Учет. Анализ. Аудит, 2024, том 11, № 3

ISSN 2408-9303 (Print)
ISSN 2619-130X (Online)
Т. 11 • № 3 • 2024
УЧЕТ. АНАЛИЗ. АУДИТ
научно-практический журнал
DOI: 10.26764/2408-9303
Издание зарегистрировано 
в Федеральной службе по надзору 
в сфере связи, информационных технологий 
и массовых коммуникаций:
ПИ № ФС77-67070
от 15 сентября 2016 г.
The edition is registered
in the Federal Service for Supervision 
of Communications, 
Informational Technologies and Media Control:
PI No. ФС77-67070
of 15, September, 2016
Периодичность издания — 6 номеров в год
Publication frequency — 6 issues per year
Учредитель: Финансовый университет,
Москва, Россия
founder: financial university,
Moscow, russia
Журнал ориентирован на научное обсуждение актуальных 
проблем в области 
учета, анализа и аудита.
The Journal is oriented towards scientifi
 c discussion of present-day topics in the sphere of accounting, analysis 
and auditing.
Индексируется в базах данных: CrossRef, DOAJ, Ebsco, 
Dimensions, EconLit, EconBiz, RePec, eLibrary.ru,  Russian 
Index of Science Citation (RINTs),  CyberLeninka и др. 
Indexed in databases: CrossRef, DOAJ, Ebsco, Dimensions,  
EconLit, EconBiz, RePec, eLibrary.ru,  Russian Index of 
Science Citation (RINTs), etc.
A journal included in the second category  of the List of VAC’s 
peer-reviewed scientifi
 c publications (К2) on specialties: 
5.2.2 (Mathematical, statistical and instrumental methods 
in economics), 5.2.3 (Regional and sectoral economics),
5.2.4 (Finance)
Включен во вторую категорию Перечня рецензируемых 
научных изданий  ВАК (К2) по научным специальностям: 
5.2.2 (математические, статистические 
и инструментальные методы в экономике), 
5.2.3 (региональная и отраслевая экономика), 
5.2.4 (финансы)
Все статьи журнала «Учет. Анализ. Аудит»
публикуются с указанием цифрового идентификатора 
объекта (digital object identifi
 er, DOI)
All articles of journal “Accounting. Analysis. Auditing” 
are published with a digital object 
identifi
 er (DOI)
Журнал распространяется по подписке.
Подписной индекс 94058 в объединенном
каталоге «Пресса России»: www. pressa-rf.ru
и в интернет-магазине «Пресса по подписке»: www.akc.ru
The Journal is distributed by subscription.
Subscription index: 94058 in the consolidated
catalogue “The Press of Russia”: www. pressa-rf.ru
and in the online store “Press by Subscription”: www.akc.ru
 Vol. 11 • No. 3 • 2024  
 
 
 
 
          
ACCOUNTING. ANALYSIS. 
AUDITING
[UCHET. ANALIZ. AUDIT]
Scientifi
 c and Practical Journal
DOI: 10.26764/2408-9303

