Астрономический журнал, 2024, № 5

Российская академия наук
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ 
ЖУРНАЛ
Том 101   № 5   2024   Май
Основан в январе 1924 г.
Выходит 12 раз в год 
ISSN: 0004-6299
Журнал издается под руководством 
Отделения физических наук РАН
Главный редактор 
Д. В. Бисикало
Редакционная коллегия:
Г.  С.  Бисноватый-Коган, Д.  З.  Вибе (ответственный секретарь), 
Р.  Д.  Дагкесаманский, А.  Г.  Косовичев, А.  В.  Тутуков, 
А.  М.  Черепащук (заместитель главного редактора)
Зав. редакцией В.  Р.  Соколова
E-mail: astrojourn@pran.ru
Москва 
ФГБУ «Издательство «Наука»
©  Российская академия наук, 2024  
©  Редколлегия “Астрономического журнала”  
(составитель), 2024 

СОДЕРЖАНИЕ
Том 101, номер 5, 2024
Конструирование энтропийно-силовой модели расширения Вселенной,  
обусловленного гравитационно-индуцированным производством темной материи
М.Я. Маров, А.В. Колесниченко	
390
Газодинамическая модель аккреции на нейтронную звезду с учетом вязкости  
и влияние крупномасштабных вихрей на передачу момента импульса
А.Г. Аксенов, В.М. Чечеткин	
408
Исследование мазеров H2O и OH в области формирования молодого звездного объекта 
высокой массы (S255 NIRS 3)
Н.Т. Ашимбаева, Е.Е. Лехт, В.В. Краснов, В.Р. Шутенков 	
425
V957 Cер – затменная система нулевого возраста
И.М. Волков, С.А. Нароенков, А.С. Кравцова	
436
Микроструктура импульсов пульсара B1133+16 на частоте 111 МГц
М.В. Попов	
455
Металличность и кинематика околосолнечного звездного населения Галактики
А.В. Тутуков, Н.В. Чупина, С.В. Верещагин	
469
Определение параметров гравитационного поля Земли по градиентометрическим  
измерениям в земной геоцентрической системе координат
А.А. Клюйков 	
483
 

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2024, том 101, № 5, с. 390–407
КОНСТРУИРОВАНИЕ ЭНТРОПИЙНО-СИЛОВОЙ МОДЕЛИ  
РАСШИРЕНИЯ ВСЕЛЕННОЙ,  
ОБУСЛОВЛЕННОГО ГРАВИТАЦИОННО-ИНДУЦИРОВАННЫМ 
ПРОИЗВОДСТВОМ ТЕМНОЙ МАТЕРИИ
© 2024 г.  М. Я. Маров1, А. В. Колесниченко2,*
1Институт геохимии и аналитической химии им. В. И. Вернадского, РАН, Москва, Россия
2Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, Москва, Россия
*E-mail: al-vl-kolesn@yandex.ru
Поступила в редакцию 15.12.2023 г. 
После доработки 13.02.2024 г. 
Принята в печать 11.03.2024 г.
В рамках энтропийной космологии и гравитационной теории Пригожина о связи геометрии и материи, 
обеспечивающей производство частиц в космологической жидкости, а также в предположении обменной 
энтропии на событийном горизонте сконструирована одножидкостная модель эволюции пространственно 
плоской, однородной и изотропной Вселенной. Для ее построения выведено из первого закона 
термодинамики уравнение сохранения энергии с учетом гравитационно-индуцированного создания 
материи и обменных энергетических процессов на видимом горизонте Вселенной. На основе 
энергетического уравнения и фундаментального уравнения Фридмана, описывающего расширение 
Вселенной, сконструированы в контексте энтропийного формализма модифицированные уравнения 
Фридмана-Робертсона-Уокера, предназначенные для моделирования различных динамических аспектов 
эволюции Вселенной с учетом адиабатического создания материи. При их получении было использовано 
несколько форм обменных феноменологических неэкстенсивных энтропий, ассоциированных с областью 
видимого космологического горизонта. Полученная эволюционная модель, согласующаяся со стандартной 
Λ-моделью для холодной темной материи, предназначена для описания без введения новых полей 
ускоренного расширения поздней Вселенной, обеспечивая ее космологическую историю.
Ключевые слова: общая теория относительности Энштейна, энтропийная космология, неэкстенсивная 
обменная энтропия, гравитационно-индуцированное создание материи
DOI: 110.31857/S0004629924050019   EDN: JODZJQ
1. ВВЕДЕНИЕ
Несмотря на растущее количество наблюдательных свидетельств существования ускоренного расширения Вселенной, его природа и фундаментальное происхождение все еще остается нерешенным 
вопросом. Для объяснения этого явления в ранних 
моделях ΛCDM (lambda cold dark matter) вводился 
дополнительный энергетический компонент, называемый темной энергией (плотность которого в настоящее время связывают с космологической постоянной Λ). Вследствие инвариантности Лоренца 
последняя характеризуется отрицательным давлением, что объясняет современное состояние ускоренного расширения. С учетом дополнительного 
параметра Λ стандартная модель ΛCDM довольно 
хорошо согласуется с современными астрономическими данными, полученными от сверхновых типа 
Ia, акустических осцилляций барионов (BAO) и 
космического микроволнового фона (CMB).
Однако существуют и серьезные недостатки этого 
подхода, связанные с чрезвычайно малым значением 
параметра Λ. Попытки связать его с плотностью 
энергии вакуума приводят к расхождению на 120 
порядков относительно его теоретического значения, оцененного квантовой теорией поля. Для разрешения указанной несогласованности были предложены многочисленные космологические модели 
Λ(t)CDM, допускающие перевод космологической 
постоянной в поле Λ(t), которое изменяется со временем подходящим образом. В рамках этих моделей 
были разработаны, в частности, различные сценарии 
эволюции Вселенной, основанные на ассоциированной с ее видимым горизонтом энтропии Бекенштейна-Хокинга SB–H [1, 2] и на голографическом 
принципе, связанном с хранением голографической 
информации на поверхностном экране, расположенном на горизонте Вселенной [3]. Кроме этого, 
в работах [4, 5], опирающихся в большой степени 
 

