Инженерная математика : карманный справочник

Карманный справочник

     ИНЖЕНЕРНАЯ
      МАТЕМАТИКА

            J o h n  B  i r d





          N e w n e s
Engineering
   Mathematics



          P o c k e t  B o o k

              T h i r d e d i t i o n

        Д ж о н  Б ё р д





  К а р м а н н ы й  с п р а в о ч н и к
Инженерная
  математика





                      — 1 —

                          МОСКВА
                 ДМК Пресс, Додэка XXI, 2017

УДК 51(03)
ББК 22.1
     Б48

     Бёрд Дж.
Б48      Инженерная  математика:  Карманный  справоч
      ник/Пер. с англ. — М.: ДМК Пресс. — 542 с.: ил.
      (Серия «Карманный справочник»).

       ISBN 978 5 97060 501 1

        Справочник содержит практически все разделы аппарата
      современной математики, которые используются в инженер
     ном деле, такие как алгебра, геометрия, тригонометрия, тео
      рия матриц и детерминантов, булева алгебра и логические
      схемы, дифференциальное и интегральное исчисление, ста
      тистика и теория вероятностей, и т. д. Основные положения
      теории иллюстрируются многочисленными практическими
      примерами и задачами.
         Будет полезен инженерно техническим работникам, сту
      дентам и абитуриентам технических вузов и колледжей.





                                               УДК 51.(03)
                                                ББК 22.1





   Все права защищены. Никакая часть этого издания не может быть воспро
изведена в любой форме или любыми средствами, электронными или механи
ческими, включая фотографирование, ксерокопирование или иные средства
копирования или сохранения информации, без письменного разрешения из
дательства.

   Настоящее издание «Инженерная математика. Карманный справочник»
Джона Бёрда выполнено по договору с Elsevier Ltd, The Boulevard, Langford
Lane, Kidlington, OX5 1GB, England





                    © John Bird
ISBN 978#0#41566#280#2   (англ.)  © Макет, Изд. дом «Додэка XXI»
ISBN 978#5#97060#501#1    (рус.)  © Издание, ДМК Пресс, 2017

Оглавление                                                 5

          ОГЛАВЛЕНИЕ





Глава 1. Числа и алгебра............................................................................ 16
1.1. Основы арифметики ............................................................................16
     1.1.1. Арифметические действия.............................................................. 16
     1.1.2. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное ....... 18
     1.1.3. Порядок выполнения математических действий и скобки ........... 19
1.2. Дроби, десятичные дроби и проценты..................................................20
     1.2.1. Дроби ............................................................................................... 20
     1.2.2. Отношение и пропорция................................................................. 22
     1.2.3. Десятичные дроби ........................................................................... 23
     1.2.4.  Проценты......................................................................................... 25
1.3. Показатели степени и научная форма записи числа ............................26
     1.3.1. Показатели степени......................................................................... 26
     1.3.2. Обратная величина.......................................................................... 27
     1.3.3. Корень квадратный ......................................................................... 27
     1.3.4. Правила действий со степенями..................................................... 27
     1.3.5. Научная форма записи числа.......................................................... 29
1.4. Приближенные вычисления и вычисления формул..............................31
     1.4.1. Погрешности и аппроксимации ..................................................... 31
     1.4.2.  Калькулятор..................................................................................... 32
     1.4.3. Таблицы преобразований и диаграммы.......................................... 32
     1.4.4. Вычисления формул........................................................................ 33
1.5. Алгебра ................................................................................................34
     1.5.1. Основные действия ......................................................................... 34
     1.5.2. Правила действий со степенями..................................................... 35
     1.5.3. Вынесение общего множителя за скобки....................................... 37
     1.5.4. Основные правила и последовательность выполнения действий. 37
     1.5.5. Прямая и обратная пропорциональность ...................................... 38
     1.5.6. Деление многочленов...................................................................... 39
     1.5.7. Теорема о делении многочлена....................................................... 40
     1.5.8. Теорема об остатке........................................................................... 42
     1.5.9. Непрерывные дроби........................................................................ 43
1.6. Простые уравнения..............................................................................44
     1.6.1. Выражения, уравнения и тождества ............................................... 44
     1.6.2. Практические задачи с использованием простых уравнений ....... 46
1.7. Системы уравнений .............................................................................48
     1.7.1. Введение в теорию систем уравнений ............................................ 48
     1.7.2. Практические задачи, требующие решения систем уравнений .... 50
1.8. Преобразование формул ......................................................................51
1.9. Квадратные уравнения.........................................................................54
     1.9.1. Введение в теорию квадратных уравнений .................................... 54
     1.9.2. Решение методом разложения на множители................................55
     1.9.3. Решение методом дополнения до полного квадрата............. .56
     1.9.4. Использование формулы корней квадратного уравнения ............ 58
     1.9.5. Практические задачи, требующие решения
          квадратных уравнений................................................................... 59
     1.9.6. Система из одного линейного и одного квадратного уравнения .. 60