Главный редактор
Р. П. Булыга, доктор экономических наук, профессор, ординарный профессор, заведующий 
кафедрой аудита и корпоративной отчетности факультета налогов, аудита и бизнес-анализа, 
Финансовый университет, Москва, Россия
редакционная коллегия
В. С. Плотников, доктор экономических 
наук, профессор, профессор кафедры 
информационно-аналитического 
обеспечения и бухгалтерского учета, 
Новосибирский государственный 
университет экономики и управления, 
Новосибирск, Россия
Г. Дж. Превиц, заслуженный профессор, 
профессор школы менеджмента 
Уэзерхед, Университет Кейс Вестерн 
Резерв, США
Ж. Ришар, доктор наук, почетный профессор, 
Университет Париж-Дофин, член Коллегии 
по стандартам бухгалтерского учета, Париж, 
Франция
А. Сангстер, доктор наук, профессор, 
Школа бизнеса, Абердинский университет, 
Королевский колледж, Абердин, 
Великобритания
В. Н. Салин, кандидат экономических наук, 
профессор, профессор кафедры бизнесаналитики факультета налогов, аудита и 
бизнес-анализа, Финансовый университет, 
Москва, Россия
И. В. Сафонова, кандидат экономических 
наук, профессор, профессор кафедры 
аудита и корпоративной отчетности 
факультета налогов, аудита и бизнес-анализа, 
Финансовый университет, Москва, Россия
В. Я. Соколов, доктор экономических наук, 
профессор, заведующий кафедрой аудита 
и внутреннего контроля, Санкт-Петербургский 
государственный экономический университет, 
партнер ПрайсвотерхаусКуперс в России 
и СНГ, Москва, Россия
Л. З. Шнейдман, доктор экономических 
наук, профессор, директор департамента 
регулирования бухгалтерского учета, 
финансовой отчетности и аудиторской 
деятельности Министерства финансов 
РФ, профессор департамента аудита 
и корпоративной отчетности, Финансовый 
университет, Москва, Россия
М. 
А. Эскиндаров, доктор экономических наук, 
профессор, академик Российской академии 
образования, президент Финансового 
университета, научный руководитель, 
Финансовый университет, Москва, Россия
Р. Е. Артюхин, кандидат экономических наук, 
руководитель Федерального казначейства, 
Москва, Россия
Д. Галасси, доктор наук, профессор, профессор 
кафедры экономики, Университет Пармы, 
Парма, Италия
О. В. Голосов, доктор экономических наук, 
профессор, член научного клуба профессоров 
Финансового университета, Москва, Россия
О. Гювемли, профессор, доктор экономических 
наук, президент Ассоциации бухгалтерского 
учета и финансовых исследований 
Университета Мармара, Стамбул, Турция
Д. 
А. Ендовицкий, доктор экономических 
наук, профессор, ректор Воронежского 
государственного университета, Воронеж, Россия
Л. В. Клепикова, кандидат экономических 
наук, профессор, первый заместитель декана 
факультета налогов, аудита и бизнес-анализа, 
Финансовый университет, Москва, Россия
В. Г. Когденко, доктор экономических наук, 
доцент, заведующая кафедрой финансового 
менеджмента, Институт финансовых 
технологий и экономической безопасности 
(ИФТЭБ), Национальный исследовательский 
ядерный университет «МИФИ», Москва, 
Россия
М. И. Кутер, доктор экономических 
наук, профессор, заведующий 
кафедрой бухгалтерского учета, аудита 
и автоматизированной обработки данных, 
Кубанский государственный университет, 
Краснодар, Россия
М. В. Мельник, заместитель главного 
редактора, доктор экономических наук, 
профессор, ординарный профессор 
Финансового университета, профессор 
кафедры аудита и корпоративной отчетности 
факультета налогов, аудита и бизнес-анализа, 
Финансовый университет, Москва, Россия
С. В. Панкова, доктор экономических наук, 
профессор, профессор кафедры бухгалтерского 
учета, анализа и аудита, Оренбургский 
государственный университет, Оренбург, Россия
Д. 
А. Панков, доктор экономических наук, 
профессор, заведующий кафедрой бухгалтерского 
учета, анализа и аудита в отраслях народного 
хозяйства, Белорусский государственный 
экономический университет, Минск, Беларусь
Учет. Анализ. Аудит •  Т. 10, № 6’2023