на физику черных дыр, была разработана новая концепция эволюции Вселенной — так называемая энтропийная космология. Авторами этой концепции 
было показано, что центральным понятием, необходимым для возникновения отрицательной гравитации, является рост энтропии на горизонте Вселенной (см., например, [6]). Таким образом, было 
продемонстрировано, что наряду с традиционным 
объяснением ускоренного расширения Вселенной, 
основанном на присутствии некоторой управляющей силы в уравнениях Фридмана-РобертсонаУокера, обусловленной в конечном счете темной 
энергией (гипотетической средой с отрицательным 
давлением), возможна альтернативная интерпретация ее динамической эволюции, связанная с наличием отталкивающей энтропийной силы.
В дальнейшем, в ходе всестороннего исследования 
космологических последствий данной концепции, в 
целом ряде работ были изучены различные модифицированные космологические уравнения, моделирующие ускоренное расширение однородной и изотропной Вселенной. В частности, на базе термодинамического подхода Верлинде [5] в работах [7, 8] 
были окончательно установлены основы энтропийной космологии, допускающие наличие на горизонте 
Вселенной обычно пренебрегаемых в классической 
ОТО поверхностных членов, связанных с так называемыми энтропийными силами, которые обеспечивают ее ускоренное расширение. В целом ряде последующих публикаций (см., например, [8−15]), 
выполненных в рамках энтропийной космологии, 
рассмотрены разнообразные сценарии ускоренного 
расширения Вселенной в предположении, что космический горизонт, подобно горизонту событий черной дыры, имеет свою нестационарную температуру 
и энтропию.
Важно при этом подчеркнуть, что в указанных 
исследованиях наравне с температурой де Ситтера 
[16] использовались различные формы энтропийных 
мер (выбранных ad hoc), ассоциированных, по предположению, с областью видимого космологического 
горизонта. К ним, помимо энтропии БекенштейнаХокинга [1], относятся, в частности, энтропия с 
фрактальной размерностью Барроу [17, 18], неэкстенсивная энтропия Тсаллиса-Кирто [19], модифицированная энтропия Реньи [20], каппа-энтропия 
Каниадакиса [21, 22], модифицированная энтропия 
Шарма-Миттала [23, 24] и др.
Исходный выбор указанных неэкстенсивных энтропий определялся тем, что общая энтропия космологической гравитационной системы должна быть 
связана с ее объемом [19], а не с поверхностью, как 
это имеет место в случае энтропии БекенштейнаХогинга. С помощью полученных методами энтропийной космологии различных обобщенных уравнений Фридмана-Робертсона-Уокера было показано, что основанные на них теоретические модели, 
описывающие текущую фазу ускоренного расширения Вселенной, хорошо согласуются с данными 
по сверхновым (см., например, [25]).
Большинство цитируемых выше феноменологических энтропийно-силовых моделей могут быть 
интерпретированы как частный случай Λ(t)CDMмоделей (см., например, [11, 26]). Эта интерпретация 
подразумевает, в частности, что используемая модельная энтропия на горизонте является обменной 
(обратимой), связанной с «космологией энергетического обмена». Подобный энергетический обмен 
эквивалентен взаимодействию между темной материей и темной энергией или негравитационному 
взаимодействию между темной материей и энергией 
вакуума (см. [27−29]). Сразу отметим, что поскольку 
в энтропийной космологии темная энергия не рассматривается, то в настоящей работе (выполненной 
в рамках этой космологии) под взаимодействием 
будем подразумевать передачу энергии между темной 
массой Вселенной1 и ее событийным горизонтом, 
на котором, по предположению, сосредоточена вся 
энергия вакуума [30].
Важно подчеркнуть, что существующая на сегодня фаза ускоренного расширения Вселенной, 
вероятно, была не единственной. Согласно стандартной космологической модели, вскоре после 
большого взрыва Вселенная должна была пережить 
очень короткий период (~10−30 с) быстрого ускоренного расширения, ответственный за наблюдаемую 
однородность и изотропию Вселенной на больших 
масштабах, ее пространственную плоскостность и 
пространственные флуктуации температуры космического фонового излучения (CMB). В связи с 
1 В общем случае Вселенная считается заполненной материей и темной энергией — идеальными жидкостями с соответствующими давлениями и плотностями энергии. Поскольку гравитационные эффекты темной энергии и темной 
материи противоположны (т. е. имеет место гравитационное 
отталкивание против гравитационного притяжения) и поскольку обычная материя сгущается в минимумах гравитационного потенциала (которые связаны со сгущениями 
темной материи), а темная энергия распределена очень 
однородно, то можно ожидать, что любое динамическое 
взаимодействие между этими двумя темными компонентами 
Вселенной будет крайне слабым или даже пренебрежимо 
малым. По этой причине в данной работе мы ограничились 
рассмотрением только однокомпонентной космологической 
жидкости (связанной с темной материей) при стандартном 
предположении, означающем, что указанные компоненты 
не взаимодействуют.
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ  том 101  № 5  2024
	
