Математический анализ функций одной переменной

       В. Н. ВЕРЕТЕННИКОВ




  МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ




     Учебно-методическое пособие





             Москва
                 2023

УДК 517.2(075)
ББК 22.161.113я73
  М34

                            Рецензент
              Вагер Б. Г., д-р физ.-мат. наук, проф. СПбАСУ

           Одобрено Научно-методическим советом РГГМУ


М34    Математический анализ функций одной переменной : учебно    методическое пособие / сост. В. Н. Веретенников. — Москва : Директ    Медиа, 2023. — 148 с.


ISBN 978-5-4499-3694-3


    Пособие является седьмым выпуском учебника по всем разделам курса
математики для бакалавров гидрометеорологических направлений, соответствует государственному образовательному стандарту и действующим программам.
    Активизация познавательной деятельности студентов, выработка у них
способности самостоятельно решать достаточно сложные проблемы может
быть достигнута при такой организации учебного процесса, когда каждому
студенту выдаются индивидуальные домашние задания (ИДЗ) с обязательным последующим контролем их выполнения и выставлением оценок.
    Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и студентам и предназначено для проведения практических занятий и самостоятельных (контрольных) работ в аудитории и выдачи ИДЗ.




                        УДК 517.2(075)
                           ББК 22.161.113я73





ISBN 978-5-4499-3694-3     © Веретенников В. Н., сост., 2023
                   © Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2023

               ОГЛАВЛЕНИЕ
Оглавление……………………………………………………………………………       3
Предисловие ……………………………………………………………………………     4
Математический анализ функций одной переменной……………………………        5
     1. Вещественные (действительные) числа…………………………………………    6
         1.1. Аксиоматика и некоторые общие свойства (6). 1.2. Важнейшие классы
       вещественных чисел (11). 1.3. Основные леммы, связанные с полнотой мно       жества вещественных чисел (16). 1.4. Счетные и несчетные множества(19).
     2. Предел ……………………………………………………………………………    21
         2.1. Предел последовательности (22). 2.2. Свойства предела последователь       ности (27).
     3. Функции одной переменной……………………………………………………     31
         3.1. Понятие функции (отображения) (31). 3.2. Простейшая классификация
       отображений (40). 3.3. Композиция функций (41). 3.4. Функция как отноше        ние. График функции (42). 3.5. Предел функции (43). 3.6. Свойства предела
       функции (48). 3.7. Замечательные пределы (58). 3.8. Сравнение бесконечно
      малых функций (62). 3.9. Эквивалентные бесконечно малые функции (63).
     4. Непрерывность функции…………………………………………………………   66
         4.1. Приращение функции (66). 4.2 Понятие непрерывности в точке (68).
         4.3. Точки разрыва функции. Их классификация (71). 4.4. Свойства непре      рывных функций (74).
     5. Производные и дифференциалы функции одной переменной…………………  80
         5.1. Производная (80). 5.2. Понятие дифференцируемости функции (86). 5.3.
       Понятие дифференциала функции (87). 5.4. Основные правила дифференци       рования (89).
     6. Основные теоремы дифференциального исчисления…………………………   108
         6.1. Теоремы о среднем значении (108). 6.2. Раскрытие неопределенностей.
       Правило Лопиталя (116). 6.3. Формула Тейлора (119). 6.4. Разложение по
       формуле Маклорена (125). 6.5. Приложения формулы Тейлора (127).
     7. Исследование функций одной переменной построение их графиков…………… 130
         7.1. Условия монотонности функции (130). 7.2. Экстремум функции (131).
         7.3. Общая схема исследования функции и построения ее графика (144).
         7.4. Наибольшее и наименьшее значение функции непрерывной на отрезке
         (145).
    Использованная литература…………………………………………………………… 147

               ПРЕДИСЛОВИЕ
   Настоящее учебное пособие написано на основе многолетнего опыта чтения лекций и
ведения практических занятий по математике в РГГМУ. Оно предназначено как для студентов, так и для преподавателей, особенно молодых, начинающих вести практические
занятия.
   Пособие преследует цель помочь активному и неформальному усвоению студентами
изучаемого предмета. При составлении пособия имелось в виду, что им будут пользоваться студенты заочного факультета.
   Начало и конец доказательства теоремы и решений задач отмечаются соответственно
знаками ▲ и ▼.
   В пособии приведен перечень знаний, умений и навыков, которыми должен владеть
студент; указана используемая литература.
   Автор надеется, что данное пособие поможет студентам в овладении методами линейной алгебры, в их самостоятельной работе над предметом. Он также выражает надежду, что пособие будет полезным для преподавателей в работе со студентами, и с благодарностью воспримет все критические замечания и пожелания, направленные на улучшение его содержания.