Editor-in-Chief
R. P. Bulyga, Dr. Sci. (Econ.), Professor, Tenured Professor, Head of the Department of Audit and 
Corporate Reporting of the Faculty of Taxes, Audit and Business Analysis, Financial University, 
Moscow, Russia
Members of THE EDITORIAL board
D. 
A. Pankov, Dr. Sci. (Econ.), Professor, Head 
of the Department of Accounting, Account 
Analysis and Auditing in the National Economy, 
Belarus State Economic University, Minsk, 
Belarus
V. S. Plotnikov, Dr. Sci. (Econ.), Professor, 
Professor, Department of Information 
and Analytical Support and Accounting, 
Novosibirsk State University of Economics 
and Management, Novosibirsk, Russia
G. J. Previts, Professor, Weatherhead School 
of Management, Case Western Reserve 
University, Distinguished University Professor, 
Cleveland, USA
J. Richard, Doctor, Professor Emeritus of Paris 
Dauphine University, member of Accounting 
Standards Board, Doctor, France
A. Sangster, D. Sc. in Economics, Professor, 
Chair in Accounting History, Business School, 
University of Aberdeen, King’s College, Aberdeen, 
Great Britain
V. N. Salin, Cand. Sci. (Econ.), Professor, 
Department of Business Analytics of the Faculty 
of Taxes, Audit and Business Analysis, Financial 
University, Moscow, Russia
I. 
V. Safonova, PhD in Economics, Professor, 
Professor of the Department of Audit and 
Corporate Reporting of the Faculty of Taxes, 
Audit and Business Analysis, Financial 
University, Moscow, Russia
V. Ya. Sokolov, Dr. Sci. (Econ.), Professor, Head 
of the Department of Audit and Internal Control, 
St. Petersburg State University of Economics, 
Partner, PwC, Moscow, Russia
L. Z. Schneidman, Dr. Sci. (Econ.), Professor, 
Director, Department for Supervision 
of Accounting, Financial Reporting and Auditing, 
Ministry of Finance of the Russian Federation, 
Professor of the Department of Audit and 
Corporate Reporting, Financial University, 
Moscow, Russia
R. E. Artyukhin, PhD (Econ.), Head of the Federal 
Treasury, Moscow, Russia
D. 
A. Endovitskiy, Dr. Sci. (Econ.), Professor, Rector 
of Voronezh State University, Moscow, Russia
Voronezh, Russia
M. 
A. Eskindarov, Dr. Sci. (Econ.), Professor, 
Academician of the Russian Academy 
of Education, The President of Financial 
University, Academic Supervisor, Moscow, Russia
G. Galassi, Full Professor of Business 
Economics and Accounting, Department 
of Economics, University of Parma,  
Parma, Italy
O. Güvemli, Professor, Doctor, President, 
Association of Accounting and Financial History 
Researchers, Marmara University, Istanbul, 
Turkey
O. 
V. Golosov, Doctor of Economics, Professor, 
Member of the Scientific Club of Professors 
of the Financial University, Moscow, Russia
L. 
V. Klepikova, Cand. Sci. (Econ.), Professor, 
Deputy Dean, Faculty of Accounting and 
Auditing, Financial University, Moscow, Russia
V. G. Kogdenko, Dr. Sci. (Econ.), Associate 
Professor, Head of the Department of 
Financial Management, Institute of Financial 
Technologies and Economic Security (IFTEB), 
National Research Nuclear University MEPhI, 
Moscow, Russia
M. I. Kuter, Dr. Sci. (Econ.), Professor, Head of the 
Department of Accounting and Automated Data 
Processing, Kuban State University, Krasnodar, 
Russia
M. 
V. Melnik, Dr. Sci. (Econ.) Professor, Tenured 
Professor, Department of Audit and Corporate 
Reporting of the Faculty of Taxes, Audit and 
Business Analysis, deputy editor-in-chief, 
Financial University, Moscow, Russia
S. 
V. Pankova, Dr. Sci. (Econ.), Professor, Professor of 
the Department of Accounting, Analysis and Audit, 
Orenburg State University, Orenburg, Russia
www.accounting.fa.ru