КОНСТРУИРОВАНИЕ ЭНТРОПИЙНО-СИЛОВОЙ МОДЕЛИ РАСШИРЕНИЯ ВСЕЛЕННОЙ... 
391

этим возникла необходимость во введении еще одного нового энергетического компонента для описания этого явления. 
В литературе описан подобный механизм космологического ускорения, который связан с гравитационным производством холодной космологической 
материи. Микроскопическое объяснение этого механизма было впервые дано Шредингером [31] и 
основательно разработано Паркером и другими на 
основе квантовой теории гравитационного поля в 
искривленных пространствах [32, 33]. Качественно 
этот гравитационно-индуцированный механизм 
квантового создания материи можно объяснить процессом квантования гравитационного поля, эволюционирующего в рамках геометрии Фридмана-Робертсона-Уокера (FRW), что приводит к созданию 
частиц, причем энергия для этих вновь созданных 
частиц материи поступает от меняющегося во времени гравитационного поля [34]. Другими словами, 
изменяющаяся во времени геометрия ведет себя как 
«насос», превращающий кривизну в частицы. 
Наряду с этим в работе Пригожина и др. [35] было 
предложено феноменологическое описание механизма производства частиц в пространстве-времени 
под действием гравитационного поля, основанное 
на использовании неравновесной термодинамики 
для описания адиабатического создания материи и 
энтропии в открытой космологической системе. 
Позже в работе [36] авторы рассмотрели явно ковариантный подход к моделированию процесса создания материи и применили его к космологии. При 
этом процесс создания частиц описывается членом 
обратной реакции в уравнениях поля Эйнштейна, 
отрицательное давление которого обеспечивает самоподдерживающийся механизм космического ускорения. Этот подход в корне меняет обычные адиабатические законы сохранения энергии в классической ОТО, приводя тем самым к процессу необратимого возникновения материи, связанному с передачей энергии от гравитационного поля к 
созданной материи. В соответствии со вторым законом термодинамики необратимое производство 
холодной темной материи порождает в свою очередь 
крупномасштабную космологическую энтропию. В 
настоящей работе, выполненной в рамках энтропийной космологии, рассматривается феноменологическая этропийно-силовая модель ускоренного 
расширения однородной, изотропной, пространственно плоской Вселенной с преобладанием космологической темной материи, предполагающая несколько форм энтропии (например, Бекенштейна, 
Тсаллиса-Кирто и др.) на горизонте Вселенной, 
когда энтропия ведет себя так, как если бы она была 
связана с обменом энергии между основной ее массой и горизонтом (при учете необратимой энтропии, 
обусловленной созданием материи [30, 37]).
2. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ  
ИЗ ПЕРВОГО ЗАКОНА ТЕРМОДИНАМИКИ
2.1. Некоторые элементы энергетически обменной 
Λ(t)-космологии
Далее мы ограничимся обсуждением различных 
модификаций классических уравнений ФридманаРобертсона-Уокера для пространственно плоской, 
однородной и изотропной Вселенной, которая моделируется одной идеальной космологической жидкостью (относящейся к темной материи). Из уравнений гравитационного поля общей теории относительности Эйнштейна в метрике Фридмана-Робертсона-Уокера вытекают следующие модифицированные уравнения поля для масштабного 
фактора a(t):
         
