Ядерная физика, 2024, № 6

Российская академия наук
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
Том 87    № 6    2024    Ноябрь–Декабрь
Основан в 1965 г. 
Выходит 6 раз в год 
ISSN: 0044-0027
Журнал издается под руководством 
Отделения физических наук РАН
Главный редактор
О.Д. Далькаров
Редколлегия:
А.В. Нефедьев (заместитель главного редактора), 
В.В. Куликов (ответственный секретарь) 
Редакционный совет:
В.А. Бедняков, Л.Д. Блохинцев, А.Е. Бондарь, Э.Э. Боос,
М.И. Высоцкий, В.Б. Гаврилов, В.З. Гольдберг, М.В. Данилов,
 С.П. Денисов, Р.В. Джолос, И.М. Дремин,
А.М. Зайцев, Л.М. Зеленый, О.В. Канчели,
А.Б. Курепин, А.К. Лиходед, В.А. Матвеев, Н.Н. Николаев, 
Ю.Ц. Оганесян, Н.Г. Полухина, Ю.А. Симонов,  
И.И. Ткачев, В.И. Фурман, В.А. Хозе, 
В.И. Шевченко, М.А. Шифман
Зав. редакцией А.А. Каменская
Адрес редакции: 115409, Москва, Каширское ш., 31 
E-mail: yadfiz@pleiadesonline.com
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024 
© Редколлегия журнала “Ядерная 
     физика” (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 87, номер 6, 2024
ЯДРА
Теория
Приближение сепарабельных сил в обобщенной теории конечных Ферми-систем
Ю. В. Ковалева, С. П. Камерджиев, М. И. Шитов
451
Фотонейтронные реакции на ядре 52Cr в экспериментах с тормозным γ-излучением
В. В. Варламов, А. И. Давыдов, И. А. Мостаков, В. Н. Орлин
460
Моделирование эффекта Доплера в реакции 16O(n, αγ)13C с учетом замедления иона 13C*
А. А. Грачков, М. В. Косов
469
Об энергиях связи ядер 3H, 3He в трехчастичных уравнениях Фаддеева с прямым интегрированием
А. Гапченко, О. Голева, М. Егоров
472
Анализ неупругого рассеяния поляризованных протонов на ядрах 54,56Fe
В. И. Кудряшов, М. С. Онегин
486
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
Эксперимент
Поиск потока геоантинейтрино от 40K по данным детектора Борексино
Л. Б. Безруков, В. В. Синев
500
Корреляционный анализ между скоростью счета гамма-квантов на LVD от естественной радиоактивности
и атмосферным давлением
Н. Ю. Агафонова, В. В. Ашихмин, Е. А. Добрынина, С. В. Ингерман, О. Ю. Слуцкая, И. Р. Шакирьянова,
В. Ф. Якушев (от имени коллаборации LVD)
505
Изучение динамики процесса e+e−→π+π−π0 в области энергии 1.075–1.975 ГэВ
М. Н. Ачасов, А. Ю. Барняков, K. И. Белобородов, Д. Е. Беркаев, А. В. Бердюгин, А. Г. Богданчиков,
А. А. Ботов, В. С. Денисов, Т. В. Димова, В. П. Дружинин, В. Н. Жабин, В. В. Жуланов, И. М. Землянский,
Л. В. Кардапольцев, А. А. Катцин, А. Н. Кирпотин, Д. П. Коврижин, И. А. Кооп, А. А. Король, А. С. Купич,
А. П. Крюков, Н. А. Мельникова, Н. Ю. Мучной, А. Е. Oбразовский, Е. В. Пахтусова, Е. А. Переведенцев,
К. В. Пугачев, Ю. А. Роговский, С. И. Середняков, З. К. Силагадзе, И. К. Сурин, М. В. Тимошенко,
Ю. В. Усов, Л. Б. Фомин, А. Г. Харламов, Ю. М. Шатунов, Д. А. Штоль, Э. А. Эминов
513
Измерение анализирующей способности pp и pp упругого рассеяния на установке СПАСЧАРМ на У-70
А. А. Богданов, В. П. Ладыгин, В. В. Моисеев, В. В. Мочалов, М. Б. Нурушева, П. А. Семенов
525

Измерение сечения реакций 7Li(d, n)8Be при энергии дейтронов от 0.4 до 2.1 МэВ
С. А. Мещанинов, А. В. Красильников, Н. Б. Родионов, Ю. А. Кащук, С. Ю. Обудовский, А. С. Джурик,
Т. М. Кормилицын, Р. Н. Родионов, В. Н. Амосов, Г. Е. Немцев, М. И. Бикчурина, Т. А. Быков,
Г. Д. Верховод, Д. А. Касатов, Я. А. Колесников, Г. М. Остреинов, Е. О. Соколова, С. Ю. Таскаев
531
Внутренний фон детектора от двухнейтринного двойного бета-распада при поиске
безнейтринного двойного бета-распада 150Nd
А. Р. Амирасланова, З. А. Ахматов, И. Р. Барабанов , А. В. Вересникова, В. И. Гуренцов, А. М. Гангапшев,
Д. М. Кабардова, В. В. Казалов, З. Х. Калажоков, А. А. Каншаов, Г. Я. Новикова, Д. А. Текуева,
М. Ш. Тхазаплижев, Е. А. Янович
544
Измерение радиоактивности материалов для низкофоновых экспериментов
с помощью полупроводникового гамма-спектрометра
А. В. Вересникова, Ю. М. Гаврилюк, А. М. Гангапшев, В. В. Казалов, М. М. Кочкаров, Д. С. Калашников,
Э. Л. Бербеков
550
Моделирование системы мечения нейтрино для ближнего детектора в эксперименте P2O
В. Н. Горячев, Ф. Н. Новоскольцев, Р. Ю. Синюков, А. А. Соколов
559
Релятивистское уравнение для четырехнуклонной системы
Сергей Бондаренко, Сергей Юрьев
571

