Уравнения в частных производных

УДК 517.95
ББК 22.192.322
    Б72




                                      Рецензенты:
                       доктор физико-математических наук А.С. Шамаев,
       главный научный сотрудник Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН;
                      кандидат физико-математических наук Т.Н. Титова,
                       доцент кафедры высшей математики НИУ МГСУ





      Бобылева, Татьяна Николаевна.
Б72      Уравнения в частных производных [Электронный ресурс] : [учебное пособие для обу     чающихся по направлениям подготовки 01.03.04 Прикладная математика, 09.03.02 Ин     формационные системы и технологии, 23.05.01 Наземные транспортно-технологические
      средства] / Т.Н. Бобылева, С.В. Ерохин, А.С. Полянина ; Минис-терство науки и высшего
     образования Российской Федерации, Национальный исследовательский Мос-ковский госу     дарственный строительный университет, кафедра высшей математики. — Электрон. дан.
     и прогр. (5,3 Мб). — Мос-ква : Издательство МИСИ – МГСУ, 2023. — URL: http://lib.mgsu.
       ru. — Загл. с титул. экрана.
         ISBN 978-5-7264-3293-9 (сетевое)
         ISBN 978-5-7264-3294-6 (локальное)

         Учебное пособие составлено в соответствии с программой дисциплины «Уравнения ма      тематической физики» и знакомит с основными методами, инструментами и сферами исполь      зования уравнений математической физики в различных областях науки. Представлены тео      ретические вопросы, примеры и практические задания по изучаемому курсу для закрепления
     обучающимися знаний, приобретенных в процессе изучения материала.
         Для обучающихся по направлениям подготовки 01.03.04 Прикладная математика, 09.03.02
     Информационные системы и технологии, 23.05.01 Наземные транспортно-технологические
      средства.

                                   Учебное электронное издание

                                            © ФГБОУ ВО «НИУ МГСУ», 2023

                Учебное электронное издание


Бобылева Татьяна Николаевна, Ерохин Сергей Владимирович,
              Полянина Анна Сергеевна

           УРАВНЕНИЯ
       В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

                    Учебное пособие


                  Редактор Е.В. Трофимова
                 Корректор Я.А. Травкина
      Верстка и дизайн титульного экрана Д.Л. Разумного

      Для создания электронного издания использовано:
   Microsoft Word 2010, Adobe InDesign CS6, ПО Adobe Acrobat


 Подписано к использованию 21.08.2023. Объем данных 5,3 Мб.


Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
                     высшего образования
               «Национальный исследовательский
     Московский государственный строительный университет».
                  129337, Москва, Ярославское ш., 26.

                   Издательство МИСИ – МГСУ.
      Тел.: (495) 287-49-14, вн. 14-23, (499) 183-91-90, (499) 183-97-95.
                    E-mail: ric@mgsu.ru, rio@mgsu.ru

