Коллоидный журнал, 2024, № 6

Российская академия наук
КОЛЛОИДНЫЙ  
ЖУРНАЛ
Журнал физикохимии поверхностных явлений и дисперсных систем
Том 86     № 6     2024     Ноябрь—Декабрь
Основан в январе 1935 г. 
Выходит 6 раз в год  
ISSN: 0023-2912
Журнал издается под руководством  
Отделения химии и наук о материалах РАН
Главный редактор
Л.Б. Бойнович
Редакционная коллегия:
С.Ю. Братская, С.З. Вацадзе, А.Я. Вуль, О.В. Дементьева, А.М. Емельяненко  
(зам. главного редактора), К.А. Емельяненко, Н.М. Задымова, О.А. Кабов,  
М.А. Калинина (зам. главного редактора), С.Н. Калмыков, М.Ю. Королёва,  
Н.М. Кузнецов (ответственный секретарь), В.Г. Куличихин, А.М. Музафаров,  
В.В. Назаров, Б.А. Носков, Г.А. Петухова, В.Д. Соболев, А.Н. Филиппов,  
А.Р. Хохлов, О.А. Шилова, Ю.А. Щипунов
Международный консультативный совет:
A. Amirfazli (Канада), K.D. Danov (Болгария), J. Drelich (США), 
P. Kekicheff (Франция), K. Kurihara (Япония), S. Magdassi (Израиль), 
H. Ohshima (Япония), G. Palasantzas (Нидерланды), D. Parsons (Италия), 
A.I. Rusanov (Россия)
Зав. редакцией А.А. Куделина
Адрес редакции: 119071 Москва, Ленинский проспект, 31, корп. 4, комн. 145,
тел. 8 495 955-46-25
E-mail: colljour@mail.ru
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия “Коллоидного журнала” 
     (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 86, номер 6, 2024
Мониторинг кинетики агрегации коллоидных систем методами светорассеяния
Э.К. Алиджанов, СН. Летута, Ю.Д. Лантух, Д.А. Раздобреев 
679
Определение пределов количественной оценки степени интернализации наночастиц γ-Fe2O3 
культурами мезенхимальных стромальных клеток человека
Е.А. Бурбан, Ф.А. Фадеев, А.П. Сафронов, Ф.А. Бляхман, Т.В. Терзиян, Д.С. Незнахин, 
А.А. Юшков, Г.В. Курляндская 
687
Влияние многовалентных ионов на электрические свойства поверхности частиц оксида 
вольфрама (VI) в гидрозолях
О.С. Везо, А.В. Войтылов, В.В. Войтылов, Л.Э. Ермакова, М.П. Петров, А.А. Трусов 
700
Солюбилизация гидрофобных препаратов ассоциатами катионного глицеролипида и создание 
на таких бифункциональных темплатах мезопористых частиц-контейнеров
О.В. Дементьева, Е.М. Шишмакова, А.В. Ивченко, М.С. Стальцов, А.А. Маркова,В.М. Рудой 
709
Водные мицеллярные растворы Tween 80 как смачиватели и усилители проницаемости 
листьев картофеля
Н.М. Задымова, З.Н. Скворцова, Ю.Д. Александров, И.Ю. Ильина 
720
Динамическая восприимчивость ансамблей иммобилизованных магнитных наночастиц
А.Ю. Зубарев, Л.Ю. Искакова, А.Ю. Мусихин 
727
Гкр-метки на основе силикатных микрочастиц с адсорбированными золотыми нанозвездами
О.А. Иноземцева, Е.С. Прихожденко, А.М. Карташова, Ю.А. Тюнина, А.М. Захаревич,
А.М. Буров, Б.Н. Хлебцов 
742
Осаждение субмикронных аэрозолей в фильтрах из волокон, покрытых слоями нановискеров
В.А. Кирш 
756
Объемная конденсация пара при интенсивном испарении с межфазной поверхности
Н.М. Корценштейн, Л.В. Петров, А.В. Рудов, А.К. Ястребов 
766
Исследование влияния концентрации стабилизатора на параметры поли(D,L-лактид-со-гликолид) 
наночастиц, получаемых нанопреципитацией
Е.В. Кузнецова, А.Е. Тюрнина, Е.А. Коньшина, А.А. Атаманова, К.Т. Калинин, 
С.В. Алешин, В.Г. Шуватова, Г.А. Посыпанова, С.Н. Чвалун 
776
Структурирование оксида графена при взаимодействии с наноалмазами в водных дисперсиях
В.Т. Лебедев, Ю.В. Кульвелис, М.К. Рабчинский, А.Т. Дидейкин, А.В. Швидченко, 
Б.Б. Тудупова, В.И. Куулар, Н.П. Евлампиева, А.И. Куклин 
789
Влияние дисперсионной среды и осаждающего агента на формирование золей и гелей прекурсора 
керамики системы цирконат-титанат свинца
Н.Д. Парамонова, Е.А. Данилов, Е.А. Иванова 
805
Влияние катионов железа на гидролиз тетраэтоксисилана и процесс гелеобразования
Е.Н. Титов, Д.Е. Смальченко, О.Е. Лебедева 
817