,
	
     
(1)
 
           
1
4
3
3
2
2
a t a
dH t
dt
H t
G
t
p t
c
t
 

  





 
 
  
 





 
 

( )




3,
             
(2)
описывающие эволюцию плоской Вселенной. Здесь 
t — космологическая временная координата; a(t) — 
масштабный фактор Робертсона-Уокера (коэффициент расширения Вселенной); G, c, p(t), ρ(t) — 
соответственно гравитационная постоянная, скорость света, скалярное давление и эффективная 
плотность космологической жидкости (в основном 
темной материи — холодного вещества с крайне 
малым давлением за пределами светящейся материи [38]); 
 — хаббловская скорость расширения Вселенной или так называемый параметр 
Хаббла (который в современный период равен 
H0 = 2.2 × 10–18c–1). Уравнения (1) и (2) включают 
изменяющийся во времени дополнительный управляющий параметр Λ(t)/3. В эйнштейновской ОТО 
это так называемый космологический член, который эквивалентен ковариантно сохраняющейся 
плотности энергии вакуума [39]; при надлежащем 
определении параметра Λ(t) может объяснить ускоренное расширение Вселенной [40]. В энергетически обменной космологии, которая обсуждается в 
данной работе, параметр Λ(t) описывает передачу 
энергии между темной материей и энергией вакуума на границе (на видимом горизонте Вселенной). 
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ  том 101  № 5  2024
392	
МАРОВ и др.

Из уравнений (1) и (2) вытекает следующий закон сохранения энергии (или уравнение неразрывности):
      
.	       (3)
Для его получения нужно продифференцировать 
фундаментальное уравнение Фридмана (1), связанное с расширением Вселенной, и результат 
скомбинировать с уравнением ускорения (2), которому удовлетворяет скалярное давление космологической жидкости. При написании (3) использован параметр w уравнения состояния для эффективной плотности энергии, который задается соотношением w t
p t
t c
  
 
 
/ 
2 . 
Правая часть уравнения неразрывности (3) 
обычно ненулевая, за исключением простого случая Λ(t) = Λ, т. е., когда уравнения ускорения (2) и 
неразрывности идентичны уравнениям стандартной Λ CDM-модели, используемой для описания эволюции поздней Вселенной. Подобная модель содержит дополнительный энергетический 
компонент, плотность которого в настоящее время 
связывают с космологической постоянной Λ2. Заметим, что измеренная величина параметра Λ более 
чем на два порядка меньше ее теоретического значения, оцененного квантовой теорией поля. Для 
решения указанной несогласованности в космологической литературе были предложены многочисленные модели Λ(t) CDM, допускающие зависящий 
от времени космологический член. В частности, 
совокупность моделей Λ(t) CDM, интерпретируемая как своего рода энергетическая обменная космология, предполагает передачу энергии между 
двумя жидкостями — темной материей и темной 
энергией [28, 29], либо между темной материей и 
энергией вакуума на границе (на видимом горизонте Вселенной) [7, 27, 29]. В данной работе обсуждается второй обменный вариант, когда  
Λ(t) ≡fΛ(t) (см. ниже).
Уравнение (3) для стандартной Λ CDM-модели 
принимает вид: 
                   




t
a t
a t
t
p t
c
  
 
 
  
 





 
3
0
2
.
	
     
(4)
2 Космологическая постоянная обычно ассоциируется с плотностью энергии вакуума ρΛ = Λ/8πG, хотя ее измеренное 
значение ρΛ ~ 10–47GeV –4 трудно согласовать со значениями, 
полученными в квантовой теории поля и в теории струн, 
которые на много порядков больше.
Если зависимость давления p(t) от плотности 
p(t) известна, то, решив уравнения (1) и (4), можно 
определить масштабный фактор a(t) для всех моментов времени. Таким образом, можно считать, 
что фундаментальными уравнениями динамической космологии являются фундаментальное уравнение Фридмана (1), уравнение сохранения энергии (3) и уравнение состояния. Заметим, что найденное при этом решение a = a(t) автоматически 
удовлетворяет уравнению ускорения (2), поскольку, 
дифференцируя (1) по времени и используя (4), 
получаем 
2
8
3
8
3
3
2
3
2
2
2




aa
G
a a
a
a
a
G
a a
a
p
c
a


 
 




 
 