Оглавление


1.10. Неравенства.......................................................................................60
     1.10.1. Введение в теорию неравенств .......................................................60
     1.10.2. Некоторые простые правила ..........................................................60
     1.10.3. Простые неравенства ......................................................................61
     1.10.4. Неравенства, содержащие модуль..................................................61
     1.10.5. Неравенства, содержащие отношения...........................................62
     1.10.6. Неравенства, содержащие квадратичные функции.......................63
     1.10.7. Квадратичные неравенства.............................................................64
     1.10.8. Области............................................................................................65
1.11. Логарифмы ........................................................................................66
     1.11.1. Введение в теорию логарифмов......................................................66
     1.11.2. Правила вычисления логарифмов..................................................67
     1.11.3. Показательные уравнения ..............................................................68
     1.11.4. Графики логарифмических функций .............................................69
1.12. Экспоненциальные функции..............................................................70
     1.12.1. Экспоненциальная функция ..........................................................70
     1.12.2. Вычисление экспоненциальных функций.....................................70
     1.12.3. Степенной ряд для e x ......................................................................71
     1.12.4. Графики экспоненциальных функций...........................................72
     1.12.5. Натуральные логарифмы ................................................................73
     1.12.6. Вычисление натуральных логарифмов ..........................................73
     1.12.7. Законы роста и затухания ...............................................................74
1.13. Гиперболические функции .................................................................76
     1.13.1. Введение в теорию гиперболических функций .............................76
     1.13.2. Некоторые свойства гиперболических функций...........................77
     1.13.3. Графики гиперболических функций ..............................................78
     1.13.4. Гиперболические тождества............................................................79
     1.13.5. Решение уравнений, содержащих гиперболические функции .....80
     1.13.6. Разложение в ряд ch x и sh x............................................................81
1.14. Простейшие дроби.............................................................................82
1.15. Числовые последовательности ..........................................................86
     1.15.1. Простые последовательности.........................................................86
     1.15.2. n й член последовательности .........................................................86
     1.15.3. Арифметические прогрессии..........................................................87
     1.15.4. Геометрические прогрессии............................................................88
1.16. Биномиальные коэффициенты...........................................................90
     1.16.1. Треугольник Паскаля ......................................................................90
     1.16.2. Биномиальное разложение.............................................................91
     1.16.3. Практические задачи с применением биномиальной теоремы ....93
1.17. Ряды Маклорена................................................................................93
     1.17.1. Введение ..........................................................................................93
     1.17.2. Условия применения рядов Маклорена .........................................94
     1.17.3. Примеры по рядам Маклорена с решениями ................................95
     1.17.4. Численное интегрирование с использованием рядов Маклорена 96
     1.17.5. Предельные значения .....................................................................97
1.18. Решение уравнений итеративными методами.....................................98
     1.18.1. Введение в теорию итеративных методов ......................................98
     1.18.2. Метод деления пополам..................................................................99
     1.18.3. Алгебраический метод последовательных приближений............ 101
     1.18.4. Метод Ньютона ............................................................................. 103
1.19. Системы счисления, используемые в информатике ......................... 104
     1.19.1. Десятичные и двоичные числа ..................................................... 104

