Занимательная математика. Комплексные числа. Манга

Занимательная математика
Комплексные числа

Манта

«ЯЙИ/в SBAS/И




Ohmsha

ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ МАНГА
занимательная математика

комплексные числа
Масаси Оучи
Художник Той Ишино

Перевод

Москва
ДМК Пресс, 2019



    издательство

     УДК 519.63
     ББК 22.193
          О 90
          Оучи М.
     О 90 Занимательная математика. Комплексные числа / Масаси Оучи (автор), Тои Ишино (худ.); пер. с яп. С. Л. Плехановой. — М.: ДМК Пресс, 2019. — 234 с.: ил. — (Серия «Образовательная манга»). — Доп. тит. л. яп.
          ISBN 978-5-97060-689-6
            Эта серьезная манга рассказывает о том, как студент Юта Сакурай, которого отправили на переэкзаменовку по математике, познакомился с королевой математики госпожой Химуро, но не превратился в камень от страха. Если уж сама королева объясняет тебе, зачем нужны комплексные числа, - ты точно не забудешь про формулу Эйлера и мнимую единицу. А если ты вдруг опоздал на урок - королева математики охотно примет извинения вместо цветов, если ты попросишь ее рассказать про полярную систему координат.
            Мнимое число, по-английски Imaginary number, - число, созданное воображением, а это очень полезное качество для будущих инженеров. Комплексные числа являются мощным инструментом для расчёта колебаний силы тока и напряжения в электрических цепях, особенно для переменного тока, так что они очень нужны всем студентам электротехнических специальностей.
            Цель книги - заинтересовать школьников, студентов и просто пытливых читателей этим особенным разделом математики и показать практическое применение комплексных чисел в различных практических расчетах.

УДК 519.63
ББК 22.193



Manga de Wakaru Kyosuu Fukusosuu (Manga Guide: Complex Numbers) By Masashi Ohchi(Author), Illustration by Toi Ishino (Illustrator), Produced by TREND-PRO Co., Ltd.
Russian language edition copyright © 2018 by DMK Press.


        Все права защищены. Никакая часть этого издания не может быть воспроизведена в любой форме или любыми средствами, электронными или механическими, включая фотографирование, ксерокопирование или иные средства копирования или сохранения информации, без письменного разрешения издательства.

     ISBN 978-4-274-06823-2 (яп.) Copyright © 2010 by Masashi Ohchi and TREND-PRO Co., Ltd. ISBN 978-5-97060-689-6 (рус.) © Перевод, оформление, издание, ДМК Пресс, 2019

    предисловие



          С недавних пор обучение в высших учебных заведениях стадо менее строгим. и я слышал, что бывают студенты электротехнических факультетов, которые плохо понимают работу электрических цепей. И я сам. преподавая в университете как раз на подобном факультете, сталкивался со студентами, которые не могут решить простых задач, связанных с электрическими цепями. И я стал думать, как же решить эту проблему. Я не смог найти никакого магического средства, но понял, что многие студенты, не понимающие электрических цепей, не понимают комплексных чисел. И тогда, посоветовавшись с издательством Ohmsha, мы решили сделать эту книгу.
          Мнимое число, по-английски Imaginary number. - это число, созданное воображением. При этом почему-то по-русски оно называется «мнимым», и это название вызывает не самые хорошие ассоциации. Но разве числа, называемые действительными, при этом существуют в реальном мире? Люди придумали числа, но природные явления до чисел и после их появления одинаковы. Просто с помощью чисел и формул люди описывают явления природы, чтобы лучше их понять.
          Итак, комплексные числа являются мощным инструментом для расчёта колебаний силы тока и напряжения в электрических цепях, особенно для переменного тока. А поскольку на электротехнических факультетах изучают в основном переменный ток. то если студент не умеет представлять напряжение и силу тока в виде комплексных чисел, то он не сможет получать хорошие оценки. Кроме того, есть и множество других специализаций, так или иначе связанных с электричеством, то есть и на квалификационных экзаменах других факультетов часто попадаются задачи по переменному току, для решения которых нужно использовать мнимые и комплексные числа.
          Моя цель - чтобы эту книгу в качестве руководства по мнимым и комплексным числам прочитало как можно больше людей. И если кто-то из них после прочтения будет лучше разбираться в комплексных числах, почувствует интерес к решению задач по электрическим цепям с использованием мнимых и комплексных чисел, я буду счастлив.
          Я хочу поблагодарить за помощь и советы по работе над книгой всех сотрудников отдела по развитию издательства Ohmsha. сделавших интересными и понятными мою скучную рукопись господина Нагакава Наруки и господина Исино Той. а также всех сотрудников TREND-PRO.
          И в заключение хочу подчеркнуть, что эта книга не является профессиональным руководством, и с точки зрения математики в ней. возможно, появляются не совсем корректные выражения. Но главной задачей этой книги было дать простое и наглядное объяснение для начинающих, что из себя представляют комплексные и мнимые числа. И именно это ставилось во главу угла.