,
что эквивалентно уравнению (2).
Следует отметить, что в качестве альтернативы 
уравнение неразрывности (3) может быть выведено 
непосредственно из первого закона термодинамики, если рассматривать Вселенную как термодинамическую систему, ограниченную видимым 
горизонтом.
2.2. Термодинамический вывод  
уравнения неразрывности
Учитывая тепловые свойства ускоряющейся 
Вселенной, приведем сначала термодинамический 
вывод обобщенного уравнения неразрывности (3), 
модифицируя подход, развитый в монографии [41]. 
Рассмотрим некий локальный жидкий элемент 
космологической системы (например шар малого 
радиуса  ), обменивающейся энергией с окружающей средой в форме тепла и механической работы. Тогда из первого начала термодинамики следует, что количество энергии (тепловой поток) dQe, 
которым этот элемент обменивается с внешним 
окружением за время от t до t + dt, т. е. проходит 
через его поверхность, определяется следующим 
соотношением 
                dQ
t
dE t
pdV t
e   
  
 . 	                    (5)
Здесь dE и dV — изменения внутренней энергии 
и объема рассматриваемой сферы, занимаемой 
веществом, соответственно. Соотношение (5) может быть переписано в виде
dQ
t
E t
t
p V t
t
dt
E
pV dt
e   
  


  













.
        
(6)
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ  том 101  № 5  2024
	
КОНСТРУИРОВАНИЕ ЭНТРОПИЙНО-СИЛОВОЙ МОДЕЛИ РАСШИРЕНИЯ ВСЕЛЕННОЙ... 
393

Пусть теперь элементарная сфера произвольного начального радиуса  расширяется вместе с 
универсальным расширением Вселенной, так что 
ее радиус r(t) в момент времени t определяется выражением r(t) = a(t) . Тогда
                     
	
                    (7)
Используя выражение (7), скорость изменения 
объема сферы можно записать как 
          
	       
(8)
Полная внутренняя энергия сферы определяется 
соотношением E t
t V t
    
 

, где 

t
t c
  
  2 — 
плотность внутренней энергии. Отсюда для скорости изменения величины E t   имеем
                



E
V
V
H
V










3
.
	
     (9)
Подставляя выражения (8) и (9) в 

E
pV
+
, получим
           




E
pV
H
V
pVH
H
p
V
H
p c
c






























3
3
3
3
2
2V .
	
   
(10)
Классическая формулировка второго закона 
термодинамики состоит в том, что для всех обратимых изменений в закрытой системе с однородной 
температурой T энтропия системы S определяется 
соотношением d S
dQ
T
e
e
=
/
. Подставляя теперь 
соотношения (8) и (10) в уравнение (6), получим 
второй закон термодинамики для расширяющегося 
(или сжимающегося) элементарного объема V в 
бездиссипативной космологической жидкости, 
записанный в виде:
                 dQ
dt
T d S
dt
E
pV
a
a
p
c
c V
H
e
e




 























3
3
2
2









p
r
4
3
3


.
	
    
(11)
Если тепловой поток dQe через границу элементарного объема космологической жидкости остается постоянным на протяжении всего пути его 
движения, то d S
e
= 0. Подобные обратимые и адиабатические процессы являются изэнтропическими. Для них уравнение (11) сводится к классическому уравнению неразрывности (3) в ОТО для 
адиабатического расширения плоской Вселенной. 
Таким образом, классические уравнений гравитационного поля общей теории относительности 
являются чисто адиабатическими и обратимыми 
и, следовательно, «неспособны обеспечить энтропийный всплеск, сопровождающий производство 
материи во Вселенной» [35].
2.3. Неадиабатические процессы  
в космологической жидкости
В общем случае необратимых изменений в закрытой системе ее энтропия удовлетворяет неравенству dS
dQ
T
>
e/
. Следуя Клаузиусу, обычно 
вводят новую всегда положительную величину 
dQ
TdS
dQ
i
e


 (так называемую некомпенсированную теплоту), которая возникает вследствие 
протекания необратимых процессов внутри самой 
системы. Таким образом, энтропия системы может 
изменяться вследствие двух и только двух причин: 
либо в результате возникновения энтропии в самой системе, либо в результате переноса энтропии 
из внешней среды (или во внешнюю среду) через 
границу системы. Обозначая эти составляющие 
измененной энтропии через 
 и 
, получим следующее выражение для 
полного изменения энтропии системы 
dS
d S
d S