Оглавление                                                 7


     1.19.2. Преобразование двоичных чисел в десятичные...........................104
     1.19.3. Преобразование десятичных чисел в двоичные...........................105
     1.19.4. Преобразование десятичного числа в двоичное
           через десятичное. ..........................................................................106
     1.19.5. Шестнадцатеричные числа ...........................................................107
     1.19.6. Преобразование из шестнадцатеричной системы в десятичную 108
     1.19.7. Преобразование из десятичной системы в шестнадцатеричную 109
     1.19.8. Преобразование из двоичной системы в шестнадцатеричную....110
     1.19.9. Преобразование из шестнадцатеричной системы в двоичную....110
Глава 2. Определение длин, площадей и объемов .............................111
2.1. Площади плоских фигур....................................................................111
     2.1.1. Свойства четырехугольников.........................................................111
     2.1.2. Площади плоских фигур ................................................................112
     2.1.3. Площади подобных фигур .............................................................116
2.2. Круг и его свойства............................................................................117
     2.2.1. Введение .........................................................................................117
     2.2.2. Свойства кругов..............................................................................117
     2.2.3. Длина дуги и площадь сектора.......................................................119
     2.2.4. Уравнение окружности...................................................................120
2.3. Объемы простых тел..........................................................................122
     2.3.1. Объемы и площади поверхностей правильных тел.......................122
     2.3.2. Объемы и площади поверхностей усеченных
         пирамид и конусов........................................................................126
     2.3.3. Шаровой слой и шаровой пояс......................................................127
     2.3.4. Объемы подобных тел ....................................................................129
2.4. Площади неправильных фигур, объемы неправильных тел ..............130
     2.4.1. Площади неправильных фигур......................................................130
     2.4.2. Нахождение объемов неправильных тел
           с использованием формулы Симпсона........................................132
     2.4.3. Правило призм для определения объемов ....................................133
     2.4.4. Средняя величина сигнала.............................................................134
Глава 3. Геометрия и тригонометрия .....................................................138
3.1. Геометрия и треугольники..................................................................138
     3.1.1. Единицы измерения углов .............................................................138
     3.1.2. Виды и свойства углов....................................................................139
     3.1.3. Свойства треугольников.................................................................140
     3.1.4. Конгруэнтные треугольники .........................................................142
     3.1.5. Подобные треугольники ................................................................142
     3.1.6. Построение треугольников ............................................................143
3.2. Введение в тригонометрию ................................................................145
     3.2.1. Теорема Пифагора ..........................................................................145
     3.2.2. Тригонометрические функции острых углов ................................146
     3.2.3. Дробные и иррациональные формы записи
          тригонометрических величин. .....................................................148
     3.2.4. Решение прямоугольных треугольников.......................................149
     3.2.5. Угол места и угол понижения.........................................................149
     3.2.6. Вычисление тригонометрических функций..................................151
3.3. Декартовы и полярные координаты...................................................153
     3.3.1. Введение .........................................................................................153
     3.3.2. Переход из декартовой в полярную систему координат...............153
     3.3.3. Переход из полярной в декартову систему координат..................154
     3.3.4. Использование функций калькулятора R  P и P    R................156
3.4. Треугольники и некоторые их практические применения...................156