4
содержание
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА
«Учет. Анализ. Аудит»
Дискуссия. Корпоративная отчетность: проблемы и пути их решения
2024, Т. 11, № 3
Прасолов В.Н. 
Ошибки округления и их влияние на точность и достоверность 
статистических и финансово-экономических вычислений. .  .  .  .  .  . . . . . . 6
ТЕОРИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ УЧЕТНО-КОНТРОЛЬНЫХ 
И АНАЛИТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Журнал зарегистрирован 
в Федеральной службе 
по надзору в сфере связи, 
информационных технологий 
и массовых коммуникаций.
Свидетельство о регистрации 
ПИ № ФС77-67070  
от 15 сентября 2016 г. 
Богатая И.Н., Евстафьева Е.М. 
Концептуальные подходы к внедрению  
Учредитель
Финансовый университет, 
Москва, Россия
системы управления качеством аудиторских услуг  
на основе МСК 1. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Главный редактор
Р. 
П. Булыга
Серебрякова Т.Ю., Фатхуллин Э.Р.  
Проблематика развития контрольных механизмов  
Заведующий редакцией 
научных журналов
В. А. Шадрин
в современных экосистемах.
 .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Выпускающиq редактор
А.М. Пересыпкина
МЕТОДИКИ И ПРАКТИЧЕСКИЙ ОПЫТ
Полякова М.А., Барбашова С.А., Екатеринина И.Е. 
Корректор
С. Ф. Михайлова
Экономическая безопасность предприятия – путь к финансовой 
стабильности.
 .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Переводчик
И.А. Осипова
Рыбакина А.С., Бухарова Д.Х., Шарапова Н.В. 
Современный подход к теории и практике учета неотфактурованных 
Верстка
Е. 
А. Смирнова
поставок.
 .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Оформление подписки 
в редакции по тел.:  
ФОРУМ МОЛОДЫХ
Павлова А.С. 
8 (499) 553-10-71 (вн. 10-80), 
e-mail: sfmihajlova@fa.ru 
С.Ф. Михайлова
Разработка концептуального подхода к содержанию системы 
внутреннего финансового аудита в секторе государственного 
Адрес редакции:  
125167, Москва, 
Лениннградский пр-т, 53, к. 5.9 
управления . .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . 73
ПОДГОТОВКА КАДРОВ ДЛЯ НОВОЙ ЭКОНОМИКИ 
Тел.: 8 (499) 553-10-84 
(вн. 10-84)
E-mail: an5er@mail.ru
www.accounting.fa.ru
Казакова Н.А. 
Стратегический вектор подготовки бизнес-аналитиков в условиях новых 
Подписано в печать:  
10.09.2024
национальных приоритетов высшего образования. .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . 87
Формат 60× 84 1/8
Объем 13,0 п.л.
Заказ № 1071
РАЗВИТИЕ НАУЧНЫХ ШКОЛ «УЧЕТА, АНАЛИЗА И АУДИТА»
Миронова О.А. 
Научная школа Поволжского государственного технологического 
Отпечатано 
в отделе полиграфии 
Финансового университета 
(Москва, Ленинградский пр-т, д. 51)
университета по экономике и финансам: становление, развитие, 
перспективы. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
© Финансовый университет, 
Москва
К юбилею Олега Викторовича Голосова.
 .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . 104
Учет. Анализ. Аудит •  Т. 11, № 3’2024