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2024, том 87, №6, с. 451–459
ЯДРА
ПРИБЛИЖЕНИЕ СЕПАРАБЕЛЬНЫХ СИЛ В ОБОБЩЕННОЙ
ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ ФЕРМИ-СИСТЕМ
C 2024 г. Ю. В. Ковалева1), С. П. Камерджиев2),*, М. И. Шитов2)
Поступила в редакцию 04.06.2024 г.; после доработки 18.06.2024 г.; принята к публикации 18.06.2024 г.
Приближение сепарабельных сил впервые применяется к обобщенной теории конечных Фермисистем (ТКФС), которая была развита в работах [1–4] с целью последовательного учета в рамках метода функций Грина сложных конфигураций с фононами. Используются стандартные мультиполь-мультипольные
силы, и для их квадрупольного случая два параметра подгоняются по известным квадрупольным эффективным поляризационным зарядам, которые хорошо известны в эксперименте и в стандартной ТКФС.
Показано, что в этом приближении уравнения стандартной ТКФС для вершины и полной амплитуды
рассеяния легко решаются. Получено полезное соотношение между эффективными квадрупольными
поляризационными зарядами и параметрами сепарабельных сил, которые описывают полную амплитуду рассеяния в сепарабельном виде. Как применение нашего подхода впервые изучено уравнение для
регулярной части Γr амплитуды рассеяния. Оценены оба свободных члена этого уравнения и показано,
что дополнительный член, содержащий произведение двух амплитуд рождения фонона, в несколько раз
превосходит другой свободный член, которым является эффективное взаимодействие ТКФС, взятое в сепарабельном приближении. Полученные решения уравнения для Γr приводят к выводу, что этой величиной
нельзя пренебрегать. Поскольку Γr естественно появляется в обобщенной ТКФС для описания двухфононных возбуждений, то это означает, что теория двухфононных возбуждений может заметно усложниться.
DOI: 10.31857/S0044002724060011, EDN: HPICXI
1. ВВЕДЕНИЕ
Сепарабельные эффективные силы между нуклонами ядра были введены в 1958 г. и широко использовались в расчетах, например, [5,6]. Наиболее недавним,
ярким и убедительным примером является широкое
использование таких сил в квазичастично-фононной
модели (КФМ) [7, 8]. В микроскопической несамосогласованной КФМ параметры этих сил подгоняются чаще всего по экспериментальным энергиям и вероятностям для низколежащих коллективных уровней (фононов), при этом обычно получается хорошее
описание многих других возбужденных состояний с
теми же квантовыми числами для сферических и деформированных ядер [9–11]. Современные расчеты
в рамках КФМ часто используют уже самосогласованные схемы, основанные на энергетических функционалах плотности Скирма, но сепарабелизуют полученные самосогласованные эффективные силы. Во
всех случаях сепарабелизация существенно облегчает расчеты ядерных характеристик. Во всяком случае,
она позволит в рамках одного и того же приближения
сравнить между собой различные составляющие рассматриваемого подхода.
Это прямо относится к работам в рамках обобщенной теории конечных Ферми-систем (ТКФС) [1–4],
которая
были
развита
для
последовательного
1) Воронежский государственный университет, Воронеж, Россия.
2) Национальный исследовательский центр “Курчатовский институт”, Москва, Россия.
* E-mail: kamerdzhiev_sp@nrcki.ru
учета сложных конфигураций с фононами вида
1p1h⊗фонон
и
фонон⊗фонон.
Однако
количественные
оценки
полученных
там
эффектов
не
выполнялись
из-за
больших
расчетных
сложностей. Представляется, что эти сложности можно
обойти или сильно уменьшить, если использовать
приближение сепарабельных сил. Мы решили идти
простейшим путем и найти параметры этих сил,
подогнав их с использованием известных значений
для других, по сравнению КФМ, характеристик
ядра, именно, для эффективного поляризационного
заряда, хорошо известного в стандартной ТКФС и
измеряемого в экспериментах [12].
В работах [1–4] показано, что при последовательном использовании аппарата функций Грина (ФГ) в
рамках идеологии ТКФС [13] появляются новые или
недостаточно изученные эффекты. Под идеологией
ТКФС мы понимаем прежде всего: использование понятия эффективного поля (вершины), последовательное применение вариационного метода Ходеля [14]
для учета квазичастично-фононного взаимодействия,
учет корреляций в основном состоянии. Последнее
совершенно естественно именно для метода ФГ. Следует отметить, что наш подход нетрудно распространить на учет еще более сложных конфигураций с фононами.
Предложенные нами сепарабельные силы являются
менее универсальными, чем параметры сил Ландау–
Мигдала [13] в несамосогласованной ТКФС. Однако, как мы увидим, это облегчает расчеты и позво451