e
i .
Процитируем теперь И. Пригожина [35]: «Очень 
немногие физические теории находятся в такой 
парадоксальной ситуации, как космология сегодня. 
С одной стороны, наша Вселенная характеризуется 
значительным содержанием энтропии, в основном 
в форме излучения черных тел. С другой стороны, 
уравнения ОТО Эйнштейна являются чисто адиабатическими и обратимыми, и, следовательно, сами 
по себе вряд ли могут дать объяснение происхождения космологической энтропии». 
С целью преодоления этой проблемы авторами 
работы [35] была предложена новая интерпретация 
тензора энергии-импульса в уравнениях ОТО Эйнштейна, позволяющая учесть как материю, так и 
создание энтропии на макроскопическом уровне. 
В этом исследовании обсуждается непрерывный 
процесс генерации частиц (и, следовательно, энтропии) в «адиабатическом пределе», когда градиенты всех структурных параметров космологической жидкости пренебрежимо малы и можно пренебречь возможными диссипативными явлениями, 
но при этом удельная энтропия на частицу остается 
постоянной в течение всего процесса [36, 42]. Подобное рассмотрение существенно изменяет класАСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ  том 101  № 5  2024
394	
МАРОВ и др.

сический адиабатический закон сохранения энергии (3), приводя к появлению в нем дополнительного члена, связанного с передачей энергии от 
гравитационного поля к созданной материи3. Процесс производства материи порождает крупномасштабную космологическую энтропию в полном 
соответствии со вторым началом термодинамики 
и поэтому является термодинамически возможным. 
Таким образом, модифицированная теория гравитации Пригожина со связью «геометрия-материя» 
может рассматриваться как обеспечивающая производство частиц в космологической жидкости, 
заполняющей Вселенную.
3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ 
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОБОБЩЕННЫХ 
ГРАВИТАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ  
СО СВЯЗЬЮ ГЕОМЕТРИЯ-МАТЕРИЯ
Далее мы будем следовать обобщенному подходу 
Пригожина при рассмотрении термодинамики закрытых систем4 в контексте космологии, который 
включает в себя разработку феноменологической 
модели адиабатического производства материи и 
обеспечивает более расширенное понимание энтропийной космологии [43−45]. В отличие от традиционного описания космологической жидкости 
с помощью двух переменных — плотности энергии 
ρ(t) и скалярного давления p(t), в этом подходе модель дополняется новой переменной — плотностью 
n(t) числа материальных частиц (строго говоря барионов), движущихся вместе с жидкостью.
3.1. Термодинамическая модель  
гравитационного создания материи
Для того чтобы сделать последующее изложение 
более понятным, мы приведем здесь феноменологический вывод модифицированного (обусловленного адиабатическим созданием материи) уравнения неразрывности, соответствующего оригинальной работе [35]. В адиабатическом пределе, когда 
все диссипативные процессы отсутствуют5, для 
локального объема V идеальной однородной кос3 Важно отметить, что оригинальная теория гравитации Пригожина [35] развита на основе ОТО в рамках ковариантной 
формулировки обобщенных уравнений гравитационного 
поля, включающей величину производства материи в тензор 
энергии-импульса.
4 Напомним, что закрытыми системами в классической термодинамике называются системы, которые могут обмениваться с окружающей средой энергией, но не веществом [48].
5 Общий случай диссипативной (теплопроводной, вязкой, 
создающей частицы) космологической жидкости рассмотрен 
с единой ковариантной точки зрения в работах [46, 49].
мологической жидкости, содержащего N частиц, 
второй закон термодинамики утверждает, что давление p, плотность энергии ε и объем, приходящийся на одну частицу, 1/n = V/N, можно выразить 
как функцию температуры T и энтропии σ = S/N, 
приходящейся на одну частицу, так что имеет место 
следующее соотношение Гиббса [1, 46, 47]:
T d
dt
d
dt
n
p d
dt
n
n
d
dt
p
n
dn
dt








 



 






1
1
,
или
	
   
T dS
dt
V d
dt
p
n
V dn
dt
d
V
dt
p dV
dt
p
n
d nV
dt






 








.
Это выражение можно также записать в классической форме соотношения Гиббса
T d S
dt
h
n
d nV
dt
d Q
dt
d Q
dt
dE
dt
p dV
dt
e
e
i


 



,
	      
(12)
где deQ — тепло, полученное этой системой из окружения за время dt; h = ε + p — энтальпия на единицу 
объема. Второй член hn d nV





1
 в левой части 
уравнения (12) связан с некомпенсированной теплотой diQ, обусловленной созданием материи. 
Таким образом, некомпенсированная теплота, вырабатываемая самой космологической системой, 
полностью обусловлена ростом числа частиц.  
С космологической точки зрения, это изменение 
связано с передачей энергии от гравитации к материи, причем гравитационно-индуцированное 
создании частиц выступает в качестве источника 
космологической энтропии [35]. 
В случае отсутствия обменных энергетических 
процессов на границе шаровой области, определяемых условием 

Q
TS
e
e
=
= 0 (здесь Se — обменная 
энтропия на границе области), дифференциальное 
уравнение (12) с учетом формулы (8) может быть 
записано в виде6
     


 






 





3
3
1
0
H
p
p n
Hn
n
V Qe
.
   
