Фрактальный анализ

УДК 519.6
ББК 22.19
    А45


                                      Авторы:
                      В.С. Канхва, Г.А. Сызранцев, А.А. Благодатская,
                 М.П. Бовсуновская, С.М. Бороздина, Н.Р. Вайншток



                                       Рецензенты:
                         доктор технических наук Л.Ю. Фриштер,
                профессор кафедры прикладной математики НИУ МГСУ;
                        доктор технических наук В.И. Меденников,
                     ведущий научный сотрудник ФИЦ ИУ РАН





     Алероев, Темирхан Султанович.
А45    Фрактальный анализ [Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие / Т.С. Але     роев, С.В. Ерохин, П.С. Иванов ; Министерство науки и высшего образования Рос     сийской Федерации, Национальный исследовательский Московский государствен    ный строительный университет, кафедра высшей математики. — Электрон. дан. и прогр.
      (16,5 Мб). — Москва : Издательство МИСИ – МГСУ, 2023. — URL: http://lib.mgsu.ru/ —
      Загл. с титул. экрана.         ISBN 978-5-7264-3189-5 (сетевое)
         ISBN 978-5-7264-3190-1 (локальное)

          Учебно-методическое пособие составлено в соответствии с программой дисципли    ны «Фрактальный анализ» и освещает методы, инструменты и сферы использования фрак     тального анализа в различных областях науки. В пособии представлены теоретические вы     кладки, примеры и практические задания по изучаемому курсу для закрепления
     обучающимися знаний, приобретенных в процессе изучения курса.
         Для обучающихся по направлению подготовки 01.03.04 Прикладная математика оч     ной формы обучения.


                            Учебное электронное издание



                                 © ФГБОУ ВО «НИУ МГСУ», 2023

                 Редактор Л.В. Светличная
                 Корректор Н.В. Хромова
       Компьютерная правка и верстка О.Г. Горюновой
      Дизайн первого титульного экрана Д.Л. Разумного


       Для создания электронного издания использовано:
 Microsoft Word 2010, Adobe InDesign CS 5.5, ПО Adobe Acrobat


Подписано к использованию 20.01.2023. Объем данных 16,5 Мб.



Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
                    высшего образования
              «Национальный исследовательский
     Московский государственный строительный университет».
                 129337, Москва, Ярославское ш., 26.

                  Издательство МИСИ – МГСУ.
    Тел.: (495) 287-49-14, вн. 14-23, (499) 183-91-90, (499) 183-97-95.
                   E-mail: ric@mgsu.ru, rio@mgsu.ru

                    ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1. ПОНЯТИЕ ФРАКТАЛА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.
 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ФРАКТАЛА.................................................................... 5
   1.1. Фракталы и их виды.................................................................................................... 5
   1.2. Методы и средства анализа фрактальности временных рядов................................. 9
   1.3. Фрактальная размерность странных аттракторов................................................... 13
   1.4. Модель логистического отображения...................................................................... 18
   1.5. Фракталы, индуцируемые функцией
         Вейерштрасса-Мандельброта................................................................................... 20

Глава 2. ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — ОСНОВНОЙ МЕТОД
  ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ, ПРОТЕКАЮЩИХ В СРЕДАХ
  С ФРАКТАЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ............................................................................... 31
   2.1. Основные понятия дробного исчисления............................................................... 31
   2.2. Основные свойства дробных интегралов и производных....................................... 33
   2.3. Применение преобразования Лапласа для математического
      моделирования осциллятора с вязкоупругим демпфированием............................ 38
   2.4. Решение задачи Коши с помощью преобразования Лапласа................................. 39
   2.5. Сравнение решений, полученных численными методами
     и методом Лапласа.................................................................................................... 42

Глава 3. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ,
  ОСНОВАННЫЕ НА ДРОБНОМ ИСЧИСЛЕНИИ....................................................... 46
   3.1. Дробное исчисление в механике.............................................................................. 46
        3.1.1. Экспериментальные данные и стандартные методы математического
           моделирования вязкоупругого тела................................................................ 47
        3.1.2. Математическое моделирование вязкоупругих материалов
            с использованием дробного дифференцирования......................................... 50
        3.1.3. Математическое моделирование и параметрическая идентификация
           вязкоупругих материалов с использованием производных дробного
                    порядка............................................................................................................ 53
   3.2. Дробное исчисление в экономике........................................................................... 59
        3.2.1. Базовое дробное дифференциальное уравнение математической модели
           случайного блуждания точечной частицы по фрактальному множеству
          и его применение для анализа финансовых рынков..................................... 59
        3.2.2. Фрактальность валютных рынков.................................................................. 61
   3.3. Дробное исчисление в биологии.............................................................................. 64
        3.3.1. Уравнение дробной диффузии как математическая модель
           заболеваемости коронавирусной инфекцией КОВИД-19............................. 64

Библиографический список.                 .............................................................................. 69

       Глава 1. ПОНЯТИЕ ФРАКТАЛА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.
         ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ФРАКТАЛА

