Астрономический журнал, 2024, № 10

Российская академия наук
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ
ЖУРНАЛ
Том 101   № 10   2024   Октябрь
Основан в январе 1924 г.
Выходит 12 раз в год
ISSN: 0004-6299
Журнал издается под руководством
Отделения физических наук РАН
Главный редактор
Д. В. Бисикало
Редакционная коллегия:
Г.  С.  Бисноватый-Коган, Д.  З.  Вибе (ответственный секретарь),
Р.  Д.  Дагкесаманский, А.  Г.  Косовичев, А.  В.  Тутуков,
А.  М.  Черепащук (заместитель главного редактора)
Зав. редакцией В.  Р.  Соколова
E-mail: astrojourn@pran.ru
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
©  Российская академия наук, 2024 
©  Редколлегия “Астрономического журнала” 
(составитель), 2024 

СОДЕРЖАНИЕ
Том 101, номер 10, 2024
Моделирование свободного падения струи газа на протопланетный диск
В.В. Григорьев, Т.В. Демидова
866
Распад рассеянных звездных скоплений и соотношение радиус-масса
А.В. Тутуков, С.В. Верещагин, Н.В. Чупинав
885
Новый взгляд на структуру ближайшего околозвездного окружения
звезды типа WTTS V718 Per
В.П. Гринин, Б.С. Сафонов, Н.В. Ефимова, О.Ю. Барсунова, 
И.А. Страхов, Г.А. Борман, С.Ю. Шугаров 
903
Пятенная активность карликовой звезды V772 Her
И.Ю. Алексеев, А.В. Кожевникова, В.П. Кожевников
912
Новая формула для угловой скорости вращения жидких фигур равновесия
Б.П. Кондратьев
921
Следует ли ожидать дальнейшего ускорения вращения Земли в ближайшие годы?
З.М. Малкин
929

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2024, том 101, № 10, с. 866–884
МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ СТРУИ 
ГАЗА НА ПРОТОПЛАНЕТНЫЙ ДИСК
© 2024 г.
В. В. Григорьев*, Т. В. Демидова**
Крымская астрофизическая обсерватория Российской академии наук, Крым, Научный, Россия
*E-mail: vitaliygrigoryev@crao.ru 
**proxima1@list.ru
Поступила в редакцию 20.03.2024 г.
После доработки 12.06.2024 г.
Принята в печать 18.07.2024 г.
Проблему формирования экзопланет на наклонных орбитах по отношению к экваториальной плоскости 
родительской звезды или основной плоскости протопланетного диска можно решить путем введения 
наклонного диска меньшего размера. Однако остается открытым вопрос природы такого внутреннего 
диска. В данной работе успешно проверена гипотеза об образовании наклонного внутреннего диска 
в протопланетном диске около звезды типа T Tau вследствие падения на него струи газа. Для проверки 
гипотезы выполнены трехмерные газодинамические расчеты с учетом вязкости и теплопроводности 
при помощи пакета PLUTO. В ходе анализа расчетов показано, что однократное пересечение потоком 
вещества плоскости диска не может обеспечить образование наклонного диска вблизи звезды, в то 
время как двукратное – может. Кроме того, в случае ретроградного падения вещества угол наклона 
образовавшегося внутреннего диска значимо больше. Также был выполнен анализ наблюдательных 
проявлений данного события: потенциальное изменение блеска звезды, распределение оптической 
толщины по углам, эволюция темпа аккреции. Показано, что падение блеска может достигать 5m
с учетом рассеянного света, причем подобное уменьшение яркости будет длиться несколько десятков 
лет. Кроме того, резкое увеличение темпа аккреции на два порядка потенциально может вызвать FU 
Ori-подобную вспышку.
Ключевые слова: газодинамическое моделирование, аккреция, протопланетные диски, звезды до Главной 
последовательности, звезды типа FU Ori
DOI: 10.31857/S0004629924100014 
 EDN: JMDYJY
1. ВВЕДЕНИЕ
Обнаружение наклона внутренней части остаточного диска звезды βPic [1] стимулировало разработку 
теорий, объясняющих возникновение подобных неоднородностей в протопланетных дисках молодых 
звезд. В работах [2, 3] было показано, что наклон 
внутренних частей диска может быть следствием движения маломассивного компаньона на наклонной 
относительно плоскости диска орбите. Впоследствии 
была обнаружена и сама планета [4, 5] на расстоянии 
8–15 а.е. В случае β Pic наклон орбиты составляет 
несколько градусов.
Похожая картина была обнаружена и в диске 
звезды CQ Tau (является представителем класса Ае 
Хербига), внутренняя часть диска которой наклонена на ӳ30◦ относительно внешней [6, 7].
Маломассивная звезда AA Tau являлась переменной звездой с колебаниями блеска с периодом 
8.5 дней, который близок к периоду вращения 
звезды [8]. Авторы связывают переменность звезды 
с ее периодическим экранированием наклонным 
внутренним диском, существование которого обусловлено наклоном оси магнитного диполя к оси 
вращения звезды. Однако в 2011 г. произошло падение блеска звезды на ӳ2m в полосе V, которое 
сопровождалось покраснением в ближней ИК области. До сих пор звезда не вернулась в яркое состояние [9]. В работе [10] был выполнен анализ 
изображения AA Tau, полученного в обзоре ALMA 
(Atacama Large Millimeter Array). Он показал, что 
протопланетный диск этой звезды имеет многополосную структуру в миллиметровой пыли. Кроме 
того, внутренний диск (размером ӳ10 а.е.) наклонен относительно периферии диска на ӳ20◦. 
А также авторы предполагают, что на поверхности 
диска имеется горб или поток вещества, соединяющий внутренний и внешний диски. Увеличение 
толщины внутреннего диска или прохождение по

