Общее введение в теорию функций

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 
высшего образования «Кубанский государственный университет»
ШИШКИН А.Б.
ОБЩЕЕ ВВЕДЕНИЕ 
В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ
УЧЕБНИК
Москва
ИНФРА-М
2025

УДК 517.5(075.8)
ББК 22.161.5я73
 
Ш65
Р е ц е н з е н т ы:
Хабибуллин Б.Н., доктор физико-математических наук, профессор, главный 
научный сотрудник отдела теории функций и функционального анализа Института математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра Российской академии наук;
Мелихов С.Н., доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры алгебры и дискретной математики Южного федерального университета
Шишкин А.Б.
Ш65  
Общее введение в теорию функций : учебник / А.Б. Шишкин. — Москва : 
ИНФРА-М, 2025. — 425 с. — (Высшее образование). — DOI 10.12737/2170831.
ISBN 978-5-16-020376-8 (print)
ISBN 978-5-16-112944-9 (online)
Учебник содержит строгое изложение основных понятий и ключевых теорем теории функций (действительной и комплексной переменных). Написан на основе лекций по разным учебным курсам, в течение нескольких лет читаемых автором в Кубанском государственном университете, и может быть использован при изучении 
математического анализа, теории функций действительной переменной, теории функций комплексной переменной и др.
Для студентов естественно-математических специальностей. Может быть полезен 
студентам и преподавателям вузов с расширенной математической подготовкой, а также специалистам в области математики и ее приложений. 
УДК 517.5(075.8)
ББК 22.161.5я73
ISBN 978-5-16-020376-8 (print)
ISBN 978-5-16-112944-9 (online)
© Шишкин А.Б., 2025

Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1. Предварительные сведения
11
1.1.
Множества и структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2.
Бинарные отношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.3.
Основные алгебраические структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.4.
Основные топологические структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.5.
Непрерывные многозначные отображения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.6.
Функциональные уравнения и задача Коши
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
Вопросы для самоконтроля и упражнения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
2. Пространство комплексных чисел
79
2.1.
Определение пространства комплексных чисел
. . . . . . . . . . . . . . . . .
79
2.2.
Формы записи комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
2.3.
Аргумент комплексного числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
2.4.
Комплексная плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
2.5.
Расширенная комплексная плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
2.6.
Ориентирование расширенной комплексной плоскости . . . . . . . . . . . . . 102
2.7.
Метрики в пространстве комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.8.
Сходящиеся последовательности комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . 119
2.9.
Ряды и бесконечные произведения с комплексными членами . . . . . . . . . . 126
Вопросы для самоконтроля и упражнения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3. Комплексные функции
133
3.1.
Комплексные функции и основные функциональные операции
. . . . . . . . 133
3.2.
Непрерывные комплексные функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.3.
Многозначные комплексные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.4.
Тригонометрическое расслоение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.5.
Полярное расслоение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Вопросы для самоконтроля и упражнения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4. Комплексные функции действительной переменной
162
4.1.
Дифференцирование функций действительной переменной
. . . . . . . . . . 162
4.2.
Интеграл Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.3.
Интеграл Римана-Стилтьеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.4.