                               1.1. Фракталы и их виды

     Определение понятия фрактал. Математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 г. было введено новое понятие — фрактал (от лат. fraktus — дробный, ломаный). Оказалось, что многие хорошо известные процессы имеют, в действительности, фрактальный характер. В частности, фрактальные свойства имеют и фильтрационные потоки.
    Фракталами называют геометрические объекты, линии, поверхности, пространственные объекты, имеющие сильно изрезанную форму и обладающие некоторыми свойствами однородности и самоподобия.
     Показателен следующий пример. Известным английским физиком Льюисом Ричардсоном была предпринята попытка измерить длину морского побережья острова Британия.
С этой целью он выбрал следующий, естественный для обычных гладких кривых, способ
определения этой длины. Линию побережья на детальной карте Британии он изобразил в
виде замкнутой ломаной линии, составленной из отрезков постоянной длины a, все вершины которой располагались на побережье. Длину La ломаной ученый принял за приближенное значение длины побережья, соответствующее значению a. Предполагалось, что
при уменьшении a соответствующее значение длины аппроксимирующих ломаных La будет стремиться к определенному конечному пределу (как, например, в случае окружности), который и следует принять за длину морского побережья. Однако в отличие от гладкой кривой — окружности линия морского побережья оказалась настолько изрезанной,
вплоть до самых малых масштабов, что с уменьшением длины звена аппроксимирующей
ломаной a значение La неограниченно возрастало.





                              Рис. 1. Кривая Коха 3, итерация





                              Рис. 2. Кривая Коха 4, итерация

    Чтобы разобраться в понятии «фрактал», обратимся к так называемой кривой Коха,
которая получается следующим образом (рис. 1). Возьмем равносторонний треугольник
со стороной, равной единице. Каждую сторону разделим на три равные части и отбросим

                                       5

среднюю часть длиной, равной одной трети (рис. 1). На каждой стороне соединим внутренние концы получившихся двух отрезков ломаной, состоящей из двух звеньев длиной,
равной одной трети. На следующем этапе эту же операцию повторим с каждым из отрезков длиной 1/3 (рис. 1, 2, 3) и так до бесконечности.





                              Рис. 3. Кривая Коха 5, итерация

     Треугольник и квадрат Серпинского. Еще один пример регулярного фрактала — треугольник Вацлава Серпинского («Салфетка Серпинского»). Способ его построения ясен
из рис. 4: на нем представлен треугольник Серпинского на 3-й стадии построения, которая получена при соединении середин сторон соответствующих равносторонних треугольников.





                         Рис. 4. Треугольник Вацлава Серпинского

    На рис. 5 — треугольник Серпинского, полученный при многократном соединении
середин сторон соответствующих треугольников.
    Аналогично можно построить ковер Серпинского (рис. 6), который является двумерным аналогом канторовского множества исключенных средних третей.
    Алгоритм его создания состоит в следующем (рис. 7). Каждая из сторон квадрата единичной площади делится на три равные части, а весь квадрат, соответственно, на девять
одинаковых квадратиков со стороной, равной 1/3. Из полученной фигуры вырезается центральный квадрат.


                                        6

               Рис. 5. Треугольник В. Серпинского, полученный многократным
                      соединением середин сторон треугольников





                               Рис. 6. Ковер В. Серпинского





                          Рис. 7. Построение ковра В. Серпинского

     Затем такой же процедуре подвергается каждый из 8 оставшихся квадратиков и т.д.
    В результате получается дырявый квадратный ковер Серпинского со значением фрактальной размерности:

                     D = ln8 / ln3 = 1,8928.





                  Рис. 8. Ковер В. Серпинского, созданный в Matlab R2007b

                                        7

   Он также представляет собой пример идеального самоподобного фрактала. Его фрактальная размерность, однако, больше, чем у салфетки Серпинского (рис. 9), т.е. он является в каком-то смысле «менее дырявым» (рис. 8).





                             Рис. 9. Салфетка В. Серпинского

    Изображение ковра Серпинского было создано в среде Matlab R2007b. Код программы представлен ниже.

     function z = Serpinsky(Lmax)
   % функция, возвращающая изображение ковра Серпинского
   % Lmax — порядок ковра
   % задание координат вершин равнобедренного треугольника
     x1=0; y1=0; x2=1; y2=0; x3=0.5; y3=sin(pi/3);
     h=figure(1); % инициализация графического окна
     hold on; % включение режима рисования фигур в одном графическом окне

       fill([x1 x2 x3], [y1 y2 y3],’k’);
   % прорисовка равностороннего треугольника
   % set(gca,’xtick’,[],’ytick’,[]); % отключение режима оцифровки осей
   % set(gca,’XColor’,’w’,’YColor’,’w’); % установка цвета рисования осей
     Simplex(x1, y1, x2, y2, x3, y3, 0, Lmax);
   % обращение к функции, прорисовывающей равносторонние треугольники белого
цвета
     hold off % отключение режима рисования фигур в одном графическом окне

     function z=Simplex(x1, y1, x2, y2, x3, y3, n, Lmax)
   % рекурсивная функция, прорисовывающая равносторонние треугольники белого
цвета
        if n < Lmax
   % задание координат вершин текущего равностороннего треугольника
        dx=(x2-x1)/2; dy=(y3-y1)/2; x1n=x1+dx; y1n=y1; x2n=x1+dx+dx/2;
       y2n=y1+dy; x3n=x1+dx/2; y3n=y1+dy;
         fill([x1n x2n x3n], [y1n y2n y3n],’w’);
   % прорисовка текущего равностороннего треугольника
      n=n+1;
    % рекурсия


                                        8