КОВАЛЕВА и др.
лит получить важную информацию о вкладе и соотношении между собой различных эффектов. В настоящей работе предлагается использовать приближение
сепарабельных сил для количественной оценки эффектов, полученных в обобщенной ТКФС. В разд. 3
мы опишем наш выбор сепарабельных квадрупольквадрупольных сил, который понадобится для многих
будущих применений, включая прежде всего решения
уравнений стандартной ТКФС для вершины и амплитуды рассеяния в магических ядрах. В разд. 4 рассмотрим первое применение нашего подхода для оценки
регулярной части амплитуды рассеяния в ТКФС.
2. НЕКОТОРЫЕ РАННИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
В этом разделе мы кратко назовем и уточним некоторые результаты обобщенной ТКФС, представляющие интерес в связи с дальнейшим применением развитого подхода. Исходным для нас являются основные уравнения стандартной ТКФС (символически)
для эффективного поля (вершины) и амплитуды рассеяния:
V = eqV 0 + FAV,
(1)
Γ = F + FAΓ,
(2)
где F – эффективные силы Ландау–Мигдала, параметры которых в несамосогласованной ТКФС
подбираются из сравнения с экспериментом [13],
A34 – частично-дырочный пропагатор без спаривания, представляющий собой интеграл от двух
полюсных функций Грина (ФГ):
Aτ′
34(ω) =
1
2πi

G3(ε)G4(ε + ω)dε,
(3)
V 0 – внешнее слабое поле, действующее на квазичастицы ядра; одночастичная квантовая ФГ в отсутствие спаривания: Gλ(ε)
=
1−nλ
ε−ελ+iγ +
nλ
ε−ελ ; λ1
≡
≡(n1, j1, l1, m1) ≡(1). eq – заряд квазичастиц, для
скалярного внешнего поля ep
q = 1, en
q = 0. Эти уравнения есть метод хаотических фаз (МХФ), записанный
на языке ФГ. Как мы увидим, решение этих уравнений заметно облегчается в приближение сепарабельных сил.
Полезность введения приближения сепарабельных
сил можно увидеть, если его использовать для общего уравнения обобщенной ТКФС, которое получено
в "микроскопической модели учета сложных конфигураций для пигми- и гигантских резонансов" [2, 4].
В этой модели использовался вариационный метод
Ходеля [14] и только одна двухфононная поправка для
вершины, так что все слагаемые полученного уравнения для обобщенной вершины ˜V начинаются с эффективных сил F. Без учета слагаемых, содержащих
вариацию δF, которые малы, см. [15], это уравнение
записывается в символическом виде следующим образом, если ввести обобщенный пропагатор A:
˜V = eqV 0 + FA ˜V ,
(4)
где
A1234 = [A + A′ + At + Ari + A2phon]1234.
(5)
Здесь A содержит известный пропагатор A′ и три новых пропагатора. Именно, A′ – пропагатор уравнения
для V ′, который состоит из двух хорошо известных составляющих с фононами [2]. At – новый пропагатор с
тэдполом, который получен и обсуждался в [1], а два
последних пропагатора имеют вид
[Ari + A2phon]1234(ω) =

G1(ε1)G2(ε1 −ω)×
× [Γri + F 2phon
ind
]1234G3(ε3)G4(ε3 −ω)dε1dε3.
(6)
Двухфононное слагаемое получено и обсуждалось
в [2], Ari появляется в результате использования выражения амплитуды рассеяния вблизи полюса при ω →
→ωs [4]:
Γ(ω) = Γr + gsgs∗
ω −ωs
,
(7)
где Γr – регулярная часть амплитуды Γ и не зависит от
ω (для простоты мы опустили индекс s в Γr). Уравнение для Γr было получено в стандартной ТКФС [13]
и использовалось только для получения нормировки
для амплитуды рождения одного фонона
Γr
s = F + FAsΓr
s + F ∂A
∂ωs
gs(gs′)∗.
(8)
Насколько нам известно, оно нигде не изучалось.
Пропагаторы Ari, A2phon имеют вид (по одному из
четырех для каждого из этих двух) в ядрах без спаривания:
(Ari)1234 = G1G2G5g15Γr
5264Dsgs
63G6G3G4,
(9)
(A2phon)1234 = G1G2G5gs
15gs
46DsDs′gs′
52gs′
63G6G3G4.
(10)
Если убрать четыре длинных линии, соответствующих ФГ G, то получим два новых эффективных
фонон-обменных взаимодействия F r
ind и F 2phon
ind
, обусловленных обменом одним фононом во втором
частично-дырочном канале и обменом двумя фононами в обычном частично-дырочном канале, соответственно. Они показаны на рис. 1.
Следовательно, анализ вклада двухфононной составляющей подразумевает одновременный анализ
этих двух эффектов. Величина (A2phon)1234 приведена в [2]. Здесь мы приведем выражение для одной из
четырех величин F r
ind (рис. 1):
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
том 87
№6
2024