тока вещества на луче зрения может быть причиной 
существенного падения блеска звезды.
Наблюдение эффекта Росситера-МакЛафлина 
[11, 12] во время транзитов экзопланет по диску звезд 
показало, что у существенного количества объектов 
плоскость орбиты не совпадает с экваториальной 
плоскостью центральной звезды [13]. При этом наряду с наклонными, встречаются и перпендикулярные (например, WASP-7 [14]), и ретроградные орбиты (например, WASP-17 [15]).
Моделирование показало, что в случае, если луч 
зрения пересекает протопланетный диск звезды с маломассивным компаньоном на наклонной орбите, то 
кривая блеска наиболее вероятно имеет два минимума 
в течение орбитального периода компаньона [16]. Наклонные внутренние части протопланетного диска 
могут экранировать его периферию от излучения 
звезды. В работе [17] было показано, что за возвышающейся над диском внутренней областью должна 
присутствовать зона тени. При этом на самом изображении протопланетного диска имеется ярко выраженная подковообразная область [18, 19], которая не вращается вместе с диском. Похожие результаты были 
получены в работах [20, 21, 22].
Изображения дисков с подковообразными яркими областями получены с помощью интерферометра ALMA у объектов IRS48, HD142527, AB Aur, 
HD135344B [23]. Кроме того, в работе [24] обнаружена квазистационарная тень на диске HD135344B.
В случае, если угол наклона орбиты планеты 
≥60D , то на изображении протопланетного диска 
могут быть заметны две симметричные тени при 
наблюдениях в рассеянном свете [21]. Подобная 
картина также наблюдается на изображениях, полученных в рассеянном свете, для дисков звезд 
HD142527 [25, 26] и HD100453 [27, 28]. При этом 
предполагается, что наклон внутреннего диска относительно внешнего достигает ӳ70◦. У объекта 
HD142527 был обнаружен субзвездный компаньон 
на вытянутой орбите [29, 30].
При наблюдениях в субмиллиметровом диапазоне две симметричные теневые области могут наблюдаться и при меньших углах наклона диска [19]. 
Примерами объектов с двумя теневыми областями 
при наблюдении на ALMA являются SR21, J1604–
2130, LkCa15, Sz91 [23].
Остается открытым вопрос формирования планеты на наклонной относительно диска орбите. 
Является ли наклон внутреннего диска следствием 
движения планеты или сама планета сформировалась из вещества наклонного внутреннего диска? 
В ряде работ было показано, что орбита планеты 
стремится уменьшить свои эксцентриситет и угол 
наклона вследствие взаимодействия с веществом 
протопланетного диска [31, 32]. Также в обзоре [23] 
описаны 38 объектов, показывающих асимметрии 
на изображениях своих дисков. При этом отмечено, 
что лишь у нескольких объектов имеются свидетельства наличия компаньона.
Одним из механизмов искажения плоскости протопланетного диска является захват звездой облачка 
(cloudlet) из остатков протозвездного облака. Падение облачка на протопланетный диск может быть 
причиной формирования экзопланеты на наклонной 
сильно вытянутой или ретроградной орбите [33]. 
Захват облачка из протопланетного диска и его аккреция на звезду были промоделированы в работах 
[34, 35, 36]. Было показано, что падение облачка 
может привести к возникновению наклона внешней 
части диска относительно внутренней, а также к эллиптической форме диска. Кроме того, в случае 
ретроградного падения облачка разные части диска 
могут двигаться в противоположных направлениях. 
Впервые возможность формирования вложенных 
дисков с противоположным направлением движения 
за счет падения вещества из межзвездной среды была 
показана в работе [37]. Расчеты с учетом магнитного 
поля диска и облака проведены в работе [38]. Авторами было показано, что если размер облачка 
меньше или равен толщине диска, то магнитное поле 
замедляет вращение падающего вещества, но в случае достаточно большого облачка вещество может 
двигаться со сверхкеплеровской скоростью.
Двумерные расчеты [39] показали, что в массивных дисках под действием гравитационной неустойчивости могут формироваться сгустки вещества 
с массами в несколько десятков масс Юпитера. Они 
могут аккрецировать на звезду, вызывая всплеск ее 
аккреционной активности. Кроме того, такие сгустки 
могут быть выброшены из системы в межзвездное 
пространство [40, 41]. В работе [34] была отмечена 
возможность формирования плотных сгустков из 
остатков протозвездного облака, при этом аккреция 
таких сгустков может происходить на внутренние 
части родительской протозвезды (ӳ7 а.е.)
Столкновение такого сгустка с протопланетным 
диском протозвезды или другой звезды в плотном 
звездном скоплении должно привести к искажению 
плоскости диска в области его падения, что, в свою 
очередь, может способствовать формированию планеты на наклонной орбите. Последствия такого падения были исследованы в работах [42, 43, 44]. Предполагалось, что сгусток и диск достигли теплового 
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
ТОМ 101
№ 10
2024
МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ СТРУИ ГАЗА
867