Агрегатообразование и магнитная сепарация микрочастиц полиэтилена из водных растворов
М.С. Филинкова, Ю.А. Бахтеева, И.В. Медведева, И.В. Бызов, А.С. Минин, И.А. Курмачев 
824
Влияние внутренних структур на кинетику перемагничивания феррожидкостей
Д.Н. Чириков, А.Ю. Зубарев 
838

КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ,  2024, том 86, № 6,  с.  679–686
УДК 544.77:541.18
МОНИТОРИНГ КИНЕТИКИ АГРЕГАЦИИ КОЛЛОИДНЫХ 
СИСТЕМ МЕТОДАМИ СВЕТОРАССЕЯНИЯ
© 2024 г.   Э. К. Алиджанов*, С. Н. Летута, Ю. Д. Лантух, Д. А. Раздобреев  и др.
Оренбургский государственный университет, 460018 Оренбург, Россия 
*e-mail: ekaalid@yandex.ru
Поступила в редакцию 29.04.2024 г.
После доработки 10.07.2024 г. 
Принята к публикации 10.07.2024 г.
Обсуждается оригинальная методика исследования кинетики агрегации коллоидных растворов, 
основанная на совместном применении методов динамического и статического светорассеяния. 
Теоретическое обоснование предлагаемой методики проводится на основе концепции фрактальной размерности и масштабирования. Ее экспериментальная реализация осуществляется на примере процесса агрегации коллоидного раствора золота, инициированного изменением ионной 
силы раствора. По угловым и кинетическим зависимостям статического светорассеяния (СРС) 
определяется фрактальная размерность кластеров Au. Гидродинамические радиусы кластеров 
определяются методом динамического рассеяния света (ДРС). На основе экспериментальных 
результатов и сформированной модельной зависимости интенсивности светорассеяния от размеров кластеров осуществляется построение кинетической зависимости концентрации кластеров 
Au и проводится оценка скорости их агрегации. Предлагаемая методика может быть применена 
для изучения кинетики агрегации фрактальных кластеров в различных коллоидных системах.
Ключевые слова: статическое и динамическое рассеяние света, коллоидное золото, кинетика агрегации, фрактальная размерность
DOI: 10.31857/S0023291224060018, EDN: VLWXEK
ВВЕДЕНИЕ
Практический интерес к процессам в коллоидных 
растворах обусловлен их широким применением 
в различных отраслях производства, включая фармацевтику, пищевую промышленность, производство 
керамических и полимерных материалов, изготовление аэрозолей и красок [1]. Результаты теоретических исследований коллоидных систем востребованы в качестве модельных систем при изучении 
сложных межчастичных и фазовых взаимодействий, 
фазовых переходов [2]. Агрегация – одно из наиболее 
интересных и важных явлений, которое имеет место 
в коллоидных суспензиях. Большое внимание исследователи уделяют как экспериментальному изучению 
основных особенностей процессов агрегации, так 
и их компьютерному моделированию [3, 4].
Подход к описанию геометрии кластеров, образующихся в процессе агрегации, в пределах определенных масштабов, был существенно упрощен 
с введением понятия фрактальной размерности [5]. 
Фрактальное масштабирование позволяет соотнести 
массу кластера с его характерным размером по параметру фрактальной размерности – Df. Известны 
примеры применения концепции масштабирования 
и фрактальной размерности для описания результатов экспериментальных исследований коллоидных 
систем [6, 7, 8].
Подробное описание различных методов исследования коллоидных систем, основанных на рассеянии света, приведено в работе [9]. Методика измерения скорости коагуляции коллоидных частиц 
с форм-фактором, отличным от единицы PΘ ≠ 1, 
реализуемая путем совместного применения методов 
ДРС и СРС с использованием теории Рэлея-Ганса-Дебая (РГД), описана в [10].
В литературе, посвященной вопросам рассеяния 
света, в основном обсуждаются модельные представления, касающиеся характеристик интенсивности 
рассеяния света одиночными частицами (кластерами). Практика показывает, что интенсивность 
светорассеяния коллоидной системой при агрегации 
может быстро нарастать с выходом на плато, медленно меняться в течение всего процесса агрегации, 
не претерпевать изменений или убывать [11].
В настоящей работе рассмотрены некоторые возможные пути эволюции интенсивности 