(13)
6 Как правило, тепловой поток на границе Вселенной 
dQh = TdSh пренебрежимо мал при рассмотрении адиабатического создания материи [35, 42, 43]. Подобное пренебрежение может быть связано, в частности, с малым свободным 
параметром γ, фигурирующим в формуле (см. (33)) для температуры [50]. Однако в данном подразделе мы для общности 
рассмотрения оставляем величину Qe в уравнении (13).
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ  том 101  № 5  2024
	
КОНСТРУИРОВАНИЕ ЭНТРОПИЙНО-СИЛОВОЙ МОДЕЛИ РАСШИРЕНИЯ ВСЕЛЕННОЙ... 
395

C термодинамической точки зрения это уравнение, являющееся обобщенным уравнением сохранения энергии в теории гравитации Пригожина 
(ср. с (4) или с (11)), может быть интерпретировано 
как уравнение, описывающее адиабатическое образование материи в изотропной и гетерогенной 
космологической жидкости с изменяющейся во 
времени плотностью пылевых частиц, скорость Г(t) 
создания которых определяется соотношением
( ) :
.
t
N
dN
dt
n
Hn
n



1
3

Отсюда уравнение эволюции для числовой плотности частиц n имеет следующий вид:
                        

n
a
a n
n
t
 

3
( ).
	
                 
(14)
Уравнение сохранения энергии (13) в термодинамической теории гравитации Пригожина может 
быть записано теперь следующим образом:
     
	     
(15)
Следовательно, уравнение (13), описывающее 
адиабатический процесс гравитационного создания 
частиц в космологической системе, может быть 
записано как эффективное уравнение сохранения 
энергии (уравнение неразрывности)
          

 







 
3
3
4
0
3
H
p
p
r
Q
c
e


,
	
   
(16)
в котором величина pc, называемая давлением при 
адиабатическом создании материи, определяется 
выражением
          
	
    
(17)
По аналогии с классическим уравнением неразрывности (3) уравнение (16) может быть записано 
так же, как
     












  
 
3
1
8
0
2
H
p
p
с
G f
t
c

,
             
где
hor
hor


f
t
G
с r
TS
    






6
2 3
.
             (18)
Здесь величину 
 


f
t

 на горизонте (hor) Вселенной можно интерпретировать как некое подобие 
временной производной  t   космологического 
члена, связанного с обменной энтропией Shor  на 
границе [28].
Если Г = 0, то уравнение (16) сводится к уравнению неразрывности (3) в ОТО для адиабатического расширения Вселенной. В случае, когда Г ≠ 0, 
уравнение (16) определяет, как скорость создания 
материи Г изменяет эволюцию масштабного фактора и плотность энергии материи в сравнении с 
классическим случаем (не учитывающим гравитационно-индуцированное создание материи). 
Из определения (17) следует, что давление pc 
отрицательно или равно нулю в зависимости от 
наличия или отсутствия процесса производства 
частиц. Очевидно, что когда Г ≥ 0, то справедливо 
неравенство pc ≤ 0. Существенное производство 
частиц — это то явление, которое имеет место в 
ранней Вселенной. При этом не совсем ясно, действует ли подобный механизм в современную эпоху. 
Отвечая на этот вопрос, авторы работ [43, 51] показали, что отрицательное давление, сопровождающее гравитационно-индуцированное создание 
частиц холодной темной материи (CDM), может 
привести и к нынешней стадии ускоряющейся Вселенной, в которой полностью доминирует CDM, 
без привлечения концепции темной энергии или 
космологической постоянной.
3.2. Модифицированные уравнения  
Фридмана-Робертсона-Уокера
По аналогии с процедурой вывода классических 
уравнений Фридмана-Робертсона-Уокера из уравнений Фридмана (1) и неразрывности (4), изложенной в разд. 2.1, легко получить, при использовании (1) и (18), обобщенную систему уравнений 
эволюции плоской Вселенной с адиабатическим 
производством материи 
H t
a t
a t
G
t
f
t
( )
,
2
2
8
3
1
3

 
 







  
 




          
  (19)


a t
a t
H t
H t
G
t
p t
p
t
c
f
 
  
  

 
  
  
 





 
( )2
2
4
3
3
1
3


c
 t ,
	    
(20)
n t
n t
H t
t
 
  
  
 
3

.
	
              	                 
(21)
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ  том 101  № 5  2024
396	
МАРОВ и др.