равновесия. Рассматривалась задача распада дугообразного возмущения с наклоном начального вектора скорости относительно плоскости диска во 
вращающейся среде диска в предположении мгновенного и дискретного падения струи газа.
При приближении облака к звезде оно может вытягиваться в струю конечного размера. Подобные 
структуры были недавно обнаружены на изображениях, полученных с помощью ALMA, у нескольких 
протопланетных дисков [45]. Например, струеподобная структура наблюдается у молодых объектов SU 
Aur [46] и DG Tau [47]. Таким образом падение плотных газовых потоков на протопланетный диск не 
является исключительным событием. При этом в работе [48] показано, что вещество струи может удерживаться от рассеяния межзвездным газом более 
высокой температуры. Авторы исследовали падение 
струи до соприкосновения с протопланетным диском.
В данной работе мы проводим трехмерное моделирование падения струи вещества на внутреннюю часть протопланетного диска и рассматриваем в динамике реакцию протопланетного 
диска. Выполнено исследование физических 
свойств и наблюдательных проявлений такого события. В частности, проанализировано искажение 
внутренней области диска, изменение темпа аккреции, вариации плотности на луче зрения.
2. МОДЕЛЬ И МЕТОД
2.1. Основные уравнения
Будем решать систему нестационарных газодинамических уравнений, описывающих эволюцию 
потока газа вокруг молодой звезды типа T Tau при 
помощи пакета PLUTO1 [49] в сферической системе 
координат R, ,θ ϕ
(
) : 144
60
144
×
×
 ячеек в области 
[0.2; 107.2] а.е.  × [15◦; 165◦]×[0◦; 360◦).
Уравнение неразрывности,
                           ∂
∂
+ ∇⋅(
) =
ρ
ρ
t
v
0,                            (1)
включает в себя плотность газа ρ и полную скорость v. Уравнение движения газа запишем с учетом вязкости:
  ∂(
)
∂
+ ∇⋅
⋅
−
(
)
= −∇
+ ∇⋅
ρ
ρ
ρ
v
v v
t
pI
T