                                  Оглавление

ВВЕДЕНИЕ........................................................................................................................................................................ 5
Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ .................................... 7
  § 1. Общие понятия...................................................................................................................................................... 7
  § 2. Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения с частными
           производными........................................................................................................................................................ 7
  § 3. Краевые и начальные условия............................................................................................................................. 8
Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО
  ПОРЯДКА .................................................................................................................................................................... 9
  § 1. Общий вид дифференциальных уравнений первого порядка........................................................................ 9
  § 2. Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка.................................................... 9
  § 3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка................................................ 10
  § 4. Задача Коши для линейных дифференциальных уравнений первого порядка........................................... 11
Глава 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО
  ПОРЯДКА .................................................................................................................................................................... 13
  § 1. Приведение дифференциального уравнения второго порядка к каноническому виду.............................. 13
  § 2. Малые поперечные колебания струны.............................................................................................................. 20
  § 3. Малые продольные колебания тонкого однородного прямого стержня...................................................... 22
  § 4. Начальные и краевые условия............................................................................................................................. 22
  § 5. Задача о свободных колебаниях конечной струны. Метод Фурье................................................................. 23
  § 6. Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера....................................................................... 29
  § 7. Метод Даламбера решения задачи о свободных колебаниях полубесконечной струны........................... 31
  § 8. Уравнение теплопроводности............................................................................................................................. 35
  § 9. Одномерные краевые задачи теплопроводности.............................................................................................. 36
  § 10. Решение краевой задачи для уравнения теплопроводности методом Фурье............................................. 37
  § 11. Задача Коши для уравнения теплопроводности в случае бесконечного стержня..................................... 39
  § 12. δ-функция Дирака............................................................................................................................................... 43
  § 13. Эллиптические уравнения................................................................................................................................. 45
  § 14. Формулы Грина.................................................................................................................................................... 50
  § 15. Потенциал простого и двойного слоя.............................................................................................................. 52
  § 16. Функция Грина в пространстве........................................................................................................................ 54
  § 17. Функция Грина на плоскости............................................................................................................................ 56
  § 18. Метод электростатических изображений построения функции Грина задачи Дирихле......................... 57
  § 19. Решение задачи Дирихле для круга методом разделения переменных. Уравнение Лапласа.................. 59
  § 20. Решение задачи Дирихле для кольца методом разделения переменных. Уравнение Лапласа............... 64
Библиографический список............................................................................................................................................. 67

                        ВВЕДЕНИЕ

   «Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической
науке, прежде всего необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений, состоящей из двух обширных областей математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными.
   Первая особенность — это непосредственная связь теории дифференциальных уравнений с приложениями. Характеризуя математику как метод проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем применения этого метода является формирование
и изучение математических моделей реального мира. Изучая какие-либо физические явления, исследователь прежде всего создает его математическую идеализацию или, другими
словами, математическую модель, т.е., пренебрегая второстепенными характеристиками
явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической
форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений.
Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических
реакций, электрических и магнитных явлений и др. Исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, которые, как правило, задаются
в виде начальных и граничных условий, математик получает сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее. Изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но
и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые
физические эффекты. Бывает, что сама природа физического явления подсказывает и подходы, и методы математического исследования. Критерием правильности выбора математической модели является практика, сопоставление данных математического исследования
с экспериментальными данными.
   Математическая модель дает возможность изучать явление в целом, предсказать его
развитие, делать количественные оценки изменений, происходящих в нем с течением времени. Напомним, что на основе анализа дифференциальных уравнений так были открыты
электромагнитные волны, и только после экспериментального подтверждения Герцем фактического существования электромагнитных колебаний стало возможным рассматривать
уравнения Максвелла как математическую модель реального физического явления.
   Теория уравнений с частными производными возникла на основе конкретных физических задач, приводящих к исследованию отдельных уравнений с частными производными,
которые получили название основных уравнений математической физики. Изучение математических моделей конкретных физических задач привело к созданию в середине XVIII в.
новой ветви анализа — уравнений математической физики, которую можно рассматривать
как науку о математических моделях физических явлений.
   Основы этой науки были заложены трудами Д′Аламбера (1717–1783), Эйлера (1707–1783),
Бернулли (1700–1782), Лагранжа (1736–1813), Лапласа (1749–1827), Пуассона (1781–1840),
Фурье (1768–1830) и других ученых. Интересно то, что многие из них были не только математиками, но и астрономами, механиками, физиками. Разработанные ими при исследовании конкретных задач математической физики идеи и методы оказались применимыми к изучению широких классов дифференциальных уравнений, что и послужило в конце
XIX в. основой для развития общей теории дифференциальных уравнений.
  Важнейшими уравнениями математической физики являются: уравнение Лапласа,
уравнение теплопроводности, волновое уравнение» [1].