                                              4

 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
    Математический анализ – раздел математики, в котором изучаются функции. Основу математического анализа составляют дифференциальное и интегральное исчисление, теория рядов. Заслуга открытия дифференциального и интегрального исчисления (или анализа бесконечно малых
функций) принадлежит Ньютону и Лейбницу. Развитие анализа бесконечно малых оказало огромное влияние на прогресс науки и техники.

           НЬЮТОН − видный английский физик, механик, астроном и математик, чл. Лондон                  ского королевского о-ва (1672) и его президент (1703), иностранный чл. Парижской
            АН (1699). Родился в Вулсторне. С 12 лет учился в школе в Грантеме. С 1661 по 1665
                 учился в Кембриджском ун-те. С 1669 по 1701 работал в этом ун-те. В 1695 был назна                 чен смотрителем, а с 1699 – главным директором Монетного двора в Лондоне.
             В 17 веке перед естествознанием возникла проблема – найти законы движения и уста                 новить законы механики. Для этого аппарат математики постоянных величин был не                 достаточным. Заслуга Ньютон заключается в том, что одновременно с Г. Лейбницем,
                но независимо от него, он создал дифференциальное и интегральное исчисления, ко      Ньютон      торые стали могучим средством решения новых задач. Концепции Ньютона и Лейбни       Исаак       ца были разными. Ньютон рассматривал математику только как способ для физиче     (1643 -1727)    ских исследований.

                           Надпись на могиле Ньютона гласит:
               «Здесь покоится сэр Исаак Ньютон, дворянин, который почти боже            ственным разумом первый доказал с факелом математики движение
              планет, пути комет и приливы океанов.
           Он исследовал различие световых лучей и позволяющиеся при этом
              различные свойства цветов, чего ранее никто не подозревал. Прилеж              ный, мудрый и верный истолкователь природы, древности и Св. писа               ния, утверждал своей философией величие Всемогущего Бога, а нравом
            выражал евангельскую простоту.
            Пусть смертные радуются, что существовало такое украшение рода
                человеческого».

            ЛЕЙБНИЦ – немецкий математик, физик и философ, организатор и первый прези                   дент Берлинской АН (1700); чл. Лондонского королевского о-ва (1673), чл. АН
                      (1700). Родился в Лейпциге. В 1661 Л. поступил на юридический факультет Лейп                   цигского ун-та. Кроме юридических наук изучал философию и математику. Защитил
                  диссертацию на степень бакалавра (1663), магистра философии (1664) и доктора
                   права (1666).
               Он занимается вопросами химии, геологии, конструирует ветряной двигатель для
                    насосов, выкачивающих воду из шахт.
         Лейбниц      Особенно плодотворной была научная деятельность Лейбница в области математики.
    Готфрид            Вильгельм
        (1646             – 1716)     Сконструированная им счетная машина выполняла не только сложение и вычитание,
                   как это было у Б. Паскаля, но и умножение, деление, возведение в степень и извле                   чение квадратного и кубического корней.
               Он занимается вопросами химии, геологии, конструирует ветряной двигатель для
                    насосов, выкачивающих воду из шахт.
               Но важнейшей его заслугой является то, что он, одновременно с И. Ньютоном, но
                   независимо от него, завершил создание дифференциального и интегрального исчис                    ления.
                 Концепции Ньютона и Лейбница были разными. Лейбниц развивал чистый анализ,
                  исходил из абстрактной концепции, которая стала исходной для развития чистого
                     анализа. Лейбниц ввел много математических терминов, которые теперь прочно во               шли в научную практику. Функция, дифференциал, дифференциальное исчисление,
                  дифференциальное уравнение, алгоритм, абсцисса, ордината, координата. А также
                   знаки дифференциала, интеграла, логическую символику и т. д.
                 Лейбниц создал собственную научную школу, в которую входили братья Бернулли,
                      Г. Ф. Лопиталь и др. математики.
     Г. В. Лейбниц на 28 лет раньше Ньютона опубликовал свое открытие анализа бесконечно малых, но Ньютон на 10 лет раньше его установил для себя наличие двух больших взаимно связанных исчислений, полностью понял их значение для изучения природы и использовал в своих
научных достижениях.