Ф
П(v)      (2)
Здесь: p – давление газа, I – единичная матрица, 
= −GM
R
* /
Ф
 гравитационный потенциал, создаваемый звездой ( G – гравитационная постоянная, 
M* = 1Mʘ – масса звезды, R – расстояние до звезды, 
Mʘ – масса Солнца) и П ν( ) – тензор вязких напряжений:
    
ν
ν
ν
ν
( ) =
∇+ ∇

+
−



∇⋅
(
)
1
2
1
2
3
v
v
v
(
)
,
T
I
П
        (3)
ν1 – коэффициент кинематической вязкости, ν2 –
вторая вязкость (полагается равной нулю).
Уравнение энергии запишем с учетом теплопроводности:
∂
+
(
)
∂
+ ∇⋅
+
+
(
)

=
ε
ρ
ε
ρ
t
t
t
p
v
Ф
Ф
                  = ∇⋅
⋅
( )
(
) + ∇⋅
ν
c
v
F .
П
                        (4)
Здесь полная плотность энергии ε
ρε
ρ
t =
+
v2
2
/
включает в себя удельную внутреннюю энергию 
газа ε. Поток тепла определяется через коэффициент теплопроводности κ  и градиент температуры 
газа T : Fc
T
=
⋅∇
κ
.
Для замыкания системы уравнений (1–4) используется уравнение состояния идеального газа: 
p =
−
(
)
ρε γ
1 , γ = 7
5
/
.
Отдельно отметим, что в данной работе не рассматривались процессы, связанные с переносом излучения (нагрев УФ-излучением от горячих областей 
звезды, охлаждение пыли). Также не учитывалась 
самогравитация диска: гравитационный потенциал 
Ф оставался неизменным в течение расчетов.
2.2. Модели кинематической вязкости 
и теплопроводности
Скорость движения вещества струи относительно 
вещества протопланетного диска весьма высока, 
поэтому при столкновении взаимное трение и теплообмен неизбежны. Вещество струи будет терять 
заметную долю кинетической энергии вследствие 
такого взаимодействия, поэтому расчет вязкости 
и теплопроводности производился не только с учетом турбулентных членов, а более сложным образом.
Весь газ в течение расчетов считается идеальным 
и, в пределах отдельной ячейки, однородным. Однако стоит иметь в виду, что, в зависимости от плотности и температуры, газ может быть в разном состоянии (в частности, ионизован), что определяет 
его итоговую вязкость и теплопроводность. Каждый 
из этих коэффициентов складывается из трех составляющих: для нейтрального газа, ионизирован1 http://plutocode.ph.unito.it/
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
ТОМ 101
№ 10
2024
868
ГРИГОРЬЕВ, ДЕМИДОВА