ПРИБЛИЖЕНИЕ СЕПАРАБЕЛЬНЫХ СИЛ
453
Рис. 1. Эффективные фонон-обменные взаимодействия F r
ind и F 2phon
ind
, обусловленные обменом одним фононом во втором
частично-дырочном канале и обменом двумя фононами в обычном частично-дырочном канале, соответственно.
(F r
ind)1234(ε3, ε1ω) =
 
5,6,s
g15g63Γr
5264I56s,
I56s(ε3, ε1)=−
n5n6
(ε1 −ελ5 + ωs −iγ)(ε3 −ελ6 + ωs −iγ)−
−
(1 −n5)(1 −n6)
(ε1 −ελ5 −ωs + iγ)(ε3 −ελ6 −ωs + iγ)+
+
(1 −n5)n6
(ε3 −ε1 + ε56 −iγ)(ε1 −ελ5 −ωs + iγ)+
+
n5(1 −n6)
(ε3 −ε1 + ε56 + iγ)(ε1 −ελ5 + ωs −iγ)+
+
(1 −n5)n6
(ε1 −ε3 + ε65 + iγ)(ε3 −ελ6 + ωs −iγ)+
+
n5(1 −n6)
(ε1 −ε3 + ε65 −iγ)(ε3 −ελ6 −ωs + iγ),
(11)
где ε56 = ελ5 −ελ6, ελ5 – одночастичная энергия и выполняется закон сохранения для энергетических переменных: (ε1 −ε2) = (ε3 −ε4) = ω, ω – переданная
энергия.
Нам неизвестно ничего о количественном анализе эффектов с взаимодействием F r
ind. Но прежде всего необходимо сначала изучить и решить уравнение
для Γr, что и будет сделано в разд. 4.
3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВЕРШИНЫ И
АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ В
ПРИБЛИЖЕНИИ СЕПАРАБЕЛЬНЫХ СИЛ
3.1. Выбор сил
В приближении сепарабельных сил эффективное
взаимодействие стандартной ТКФС записывается в
виде [5,6]
F(r1, r2) = −κ
 
L,M
q(r1)q∗(r2),
(12)
где
q(r1) = rLYLM.
(13)
Мы выбрали простейший вид (13) величины q(r1) по
следующим причинам. Во-первых, он использовался
давно и очень часто [5, 6]. Во-вторых, как показали
расчеты в КФМ, отличие этой радиальной формы от
другой, используемой в КФМ, именно, производной
от потенциала Вудса–Саксона, невелико по крайней
мере для расчетов характеристик низколежащих фононов. В-третьих, внешнее поле V 0 в ТКФС имеет
вид (13), что упрощает решение для вершины. Можно думать, форма в виде производной от потенциала Вудса–Саксона компенсируется выбором затравочных параметров. Тем более, что мы будем выбирать их из условия подгона для эффективных зарядов,
т.е. использовать другой по сравнению с КФМ способ
выбора параметров. В дальнейшем для простоты мы
опускаем сумму по L и M, находим параметры κ исходя из эффективных квадрупольных зарядов, которые хорошо известны из эксперимента и в стандартной ТКФС [12].
В
приближении
сепарабельных
квадрупольквадрупольных qq-сил имеем:
F pp
1234 = −κppqp
12(qp
34)∗,
F pn
1234 = −κpnqp
12(qn
34)∗,
F np
1234 = −κnpqn
12(qp
34)∗,
F nn
1234 = −κnnqn
12(qn
34)∗,
(14)
где изоскалярная k0 и изовекторная k1 – константы мультиполь-мультипольного взаимодействий связаны с указанными выше константами соотношениями: κpp = κnn = k0 + k1, κpn = κnp = k0 −k1.
3.2. Решение уравнения для вершины в сепарабельном
приближении
Матричный элемент от эффективного поля V,
действующего
внутри
ядра
на
квазичастицы
в
λ-представлении определяется уравнением:
V τ
12 = eτ
qV 0τ
12 +
 
34
F ττ′
1234Aτ′
34V τ′
43,
(15)
где λ1
≡
(n1, j1, l1, m1) – одночастичные квантовые числа. Здесь eτ
q – локальный заряд квазичастицы по отношению к "затравочному" внешнему полю
(V 0
12)τ = qτ
12 ≡(r2Y2M)τ
12, F ττ′
1234 – эффективная амплитуда взаимодействия квазичастиц вблизи поверхности Ферми, Aτ′
34 – частично-дырочный пропагатор
без спаривания. Эффективный поляризационный заряд определяется через эффективное поле V [16]:
(eeff)τ
12(ω) = V τ
12(ω)
(V 0
12)τ ,
(16)
т.е. он зависит от зарядовой переменной, энергии
ω, одночастичных состояний 1, 2 и от мультипольности перехода. Для E1-переходов хорошо известно
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
том 87
№6
2024

КОВАЛЕВА и др.
ep
q(E1) = eN/A, en
q (E1) = −eZ/A. В ТКФС учитываются все указанные зависимости эффективного заряда.
Раскрывая изотопические индексы, получим систему уравнений:

V p
12 = ep
qV 0p
12 + 
34 (F pp
1234Ap
34V p
43 + F pn
1234An
34V n
43),
V n
12 = en
q V 0n
12 + 
34 (F np
1234Ap
34V p
43 + F nn
1234An
34V n
43).
(17)
Тогда
V τ
12 = qτ
12eτ
eff,
(18)
и система уравнений (17) принимает вид для eeff:

ep
eff= ep
q −κppΣpep
eff−κpnΣnen
eff,
en
eff= en
q −κnpΣpep
eff−κnnΣnen
eff,
(19)
где введено
Στ =
 