АЛИДЖАНОВ и др.
КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ
том 86
№ 6
2024
светорассеяния коллоидным раствором в процессе 
его агрегации с использованием известной концепции фрактальной размерности и масштабирования [12]. На основе сформулированных модельных 
представлений предлагается оригинальная методика 
изучения процессов агрегации фрактальных кластерных систем, состоящих из элементарных рассеивателей, размер которых (a ˁ λ) много меньше 
длины волны зондирующего излучения (молекулы, 
атомы, наночастицы), а форм-фактор PΘ =1. Методика основана на совместном применении методов 
ДРС и СРС. Экспериментальная реализация предлагаемой методики проведена на водном растворе 
коллоидного золота.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ 
МЕТОДИКИ
Рассмотрим некоторые аспекты теории рассеяния света на фрактальных кластерах согласно [12]. 
Фрактальная размерность кластера Df связывает 
количество мономеров N (элементарных рассеивателей) в кластере c его размером следующим образом:
 
N
k
R
a
D
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
0
f
, 
 (1)
где R – радиус кластера, a – радиус элементарных 
рассеивателей, k0 – префактор, который близок к единице (1.2–1.3) [13].
Важной характеристикой рассеяния света частицами является вектор рассеяния q, который представляет собой разность между волновыми векторами 
падающей и рассеянной волны (рис. 1).
Первичная световая волна с волновым вектором ki 
(/k/=2πn/λ) распространяется слева. Волновой вектор рассеяния q=ki–ks представляет собой разность 
между волновыми векторами падающей и рассеянной волны. При этом амплитуда падающей волны:
 
E
r
ei k
r
i
i
( )
→
∝
→
→
.  
(2)
На детектор, положение которого задается радиус-вектором R, падает волна E
R
E r eik
R
r
s
s
( )
( )
(
)
→
→
−
∝
→→
.
Используя выражение для первичной волны, последнее выражение можно представить в виде:
 
E
R
e
e
i q r
i k R
s
s
( )
→
∝
→→
→→
. 
(3)
Отсюда следует, что амплитуда волны, рассеянной 
в направлении детектора, может быть представлена 
в виде – E
ei q r
s ∝
→→
 и характеризуется волновым вектором рассеяния q
n
=
(
)
−
4
2
1
π λ
sin Θ
, где n – коэффициент преломления среды.
Следовательно, поле световой волны, рассеянной 
в направлении детектора, имеет вид:
 
E
ei q r
scat ∝
→→
.  
 (4)
Если рассеяние происходит от совокупности N 
рассеивающих центров, то интегральная интенсивность сигнала светорассеяния имеет следующий вид:
 
I
e
j
N
i q r
r
i
N
q
 i
j
∝∑∑
→→→
−
(
),                   (5)
где вектора ri и rj задают позиции одиночных рассеивающих центров. Из (4) следует, что если рассеивающие центры располагаются на расстоянии 
порядка q–1, то разность фаз вторичных волн будет 
по существу одинаковой и они будут складываться 
конструктивно (интерферировать с усилением). При 
этом интенсивность рассеяния пропорциональна N2:
 
I q
N
( ) ∝
2.  
 (6)
Если N рассеивающих центров разделены расстояниями большими чем q–1, фазы рассеянных волн 
будут случайными. Вторичные волны будут складываться случайным образом, и общая интенсивность 
сигнала рассеяния пропорциональна N:
 