ного, а также турбулентного слагаемого. Приведенные ниже формулы записаны в системе СГС.
Динамическая вязкость нейтрального водорода 
рассчитывалась согласно модели твердых сфер:
    µ
π
neutral
H
=
×
1 016
5
16
2
2
.
,
d
m kbT             (5)
где d =
×
−
2 9
10 8
.
 см (диаметр молекулы водорода), 
mH – масса атома водорода, kb – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура.
Вязкость ионизированной плазмы определялась 
на основании формул Брагинского [50]:
                 µ
ρ τ
ion = 0 96
.
,




k T
b
i
                   (6)
где τi – характерное время столкновений между ионами в полностью ионизированной плазме.
Турбулетная вязкость задавалась согласно модели 
Шакуры-Сюняева [51]:
                     µ
αρ
turb =
c H
s
,
                     (7)
где α = 0 001
.
, cS – локальная скорость звука, а H –
характерный вертикальный масштаб диска (в начальный момент времени определяется формулой 
(13), см. ниже). В расчетах было принято, что H
cs
= Ω, 
где 8 – локальная кеплеровская угловая скорость. 
Данное соотношение применимо в случае вертикального гидростатического равновесия, которое 
сохраняется до касания вещества струи с поверхностью диска. В дальнейшем, когда начальная плоскость диска искажается, может быть выделена поверхность максимальной плотности, относительно 
которой можно оценить средний характерный вертикальный масштаб диска (по аналогии с распределением (12), см. ниже: ρ
φ
ρ
φ
r
z
z
H
r
z
e
, ,
, ,
/
−
=
(
)
(
)
=
0
0
1 2
max
 при 
фиксированных r  и  φ ). Расчеты показали соответствие по порядку величины полученного таким 
образом характерного вертикального масштаба 
диска и отношения скорости звука к локальной кеплеровской скорости в течение всего времени моделирования. Отклонение 
cs
Ω от значения H может 
быть скорректировано вариациями параметра α
в пределах 10
10
4
2
−
−
−
. Вариации α  могут быть обоснованы физическими процессами, протекающими 
в диске и влияющими на перенос углового момента 
(см., напр., [52]), но не учитываемыми при данном 
моделировании.
Теплопроводность нейтрального водорода определялась также на основании модели твердых сфер:
               κ
ρ
λ
neutral
therm
= 1
3
 
c
v
v
,                    (8)
где cv – удельная теплоемкость газа при постоянном 
объеме, λ – длина свободного пробега молекулы 
(но не более размера расчетной ячейки), vtherm – тепловая скорость газа.
Теплопроводность ионизированного водорода 
в первую очередь определяется электронами, поэтому ее можно вычислить на основании формул 
Брагинского:
                   κel =
×
−
2
10 8
5 2
T / .
                   (9)
Будем считать, что турбулентное число Прандтля 
равно 1, тогда турбулентная теплопроводность определяется на основании известной турбулентной 
вязкости:
                      κ
µ
turb
turb
= cp
,
                 (10)
где cp – удельная теплоемкость газа при постоянном 
давлении.
Итоговые вязкость и теплопроводность вычисляются так:
    
ρν
µ
µ
µ
κ
κ
κ
1
1
1
=
−
(
)
+
+
=
−
(
)
+
x
x
x
x
HI
ion
HI
neutral
turb
HI
el
HI
neu








,
tral
turb
+ κ
,       (11)
где xHI – доля нейтрального водорода, которая вычислялась на основании равновесия процессов 
ионизации и рекомбинации водорода в ячейке.
Мотивация использования столь нетривиальной 
модели транспортных коэффициентов такова. В короне диска, особенно вблизи звезды, доминируют 
ламинарные ионная вязкость и электронная теплопроводность, а в диске – турбулентные вязкость 
и теплопроводность. Поэтому необходимо создать 
достаточно гладкое и физичное представление соответствующих коэффициентов в зависимости от 
имеющихся макропараметров газа в каждой отдельной ячейке. Ввиду применения формул для 
полностью ионизированной плазмы естественным 
образом возникает вопрос о степени ионизации 
газа, что, в свою очередь, позволяет говорить о молекулярных транспортных коэффициентах.
Анализ этих коэффициентов показал, что молекулярная вязкость ничтожно мала по сравнению 
с турбулентной вязкостью, доминирующей в газовом 
«холодном» диске, и ионной, которая преобладает 
в разреженной «горячей» ионизованной короне 
диска. Однако в тонком переходном слое между 
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
ТОМ 101
№ 10
2024
МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ СТРУИ ГАЗА
869

