орбиты ГЛОНАСС, 
цветом показано количество измерений, попавших 
в диапазон параметров.
Рис. 3. Гистограмма количества наблюдений по данным RBSP от значения геомагнитного индекса SymH 
в соответствующий момент времени. Горизонтальная 
линия соответствует 1000 наблюдениям, по которой 
выполняется отсечка.
5

	
Модель потоков высокоэнергичных электронов
243
КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ      том 62      № 3      2024
задачу оптимизации. Результаты аппроксимации 
представлены на рис. 6 синими точками, на левом 
графике — параметр bE SymH
,
, на правом — параметр xE SymH
0
,
, которые рассчитываются через среднее значение потока на выборке значений потоков.
Второй этап получения выражений x
E SymH
0(
)
,
 
и  b E SymH
( ,
)  — аппроксимация набора значений 
xE SymH
0
,
 и  bE SymH
,
 как функциональных зависимостей энергии E и геомагнитного индекса SymH. 
Данная функциональная зависимость представлена на рис. 6 в виде гладких поверхностей и является аппроксимацией значений параметров полиномиальными (лог-полиномиальными) функциями. 
Аппроксимация зависимости обоих параметров от 
энергии выбрана логарифмически-линейной. Для 
аппроксимации зависимости от геомагнитного индекса SymH для параметра b используется функция 
четвертого порядка, для параметра x0 — второго 
порядка. Вид формул и значения коэффициентов 
(со среднеквадратическим отклонением) данных 
аппроксимаций — табл. 1, 2, приведены ниже:
	
b
b
E
SymH
i
j
ij
i
j
=



(
)
=
=
∑∑
0
1
0
4
1
ln
,
кэВ
	
(2)
	
x
X
E
SymH
i
j
ij
i
j
0
0
1
0
2
1
=



(
)
=
=
∑∑
ln
.
кэВ
	
(3)
10
1
10
2
10
3
10
4
Êîëè÷åñòâî íàáëþäåíèé
10
5
10
6
108 êýÂ
108 êýÂ
346 êýÂ
346 êýÂ
1728 êýÂ
1728 êýÂ
10
–12
10
–2
10
–4
10
0
10
2
10
4
10
6
10
8
10
–10
10
–8
10
–6
Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè
10
–4
10
–2
100
10
1
10
2
10
3
10
4
Êîëè÷åñòâî íàáëþäåíèé
10
5
10
6
10
–12
10
–10
10
–8
10
–6
Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè
10
–4
10
–2
10
2
10
3
10
4
Êîëè÷åñòâî íàáëþäåíèé
10
5
10
6
10
–10
10
–8
10
–6
Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè
10
–4
10
–2
10
0
Ïîòîê, ñì
–2ñ
–1 êýB
–1
10
–2
10
–4
10
0
10
2
10
4
10
6
10
8
Ïîòîê, ñì
–2ñ
–1 êýB
–1
10
–2
10
–4
10
0
10
2
10
4
10
6
10
8
Ïîòîê, ñì
–2ñ
–1 êýB
–1
10
–2
10
–4
10
0
10
2
10
4
10
6
10
8
Ïîòîê, ñì
–2ñ
–1 êýB
–1
10
–2
10
–4
10
0
10
2
10
4
10
6
10
8
Ïîòîê, ñì
–2ñ
–1 êýB
–1
10
–2
10
–4
10
0
10
2
10
4
10
6
10
8
Ïîòîê, ñì
–2ñ
–1 êýB
–1
Рис. 4. Примеры гистограмм наблюдений различных значений потоков (слева) и соответствующей плотности вероятности потоков электронов для трех различных энергий (справа).

	
КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ      том 62      № 3      2024
244	
Шустов и др.
Ýíåðãèÿ: 108, êýÂ, SymH: –39 íÒ
Ýíåðãèÿ: 108, êýÂ, SymH: –2 íÒ
10
–10
10
–8
10
–6
Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè
10
–4
10
–2
10
0
10
2
10
4
10
6
Ïîòîê, ñì
–2ñ
–1 êýB
–1
Ýíåðãèÿ: 749, êýÂ, SymH: –39 íÒ
10
–10
10
–8
10
–6
Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè
10
–4
10
–2
10
0
10
2
10
4
10
6
Ïîòîê, ñì
–2ñ
–1 êýB
–1 
Ýíåðãèÿ: 749, êýÂ, SymH: –2 íÒ
10
–10
10
–5
Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè
10
0
10
2
10
4
10
6
Ïîòîê, ñì
–2ñ
–1 êýB
–1
10
–10
10
–5
Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè
10
0
10
2
10
4
10
6
Ïîòîê, ñì
–2ñ
–1 êýB
–1
1
0.8
0.7
0.9
0.6
0.5
0.4
b
0.3
0
50
–50
–100
–150
101
10
2
10
3
10
4
10
4
10
2
10
0
10
6
x0
Ýíåðãèÿ, êýÂ
SymH, íÒ
R
2: 0.836182
R
2: 0.932307
–100
–150
–50
0
50
10
4
10
3
10
2
10
1
Ýíåðãèÿ, êýÂ
SymH, íÒ
Рис. 5. Пример аппроксимации функций распределения для разных значений энергии и геомагнитного индекса. 
Синий цвет — плотность вероятности, получаемая по данным измерений потоков на спутниках RBSP, красный — 
аппроксимация представленной плотности вероятности.
Рис. 6. Зависимости параметров аппроксимации от энергии и геомагнитного индекса. Параметр R — коэффициент 
корреляции модели (поверхность) и значений параметров при аппроксимации данных (синие точки).
Таблица 1. Значения аппроксимаций для bij
bij
0
1
2
3
4
0
0.206 ± 
± 0.012
0.00976 ± 
± 0.0003
1.404·10–4 ± 
± 0.081·10–4
–4.167·10–8 ± 
± 7.369·10–8
–3.224·10–9 ± 
± 0.262·10–9
1
0.0861 ± 
± 0.0018
–0.00128 ± 
± 0.00004
–2.351·10–5 ± 
± 0.125·10–5
–8.534·10–4 ± 
± 0.874·10–4