5
CONTENTS
THEORETICAL AND APPLIED STATISTICS
Accounting. Analysis. 
Auditing  
Discussion. Corporate Reporting: Problems and Solutions
2024, vol. 11, no. 3
Prasolov V.N. 
Rounding Errors and their Impact on the Accuracy  
and Reliability of Statistical, Financial and Economic Calculations. .  .  . . . . 6
THEORY AND METHODOLOGY OF ACCOUNTING,  
ANALYTICAL AND CONTROL PROCESSES
The journal was registered 
in the Federal Service for Supervision of Communications, 
Information Technology and 
Mass Media.
The certificate of registration: 
PI number FS77-67070 from 
September 15, 2016.
Bogataya I.N., Evstafieva E.M. 
Conceptual Approaches to the Implementation of a Quality Management 
Founder 
Financial University, 
Moscow, Russia
System for Audit Services Based on International Standard for Quality 
Management 1.
 .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Editor-in-Chief
R.P. Bulyga
Serebryakova T.Yu., Fatkhullin E.R. 
Problems of Development of Control Models and Mechanisms  
Head of Scientific of the Journals 
Editorial Department
V.A. Shadrin
in Modern Ecosystems ..
 .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Managing Editor
A.M. Peresypkina 
METHODS AND PRACTICAL EXPERIENCE
Polyakova M.A., Barbashova S.A., Ekaterinina I.E. 
Proofreader
S.F. Mikhaylova
Economic Security of an Enterprise is the Way to Financial Stability. .  . . . 47
Rybakina A.S., Bukharova D.Kh., Sharapova N.V. 
Translator
I.A. Osipova
A Modern Approach to the Theory and Practice of Accounting  
Layout
E.A. Smirnova
for Uninvoiced Supplies  . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
YOUTH FORUM
Pavlova A.S.
Subscription in editorial office
Tel.: +7 (499) 553-10-71 
(internal 10-80)
E-mail: sfmihajlova@fa.ru 
S.F. Mihaylova
Formation of the Approach to the Content  
of the Internal Financial Audit System  
in the Public Sector. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Editorial address: 
53, Leningradsky prospekt, 
office 5.9
Moscow, 125167
STAFF TRAINING FOR THE NEW ECONOMY
Kazakova N.A.   
Tel.: +7 (499) 553-10-84 
(internal 10-84).  
E-mail: an5er@mail.ru
www.accounting.fa.ru
Strategic Vector of Training Business Analysts in the Conditions of New 
National Priorities of Higher. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
DEVELOPMENT OF SCIENTIFIC SCHOOLS OF ACCOUNTING, 
Signed off to printing: 
10.09.2024
Format 60 × 84 1/8 
Size 13,0 printer sheets
Order № 1071
ANALYSIS AND AUDIT
Mironova O.A. 
Scientific School of Volga State Technological University
Printed in the Polygraphy 
Department
of the Financial University
(51, Leningradsky prospect , 
Moscow)
in Economics and Finance: Formation, Development, Prospects . .  .  .  . . . . 98
© Financial University, Moscow
To the Anniversary of O. V. Golosov . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . 104
www.accounting.fa.ru

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА / THEORETICAL AND APPLIED STATISTICS
 CC    BY 4.0
©
Дискуссия. Корпоративная отчетность: проблемы и пути их решения
ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ
DOI: 10.26794/2408-9303-2024-11-3-6-18
УДК 311(045)
JEL C1
Ошибки округления и их влияние на точность 
и достоверность статистических и финансовоэкономических вычислений
В.Н. Прасолов 
Финансовый университет, Москва, Россия
АННОТАЦИЯ
Статистические наблюдения и вычисления неизбежно сопровождаются ошибками, носящими как систематический, так 
и случайный характер. Способы оценки, минимизации и устранения ошибок округления можно разработать на основе ряда 
известных положений из теории ошибок измерений. Ошибки округления не подчиняются нормальному закону распределения. Целью исследования является оценка их максимально и минимально допустимых абсолютных и относительных 
величин, обеспечивающих требуемую или заданную точность и достоверность конечных результатов при выполнении 
статистических и финансово-экономических вычислений на предприятиях и в организациях, проведении учебных занятий 
в вузах по курсу «Экономическая статистика». Обосновываются и даются рекомендации по установлению предельных 
значений чисел, округляемых с допустимыми или установленными абсолютными и относительными ошибками. Составлены 
и предложены соответствующие таблицы, приведен пример вычислений с соблюдением разработанных рекомендаций. 
Результаты работы могут быть полезны при проведении балансовых расчетов и подготовке финансовой отчетности.
Ключевые слова: свойства случайных ошибок; абсолютные и относительные ошибки округления; максимальные 
ошибки округления; связь между максимальной и средней квадратической ошибкой; предельно допустимые ошибки 
округления; минимальные предельно допустимые значения округляемых чисел
Для цитирования: Прасолов В.Н. Ошибки округления и их влияние на точность и достоверность статистических и 
финансово-экономических вычислений. Учет. Анализ. Аудит = Accounting. Analysis. Auditing. 2024;11(3):6-18. DOI: 
10.26794/2408-9303-2024-11-3-6-18
ORIGINAL PAPER
Rounding Errors and their Impact on the Accuracy  
and Reliability of Statistical, Financial  
and Economic Calculations
V.N. Prasolov 
Financial University, Moscow, Russia
ABSTRACT
Statistical observations and calculations are inevitably accompanied by errors of both systematic and random nature. 
Rounding errors occur both in the process of observation and in obtaining and interpreting the final results. Methods for 
estimating, minimizing and eliminating rounding errors can be developed based on a number of well-known provisions 
from the theory of measurement errors. Rounding errors do not follow the law of normal distribution. The article provides 
an assessment of the maximum and minimum permissible absolute and relative rounding errors that ensure the required 
or specified accuracy and reliability of the final results when carrying out statistical and financial-economic calculations 
at enterprises, organizations, and during training sessions in universities in the course “Economic Statistics”. The article 
substantiates and gives recommendations on setting the limit values of numbers rounded off with allowable or specified 
absolute and relative errors. The corresponding tables have been compiled and proposed, and an example of calculations 
in compliance with the developed recommendations is given. The results of the work can be useful in carrying out 
balance sheet calculations and preparing financial statements.
© Прасолов В.Н., 2024
Учет. Анализ. Аудит •  Т. 11, № 3’2024