короной и диском ее вклад в общую вязкость может 
составлять долю процента.
Молекулярная теплопроводность также пренебрежимо мала по сравнению с турбулентной в плоскости диска, но становится сравнима с ней при переходе от диска к короне. В самой короне, ввиду ее 
ионизации, вклад молекулярной теплопроводности 
нулевой. Кроме того, при пересечении сгустком 
плоскости диска происходят активные процессы 
нагрева и перемешивания вещества, тем самым 
можно ожидать создание условий, сходных с теми, 
что изначально присутствуют в области между 
диском и короной.
Таким образом, хотя вклад молекулярных вязкости и теплопроводности невелик, их учет позволяет 
создать более полную и аккуратную модель для данных транспортных коэффициентов в рамках газодинамического приближения.
2.3. Начальные и граничные условия, единицы 
измерения
Все макроскопические параметры газа задаются 
в условной системе единиц (code units). Основные 
параметры этой системы перечислены в табл. 1. 
Так же, как и в статье [42], зададим начальное 
распределение плотности в диске:
    
ρ
π
π
r z
H r
r
r
z
H
r
M
r
r
, ,
,
0
2
2
2
0
2
2
0
(
) =
( )
−
( )






=
Σ
Σ
in
disk
in
o
exp
ut
in
−
(
)
r
.
   (12)
Здесь r
R
=
sinθ – цилиндрический радиус, z – высота над экватором, H r( ) – характерная полутолщина диска на этом радиусе, rin – внутренний радиус 
диска, 4
– средняя поверхностная плотность диска, 
Mdisk – начальная масса диска (во всех расчетах задается равной 0 01
.
Mʘ).
Полутолщина диска зависит от температуры в экваториальной плоскости диска Tmid на данном радиусе:
                
H r
T
r r
GM
m
T
r
R
r T
( ) =
( )
( ) =
κ
µ
mid
*
H
mid
*
*
3
4
4
Г
,
,                   
(13)
где величины R*  и T*  означают радиус и температуру звезды, коэффициент Г = 0.05 [53, 54], молярный вес газа в диске µ = 2 35
.
 [55].
Плотность в ячейке ограничена снизу значением 
10 12
0
−
ρ , и вся область, занятая столь разреженной средой, считается короной с температурой 1 5
106
. ×
 K.
Скорость каждой точки диска задается исходя из 
кеплеровского приближения: v = (
) =
v
v
v
R,
,
θ
ϕ
= (
)
GM
R
, ,
/
0 0
*
. В случае расчетов с ретроградным 
падением вещества начальная азимутальная скорость 
заменяется на отрицательную: v
v
ϕ
ϕ
→−
. Таким образом при ретроградном падении струи диск вращается 
по часовой стрелке в плоскости xy, а при сонаправленном–против.
Левое граничное условие по R задается из соображений равенства тепловых турбулентных потоков, 
непрерывности вязкого турбулентного потока и сохранения энтропии. Значения в граничных ячейках 
Параметр 
Обозначение 
Значение 
Ед. СГС 
Комментарий 
Единица массы 
M0
1.98 × 1033
 г 
Mʘ 
Единица длины 
L0
1.496 × 1013
 см 
1 а.е. 
Единица времени 
t0
3.16 × 107
 с 
1 год 
Единица плотности 
ρ0
5.94 × 10–7
 г/см3
M
L
0
0
3
/
Единица скорости 
v0
4.74 × 105
 см/с 
2
0
0
πL
t
/
Таблица 1. Единицы нормировки
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
ТОМ 101
№ 10
2024
870
ГРИГОРЬЕВ, ДЕМИДОВА

обозначаются нижним индексом b , без индекса –
в расчетных приграничных ячейках:
             
κ
κ
ν
ρ
ν
ρ
ρ
turb b
turb
turb
b
turb
∂
∂
= −
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
T
R
T
R
R
R
b
b b
b
,
,
v
v
ρ(
/
)
,
.
T
T
b
2 5
   