Кривые в комплексной плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.5.
Компактные кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.6.
Замкнутые кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.7.
Интеграл по кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.8.
Интеграл Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Оглавление
Вопросы для самоконтроля и упражнения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5. Комплексные функции комплексной переменной
217
5.1.
Производная и дифференциал комплексной функции . . . . . . . . . . . . . . 217
5.2.
Дифференцирование на расширенной комплексной плоскости . . . . . . . . . 222
5.3.
Критерий дифференцируемости в конечной точке . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.4.
Интегральная формула Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.5.
Интегральная теорема Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Вопросы для самоконтроля и упражнения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
6. Элементарные функции действительной переменной
256
6.1.
Аксиоматический метод определения основных элементарных функций . . . 256
6.2.
Определение базовых констант
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.3.
Основные свойства базовых констант . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
6.4.
Линейная функция действительной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.5.
Логарифмическая функция действительной переменной
. . . . . . . . . . . . 272
6.6.
Экспоненциальная функция действительной переменной . . . . . . . . . . . . 277
6.7.
Степенная функция действительной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
6.8.
Косинус и синус Жуковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
6.9.
Гиперболические функции действительной переменной
. . . . . . . . . . . . 286
6.10. Тригонометрические функции действительной переменной
. . . . . . . . . . 287
6.11. Экспонента с показателем i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Вопросы для самоконтроля и упражнения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
7. Элементарные функции комплексной переменной
298
7.1.
Линейная функция комплексной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
7.2.
Целая степенная функция комплексной переменной . . . . . . . . . . . . . . . 301
7.3.
Целая рациональная функция комплексной переменной . . . . . . . . . . . . . 306
7.4.
Рациональная функция комплексной переменной
. . . . . . . . . . . . . . . . 308
7.5.
Дробно-линейная функция комплексной переменной . . . . . . . . . . . . . . 312
7.6.
Экспоненциальная функция комплексной переменной
. . . . . . . . . . . . . 319
7.7.
Тригонометрические функции комплексной переменной . . . . . . . . . . . . 323
Вопросы для самоконтроля и упражнения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
8. Многозначная аддитивная задача Коши
333
8.1.
Постановка многозначной аддитивной задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . 333
8.2.
Многозначная линейная функция действительной переменной . . . . . . . . . 336
8.3.
Эвентуальные пары . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
8.4.
Теорема существования и единственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Вопросы для самоконтроля и упражнения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
9. Многозначные элементарные функции комплексной переменной
350
9.1. Аксиоматический метод определения основных многозначных
элементарных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
9.2.
Многозначная линейная функция комплексной переменной
. . . . . . . . . . 353
9.3.
Аксиоматическое определение аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
9.4.
Логарифмическая функция комплексной переменной . . . . . . . . . . . . . . 361
9.5.
Степенная функция комплексной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
9.6.
Дробно-степенная функция комплексной переменной . . . . . . . . . . . . . . 376
9.7.
Многозначная показательная функция комплексной переменной . . . . . . . . 379
9.8.
Обратные тригонометрические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