                                              5

      1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ (ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ) ЧИСЛА
   Математические теории, как правило, находят свой выход в том, что позволяет перерабатывать набор чисел (исходные данные) в другой набор чисел, составляющих промежуточную или окончательную цель вычислений. По этой причине особое место в математике и ее приложениях занимают числовые функции (точнее, так называемые дифференцируемые числовые функции). Они составляют главный объект исследования классического анализа. Но сколь-нибудь полное с точки зрения современной математики описание
свойств этих функций невозможно без точного определения множества вещественных чисел, на котором эти функции действуют.
   Число в математике, как время в физике, известно каждому, но непонятно лишь специалистам. Это одна из основных математических абстракций. Рассказу о ней может быть
посвящен самостоятельный насыщенный курс. Здесь же мы имеем в виду, только свести
воедино то, что читателю в основном известно о вещественных числах из средней школы,
выделив в виде аксиом фундаментальные и независимые свойства чисел. При этом наша
цель состоит в том, чтобы дать точное, пригодное для последующего математического использования определение вещественных чисел и обратить особое внимание на их свойство непрерывности, являющееся зародышем предельного перехода – основной неарифметической операции анализа.
                        1.1. Аксиоматика и некоторые общие свойства
Определение множества вещественных чисел
  Определение. Множество называется множеством действительных (веществен  ных) чисел, а его элементы – действительными (вещественными) числами, если
  выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных
   чисел:
                                        (I) А к с и о м ы с л о ж е н и я
   Определено отображение (операция сложения), сопоставляющее каждой упорядоченной паре ( x; y ) элементов x , y из R  некоторый элемент x  y  R, называемый суммой
 x и y. При этом выполнены следующие условия:
   1. Существует нейтральный элемент 0 (называемый в случае сложения нулем) такой,
      что для любого  x  R x 0  0  x  x.
   2. Для любого элемента x R имеется элемент -x R , называемый противополож    ным к x , такой, что x  (- x)  (- x) x  0.
   3. Операция сложения ассоциативна, т.е. для любых элементов x, y, z из R выполнено
    x  ( y  z )  ( x  y )  z.
   4. Операция сложения коммутативна, т.е. для любых элементов ,x y из R выполне  но x  y  y  x.
                              (II) А к с и о м ы у м н о ж е н и я
     Определено отображение (операция умножения), сопоставляющее каждой упорядоченной паре (x; y ) элементов ,x y из R некоторый элемент x y R , называемый произведением x и y. При этом выполнены следующие условия:
   1. Существует нейтральный элемент 1  R \ 0 (называемый в случае умножения едини   цей) такой, что x R \ 0 x 1  1 x  x.
   2. Для любого элемента x R \ 0 имеется элемент x1 R \ 0 , называемый обратным,
   такой, что x  x 1  x 1 x  1.
   3. Операция умножения ассоциативна, т.е. для любых  x, y, z из R \ 0 x  ( y  z )  ( x  y )  z.
   4. Операция умножения коммутативна, т.е. для любых
                                             x, y из R \ 0 x  y  y  x.

