Занимательная математика. Линейная алгебра. Манга

Занимательная математика
      Линейная алгебра

                  Манга

       О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н А Я М АН ГА
 ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
          Син Такахаси
         Художник Ироха Иноуэ

Перевод
Т. И. Сенниковой,
А. С. Слащевой





                                                     Москва
                                     ДМК Пресс, 2018

УДК 512.6
ББК 22.143
     Т15





    Такахаси С.
Т15  Занимательная математика. Линейная алгебра. Манга / Син Такахаси
      (автор), Ироха Иноуэ (худ.); пер. Т. И. Сенниковой, А. С. Слащевой. —
     М.: ДМК Пресс, 2018. — 270 с.: ил. — (Серия «Образовательная ман       га»). — Доп. тит. л. яп.

    ISBN 978-5-97060-599-8

       Линейная алгебра, которую «сочиняют» математики, либо туманна, либо абст      рактна, а большинство учебников и курсов подразумевают длинные вычисления
     и подробные доказательства. Это скучно и непродуктивно!
      В манге рассказывается о том, как Рейхи Юурино, хилый студент-математик,
      очень хочет стать сильным и поэтому мечтает поступить в клуб каратистов. Ка     питан клуба согласен принять новичка при условии, что тот поможет его млад     шей сестренке Мисе, у которой проблемы с математикой. В итоге Миса узнает
      о матрицах, векторах и действиях над ними, о множествах и подмножествах,
      о базисах и других «премудростях» линейной алгебры.
       Хотя эта дисциплина и кажется абстрактной, она находит множество примене     ний в таких областях, как архитектура, предсказание землетрясений, защита
      морской флоры и фауны, а также в компьютерной графике.
       Книга может быть полезна студентам университетов, учащимся старших клас      сов и колледжей, а также всем, кто ценит чувство юмора и питает интерес к ма      тематике!

                                    УДК 512.6
                                       ББК 22.143
                                              _
      Manga de Wakaru Senkei Daisu (Manga: Guide to Linear Algebra)
           By Shin Takahashi (Author), Iroha Inoue (Illustrator)
                      and Trend Pro Co. (Producer)
                          Published by Ohmsha, Ltd.
           Russian language edition copyright © 2018 by DMK Press

   Все права защищены. Никакая часть этого издания не может быть воспроизведена
в любой форме или любыми средствами, электронными или механическими, включая
фотографирование, ксерокопирование или иные средства копирования или сохранения
информации, без письменного разрешения издательства.



ISBN 978-4-274-06741-9 (яп.)         Copyright © 2008 by Shin Takahashi
                                and TREND-PRO Co., Ltd.
ISBN 978-5-97060-599-8 (рус.)     © Издание, оформление, перевод,
                      ДМК Пресс, 2018

    Предисловие



  Эта книга рассчитана на читателя, желающего за весьма короткое
время сформировать правильное понимание линейной алгебры.
  Наибольшую пользу от «Линейной алгебры» могут получить:
  •  студенты университетов, желающие освоить линейную алгебру или
    уже находящиеся в процессе ее изучения и нуждающиеся в пояс     нениях;
  •  учащиеся, которые «проходили» линейную алгебру ранее, но так
    и не поняли, о чем она;
  •  учащиеся старших классов и колледжей, готовящихся к поступле    нию в технические вузы;
  •  и все те, кто ценит чувство юмора и питает интерес к математике!
  Книга состоит из следующих разделов:
  •  глава 1 «Что такое линейная алгебра?»;
  • глава 2 «Основы»;
  •  глава 3 и 4 «Матрицы»;
  •  глава 5 и 6 «Векторы»;
  •  глава 7 «Линейные преобразования»;
  •  глава 8 «Собственные числа и собственные векторы».
  Большинство глав включают в себя раздел-мангу и раздел с текстом.
Если читать только мангу и пропускать текст, то получишь краткий обзор каждой темы, но я рекомендую прочитать все составные части, а затем для максимального результата рассмотреть каждую тему подробнее.
Эта книга представляет собой дополнение к другой, более сложной
и углубленной литературе, но не ее замену.
  Я хотел бы выразить благодарность моему издателю и всему издательству Омша за предоставленную возможность опубликовать эту книгу, а также иллюстратору Ирохе Иноуэ. Также хочу выразить признательность re_akino, написавшему сценарий, и всему персоналу Trend
Pro, работавшему над превращением моей рукописи в эту мангу. Также
я получил много полезных советов от Кадзуюки Хираока и Сидзуки Хори. Спасибо всем.
                                                Ноябрь 2008 года
                                               Син Такахаси





                                                                                                                                                         V

     Содержание


  ПРЕДИСЛОВИЕ........................................................................................................ V
 Пролог. ЗАНЯТИЯ  НАЧИНАЮТСЯ!......................................................... 1