Оглавление


     3.4.1. Теоремы синусов и косинусов .......................................................156
     3.4.2. Площадь треугольника ..................................................................157
     3.4.3. Практические задачи с использованием тригонометрии............. 159
3.5. Тригонометрические кривые.............................................................. 161
     3.5.1. Графики тригонометрических функций ....................................... 161
     3.5.2. Углы произвольной величины....................................................... 161
     3.5.3. Построение синусоиды и косинусоиды ........................................ 165
     3.5.4. Синусоидальные и косинусоидальные графики........................... 166
     3.5.5. Периодические функции и период ............................................... 167
     3.5.6. Синусоида вида A sin (   t ±  ) ........................................................ 171
3.6. Тригонометрические тождества и уравнения ..................................... 174
     3.6.1. Тригонометрические тождества .................................................... 174
     3.6.2. Тригонометрические уравнения.................................................... 175
3.7. Тригонометрические и гиперболические функции ............................. 179
     3.7.1. Гиперболические тождества........................................................... 181
3.8. Формулы сложения............................................................................ 183
     3.8.1. Формулы сложения углов .............................................................. 183
     3.8.2. Преобразование a sin   t + b cos   t к виду R sin(   t +  ) ................ 184
     3.8.3. Двойные углы................................................................................. 187
     3.8.4. Замена произведения синусов и косинусов
          на сумму или разность.................................................................. 188
     3.8.5. Замена суммы или разности синусов и косинусов
          на произведение. .......................................................................... 189
Глава 4. Графики......................................................................................... 190
4.1. Прямолинейные графики................................................................... 190
     4.1.1. Введение в теорию графиков......................................................... 190
     4.1.2. Прямолинейный график ............................................................... 191
     4.1.3. Общие правила, которые следует соблюдать
         при построении графиков............................................................ 193
     4.1.4. Практические задачи, включающие прямолинейные графики... 193
4.2. Приведение нелинейных законов в линейную форму .......................196
     4.2.1. Нахождение закона........................................................................ 196
     4.2.2. Нахождение законов, содержащих логарифмы............................ 198
4.3. Графики в логарифмических осях...................................................... 202
     4.3.1. Логарифмический масштаб...........................................................202
     4.3.2. Графики вида y = axn ......................................................................202
     4.3.3. Графики вида y = abx ......................................................................205
     4.3.4. Графики вида y = aekx .....................................................................205
4.4. Графические методы решения уравнений .......................................... 207
     4.4.1. Графические методы решения систем уравнений ........................207
     4.4.2. Графические методы решения квадратных уравнений ................208
     4.4.3. Графические методы решения систем, состоящих
          из линейного и квадратного уравнений|...................................... 213
     4.4.4. Графические методы решения кубических уравнений................. 214
4.5. Кривые в полярных координатах....................................................... 216
4.6. Функции и их графики....................................................................... 223
     4.6.1. Стандартные кривые......................................................................223
     4.6.2. Простые преобразования...............................................................224
     4.6.3. Периодические функции...............................................................229
     4.6.4. Непрерывные и разрывные функции ...........................................229
     4.6.5. Четные и нечетные функции.........................................................230
     4.6.6. Обратные функции ........................................................................230
     4.6.7. Обратные тригонометрические функции .....................................232

Оглавление                                                 9


     4.6.8. Асимптоты ......................................................................................233
     4.6.9. Краткое руководство по построению графиков............................236
Глава 5. Векторы .........................................................................................237
5.1. Векторы.............................................................................................237
     5.1.1. Введение .........................................................................................237
     5.1.2. Сложение векторов.........................................................................237
     5.1.3. Разложение векторов......................................................................241
     5.1.4. Разность векторов...........................................................................242
     5.1.5. Относительная скорость ................................................................245
5.2. Сложение колебаний .........................................................................246
     5.2.1. Сложение двух гармонических функций ......................................246
     5.2.2. Построение гармонических функций ...........................................247
     5.2.3. Отыскание фазовых векторов посредством вычисления..............249
5.3. Скалярное и векторное произведения................................................251
     5.3.1. Тройка единичных векторов ..........................................................251
     5.3.2. Скалярное произведение двух векторов........................................252
     5.3.3. Направляющие косинусы ..............................................................255
     5.3.4. Практические применения скалярного произведения.................255
     5.3.5. Векторное произведение................................................................256
     5.3.6. Практическое применение векторного произведения .................259
Глава 6. Комплексные числа....................................................................260
6.1. Комплексные числа ...........................................................................260
     6.1.1. Комплексные числа в декартовой системе координат .................260
     6.1.2. Комплексная плоскость.................................................................261
     6.1.3. Сложение и вычитание комплексных чисел .................................262
     6.1.4. Умножение и деление комплексных чисел ...................................262
     6.1.5. Комплексные уравнения................................................................263
     6.1.6. Полярная форма записи комплексных чисел ...............................263
     6.1.7. Умножение и деление в полярной форме......................................265
     6.1.8. Применение комплексных чисел ..................................................266
6.2. Теорема Муавра.................................................................................268
     6.2.1. Введение .........................................................................................268
     6.2.2. Степени комплексных чисел .........................................................268
     6.2.3. Корни комплексных чисел.............................................................269
     6.2.4. Экспоненциальная форма записи комплексного числа...............270
Глава 7. Матрицы и детерминанты........................................................273
7.1. Теория матриц и детерминантов.........................................................273
     7.1.1. Матричная форма записи...............................................................273
     7.1.2. Сложение, вычитание и умножение матриц.................................274
     7.1.3. Единичная матрица........................................................................276
     7.1.4. Детерминант матрицы 2  2 ...........................................................276
     7.1.5. Обратная матрица 2  2 ..................................................................276
     7.1.6. Детерминант матрицы 3  3 ...........................................................277
     7.1.7. Обратная матрица 3  3 ..................................................................278
7.2. Решение систем уравнений методом матриц и детерминантов...........279
     7.2.1. Решение методом матриц...............................................................279
     7.2.2. Решение методом детерминантов..................................................283
     7.2.3. Решение с использованием правила Крамера ..............................286
     7.2.4. Решение методом Гаусса.................................................................288
Глава 8. Булева алгебра и логические схемы ......................................290
8.1. Булева алгебра...................................................................................290
     8.1.1. Булева алгебра и переключательные схемы ..................................290