12,M,M′
(qτ
12)∗Aτ
12qτ
21.
(20)
Здесь qτ
21 ≡⟨λ2|q|λ1⟩.
Таким образом, в приближении сепарабельных сил,
в отличие от ТКФС, см. (16), исчезает зависимость
эффективных зарядов ep
eff, en
effот координат и от одночастичных индексов и остается зависимость от переданной энергии ω. Это типичное и существенное
облегчение оправдывает приближение сепарабельных
сил для оценки эффектов не только для решения уравнений для вершины, но и как мы увидим, и для решения других уравнений.
Решение системы (19) имеет вид
ep
eff= 1 + κppΣn
D
,
en
eff= −κnpΣp
D
,
(21)
где
D = (1 + κppΣn)(1 + κppΣp) −(κnp)2ΣpΣn,
(22)
и условие для детерминанта D = 0 определяет энергии возбужденных состояний ядра в рамках МХФ.
Из соотношений (21) находим общее выражение
для силовых параметров κpp и κnp, если известны ep
eff
и en
eff:
κpp = −
Σn(en
eff)2 −Σp(ep
eff)2 + Σpep
eff
(Σnen
eff−Σpep
eff)(Σnen
eff+ Σpep
eff),
κnp =
en
eff(Σn −Σnep
eff+ Σpep
eff)
(Σnen
eff−Σpep
eff)(Σnen
eff+ Σpep
eff).
(23)
Анализ величин ep
effи en
effполезен тем, что по определению они выражают поляризуемость ядра, вызванную влиянием ядерного взаимодействия на отдельный нуклон. Для общности возьмем ep
eff= = 1 + a,
en
eff= b. Тогда κpp и κnp выражаются через a и b как
κpp = −
Σnb2 −Σp(1 + a)a
(Σnb −Σp(1 + a))(Σnb + Σp(1 + a)),
κnp =
b (−Σna + Σp(1 + a))
(Σnb −Σp(1 + a))(Σnb + Σp(1 + a)).
(24)
Таким образом, в нашем приближении из информации о ep
eff= 1 + a и en
eff= b можно получить силовые
параметры взаимодействия и с их помощью (с учетом наших приближений) определить спектр возбуждения ядра. По физическому смыслу для ядер с N > Z
должно быть b > a, что можно выразить простой формулой b = a + (N −Z)/A, т.е. для 208Pb b = 0.21 + a.
Если взять a = b = μ, что соответствует одинаковой
поляризуемости протонной и нейтронной систем одним нуклоном, то из (24) следует, что κpp = κnp:
κpp = κnp =
−μ
Σnμ + Σp(1 + μ).
(25)
Действительно, очень часто в оценках и в расчетах
принимается простое соотношение ep
eff= 2, en
eff= 1.
Отсюда получаем κpp = κnp =
−1
Σn+2Σp . Это и делалось в ранних работах, использующих сепарабельные
силы, например [5].
Расчет по формулам (24) показывает, что при a =
=
0.5 и b
=
0.21 + a
>
0.6 наблюдается перелом физически в правильную сторону, при котором k0
> 0 и k1 < 0 (см. табл. в разд. 4). Это соответствует существованию квадрупольного изоскалярного E20- и квадрупольного изовекторного E21резонансов, предсказанному в рамках стандартной
ТКФС в работе [17]. В этом подходе универсальные
параметры эффективного взаимодействия f +
= f
и f −= f ′ фактически соответствуют изоскалярному и изовекторному параметрам КФМ. Хотя размерность параметров в КФМ и ТКФС разная, важно отметить, что соответствующие параметры положительны или отрицательны для E20- и E21-резонансов соответственно.
3.3. Решение уравнения для амплитуды рассеяния в
сепарабельном приближении
Полная амплитуда частично-дырочного взаимодействия Γ в стандартной ТКФС определяется уравнением (2). Исходное взаимодействие берется в виде
(3.1), тогда Γpp и Γnp имеют вид:
(Γ)pp = −κpp
1 qp(qp)∗
(Γ)np = −κnp
1 qn(qp)∗.
(26)
Подстановка (3.1) приводит к системе уравнений
для κpp
1 и κnp
1
:

κpp
1 = κpp −κpp
1 κppΣp −κnp
1 κnpΣn,
κnp
1
= κnp −κpp
1 κnpΣp −κnp
1 κppΣn,
(27)
где Σp и Σn определяются формулой (20).
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
том 87
№6
2024

ПРИБЛИЖЕНИЕ СЕПАРАБЕЛЬНЫХ СИЛ
455
Решения этой системы уравнений имеют вид
κpp
1 =
κpp −(κpp)2Σn + (κnp)2Σn
(1 + κppΣn)(1 + κppΣp) −(κnp)2ΣpΣn ,
κnp
1
=
κnp
(1 + κppΣn)(1 + κppΣp) −(κnp)2ΣpΣn .
(28)
Как и следовало ожидать, детерминант D один и тот
же в системах уравнений для вершины и амплитуды
рассеяния. Отсюда получаем полезное соотношение
между eeffи κ1, т.е. разные на первый взгляд величины естественно связаны между собой через поляризуемость ядра
κpp
1
κpp = ep
eff+ κnpΣn
κppΣp en
eff,
κnp
1
κnp = −
1
κnpΣp en
eff.
(29)
3.4. Выражения и расчеты для Στ
Выражения для Στ имеют вид:
Στ =
1
2L + 1
 