I q
N
( ) ∝
.  
 (7)
Рис. 1. Диаграмма, иллюстрирующая рассеяние 
света рассеивающим центром в направлении детектора с волновым вектором ks под углом Θ. Первичная световая волна с волновым вектором 
ik
→
 распространяется слева. Волновой вектор рассеяния 
_
 (n – коэффициент преломления среды).
I0

q
ks
ki
r
 
 
 
 
eigr

 
МОНИТОРИНГ КИНЕТИКИ АГРЕГАЦИИ КОЛЛОИДНЫХ СИСТЕМ 
681
КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ
том 86
№ 6
2024
Выражение (6) соответствует случаю малых кластеров, радиус которых меньше или равен обратной 
величине вектора рассеяния R< q–1.
В случае кластеров больших размеров R>q–1 интенсивность рассеянного света:
 
I q
n N
( ) ∝
q
q
2, 
 (8)
где Nq –количество мономеров в q–1 области, а nq – 
количество q–1 областей, содержащихся в кластере. 
Используя соотношение (1), последнее выражение 
можно преобразовать следующим образом [12]:
I q
n N
R
q
N
R
q
I q
N
D
D
( )
( )
∝
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟⎟
→→
→→
∝
−
−
q
q
f
f
2
1
1
2
2(
)
qR
D
−f.
 
(9)
Сомножитель (
)
qR
D
−
f  в (9) принято называть 
структурным фактором S(q) (с точностью до постоянного множителя), который описывает угловую зависимость интенсивности светорассеяния кластером.
Покажем, как изложенные выше закономерности 
светорассеяния фрактальными кластерами можно 
использовать для исследования кинетики агрегации 
коллоидных растворов.
Будем учитывать следующие ограничения:
— кластеры формируются из мономеров, размер 
которых много меньше длины волны зондирующего света;
— коллоидный раствор преимущественно монодисперсный (в рамках концепции фрактальной размерности рассмотрение агрегации полидисперсных 
систем также возможно [12], но процедура расчетов 
существенно усложняется);
— используется приближение однократного 
рассеяния (коллоидный раствор имеет малую концентрацию).
Предположим, что на начальном этапе коллоидный раствор малой концентрации См состоит преимущественно из мономеров (наночастиц, молекул) 
радиуса a. Интенсивность светорассеяния такой 
системой будет иметь вид:
 
I qa
C
(
) ∝
M, 
 (10)
где CM – концентрация мономеров. Если в процессе 
агрегации из мономеров формируется система кластеров малого радиуса Rk<q–1 с фрактальной размерностью Df, интенсивность рассеяния изменится 
следующим образом:
 
I qR
N
C
(
) ∝
M
K
2
  
 (11)
или
 I qR
R
a
C
R
a
C
R
a
D
D
D
(
)
(
/
)
(
/
)
(
/
)
∝
=
k
M
k
M
k
f
f
f
2
,(12)
где NM – количество мономеров в кластере, CK – 
концентрация кластеров. Переход от (11) к (12) осуществлен c использованием концепции фрактальной 
размерности (1).
Согласно (12), интенсивность светорассеяния 
коллоидным раствором при формировании малых 
кластеров, растет с увеличением размера кластера – 
I(qR)~RDf при постоянной величине его массовой 
концентрации.
Если в процессе агрегации из мономеров формируется система кластеров большого радиуса (q–1<R), 
изменение интенсивности светорассеяния раствором 
можно представить следующим выражением:
 
I qR
C
R
a
R
a
qR
C
R
a
qR
D
D
D
D
D
(
) ∝
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
(
)
=
=
⎛
⎝
⎞
⎠
(
)
=
=
−
−
M
k
k
k
M
k
k
f
f
f
f
f
2
C
aq D
M
f
const.
1
(
)
=
 
 (13)
Согласно (13), при формировании больших кластеров имеет место усиление сигнала светорассеяния 
в (
)
aq
D
−
f раз по отношению к исходному сигналу светорассеяния раствора в мономерной форме. При этом 
интенсивность светорассеяния раствора не зависит 
от радиуса сформированных кластеров.
В рамках изложенных модельных представлений кинетику изменения концентрации кластеров 
в коллоидном растворе можно построить, исходя 
из величины начальной концентрации мономеров 
в исходном растворе, зависимости изменения радиусов кластеров Rk(t) от времени и интенсивности 
светорассеяния I(qR).
Для случая формирования системы малых кластеров Rk<q–1 кинетика их концентрации определяется 
следующим образом:
 
С
t
С
R
t
a
D
k
M
k
f
( )
( )
.
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
  