Оглавление


     8.1.2. Упрощение булевых выражений....................................................294
     8.1.3. Законы и правила булевой алгебры...............................................295
     8.1.4. Законы Моргана............................................................................. 296
     8.1.5. Карты Карно ..................................................................................297
8.2. Логические схемы и элементы........................................................... 302
     8.2.1. Логические схемы ..........................................................................302
     8.2.2. Элемент И ......................................................................................302
     8.2.3. Элемент ИЛИ.................................................................................302
     8.2.4. Элемент НЕ ....................................................................................303
     8.2.5. Элемент И НЕ ...............................................................................303
     8.2.6. Элемент ИЛИ НЕ..........................................................................303
     8.2.7. Комбинирование логических схем................................................304
     8.2.8. Универсальные логические элементы...........................................306
Глава 9. Дифференциальное исчисление ............................................. 310
9.1. Введение в теорию дифференцирования............................................ 310
     9.1.1. Введение в математический анализ .............................................. 310
     9.1.2. Функциональное обозначение ......................................................310
     9.1.3. Угол наклона кривой...................................................................... 310
     9.1.4. Определение производной ............................................................ 312
     9.1.5. Дифференцирование y = axn по общему правилу......................... 314
     9.1.6. Дифференцирование синусоидальных и косинусоидальных
                 функций........................................................................................ 314
     9.1.7. Дифференцирование eax и ln ax .................................................... 317
9.2. Методы дифференцирования ............................................................ 318
     9.2.1. Дифференцирование часто встречающихся функций ................. 318
     9.2.2. Производная произведения........................................................... 319
     9.2.3. Дифференцирование частного......................................................320
     9.2.4. Функция от функции..................................................................... 321
     9.2.5. Последовательное дифференцирование.......................................322
     9.2.6. Дифференцирование гиперболических функций ........................322
9.3. Некоторые применения производных ................................................ 324
     9.3.1. Скорость изменения ......................................................................324
     9.3.2. Скорость и ускорение ....................................................................324
     9.3.3.  Экстремумы....................................................................................326
     9.3.4. Процедура нахождения и классификации точек покоя ...............327
     9.3.5. Решение практических задач с использованием
         максимальных и минимальных значений. ..................................328
     9.3.6. Касательные и нормали.................................................................330
     9.3.7. Малые приращения .......................................................................332
9.4. Дифференцирование параметрических уравнений............................. 332
     9.4.1.  Введение.........................................................................................332
     9.4.2. Некоторые стандартные параметрические уравнения.................333
     9.4.3. Дифференцирование по параметру...............................................334
9.5. Дифференцирование неявных функций............................................. 335
     9.5.1. Неявные функции..........................................................................335
     9.5.2. Дифференцирование неявных функций.......................................336
     9.5.3. Дифференцирование неявных функций, содержащих
          произведения и частные...............................................................336
     9.5.4. Дальнейшее дифференцирование неявных функций ..................337
9.6. Логарифмическое дифференцирование ............................................. 337
     9.6.1. Введение в логарифмическое дифференцирование.....................337
     9.6.2. Логарифмические законы..............................................................338
     9.6.3. Дифференцирование логарифмических функций .......................338