Оглавление
5
Вопросы для самоконтроля и упражнения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
10.Дуальные схемы. Двойственность
389
10.1. Множества и их описания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
10.2. Вполне изотонные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
10.3. Условно обратные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
10.4. Дуальные схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
10.5. Дескрипторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
10.6. Односторонние теоремы двойственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
10.7. Двусторонняя теорема двойственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
Вопросы для самоконтроля и упражнения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
Библиографический список
423

Предисловие
Настоящая книга написана на основе ряда лекционных курсов, читаемых автором в разные годы в Армавирском государственном педагогическом университете, в Славянском-на-Кубани государственном педагогическом институте и в Кубанском государственном университете. Она дополняет содержание множества превосходных российских учебников (позднего
советского периода) по математическому анализу (В.А. Зорич, Л.Д. Кудрявцев, Г.Е. Шилов, и др.), теории функций действительной переменной
(А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин, И.П. Натансон и др.) и по теории функций
комплексной переменной (М.А. Евграфов, А.И. Маркушевич, И.И. Привалов, Б.В. Шабат и др.).

Введение
Первая глава книги содержит масштабный анализ общематематической
терминологии и специальной терминологии, используемой в теории функций. Автор не собирается сильно углубляться в рассматриваемые здесь общематематические структуры и лишь знакомит читателя с используемыми
в данной книге символами и терминами. Основная цель раздела — описать
целостную терминологическую картину, основанную на авторском понимании используемых в книге общематематических понятий. Приведенных
здесь сведений будет вполне достаточно для понимания рассматриваемых
в книге конкретных построений. Осведомленный читатель сразу заметит
множество расхождений принятой в книге терминологии с терминологией,
используемой другими авторами. Этим и объясняется необходимость данного раздела, чтение которого нельзя пропустить и оставить на потом. Особое
внимание в этой главе уделяется началам теории множеств и математических структур, однозначным и многозначным отображениям, функциональным уравнениям и задачам Коши.
Вторая глава посвящена пространству комплексных чисел. Эта глава
насыщена множеством существенных деталей, без которых дальше будет
трудно обойтись. Центральное место в этой главе занимают геометрические
интерпретации комплексных чисел (комплексная плоскость, расширенная
комплексная плоскость, сфера Римана). Здесь алгебраические свойства комплексных чисел находятся в тени их геометрических свойств и на первое
место выходят геометрические понятия (прямые и окружности, ориентированная плоскость, ориентированная сфера, угол между векторами, конформные отображения, метрики на комплексной плоскости и др.).
Третья глава посвящена однозначным и многозначным комплексным
функциям. При этом свойства однозначных функций действительной переменной автор считает известными. Своеобразие рассмотренного в этой
главе материала связано с топическими подходами к определению предела
функции в точке и к определению непрерывной функции в точке. Следует
сразу отметить, что необходимость топического определения непрерывной
функции обусловлена эквивалентностью этого определения топологическому определению непрерывной функции и необходимостью повысить общность алгебраического (локального) подхода к понятию непрерывности до
уровня общности геометрического (топологического) подхода к этому понятию. В конце главы определяются основные алгебраические операции

Введение
над многозначными функциями и исследуются важные для дальнейшего
конкретные многозначные функции (отображения) — тригонометрическое
расслоение и полярное расслоение.
Четвертая глава имеет принципиальное значение. Она посвящена общим
вопросам, связующим теорию функций действительной переменной и теорию функций комплексной переменной. В центре внимания лежат процедура дифференцирования комплексных функций действительной переменной
и процедура интегрирования комплексной функции по комплексной кривой,
основанной на понятии интеграла Римана-Стилтьеса. Последняя процедура потребовала существенного углубления в теорию кривых на комплексной плоскости. Основная проблема здесь заключается в том, что существуют различные подходы к определению плоской кривой, которые рождают
различные терминологические базы. В частности, по мнению автора, комплексная кривая — это не множество и не функция, а математическая структура, то есть упорядоченная пара (l, λ), где l — частично упорядоченное
множество (носитель), λ — комплексная функция действительной переменной (параметризация). К ключевым характеристикам такой кривой относятся, например, изменение аргумента вдоль кривой, продолжение аргумента
вдоль кривой, индекс замкнутой кривой и т.д. Много времени уделено изучению вопросов, связанных с аппроксимацией комплексной кривой вписанными в эту кривую ломаными, из которых вытекают основные топологические свойства замкнутых кривых. Наконец, последний параграф четвертой
главы носит общий характер и посвящен специфике абстрактной процедуры построения теории интеграла Лебега от комплексной функции.
Первые параграфы пятой главы посвящены дифференцированию комплексных функций комплексной переменной. Здесь особое внимание уделено вопросам дифференцирования в бесконечно удаленной точке и геометрическим интерпретациям, связанным с этой операцией. Последние параграфы пятой главы посвящены интегральной формуле и интегральной теореме
Коши. Здесь осуществляется новый подход к доказательству интегральной
теоремы Коши. Изменяется противоестественный, по мнению автора, порядок: непрерывная дифференцируемость аналитической функции следует из
интегральной теоремы Коши. В данной книге интегральная формула Коши
не следует из интегральной теоремы Коши, а предшествует ей. Такой порядок изложения можно обосновать следующим образом: нет необходимости
(более того, вредно) передоказывать классические результаты вещественного анализа; нужно лишь использовать их как известные факты. В данном
случае речь идет о теореме Грина. Единственная сложность использования
ее в комплексном анализе упирается в проверку непрерывной дифференцируемости аналитической функции. Эта специфика аналитических функций
и положена автором во главу угла.
Следующие две главы посвящены (однозначным) элементарным функ