          Ноябрь 2010                                        Оучи Масаси

    солерждние


 Пролог. НАЧАЛО UCTOPUU........................ 1

 1. виды чисел..................................в
 1. виды чисел................................. п
    ОБЫКНОВЕННЫЕ И ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ........... 18
    ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА...................... 14
    ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА.........................20
 2. ФОРМУЛА РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.......22
 3. ВВЕДЯ МНИМУЮ ЕДИНИЦУ Z, МОЖНО РЕШИТЬ ЛЮБОЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ....................28
 Ч. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ..34
 Б. ВЫВЕДЕНИЕ ФОРМУЛЫ КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ.36
 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ...............38

 а. от мнимой единицы z к комплексному числу а + ы.................41
 1. ПЕРЕХОД К КОМПЛЕКСНЫМ ЧИСЛАМ...............45
 2. СВОЙСТВА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ (МОДУЛЬ, АРГУМЕНТ) И КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ.......................48
 3. ОСНОВНЫЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ......................57
 4. ИЗОБРАЖЕНИЕ ОСНОВНЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ
   С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ ... 60
 5. СОПРЯЖЁННЫЕ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА..............63
 6. УПРАЖНЕНИЯ................................ 71

 3. ПОЛ9РНА9 CUCTeMA KOOPAUHAT.................77
 1. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ И ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ..................82
 2. УПРАЖНЕНИЯ.................................41

 ч. формула эйлерд, сеззыедющдз экспонениидльную функцию и комплексные числд........................А7
 1. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА.............................48

   2. ЧИСЛО НЕПЕРА (ОСНОВАНИЕ НАТУРАЛЬНОГО ЛОГАРИФМА) в. . . . 102
   3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА.................106
   Ч. ФОРМУЛА МУАВРА................................10Я
   5. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.... 110
   6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ........................................113
   7. ПРИМЕР ПРАКТИЧЕСКОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЧИСЛА е....115

   5. формула эйлерд и тригонометрические формулы сложения............................. ня
   1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ.......... 124
   2. ВЫВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ СЛОЖЕНИЯ. 128
   3. УПРАЖНЕНИЯ....................................133

   g. сеойстед комплексных чисел, умножение и деление. ПОЛЯРНАЯ системд KOOPAUHAT.................. 13А
   1. УМНОЖЕНИЕ КОМЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ................... 143
   2. ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.....................151
   3. ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ РАЗНЫХ УГЛОВ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ В ГРАДУСНОЙ И РАДИАННОЙ МЕРАХ... 157
   4. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ..........158
   5. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ.......................15Я
   6. ПОЧЕМУ (-1)(-1) =1?...........................161

   7. прдктическое применение комплексных чисел...............................юз
   1. ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК................................168
   2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. 172
   3. ДЕЙСТВУЮЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ СЕТЕВОГО НАПРЯЖЕНИЯ..... 1ЯЗ
   4. ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ СИНУСОИДАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ. ... 1ЯЗ

   приложение...................................... aoi

   предметный укдздтель.............................аза

VII

 (пр   он or) 
НАЧАЛО исторцц

прощай, КОШМАРНАЯ ПОРА вступительных ЭКЗАМЕНОВ'

1г НАКОНЕЦ-ТО^З ( *и^ЕНЧЕСкд⁹^ л о тл' ° которой ТЕп₽оиТА¹< МечТАЛ/
УСпех1Ои⁹ собьюсь СПЕХА U 8 ЛЮБ₈и
и 8 УиР^Е.'



ПРОЛОГ