 Глава 1. ЧТО ТАКОЕ ЛИНЕЙНАЯ  АЛГЕБРА?...............................9
  1.1. Краткий обзор курса линейной алгебры...........................................................14
  1.2. Темы, которые важны для науки, и темы, которые попадаются
     на экзаменах...............................................................................................................21
  1.3. Линейная алгебра с точки зрения математиков........................................... 22
        1.3.1. Линейное пространство, как его видят математики........................ 22
       1.3.2. Линейная алгебра и аксиомы................................................................. 24
 Глава 2. ОСНОВНЫЕ  ПРИНЦИПЫ..................................................... 25
  2.1. Классификация систем чисел............................................................................. 29
 2.2. Импликация и равенство.......................................................................................31
       2.2.1. Положения......................................................................................................31
       2.2.2. Импликация.................................................................................................. 32
       2.2.3. Эквивалентность......................................................................................... 33
 2.3. Теория множеств...................................................................................................... 34
       2.3.1. Множества...................................................................................................... 34
       2.3.2. Символы множеств..................................................................................... 36
       3.3.3. Подмножества.............................................................................................. 37
 2.4. Функции....................................................................................................................... 39
       2.4.1. Обозначение функций............................................................................... 39
       2.4.2. Образы............................................................................................................44
       2.4.3. Домен и кодомен ....................................................................................... 48
       2.4.4. Cюръекция и биекция................................................................................50
       2.4.5. Обратные функции..................................................................................... 52
       2.4.6. Линейные преобразования......................................................................54
 2.5. Греческий алфавит................................................................................................. 59
 2.6. Научные выражения................................................................................................61
  2.7. Сочетания и перестановки.................................................................................... 62
 2.8. Не все "команды к выполнению" являются функциями.......................... 68


VI

Глава 3. ПОЗНАКОМИМСЯ С МАТРИЦАМИ.............................. 69
3.1. Что такое матрица?.................................................................................................. 72
3.2. Вычисление матриц............................................................................................... 76
      3.2.1. Сложение........................................................................................................ 76
     3.2.2. Вычитание.....................................................................................................77
     3.2.3. Скалярное умножение............................................................................... 78
     3.2.4. Умножение матриц...................................................................................... 79
3.3. Специальные матрицы.......................................................................................... 83
      3.3.1. Нулевые матрицы....................................................................................... 83
     3.3.2. Транспонированные матрицы................................................................ 84
     3.3.3. Симметричные матрицы.......................................................................... 85
     3.3.4. Верхние треугольные и нижние треугольные матрицы................ 85
     3.3.5. Диагональные матрицы........................................................................... 86
     3.3.6. Тождественные матрицы.......................................................................... 88
Глава 4. И СНОВА  МАТРИЦЫ..................................................................91
4.1. Обратные матрицы.................................................................................................. 92
    Обратные матрицы................................................................................................ 92
4.2. Вычисление обратных матриц........................................................................... 94
4.3. Определители.........................................................................................................101
4.4. Вычисление определителей............................................................................. 102
4.5. Вычисление обратных матриц с помощью алгебраических
дополнений...................................................................................................................... 114
      4.5.1. Mij..................................................................................................................... 114
     4.5.2. Сij...................................................................................................................... 115
     4.5.3. Вычисление обратных матриц.............................................................. 116
4.6. Применение определителей............................................................................. 117
4.7. Решение линейных систем уравнений
с помощью правила Крамера..................................................................................... 117
Глава 5. ПОЗНАКОМИМСЯ С ВЕКТОРАМИ................................119
5.1. Что такое векторы?.................................................................................................122
5.2. Вычисление векторов........................................................................................... 131
5.3. Геометрические интерпретации........................................................................133
Глава 6. ЕЩЕ О  ВЕКТОРАХ....................................................................... 137
6.1. Линейная независимость.................................................................................... 138
6.2. Базисы........................................................................................................................146


                                                                                   VII

  6.3. Размерность............................................................................................................. 155
        6.3.1. Подпространства....................................................................................... 156
       6.3.2. Базис и размерность..................................................................................162
  6.4. Координаты..............................................................................................................167
 Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.................................. 169
   7.1. Что такое линейное преобразование?.............................................................172
  7.2. Почему мы изучаем линейные преобразования........................................179
  7.3. Специальные преобразования.......................................................................... 184
        7.3.1. Масштабирование...................................................................................... 185
        7.3.2. Вращение...................................................................................................... 186
        7.3.3. Перенос........................................................................................................ 188
        7.3.4. 3D-проекция................................................................................................. 191
  7.4. Некоторые предварительные подсказки....................................................... 194
  7.5. Ядро, образ и теорема размерности для линейных
   преобразований............................................................................................................. 195
  7.6. Ранг............................................................................................................................. 199
        7.6.1. Ранг..................................................................................................................200
        7.6.2. Вычисление ранга матрицы..................................................................204
   7.7. Отношения между линейными преобразованиями и матрицами.........212
 Глава 8. СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
 И СОБСТВЕННЫЕ  ВЕКТОРЫ................................................................. 213
  8.1. Что такое собственные числа и собственные векторы..............................219
  8.2. Вычисление собственных чисел и собственных векторов....................224
  8.3. Вычисление степени p матрицы  n × n............................................................227
  8.4. Повторяемость и приведение к диагональному виду..............................232
        8.4.1. Матрица простой структуры с собственным числом,
     имеющая повторяемость 2...............................................................................233
        8.4.2. Недиагонализированная матрица с собственным числом,
     имеющая повторяемость 2...............................................................................235

   Эпилог.............................................................................................................................238
 Приложение. ДОМАШНЕЕ  ЗАДАНИЕ............................................... 251
 ПРЕДМЕТНЫЙ  УКАЗАТЕЛЬ................................................................... 261




VIII

           Пролог

Занятия начинаются!

                              Университет
                             Ханамичи

Ки-и-и-я!              И-ие-е!



                             Ладно!
        ничего не бойся...


                                                                                                                                                                                                                                               Ханамичи
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       Университета
                                          *                                                                                                                                                                                   карате
                                                                                                                        Клуб

                              *





                                Сейчас или никогда!