                                              6

                           (I, II) С в я з ь с л о ж е н и я и у м н о ж е н и я
    Умножение дистрибутивно по отношению к сложению, т.е.
                    x, y, z  R ( x  y ) z  xz  yz.
                                 (III) А к с и о м ы п о р я д к а
    Между элементами R имеется отношение , т.е. для элементов x, y из R установлено, выполняется x  y или нет. При этом должны выполняться следующие условия:
   1. x R ( x  x ) .               2. ( x  y )  ( y  x)  ( x  y ) .
   3. ( x  y )  ( y  z )  ( x  z ) .       4. x R y R ( x  y )  ( y  x ) .
    Отношение  в R называется отношением неравенства.
   Множество, между некоторыми элементами которого имеется отношение, удовлетворяющее аксиомам 0, 1, 2, как известно, называется частично упорядоченным, а если,
сверх того, выполнена аксиома 3, т.е. любые два элемента множества сравнимы, множество называется линейно упорядоченным.
   Таким образом, множество вещественных чисел линейно упорядочено отношением
неравенства между его элементами.
                       (I, III) С в я з ь с л о ж е н и я и п о р я д к а в R
   Если x, y , z – элементы R, то (x  y )  (x z  y  z ).
                    (II, III) С в я з ь у м н о ж е н и я и п о р я д к а в R
   Если ,x y – элементы R, то (0  x)  (0  y)  (0 x y ).
                   (IV) Аксиома полноты (непрерывности)
   Если X и Y – непустые подмножества R, обладающие тем свойством, что для любых
элементов x  X и y  Y выполнено x  y , то существует такое c R , что x  c  y для
любых элементов x  X и y  Y.
   Этим завершается список аксиом, выполнение которых, на каком бы то ни было множестве R , позволяет считать это множество конкретной реализацией или, как говорят,
моделью вещественных чисел.
   Это определение формально не предполагает никакой предварительной информации о
числах, и из него, «включив математическую мысль», опять-таки формально мы должны
получить уже в качестве теорем остальные свойства вещественных чисел. По поводу этого аксиоматического формализма хотелось бы сделать несколько неформальных замечаний.
    Представьте себе, что вы не прошли стадию от складывания яблок, кубиков или других именованных величин к сложению абстрактных натуральных чисел; что вы не занимались измерением отрезков и не пришли к рациональным числам; что вам неизвестно
великое открытие древних о том, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной и
потому ее длина не может быть рациональным числом, т. е. нужны иррациональные числа; что у вас нет возникающего в процессе измерений понятия больше (меньше); что вы
не иллюстрируете себе порядок, например, образом числовой прямой. Если бы всего этого
предварительно не было, то перечисленный набор аксиом не только не воспринимался бы
как определенный итог духовного развития, но скорее показался бы, по меньшей мере,
странным и, во всяком случае, произвольным плодом фантазии.
    Относительно любой абстрактной системы аксиом сразу же возникают, по крайней
мере, два вопроса.
    Во-первых, совместимы ли эти аксиомы, т.е. существует ли множество, удовлетворяющее всем перечисленным условиям. Это вопрос о непротиворечивости аксиоматики.
    Во-вторых, однозначно ли данная система аксиом определяет математический объект,
т.е., как бы сказали логики, категорична ли система аксиом.