(14)
Фрактальную размерность мелких кластеров 
можно оценить, исходя из величины изменения интенсивности светорассеяния при переходе от системы 
мономеров к системе кластеров радиуса R=q–1:

АЛИДЖАНОВ и др.
КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ
том 86
№ 6
2024
I qa
I qR
C
C
R
a
q
a
D
I qR
I qa
D
D
(
)
(
)
log (
)
(
)
≈
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→
→
≈
−
M
M
k
f
f
f
1
1
log
.
q
a
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
  
(15)
Для точного определения фрактальной размерности следует учесть префактор k0, подстановка которого в формулу (15) уменьшает значение Df. С другой 
стороны, асимметрия в распределении коллоидных 
частиц по размерам (обычно описывается распределением Пуассона) со смещением в сторону больших 
размеров приводит к обратному эффекту (уменьшению усиления сигнала светорассеяния при достижении R = q–1 по отношению к истинному). Поскольку 
точное значение k0 неизвестно, можно положить, что 
выражение (15) дает оценку величины фрактальной 
размерности, а не ее точное значение.
При формировании системы крупных кластеров Rk>q–1 интенсивность светорассеяния выходит 
на плато, а кинетика их концентрации определяется 
соотношением (14). Фрактальная размерность крупных кластеров может быть определена, согласно (9) 
по результатам измерения угловой зависимости интенсивности светорассеяния, представленным в логарифмическом масштабе:
 
log ( )
log( )
I q
D
q
=
+ −(
)
const
f
.  
(16)
Применимость описанного подхода к изучению 
кинетики агрегации коллоидных систем проиллюстрируем на примере водного монодисперсного раствора наночастиц коллоидного золота.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ 
РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДИКИ
Коллоидный раствор золота был получен цитратным методом путем восстановления из HAuCl4  [14]. 
Исследованиям растворов коллоидного золота посвящено большое количество публикаций [15]. Цитратным методом получают компактные коллоидные 
частицы размером 15–30 нм.
Исследовалась агрегация водного раствора наночастиц золота (НЧЗ) после добавления в него соляной кислоты в качестве коагулянта. Методом ДРС 
изучалась зависимость распределения кластеров 
НЧЗ по гидродинамическим радиусам в процессе 
их агрегации. Измерения проводились на приборе 
Photocor Compact-Z при угле рассеяния 90о. В качестве источника излучения использовался полупроводниковый лазер λ = 654 нм. На этом же приборе 
исследована кинетика изменения интенсивности 
светорассеяния.
Методом многоуглового (40о–130о) статического 
светорассеяния, реализованном на лабораторной 
установке собственной конструкции с использованием гелий-неонового лазера (λ =632 нм) и ФЭУ-68 
в комплексе с интерференционным фильтром, определялась фрактальная размерность кластеров НЧЗ – Df.
Дополнительно измерялись спектры электронного 
поглощения исследуемого коллоидного раствора 
на спектрофлюориметре СМ 2300.
Исходный коллоидный раствор золота предварительно фильтровался через фильтр “Владипор” с порами 200 нм. Затем 2 миллилитра раствора помещалось в виалу диаметром 10 миллиметров. Включалась 
магнитная мешалка, которой опционально оснащено 
кюветное отделение измерительного прибора. Скорость мешалки оптимизировалась так, чтобы не создавать помех при проведении измерений. На начальном этапе методом ДРС измерялось распределение 
НЧЗ по радиусам в исходном растворе. Полученная 
гистограмма представлена на рис. 2 под индексом 1.
Затем в виалу добавляли 15 микролитров соляной 
кислоты в качестве коагулянта. Процедуру ДРС измерений начинали через 2–5 секунд необходимых для 
приведения прибора в рабочее состояние. Каждое 
измерение гистограммы распределения кластеров 
НЧЗ по радиусам занимало 10–20 секунд. За время 
процесса агрегации таких гистограмм было построено более 20. На рис. 2 под индексом 2 представлена 
гистограмма, полученная на конечном этапе агрегации. Промежуточные гистограммы не приводятся, 
чтобы не загромождать рисунок.
Рис. 2. 1 – гистограмма распределения НЧЗ по радиусам в исходном растворе (‹R›=17 нм); 2 – гистограмма распределения кластеров коллоидного золота по гидродинамическим радиусам на конечном 
этапе агрегации (‹R›=500 нм).
1.0
0.5
0
1
2
100
10
R, нм
I, отн. ед.