В.Н. Прасолов 
Keywords: properties of random errors; absolute and relative rounding errors; maximum rounding errors; relation between 
maximum and mean squared error; maximum allowable rounding errors; minimum limits of rounded numbers allowable values
For citation: Prasolov V.N. Rounding errors and their impact on the accuracy and reliability of statistical, financial and 
economic calculations. Uchet. Analiz. Audit = Accounting. Analysis. Auditing. 2024;11(3):6-18. (In Russ.). DOI: 10.26794/24089303-2024-11-3-6-18
емую точность, выявление особенностей, закономерностей, динамики развития того или иного 
социально-экономического явления или процесса. 
Избыточное количество знаков в сохраняемой части 
чисел загромождает и усложняет записи и расчеты. 
При проведении статистических вычислений немаловажной является и задача экономии времени 
и труда, затрачиваемых на них, их регистрацию 
[5–15].
Сказанного вполне достаточно для того, чтобы 
в ходе статистических работ и вычислений считать 
важным знание правил округления, независимо от 
того, какими бы методами, средствами и по каким 
технологиям они не проводились.
Если предположить, что ошибкам округления 
присущи свойства случайных ошибок, можно ожидать, что они не повлияют существенно на точность 
и достоверность статистических вычислений. Так 
ли это?
В первую очередь напомним особенности и свойства случайных ошибок, а затем проверим, присущи 
ли они ошибкам округления.
Сделаем это на простом примере. Рассмотрим 
относительно небольшой ряд из n = 30  значений 
интеграла вероятностей Лапласа F (t) , приведенных 
в учебном пособии «Экономическая статистика. 
Практикум» 
1. Проведем их округление до трех знаков после запятой 
– xi (табл. 1). Уточним при этом 
одно из правил, позволяющее устранить систематическую ошибку, возникающую при округлении 
по Бесселю — ​
если цифра в сокращаемом разряде 
равна 5, то округление в сохраняемом разряде надо 
вести до ближайшего четного числа, т. 
е. по Гауссу 
[1]. Вычислим и проанализируем разности  ∆i = xi  – Xi 
(табл. 1).
Первое свойство случайных ошибок: отрицательные и положительные разности встречаются в ряду 
ошибок одинаково, а среди равных по абсолютному значению разностей число положительных 
и отрицательных одинаково или почти одинаково. 
В нашем примере число отрицательных и положительных разностей совпадает — ​
и тех и других по 15 
 