Уравнение баланса (21) для плотности числа 
созданных частиц, дополняющее уравнения (19) 
и (20) для масштабного фактора a(t), приводит к 
новой интерпретации уравнений поля Эйнштейна 
[35, 36, 42].
Далее (до конца этого подраздела) мы ограничим 
наш анализ адиабатическими преобразованиями, 
определяемыми условием Qe = 0, то есть мы будем 
игнорировать процессы собственной теплопередачи в космологической системе. Тогда с учетом 
обычного уравнения состояния 
, из (17), 
(19) и (20) можно получить следующее уравнение 
ускорения:
             


aa
w
w
H
a









1
3
2
1
2
0
2
(
)
,

	
   
(22)
которое описывает эволюцию масштабного фактора a(t) в гравитационно-индуцированной космологии с необратимым производством частиц. В 
случае, когда Г = 0, это уравнение сводится к дифференциальному уравнению (2), управляющему 
ускорением идеальной космологической жидкости.
В данной работе, как было сказано выше, мы 
рассматриваем Вселенную с преобладанием темной 
материи (w 0), когда основной вклад в плотность 
энергии вносит пылеподобное вещество 


dm

 
с пренебрежимо малым давлением pdm 0

; в этом 
случае уравнение ускорения (22) сводится к виду 
                    
	
                 
(23)
и, с учетом преобразования 
, может 
быть записано как 
              H
H H
 





3 2 1
3
0
2

. 	
   (24)
С другой стороны, из (21) вытекает уравнение
                  n
Hn
H
3
1
3
0



 

, 	                  (25)
из которого видно, что процесс создания материи 
эффективно может описываться безразмерным 
параметром ∆(t): = Г/3H, являющимся общем случае функцией времени. Когда параметр ∆ 
 1, то 
процесс создания материи пренебрежимо мал. Это 
приводит к следующему решению уравнений (24) 
и (25): H = 2/3t и n ~a–3, что соответствует модели 
Эйнштейна-де Ситтера (космологическая модель 
плоской Вселенной, состоящая только из материи). 
Противоположный случай (∆ 
 1) описывает экстремальную теоретическую ситуацию, при которой 
адиабатическое создание материи является настолько мощным процессом, что изменение плотности материи вследствие расширения полностью 
компенсируется ее созданием. Вероятно, такое 
поведение может иметь место только в очень ранней Вселенной, как это происходит, например, во 
время повторного нагревания в процессе инфляции 
(чрезвычайно быстрого экспоненциального расширения). Промежуточной ситуации создания 
материи соответствует параметр ∆ ≤ 1. В частности, 
когда Г = 3H то изменение количества материи во 
времени вследствие расширения Вселенной точно 
компенсируется ее созданием, т. е. числовая плотность материи остается постоянной.
В серии работ (см. [43, 52, 53] были исследованы 
некоторые свойства космологических моделей адиабатического создания материи с учетом следующей 
феноменологической формулы Г = 3 βH, в которой 
β  — постоянный параметр, лежащий в интервале [0, 1] (∆ = β). В результате было обнаружено, 
что для подобных моделей Вселенная всегда ускоряется при β > 1/3 и замедляется при β < 1/3; т. е. в 
этом случае не существует перехода красного смещения от замедляющегося к ускоряющемуся режиму, на что указывают данные по сверхновым 
SN Ia [54, 55]. Чтобы описать плавный переход от 
замедляющегося к ускоряющемуся режиму эволюции Вселенной на низких красных смещениях, авторами цитируемых работ была предложена новая 
эвристическая формула для скорости Г = 3 βH +3γH0 
(где 0 ≤ [γ, β] ≤ 1), включающая дополнительный 
постоянный член порядка параметра Хаббла. С учетом этой формулы было показано, что вместо доминирования вакуума на красных смещениях нынешняя ускоряющаяся стадия эволюции Вселенной 
в космологии Эйнштейна-де Ситтера CDM является 
следствием создания гравитационных частиц.
В заключение этого подраздела заметим, что в 
космологии часто используется в качестве уравнения состояния так называемый «гамма-закон» 
p = (γ* – 1)ρ, где постоянная γ*, лежащая в интервале [0, 2], определяет, является ли Вселенная вакуумом (γ* = 0), холодным нерелятивистским газом 
(γ* = 5/3), горячим релятивистским газом (из- 
лучением) (γ* = 4/3) или пылью (γ* = 1). С учетом 
этого уравнения состояния, при использовании 
формул (18)−(21) можно получить уравнение 
, решение которого имеет вид:
                      
	
                 
(26)
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ  том 101  № 5  2024
	
КОНСТРУИРОВАНИЕ ЭНТРОПИЙНО-СИЛОВОЙ МОДЕЛИ РАСШИРЕНИЯ ВСЕЛЕННОЙ... 
397