 
МОНИТОРИНГ КИНЕТИКИ АГРЕГАЦИИ КОЛЛОИДНЫХ СИСТЕМ 
683
КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ
том 86
№ 6
2024
По положению максимумов на гистограммах распределения кластеров НЧЗ по гидродинамическим 
радиусам, измеренным на различных этапах агрегации, была построена кинетическая кривая изменения 
радиусов НЧЗ кластеров (рис. 3).
Полученная кинетическая кривая хорошо аппроксимируется степенной зависимостью R~tZ/Df 
(где Z – динамический показатель), что соответствует 
модели агрегации ограниченной диффузией [16]. 
При этом в [16] показано, что в чистом виде быстрой 
коагуляции коллоидного золота не удается достичь 
даже при максимально больших (0.5 М) концентрациях коагулянта.
В серии полученных гистограмм распределения 
кластеров НЧЗ по радиусам наблюдается относительно небольшой разброс (10–15%) по размерам, 
что позволяет сделать допущение о сохранении 
относительной монодисперсности коллоидного раствора в процессе его агрегации.
На рис. 4 приведена кинетика изменения нормированной интенсивности светорассеяния I(q, t) коллоидного раствора НЧЗ в процессе его агрегации. 
Из приведенного графика видно, что на начальном 
этапе агрегации имеет место резкое усиление сигнала светорассеяния более чем в 6 раз. В дальнейшем 
интенсивность светорассеяния остается постоянной 
на протяжении всего процесса агрегации.
Полученный результат подтверждает справедливость 
выражений (12) и (13). Усиление сигнала светорассеяния в процессе агрегации происходит до момента 
достижения радиусов кластеров НЧЗ масштаба R=q–1. 
В дальнейшем, при формировании более крупных 
кластеров, интенсивность светорассеяния, согласно 
(13), должна оставаться неизменной. Для наших условий эксперимента q
n
−
−
=
1
1
4
2
(
sin(
/ ) /
)
π
λ
Θ
 ≈54 нм. 
Согласно (13), по усилению сигнала светорассеяния 
можно провести оценку фрактальной размерности 
кластеров НЧЗ:
 
Df ≈
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
≈
log .
log
.
6 3
54
17
1 6.  
(17)
Следует отметить, что полученная ступенчатая 
форма кинетической кривой изменения интенсивности светорассеяния коллоидного раствора НЧЗ 
характерна для процесса агрегации, при котором 
коагулируют одновременно все мономеры. В работах [17, 18] описан процесс агрегации коллоидного 
раствора простых и эндоэдральных фуллеренов, при 
котором происходит постепенное увеличение доли 
мономеров, переходящих во фрактальную кластерную 
форму, что обуславливает постоянный медленный 
Рис. 3. Кинетика изменения гидродинамического 
радиуса кластеров золота в процессе их агрегации 
после добавления в коллоидный раствор коагулянта.
2000
1500
1000
500
0
0
150
300
450
600
R, нм
t, c
Рис. 4. Кинетика изменения интенсивности светорассеяния коллоидного раствора золота после добавления коагулянта.
2
4
6
I, отн. ед.
0
400
800
1200
1600
2000
t, c
Рис. 5. Спектры оптической плотности раствора коллоидного золота, измеренные на начальном (1) и конечном (2) этапах агрегации. Кривая (2) приведена 
в пятикратном увеличении.
0
0.5
1.0
1.5
.д
е
.
н
т
о
,
D
300
450
600
750
, нм
1
2
5