1  Салин В. Н., Шпаковская Е. П., ред. Экономическая статистика. Практикум. Учебное пособие. М.: КНОРУС; 2022. 642 с.
Введение
Статистические наблюдения и финансово-экономические вычисления неизбежно сопровождаются ошибками, носящими систематический или 
случайный характер. Причины их возникновения 
могут быть устранены заранее. Но некоторые из 
них — ​
такие, как ошибки округления, неизбежно 
возникают и в процессе сбора и при проведении 
промежуточных вычислений, и при получении 
и интерпретации конечных результатов. Потому возникает вопрос: каким образом проводить 
округления, чтобы минимизировать или устранить ошибки и получить точные и достоверные 
конечные результаты? Ответ дает теория ошибок 
измерений [1–4].
Ошибка измерения может быть представлена 
в виде разности ∆ между полученным и истинным 
или наиболее вероятным, ожидаемым значением 
показателя: 
                                      ∆i = xi  – Xi , 
(1)
где xi — ​
полученное или измеренное значение показателя или признака; xi — ​
истинное значение 
показателя или признака, каковым может быть 
принято среднее или наиболее вероятное, ожидаемое значение признака.
При проведении наблюдений мы получаем ряд 
значений признака 
{
}
1
2
3
; ;

i
n
x
x
x
x
x
∈
…
  и ряд ошибок измерения или наблюдения 
{
}
1
2
3
;
;

i
n
∈∆∆∆…∆
∆
.
Может показаться, что применение в данной 
области информационных технологий делает 
проблему точности статистических наблюдений 
и вычислений, в том числе и ошибок округления, 
неактуальной.
Однако не следует забывать, что в ходе вычислений встречаются ситуации, когда одни и те же 
конечные результаты рассчитываются по различным формулам, проводится разложение конечных 
результатов по факторам, выполняются контрольные вычисления такого разложения и др. При этом 
не всегда обеспечивается сходимость, сравнимость 
и сопоставимость полученных значений.
При реализации вычислений и анализе конечных 
результатов в них часто задается избыточное или 
недостаточное количество сохраняемых знаков, 
обеспечивающих или не обеспечивающих требуwww.accounting.fa.ru

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА / THEORETICAL AND APPLIED STATISTICS
Таблица 1 / Table 1
Ошибки при округлении исходных значений / Errors when rounding original values
 
i
X
 
1
x
 
i
∆
 
2
i
∆
 
i
X
 
1
x
 
i
∆
 
2
i
∆
0,8385
0,838
–0,0005
0,00000025
0,9684
0,968
–0,0004
0,00000016
0,8529
0,853
0,0001
0,00000001
0,9722
0,972
–0,0002
0,00000004
0,8664
0,866
–0,0004
0,00000016
0,9756
0,976
0,0004
0,00000016
0,8789
0,879
0,0001
0,00000001
0,9786
0,979
0,0004
0,00000016
0,8904
0,890
–0,0004
0,00000016
0,9812
0,981
–0,0002
0,00000004
0,9011
0,901
–0,0001
0,00000001
0,9836
0,984
0,0004
0,00000016
0,9109
0,911
0,0001
0,00000001
0,9857
0,986
0,0003
0,00000009
0,9199
0,920
0,0001
0,00000001
0,9876
0,988
0,0004
0,00000016
0,9281
0,928
–0,0001
0,00000001
0,9892
0,989
–0,0002
0,00000004
0,9357
0,936
0,0003
0,00000009
0,9907
0,991
0,0003
0,00000009
0,9426
0,943
0,0004
0,00000016
0,9922
0,992
–0,0002
0,00000004
0,9488
0,949
0,0002
0,00000004
0,9931
0,993
–0,0001
0,00000001
0,9545
0,954
–0,0005
0,00000025
0,9942
0,994
–0,0002
0,00000004
0,9596
0,960
0,0004
0,00000016
0,9951
0,995
–0,0001
0,00000001
0,9643
0,964
–0,0003
0,00000009
0,9956
0,996
0,0004
0,00000016
Σ
0,0004
0,00000278
Источник / Source: составлено автором на основе учебного пособия Салин В. Н., Шпаковская Е. П., ред. Экономическая статистика. Практикум. М.: КНОРУС; 2022. 642 с. / compiled by the author based on the textbook Salin V. N., Shpakovskaya E. P., eds. 
Economic Statistics. Workshop. Moscow: KNORUS; 2022. 642 p.
В нашем примере сумма разностей Σ ∆i = 0,0004 
 