12
⟨1 ∥qτ ∥2⟩2Aτ
12×
×
 
R∗
ν2rLRν1r2dr
2 	τ
,
(30)
где 1 ≡ν1 ≡(n1, j1, l1),
⟨1 ∥qτ ∥2⟩2 =
= (2j1 + 1)(2j2 + 1)(2l1 + 1)(2l2 + 1)(2L + 1)
4π
×
×
l1
L
l2
0
0
0
2 
l1
j1
s
j2
l2
L
2
.
(31)
Как известно, параметры сепарабельных сил жестко привязаны к набору одночастичных переходов, используемых в расчетах. В расчетах мы использовали тот же, что и в [8], набор одночастичных E2-переходов для протонов и нейтронов в 208Pb: 65 для
протона и 44 для нейтронов. Такой набор очень похож на набор в работе [12], выполненной в рамках
стандартной ТКФС. Это оправдано тем, что в обеих
работах в рамках несамосогласованного расчета получено разумное согласие с экспериментом для всего спектра 2+-уровней в 208Pb, включая предсказание в [17] изоскалярного E2-резонанса. Мы дополнительно провели вычисление эффективных зарядов
на основе данного базиса и параметров сепарабельных сил из работы [8] и получили разумные результаты: ep
eff= 2.13 и en
eff= 1.84, соответствующие случаю
b > a. В наших обозначениях это a = 1.13, b = 1.84,
т.е. b > a, что соответствует нашей простой формуле для b в разд. 3.2 (и, как будет сказано далее, обеспечивает коллективность изоскалярных и изовекторных E2-переходов). Такой результат для нашей задачи eeff, полученный с использованием всех количественных данных работы [8], позволяет надеяться, что
наши скромные количественные результаты, точнее,
оценки, приведут к успешному дальнейшему применению развитого подхода.
С набором параметров Фаянса, и используя набор одночастичных E2-переходов из работы [8],
мы получили: Σp
=
−357.55 фм4/МэВ, Σn
=
= −426.74 фм4/МэВ.
Отметим, что при κpp = κnp = κ можно сделать
простые оценки величин κpp
1 и κnp
1 :
κpp
1 = κ

2 + Σn
Σp


,
κnp
1
= −1
Σp .
(32)
При N = Z получаем κpp
1 = κnp
1
= 3κ.
4. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ РЕГУЛЯРНОЙ ЧАСТИ Γr
АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ
4.1. Сепарабелизация уравнения для Γr
В этом разделе мы применим наш анализ с использованием сепарабельных сил для регулярной части (7)
амплитуды рассеяния ТКФС. Оно было получено в
[13] и нигде не изучалось количественно. Чтобы решить его, необходимо найти второй свободный член,
содержащий квадрат амплитуды рождения фонона g
(первый свободный член – хорошо известное эффективное взаимодействие в ТКФС [13]).
В λ-представлении уравнение (8) записывается следующим образом:
(Γr
s)ττ′
1234 = F ττ′
1234+
 
56,τ1
F ττ1
1256(Aτ1
s )56(Γr
s)τ1τ′
6534+(F ττ′
1 )1234,
(33)
где в качестве F ττ′
1
обозначена сумма:
(F ττ′
1 )1234 =
 
56,τ1
F ττ1
1256
∂Aτ1
56
∂ωs
gτ1
65(gτ′
34)∗.
(34)
Амплитуда рождения фонона
g = FAg
(35)
в приближении сепарабельных qq-сил определяется
выражением
gτ1
65 = qτ1
65gτ1
s ,
(gτ′
34)∗= (qτ′
34)∗gτ′
s .
(36)
Для величины F1 после раскрытия изотопических
индексов получаем:
(F pp
1 )1234 = −
 
56

κppqp
12(qp
56)∗∂Ap
56
∂ωs
qp
65gp
s(qp
34)∗gp
s +
+ κpnqp
12(qn
56)∗∂An
56
∂ωs
qn
65gn
s (qp
34)∗gp
s

,
(F np
1 )1234 = −
 
56

κnpqn
12(qp
56)∗∂Ap
56
∂ωs
qp
65gp
s(qp
34)∗gp
s +
+ κnnqn
12(qn
56)∗∂An
56
∂ωs
qn
65gn
s (qp
34)∗gp
s