АЛИДЖАНОВ  и др.
КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ
том 86
№ 6
2024
рост интенсивности светорассеяния при формировании крупных R›q–1 кластеров.
На рис. 5 приведены спектры электронного поглощения раствора коллоидного золота на начальном 
(кривая 1) и конечном (кривая 2) этапах агрегации. 
На кривой 1 присутствует пик плазмонного поглощения на 525 нм, что соответствует сферической 
симметрии НЧЗ [19]. После их агрегации коэффициент поглощения уменьшается в 5 раз и появляется 
дополнительный пик на длине волны 703 нм, что 
соответствует формированию кластеров с протяженной геометрией [19].
Согласно литературным данным, коэффициент молярной экстинкции раствора НЧЗ размером 20–30 нм на длине волны 506 нм составляет 
ε=3·109 М–1·см–1 [20]. Исходя из спектра электронного поглощения исходного раствора коллоидного 
золота (рис. 4, кривая 1), и значения коэффициента 
молярной экстинкции, выполнена оценка концентрации НЧЗ в исходном коллоидном растворе – 
Ck=8·1011 см–3.
На рис. 6 представлена угловая зависимость интенсивности светорассеяния коллоидным раствором 
золота, полученная на конечном этапе его агрегации 
(Rk ≈ 500 нм). Согласно (16), для крупных кластеров 
(R›q–1), тангенс угла наклона линейной аппроксимации экспериментальных данных I(q) (рис. 6) определяет значение их фрактальной размерности Df=1.6. 
Можно сделать вывод, что фрактальная размерность 
кластеров в процессе агрегации НЧЗ не изменяется 
и составляет Df=1.6.
На рис. 7 (кривая 1) представлен график зависимости концентрации кластеров НЧЗ от времени. 
Построение кинетической кривой Nk(t) проводили, 
согласно (14), исходя из экспериментальных данных 
о временной эволюции гидродинамических радиусов 
кластеров (Rk(t) – рис. 3) и величины их фрактальной 
размерности.
Кинетику агрегации коллоидных растворов 
обычно описывают с помощью кинетического уравнения Смолуховского [21]:
 
dN
dt
k N N
N
k N
i
i
j n
n
ij
i
j
n
in
i
=
−
=
∞
+ =
∑
∑
1
2
1
.  
 (18)
Первое слагаемое (18) описывает образование 
n-мера в результате бинарных столкновений i-мера 
и (n–i)-мера. Второй представляет собой истощение 
n-мера из-за случайных столкновений с другими 
кластерами.
На ранней стадии агрегации, когда коллоидная 
система представлена в основном мономерами, следует учитывать только второе слагаемое в (18). В этом 
случае истощение мономеров НЧЗ можно описать 
следующим выражением [9]:
 
dN
dt
k N
1
11
1
2
= −
.  
(19)
Для случая необратимой агрегации вторым слагаемым в (18) можно пренебречь.
Смолуховским показано [9], что в случае когда 
скорость агрегации является константой, кинетику 
процесса на начальной стадии можно описать следующим образом:
 
dN t
dt
k N
( ) = −a
t
2,  
(20)
здесь Nt относится к полному числу частиц со средним радиусом R в диапазоне  ΔR.
Рис. 6. Угловая зависимость интенсивности светорассеяния коллоидного раствора золота после его 
агрегации Rk≈ 500 нм. Тангенс угла наклона линейной аппроксимации графика соответствует фрактальной размерности кластеров Df=1.6.
I
.д
е
.
н
т
о
,
D = 1.6
f
0.4
0.6
0.8
1.0
sin( /2)
1
2
3
Рис. 7. Кинетическая зависимость прямой (1) и обратной (2) концентрации кластеров НЧЗ в растворе в процессе их агрегации. Тангенсы угла наклона линий аппроксимации (пунктирные линии) начальной и конечной части графика обратной кинетической зависимости 
дают значения констант скорости агрегации:
k1=2.8·10–14 см3·с–1, k2=1.9·10–15 см3·с–1.
t, c
1
2
2.0
1.5
0.5
0
1.0
N
/
1
. 0
1
k
1
1
–
м
с
3
N . 0
1
k
–
1
1
м
с
3
k1
k2
0
500
1000
1500
2000
0
2
4
6
8

 
МОНИТОРИНГ КИНЕТИКИ АГРЕГАЦИИ КОЛЛОИДНЫХ СИСТЕМ 
685
КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ
том 86
№ 6
2024
Решение (18) дает следующее выражение [9]:
 