(14)
при этом компонент vRb всегда направлен в сторону 
звезды или нулевой.
Правое граничное условие по R  соответствует 
начальному состоянию вещества в диске. Установлены свободные граничные условия по θ  с обеих 
сторон и периодические граничные условия по ϕ .
2.4. Начальные параметры вещества струи
В начальный момент времени одна расчетная ячейка 
(размером ~
.0 8 а.е.) на расстоянии R = 20 а.е. от звезды 
заполняется веществом с массой равной массе Юпитера, 
величина плотности в ней будет равна ρ ≈
×
−
1
10 9 г/см3. 
Начальная температура этого вещества равна 50 K. Начальные компоненты скорости газа в данной ячейке 
задаются такими, чтобы материальная точка, имеющая 
координаты центра этой ячейки, двигалась по параболической траектории с долготой восходящего узла 
8 = 45D  относительно звезды. Было рассмотрено несколько вариантов движения струи и протопланетного 
диска, параметры которых перечислены в табл. 2. Все 
углы задаются в градусах.
Параметры расчетов подбирались так, чтобы 
первое пересечение плоскости диска центром масс 
падающего вещества было примерно в одном и том 
же месте R, ,
( .
θ ϕ
(
) ≈7 4  а.е., 0◦, 225◦).
3. РЕЗУЛЬТАТЫ
3.1. Предварительный статистический анализ 
движения тел по параболическим траекториям
Прежде, чем решать описанную выше газодинамическую задачу полезно выполнить анализ вероятности пересечения плоскости диска телом, летящим к звезде извне.
Предполагалось, что величина полной скорости 
падающего вещества в начальный момент времени 
была равна скорости убегания от звезды 
V
R
GM
R
II
*
( ) =
2
, но направлена к звезде. При таком 
пролете возможно либо двойное, либо одиночное 
пересечение плоскости диска. Поэтому было выполнено исследование движения тела по параболе 
относительно плоскости диска, ограниченной радиусом R = 100  а.е. 106 частиц были размещены на 
параболических орбитах на расстоянии R = 200  а.е. 
Параметры орбит задавались случайным образом: 
перицентрическое расстояние ( q ) – в диапазоне 
0 05
100
.
−
 а.е., наклонение 0
180
D
D
≤
≤
i
, аргумент 
(w) и долгота (8) перицентра в пределах 0 360
D
D
;

.
Для оценки было достаточно считать, что частицы 
гравитационно притягиваются лишь к  звезде, 
а влияние диска (газодинамическое торможение, притяжение) не учитывалось. Интегрирование орбит было 
выполнено с помощью метода Булирша-Штера [56], 
реализация которого описана в работе [57]. Результаты 
расчета были усреднены по трем вариантам начальных 
данных.
Расчеты показали, что одиночное пересечение 
плоскости диска встречается в 73% случаев, а двойное – в 27%. Однако количество орбит, дважды пересекающих плоскость диска, растет с уменьшением 
аргумента перицентра q . Так, при фиксированном 
значении q = 5 а.е. (остальные параметры соответствуют описанным выше) двойные пересечения 
составляют 76%.
3.2. Однократное пересечение плоскости диска
Рассматривалось два варианта однократного пересечения плоскости диска. В первом случае поток 
вещества двигался по параболе в том же направлеПараметр 
ДП-45 
ДП-р45 
ДП-60 
ДП-р60 
ДП-30 
ДП-р30 
ОП-45 
ОП-р45 
i,◦
45 
45
60
60
30
30 
45 
45
X,◦
–110
–110
–110
–110
–110
–110
–30
–30 
q, а. е.
5
5
5
5
5
5
7.4
7.4
Таблица 2. Начальные параметры орбиты падающего вещества струи
Примечание. Обозначения параметров исходной параболической траектории: i — наклон к плоскости xy, X — аргумент 
перицентра и q — перицентрическое расстояние. ДП — модель с двойным пересечением плоскости xy исходной параболической траекторией, ОП — с одиночным. Пометка «р» означает обратное вращение диска (ретроградная модель).
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
ТОМ 101
№ 10
2024
МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ СТРУИ ГАЗА
871