Ведение
9
циям действительной и комплексной переменных соответственно. Особое
внимание уделено основным элементарным функциям, каждая из которых
определяется аксиоматически. Аксиоматическое определение основной элементарной функции предполагает указание характеристического свойства
определяемой функции и некоторого множества единственности. Замечательным является то, что в качестве множества единственности для любой
основной элементарной функции можно взять подмножество замечательного множества {1, e, π, i}. Это означает, что замечательное множество само
является множеством единственности. При этом оно является универсальным и может быть использовано при аксиоматическом определении любой
основной элементарной функции действительной или комплексной переменных.
Постановка любой многозначной задачи Коши предполагает указание
образа начальной точки — начального слоя. При этом единственность решения этой задачи достигается путем наложения на искомое многозначное
решение дополнительного условия — условия единственности. Это условие состоит в указании конкретной непрерывной однозначной ветви искомого многозначного отображения, заданной на множестве единственности.
Эвентуальная пара — начальный слой и множество единственности, обеспечивающие единственность решения многозначной задачи Коши. В восьмой
главе исследуется многозначная аддитивная задача Коши, которая эквивалентна аксиоматическому определению многозначной линейной функции
действительной переменной (с комплексными значениями). Основное внимание уделяется описанию эвентуальных пар, то есть доказательству теоремы существования и единственности для многозначной аддитивной задачи
Коши. При этом автор ограничивается лишь ситуациями, которых достаточно для аксиоматического определения основных многозначных элементарных функций комплексной переменной.
Девятая глава посвящена аксиоматическому определению основных многозначных элементарных функций комплексной переменной. Аксиоматическое определение любой отличной от константы основной многозначной
элементарной функции комплексной переменной предполагает постановку конкретной многозначной задачи Коши и доказательство существования
и единственности ее непрерывного решения. Здесь подтверждается статус
(универсальность) замечательного множества {1, e, π, i}, лежащего в основе
единой аксиоматической теории (однозначных и многозначных) элементарных функций действительной и комплексной переменных.
Последняя глава посвящена новому пониманию двойственных переходов
как переходов от внутренних (соотв. внешних) описаний множеств к внешним (соотв. внутренним) описаниям двойственных им множеств. Особое
внимание уделяется двойственным переходам в одну сторону — односторонним теоремам двойственности. При этом в основу абстрактных постро

Введение
ений (односторонней теории двойственности) положено понятие дуальной
схемы, в основе которого, в свою очередь, лежит понятие ослабленной инволюции — вполне изотонного отображения. При этом любое вполне изотонное отображение имеет условно обратное отображения, которое тоже является вполне изотонным. Автор различает четыре дуальные схемы, каждая
из которых играет свою строго определенную роль в вопросах внешнего и
внутреннего описания множеств. Любая дуальная схема представляется как
совокупность из двух диаграмм, связанных между собой взаимно обратным
переходом к условно обратным отображениям.
Каждая глава сопровождается списком вопросов для самоконтроля и отдельной системой упражнений для самостоятельного решения. Все вопросы
и упражнения касаются лишь того теоретического и практического материала главы, содержание или форма изложения которого являются новыми и
не встречаются в пособиях или учебниках других авторов.
Книга ориентирована на студентов и преподавателей вузов естественноматематических профилей подготовки. Студентам она будет особенно полезна на финальной стадии обучения и поможет в процессе формирования
законченных представлений об основных понятиях (фактах, теоремах и т.д.)
математического анализа и теории функций. Будет она полезна и на первых
курсах, когда упомянутые представления лишь начинают формироваться.
Преподавателям вузов эта книга поможет при организации самостоятельной
учебной работы студентов и при организации их самостоятельной научноисследовательской деятельности в процессе подготовки курсовых работ и
выпускных квалификационных работ.
Автор книги предполагает, что читатель знает основные факты математического анализа, теории функций действительной переменной и теории
функций комплексной переменной в пределах стандартных курсов бакалавриата. Умеет решать типовые задачи по указанным учебным курсам на
основе самостоятельных исследований истинности простейших математических высказываний. Владеет навыками проведения первичных научнометодических изысканий в области математики, ее приложений и методики
преподавания дисциплины.