1
1
0
N
t
N
k t
k
k
a
( ) =
+
.  
 (21)
Для определения константы скорости агрегации, 
согласно (21), построен график зависимости обратной концентрации кластеров НЧЗ-1/Nk(t) от времени, 
который представлен на рисунке 7 кривой 2.
Из рисунка видно, что график зависимости обратной концентрации кластеров НЧЗ 1/Nk от времени 
может быть аппроксимирован линейными функциями 
на начальном и конечном участках (рис. 7 – пунктирные линии). По-видимому, выражение (21) может быть 
использовано также для описания агрегации на ее 
конечном этапе. При этом тангенсы углов наклона 
линий аппроксимации дают следующие значения:
k1=2.8·10–14 см3·с–1; k2=1.9·10–15 см3·с–1.
Полученные значения константы скорости агрегации на несколько порядков меньше значения константы скорости быстрой агрегации по Смолуховскому 
(kb≈10–11 см3·с–1), что соответствует коэффициенту 
стабильности W=kb/kа≈103. Этот результат коррелируют с результатами работы [22], где показано, что 
на различных стадиях агрегации коллоидного золота 
коэффициент стабильности, в зависимости от условий эксперимента, может варьироваться от 102 до 107.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Теоретически обоснована и экспериментально 
подтверждена методика исследования кинетики агрегации фрактальных кластеров, сформированных 
из мелких элементарных рассеивателей, основанная 
на совместном применении методов динамического 
и статического светорассеяния. Работоспособность 
предлагаемого метода продемонстрирована на примере изучения кинетики агрегации водного раствора 
коллоидного золота. Методом динамического светорассеяния изучена кинетика эволюции распределения 
кластеров НЧЗ по их гидродинамическим радиусам 
в процессе агрегации. На основе результатов измерений угловых и кинетических зависимостей статического светорассеяния определена фрактальная 
размерность кластеров золота на начальном и конечном этапах их агрегации.
Экспериментальные результаты, полученные методом СРС и ДРС, хорошо коррелируют со сформированными модельными представлениями о характере изменения интенсивности светорассеяния 
в процессе агрегации коллоидной системы.
По полученным экспериментальным данным, 
на основе концепции фрактальной размерности 
и масштабирования рассеивающих агрегатов, построена кинетическая зависимость концентрации 
кластеров НЧЗ в процессе их агрегации. Сделаны 
оценки констант скорости агрегации исследуемого 
коллоидного раствора на начальном и конечном 
этапах этого процесса.
ФИНАНСИРОВАНИЕ РАБОТЫ
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской 
Федерации в рамках государственного задания на оказание государственных услуг (выполнение работ) – 
Проект № FSGU-2023-0003. Тема исследования «Альтернативные физико-химические методы инактивации 
патогенных микроорганизмов».
СОБЛЮДЕНИЕ ЭТИЧЕСКИХ СТАНДАРТОВ
В данной работе отсутствуют исследования человека 
или животных.
КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ
Авторы данной работы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.  Russel W.B, Saville D.A.S., Schowalter W.R. Colloidal 
Dispersions: Cambridge Univ. Press, London, 1991. 
2.  W. Hess, R. Klein. Generalized hydrodynamics of 
systems of Brownian particles // Adv. Phys. 1983. 
V.  32. P. 173–283. 
 
 
 
 
https://doi.org/10.1080/00018738300101551
3.  Lin M.Y., Lindsay H.M., Weitz D.A., Ball R.C., 
Klein  R., Meakin P. Universal reaction-limited colloid 
aggregation. //Phys. Rev. A. 1990. V. 41. P. 2005–2020.
https://doi.org/10.1103/PhysRevA.41.2005
4. Huang Z., Zhang Q., Whatmore R.W. Studies of lead 
zirconate titanate sol aging Part II: Particle growth 
mechanisms and kinetics// J. Sol–Gel Sci. Technol. 2002. V.24. P. 49–55. 
 
 
 
https://doi.org/10.1023/A:1015161532663
5.  Ролдугин В.И. Свойства фракталных дисперсионных систем. // Успехи химии. 2003. Т. 72. № 11. 
С. 1027–1054.
https://doi.org/10.1070/RC2003v072n11ABEH000829
6.  Carpineti M., Giglio M. Spinodal-type dynamics in 
fractal aggregation of colloidal clusters// Phys. Rev. 
Lett. 1992. V.68. P. 3327–3330. 
 
 
https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.68.3327
7.  Carpineti M., Giglio M., Degiorgio V. Correlation and 
anticorrelation of fractal aggregates. A model for 
spinodal-type- aggregation // Nuovo Cimento D. 
1994. V. 16 P. 1243–1246. 
 
 
https://doi.org/10.1007/BF02458807
8.  Axford S.D.T. Aggregation of colloidal silica: Reaction-limited kernel, stability ratio and distribution moments //J. 
Chem. Soc. Faraday Trans. 1997. V. 93. P.  303–311.  
https://doi.org/10.1039/A606195H