                                              7

   Положительный ответ на вопрос о непротиворечивости аксиоматики всегда носит
условный характер. В отношении чисел он выглядит так: исходя из принятой нами аксиоматики теории множеств, можно построить множество натуральных, затем множество рациональных и, наконец, множество R всех вещественных чисел, удовлетворяющее всем
перечисленным свойствам.
Некоторые общие алгебраические свойства вещественных чисел
   Покажем на примерах, как известные свойства чисел получаются из приведенных аксиом.
                        a. Следствия аксиом сложения
   1. Во множестве вещественных чисел имеется только один нуль.
▲ Если 01 и 0 2 – нули в R, то по определению нуля находим
                           01  01  0 2  0 2  01  0 2 .▼
   2. Во множестве вещественных чисел у каждого элемента имеется единственный
  противоположный элемент.
▲ Если x1 и x2 – элементы, противоположные x R , то
             x1  x1  0  x1  ( x  x2 )  ( x1  x )  x2  x2  ( x  x1 )  x2  0  x2 .▼
    Здесь последовательно использовано определение нуля, определение противоположного элемента, ассоциативность сложения, снова определение противоположного элемента и, наконец, снова определение нуля.
1. Уравнение a  x  b в R имеет и притом единственное решение
                                     x  b  (-a ) .
▲ То, что x  b  (- a ) есть решение, проверяется непосредственно:
              a  (b  (- a ))  a  ((- a )  b)  ( a  (- a))  b  0  b  b  0  b .
    То, что это единственное решение, вытекает из единственности обратного элемента:
                 ( a  x  b)  (( a  x)  (- a )  b  (-a ))  (( x  a )  (-a )  b  ( -a )) ,
                   ( x  ( a  (- a)  b  (- a))  ( x  0  b  ( -a))  ( x  b  ( -a)) .▼
   Выражение b  (- a ) записывается также в виде b  a . Этой более короткой и привычной записи мы, как правило, и будем придерживаться.
                 b . Следствия аксиом умножения
   1. Во множестве вещественных чисел имеется только одна единица.
   2. Для каждого числа x  0 имеется только один обратный элемент x.1
   3. Уравнение a  x  b при a R \ 0 имеет и притом единственное решение x b a1 .
    Доказательство этих утверждений, разумеется, повторяют доказательства соответствующих утверждений для сложения (с точностью до замены символа и названия операции), поэтому они опущены.
             c . Следствия аксиомы связи сложения и умножения
   Привлекая дополнительно аксиому ( I , II ) , связывающую сложение и умножение, получаем дальнейшие следствия.
   1. Для любого x  R x 0  0 .
 ▲ x x 0  x 1  x 0  x(1  0)  x 1  x . (x x 0  x )  (x 0  0)
в силу единственности нуля. ▼
   2. (x  y  0)  (x  0)  (y  0) .
▲ Если, например y  0 , то из единственности решения уравнения x  y  0 относительно
 x находим  x 0 y1  0 . ▼
   3. Для любого x  R -x  (-1)  x.


                                              8

▲ x  (-1) x   (  (-1))x 0 x  x 0  0. и утверждение следует из единственности противоположного элемента. ▼
   4. Для любого  x  R (-1)(- x )  x. ▲ Следует из 3 и единственности элемента x , проти  воположного -x. ▼
   5. Для любого  x  R (- x )(- x )  x .x
        ▲ (-x )(-x )  ((-1)  x )(-x )  (x  (-1))(-x )  x((-1)(-x ))  x .x
  Мы последовательно воспользовались двумя предыдущими утверждениями, а также
коммутативностью и ассоциативностью умножения. ▼
                          d . Следствия аксиом порядка
   Отметим сначала, что отношение x  y (читается x меньше или равно y ) записывают также в виде y  x ( y больше или равно x ); отношение x  y при x  y записывают
в виде x  y (читается x меньше y ) или в виде y  x ( y больше x ) и называют строгим
неравенством.
   1. Для любых x , y R всегда имеет место в точности одно из соотношений:
                                    x  y,x  y,x  y.
▲ Это следует из приведенного определения строгого неравенства и аксиом
                                                  III .1 и III .3 .▼
   2. Для любых чисел ,x y из R
                           (x  y )  (y  z )  (x  z ) , (x  z )  (y  z )  (x  z ) .
▲ Приведем для примера доказательство последнего утверждения
По аксиоме III .2 транзитивности отношения неравенства имеем
                        (x  y )  (y  z )  (x  y )  (y  z)  (y  z )  (x  z ) .
Осталось проверить, что x  z . Но в противном случае
                    (x  y )  (y  z )  (z  y )  (y  z )  (z  y )  (y  z )  (y  z )
   В силу аксиомы III .1 отсюда следует  (y  z )  ( y  z ) – противоречие. ▼
           e . Следствия аксиом связи порядка со сложением и умножением
   Если в дополнение к аксиомам сложения, умножения и порядка использовать аксиомы
 ( I , III ), ( II , III ) , связывающие порядок с арифметическими операциями, то можно получить, например, следующие утверждения:
   1. Для любых чисел  x, y , z , w из R
                              (x  y )  (x  z )  (y  z ) ,      ( 0  x )  (-x  0) ,
                  (x  y )  (z  w)  (x  z  y  w) , (x  y)  (z  w)  (x  z  y  w) .
▲ Проверим первое из этих утверждений.
   По определению строгого неравенства и аксиоме ( I , III ) имеем
                                   (x  y )  (x  y )  (x  z )  (y  z ) .
Остается проверить, что
             x  z  y  z , ((x  z )  (y  z ))  (x  (y  z )  z  y  (z  z )  y ) ,
что несовместимо с условием x  y . ▼
   2. Если x , y , z ‒ числа из R , то
                     ( 0  x )  ( 0  y )  ( 0  x  y ) ,        (x  0)  (y  0)  ( 0  xy ) ,
                    (x  0)  ( 0  y )  (xy  0) ,          (x  y )  ( 0  z )  (xz  yz ) ,
                                         (x  y )  (z  0)  (yz  xz ) .
▲ Проверим первое из этих утверждений. По определению строгого неравенства и аксиоме ( II , III )
                                ( 0  x )  ( 0  y )  ( 0  x )  ( 0  y )  ( 0  xy ) .
Кроме того 0  xy , поскольку, как уже было показано,