.
(37)
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
том 87
№6
2024

КОВАЛЕВА и др.
Введем обозначение
Sτ =
 
56
(qτ
56)∗∂An
56
∂ωs
qτ
65.
(38)
Представляет интерес сравнить между собой два
свободных члена в уравнении (8) для Γr
s
(F pp
1 )
F pp
= Spgp
sgp
s + κpn
κpp Sngn
s gp
s,
(F np
1 )
F np
= Spgp
sgp
s + κnn
κnp Sngn
s gp
s.
(39)
Найдем теперь величину gτ
s. В λ-представлении величина g имеет вид [15]
⟨1∥gτ∥2⟩= ατ
s
∂V
∂r
τ
12
⟨1∥YL∥2⟩.
(40)
Учитывая отмеченную в [7] похожесть результатов
расчетов для EL-возбуждений с r2
12 и
 ∂V
∂r
τ
12, мы возьмем здесь r2
12 вместо
 ∂V
∂r
τ
12.
Сравнивая два выражения, (40) и (36), получаем
gτ
s = ατ
s.
(41)
Существенно упрощает вычисления равенство протонной и нейтронной амплитуд колебаний (см. [15]):
αp
s = αn
s = αs.
(42)
Теперь нетрудно выполнить численные оценки величины F1:
F pp
1
F pp =

Sp + κpn
κpp Sn

α2
s,
F np
1
F np =

Sp + κnn
κnp Sn

α2
s
(43)
и при равных между собой параметрах мультипольмультипольного взаимодействия имеем
F pp
1
F pp = F np
1
F np = (Sp + Sn) α2
s.
(44)
Для сумм в формулах (38) мы получили Sn
=
= −72.59 фм4/МэВ2
для нейтронных
и Sp
=
= −103.39 фм4/МэВ2 для протонных E2-переходов
соответственно, так что теперь становится возможным оценить отношение величин (43).
4.2. Решение уравнения для Γr
Уравнение для Γr имеет вид:
Γr = F

1 + F1
F

+ FAsΓr
(45)
или в λ-представлении:
(Γr)ττ′
1234 = F ττ′
1234

1 + (F ττ′
1 )1234
F ττ′
1234

+
+
 
56,τ1
F ττ1
1256(Aτ1
s )56(Γr)τ1τ′
6534.
(46)
Мы определяем амплитуду Γr как:
(Γr)pp
1234 = −κpp
r qp
12(qp
34)∗,
(Γr)np
1234 = −κnp
r qn
12(qp
34)∗.
(47)
В сепарабельном приближении получаем:
⎧
⎨
⎩
κpp
r
= κpp 
1 + F pp
1
F pp


−κppΣp
sκpp
r −κnpΣn
s κnp
r ,
κnp
r
= κnp 
1 + F np
1
F np


−κnpΣp
sκpp
r −κppΣn
s κnp
r .
(48)
Решение этой системы:
κpp
r
=

κpp(1 + F pp
1
F pp ) + (κpp)2Σn
s (1 + F pp
1
F pp )−
−(κnp)2Σn
s (1 + F np
1
F np )

Ds,
κnp
r
=

κnp(1 + F np
1
F np ) + κppκnpΣp
s(1 + F np
1
F np )−
−κppκnpΣp
s(1 + F pp
1
F pp )

Ds,
(49)
где
Ds = D = (1+κppΣn
s )(1+κppΣp
s)−(κnp)2Σp
sΣn
s (50)
при (κpp = κnp = κ) между собой равны (κpp
r
=
= κnp
r
≡κr), т. е.:
κpp
r
= κnp
r
= κ(Sp + Sn)α2
s
1 + κ(Σns + Σp
s)
(51)
или
Στ
s =
1
2L + 1
 
12
⟨1 ∥qτ ∥2⟩2 ∂Aτ
56
∂ωs
×
×
 
R∗
ν2r2Rν1r2dr
2 	τ
,
(52)
где 1 ≡ν1 ≡(n1, j1, l1), и ⟨1 ∥qτ ∥2⟩2 задано выражением (31).
Мы получили: Σn
s = −514.22 и Σp
s = −444.81 при
ωs = 4.085 МэВ.
Для решения уравнений (43) и (48), используя эти
числа, мы рассчитали величины F pp
1 /F pp, F np
1 /F np,
(Γr/F)pp, (Γr/F)np и также κpp
1 /κpp, κnp
1 /κnp. Величины κpp, κnp были получены из соотношений (24).
Они необходимы также для определения изоскалярного и изовекторного параметров, о которых говорилось в конце разделов 3.1 и 3.2. Знак этих параметров
важен и говорит о физике дела: k0 > 0 для изоскалярного E20-резонанса и k1 < 0 для изовекторного E21резонанса.
Представляет интерес проследить, как меняются
эти параметры для разных ep
eff, en
eff, так как для существования E20-резонанса должно быть k0 > 0, и для
E21-резонанса k1 < 0, т.е. знаки параметров k0 и k1
по сути определяют физический смысл используемого варианта ep
eff, en
eff. С этой целью в табл. 1 просмотрены три группы эффективных зарядов ep
effи en
eff:
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
том 87
№6
2024