                                                5

  «К изучению уравнения Лапласа приводят самые разнообразные физические задачи
совершенно разной природы. Это уравнение встречается в задачах электростатики, теории потенциала, гидродинамики, теории теплопередачи и многих других разделах физики,
а также в теории функций комплексного переменного и в различных областях математического анализа. Уравнение Лапласа является простейшим представителем широкого класса
так называемых эллиптических уравнений.
   Также важное место в теории уравнений с частными производными и ее приложениях
занимает уравнение теплопроводности. Это уравнение встречается в теории теплопередачи, в теории диффузии и многих других разделах физики, а также играет важную роль в теории вероятностей. Оно является наиболее простым представителем класса так называемых параболических уравнений.
   Волновое уравнение описывает различные волновые процессы, в частности распространение звуковых волн. Оно играет важную роль в акустике. Это представитель класса
так называемых гиперболических уравнений.
   Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками. Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений почетное
место в современной науке» [1].





                                                6

               Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
                  С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

                              § 1. Общие понятия
   Дифференциальным уравнением с частными производными называется уравнение, содержащее неизвестную функцию, зависящую от нескольких переменных (аргументов), и ее частные производные.
   Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок входящих
в него производных.
             ∂u  ∂u      ∂u   ∂u   Например,   +   = 0 , y   + x   = 0 — уравнения первого порядка относительно неизвест             ∂x  ∂y      ∂x    ∂y
                      ∂ 2 u  ∂ 2 u  ∂u                       −ной функции u = u ( x , y ) .                           +   = 0 — уравнение второго порядка, также u = u ( x , y ) —                                         2                                                 2                      ∂x   ∂y   ∂x
неизвестная функция.
   Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, при подстановке
которой в уравнение оно превращается в тождество.
                     ∂u   Так для уравнения    = 0 , где u = u ( x , y ) — неизвестная функция, решением является
                     ∂x
u = φ(y), где φ(y) — произвольная функция.
             ∂u   Уравнение   =  f ( y ) имеет следующее решение: u =      + ψ(y), где ψ(y) — произволь-                                                         ∫f(y)dy             ∂y
ная функция.
   Дифференциальные уравнения с частными производными, которые находят наиболее широкое применение в физике, механике, технике, называются уравнениями математической
физики. Постановка задач для этих уравнений в частных производных делается, исходя из
физических соображений, и само решение должно иметь вполне определенную физическую
интерпретацию. Важнейшими уравнениями математической физики являются:

    ––волновое уравнение                                     , или utt = Δu, где u = u(t, x, y, z) и                               ;

                               ∂u  ∂ 2 u  ∂ 2 u  ∂ 2 u
    ––уравнение теплопроводности   =    2 +    2 +    2  , или коротко ut = Δu;                               ∂t   ∂x   ∂y   ∂z

    ––уравнение Лапласа                  = 0, u = u(x, y, z) — неизвестная функция.

   § 2. Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения
                            с частными производными
    1. Если            — решения линейного однородного дифференциального уравнения, то их линейная комбинация с произвольными постоянными
                       также является решением этого уравнения.
    2. Если имеется бесконечная последовательность решений линейного однородного дифференциального уравнения u1 ( x , y ), u 2 ( x , y ),  , u n ( x , y ),  и ряд, составленный∞       из этих решений,
сходится, и его можно почленно дифференцировать, то сумма ряда                                                            u n ( x , y ) также будет ре-                                                      =∑n 1
шением этого уравнения.

                                                7

                        § 3. Краевые и начальные условия
   Волновое уравнение utt = Δu, уравнение теплопроводности ut = Δu и уравнение Лапласа
Δu = 0 имеют бесчисленное множество решений. Чтобы выделить необходимое частное решение, нужно задать дополнительные условия.
   Краевые (граничные условия) — это условия на границе изучаемой среды.
   Начальные условия — условия, заданные в какой-то момент времени, который называется начальным.
  Для уравнения Лапласа задаются только краевые условия. Решение должно удовлетворять трем требованиям: оно должно существовать, быть единственным и быть устойчивым, т.е. любое малое изменение одного из параметров должно вызывать малое изменение решения. Задача, удовлетворяющая этим трем требованиям, называется корректно
поставленной.





                                                8