                                              9

                                       (x  y  0)  (x  0)  (y  0) .
   Проверим еще, например, и третье утверждение:
(x  0)  ( 0  y )  ( 0  - x )  ( 0  y )  ( 0  (-x )  y )  ( 0  ((-1)  x )y ) 
           ( 0  -1 (xy ))  ( 0  -(xy ))  (xy  0) . ▼
Читателю предоставляется возможность доказать самостоятельно остальные соотношения, а также проверить, что если в одной из скобок левой части наших утверждений стоит
нестрогое неравенство, то следствием его также буде нестрогое неравенство в правой части.
   2. 0 .1
▲ 1  R\ 0, т.е.0 .1 Если предположить, что справедливо неравенство 1  0 , то по только
что доказанному утверждению
                                  (1  0)  (1  0)  ( 0 1 1)  ( 0  1) .
Но мы знаем, что для любой пары чисел x , y R реализуется и притом только одна из
возможностей: x  y, x  y, x  y.
   Поскольку 0 ,1 а предположение 1  0 ведет к несовместимому с ним соотношению
 0 ,1 остается единственная возможность, указанная в утверждении. ▼
   3. ( 0  x )  ( 0  x1 ) , ( 0  x )  (x  y )  ( 0  y 1 )  (y 1  x 1 ) .
▲ Проверим первое из этих утверждений.
   Прежде всего x1  0 . Предположив, что x1  0 , получим
                                (x 1  0)  ( 0  x )  (x  x 1  0)  (1  0) .
   Это противоречие завершает доказательство. ▼
   Напомним, что числа, которые больше нуля, называются положительными, а числа,
меньше нуля, – отрицательными.
   Таким образом, доказано, например, что единица – положительное число, что произведение положительного и отрицательного чисел есть число отрицательное, а величина,
обратная положительному числу, также положительна.
Аксиома полноты (непрерывности) и существование верхней (нижней) грани число                                вого множества
 Определение. Говорят, что множество X  R ограничено сверху (снизу), если суще  ствует число x R такое, что x  c (соответственно c  x ) для любого x X .

   Число c в этом случае называют верхней (соответственно нижней) границей множе  ства X или также мажорантой (минорантой) множества X .

 Определение. Множество, ограниченное и сверху, и снизу, называется ограниченным.

 Определение. Элемент a X называется наибольшим или максимальным (наимень шим или минимальным) элементом множества X  R , если x  a (соответственно
  a  x ) для любого элемента x X
   Введем обозначения и заодно приведем формальную запись определения максимального и минимального элементов соответственно:
                                 (a  max X):  (a  X x X (x  a )) ,
                                 (a  min X):  (a  X x X (a  x )) .
   Наряду с обозначением max X (читается максимум X ) и min X (читается минимум
 X ) в том же смысле используются соответственно символы max x и min x .
                                                                                                      xX        xX
   Из аксиомы III .1 порядка сразу следует, что если в числовом множестве есть максимальный (минимальный) элемент, то он только один. Однако не во всяком даже ограниченном множестве имеется максимальный (минимальный) элемент.
                                              10