ПРИБЛИЖЕНИЕ СЕПАРАБЕЛЬНЫХ СИЛ
457
Таблица 1. Рассчитанные значения различных силовых параметров, обезразмеренных свободных частей и решений уравнения для Γr в зависимости от эффективных квадрупольных зарядов (см. текст); силовые параметры: сепарабельные силы κ,
изоскалярные и изовекторные параметры k0 и k1 (в единицах 10−5МэВ/фм4, отношения κ1/κ, свободных членов (F1/F),
решений уравнения для (Γr/F))
№
a
b
ep
eff
en
eff
κpp
κnp
k0
k1
κpp
1
κpp
κnp
1
κnp
F pp
1
F pp
F np
1
F np
( Γr
F )pp
( Γr
F )np
1
0.5
0.3
1.5
0.3
84.70
35.72
60.21
24.49
1.65
2.35
-4.56
-9.37
-8.61
-19.44
2
0.5
0.4
1.5
0.4
77.32
49.97
63.65
13.68
1.81
2.24
-5.11
-7.33
-10.67
-16.12
3
0.5
0.5
1.5
0.5
66.69
66.69
66.69
0
2.1
2.1
-5.98
-5.98
-13.83
-13.83
4
0.5
0.6
1.5
0.6
51.57
87.25
69.41
-17.84
2.71
1.92
-7.69
-4.97
-19.81
-11.97
5
0.5
0.7
1.5
0.7
29.77
113.94
71.85
-42.09
4.7
1.72
-12.96
-4.16
-37.71
-10.3
6
0.72
0.82
1.72
0.82
60.94
98.66
79.80
-18.86
3.3
2.32
-7.51
-5.04
-27.41
-17.33
7
1
1
2
1
87.58
87.58
87.58
0
3.19
3.19
-5.98
-5.98
-31.13
-31.13
1. b < a (строки 1, 2, 3), для них k0 < 0, k1 < 0,
2. b = a (строки 3 и 7), здесь k0 < 0, k1 = 0,
3. b > a реалистический случай (строки 4, 5, 6). Этот
случай соответствует простой физической формуле
(см. разд. 3.4), описывающей величину b. Для ядер с
N ̸= Z, т.е. b = 0.21 + a для 208Pb. Как говорилось
выше, для b = a параметр κpp = κnp, т.е. коллективный резонанс E21 не существует в смысле появления
коллективности по сравнению с моделью независимых частиц. Интересно, что случай b = a = 1 в целом
незначительно отличается от случая b = a = 0.5. Действительно, в соответствии со значением b = 0.21 + a
для 208Pb все три рассмотренных случая b > a показывают, что k0 < 0, k1 > 0, т.е. усиление коллективности
происходит так, что в случае k0 < 0 энергия E20 резонанса меньше средней энергии одночастичных переходов (эксп. Emax = 60A−1/3 МэВ, а средняя энергия
одночастичных E2-переходов 2hω0 = 80A−1/3 МэВ),
в случае k1>0 энергия резонансов выше средней
энергии одночастичных переходов (эксп. Emax
=
= 120A−1/3 МэВ, средняя энергия одночастичных
E2-переходов 2hω0 = 80A−1/3 МэВ), подробнее см.
расчеты в [17] и монографию [18], где дана сводка экспериментальных данных об этих резонансах.
Цифры в строке 6 для a = 0.72 и b = 0.82 были получены из работы [12] как средние по трем рассчитанным для E2-переходов вблизи Pb: a = 0.72 (три перехода) и b = 0.82 (три перехода), при этом рассчитанные значения разумно согласуются с имеющимися
экспериментальными данными. Мы думаем, что этот
случай определяет наиболее реалистическую оценку
наших параметров κpp и κnp.
Наши расчеты показали довольно неожиданные результаты для реалистических случаев b > a: отношение двух свободных членов F1/F = 5–10, так что наш
окончательный результат Γr/F = 10–40. Он получился таким большим из-за интегрального члена в уравнении для Γr (45) и большого отношения двух свободных членов в этом уравнении. Очевидно, что эти
оценки означают, что микроскопическая теория ядерных двухфононных возбуждений должна быть существенно усложнена, так как теперь в этой задаче необходимо учитывать слагаемые с Γr.
5. ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе предложено использовать приближение
сепарабельных сил для количественной оценки новых эффектов, которые появляются в обобщенной
ТКФС. Недостатком такого приближения является
факт, что параметры сепарабельных сил зависят от
мультипольности перехода, т.е. реально сопоставлять
разные эффекты можно, в отличие от несамосогласованной ТКФС, только для конкретной мультипольности перехода. Однако это компенсируется простотой
расчетов.
Найдены
наши
"собственные"
сепарабельные
квадруполь-квадрупольные силы, полученные подгоном по известным квадрупольным эффективным
поляризационным зарядам, которые хорошо известны в эксперименте и в стандартной ТКФС (пока
только для 208Pb, нетрудно обобщить на сферические
ядра со спариванием). В разд. 3 получено простое
соотношение
между
эффективными
квадрупольными зарядами и параметрами сепарабельных сил,
которые определяют в нашем приближении полную
амплитуду рассеяния. Это соотношение показывает
естественную и наглядную связь между основными
понятиями стандартной ТКФС, обусловленную тем,
что оба понятия (вершина и амплитуда рассеяния)
отражают
поляризуемость
ядра,
обусловленную
взаимодействием нуклонов.
Наш подход использует, в отличие от КФМ [7],
значения эффективного квадрупольного заряда для
нахождения параметров сепарабельного квадрупольквадрупольного взаимодействия. Показано, что для
физически разумных значений en
eff> (1 −ep
eff) (в тексте b > a) получаются разумные значения сепарабельных силовых параметров, обеспечивающих коллективность наблюдаемых E20- и E21-резонансов в
208Pb. Это позволяет надеяться на успешность такоЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
том 87
№6
2024