 
по абсолютной величине не превышает максимальную ошибку, а средняя арифметическая из 
ошибок округления на два порядка меньше единицы 
сохраняемого разряда β = 0,001:
i
n
∑∆
∆=
=
=
…≈
. (4)
0,0004
0,0000133
0,00001
30
(табл. 1). Число минимальных положительных 
∆ = 0,0001  и отрицательных разностей ∆ = –0,0001 
одинаково и равно 4 (табл. 2).
Второе свойство случайных ошибок: они не могут 
превосходить по абсолютной величине определенного предела ∆max,   значение которого может быть 
легко установлено. В нашем примере максимальная 
ошибка округления ∆max равна половине единицы β 
 
сохраняемого разряда
 
                           
max
0,001
0,0005.
2
2
β
∆
=
=
= ±
 
(2)
Третье свойство — ​
компенсация ошибок: сумма 
и средняя арифметическая из случайных ошибок 
при неограниченном возрастании числа наблюдений или измерений стремятся к нулю:
               lim
 0;lim
0.
i
n
n
→∞
→∞
∆
∆
∑
=
=
 
(3)
Четвертое свойство: чем больше по абсолютной 
величине случайная ошибка, тем реже она встречается в ряду измерений. В рассматриваемом примере 
частота fi и частость wi  ошибок округления по 
абсолютным значениям распределены следующим 
образом (табл. 3).
Указанная закономерность в нашем примере 
не соблюдается. Ошибкам округления свойственно распределение, близкое к равномерному, 
и они не подчиняются нормальному закону распределения.
Учет. Анализ. Аудит •  Т. 11, № 3’2024

В.Н. Прасолов 
Таблица 2 / Table 2
Положительные и отрицательные ошибки при округлении чисел /
Positive and negative errors when rounding numbers
  ∆
0,0005
0,0004
0,0003
0,0002
0,0001
Со знаком «плюс»
0
7
3
1
4
Со знаком «минус»
2
3
1
5
4
Источник / Source: составлено автором / compiled by the author.
Таблица 3 / Тable 3
Распределение ошибок округления по абсолютным значениям / 
Distribution of rounding errors by absolute numbers
 ∆
0,0005
0,0004
0,0003
0,0002
0,0001
Σ
fi 
2
10
4
6
8
30
wi 
0,067
0,333
0,133
0,200
0,267
1,000
Источник / Source: составлено автором / compiled by the author.
симальное значение ∆max = ±0,0005. Данный промежуток α содержится в ∆max  m = 5 раз:
Важным показателем, характеризующим нормальный закон распределения случайных ошибок 
(в том числе и ошибок округления), является средняя квадратическая ошибка:
         
5 0,0001
0,0005.
m
∆
=
×α = ± ×
= ±
max
 
(9)
2
2
(
)
(5)
∑
−
∑∆
σ
= ±
= ±
окр
.
i
i
i
x
X
n
n
           
 
Ряд возможных значений ошибок округления:
–0,0005; –0,0004; –0,0003; –0,0002; –0,0001; 0; 
0,0001; 0,0002; 0,0003; 0,0004; 0,0005 насчитывает:
                       N = 2m + 1 = 11 членов. 
(10)
Из теории ошибок измерений известно, что 
в случае, если они подчиняются нормальному закону распределения, то между средней квадратической и максимальной ошибками наблюдения 
существует соотношение в виде
Среднюю квадратическую ошибку округления 
можно вычислить как среднюю для полученного 
ряда:
(6)
2
                                  
3 .
∆
≈± σ
max
 

окр
i
N
∑∆
σ
=±
=
2
2
2
Используя данную формулу для нашего примера, получим, что средняя квадратическая ошибка 
округления (табл. 1) равна:
2
2


+
+
+




+
+


= ±
=
0,0001
0,0002
0,0003
2
0,0004
0,0005
11
окр
0,00000278
0,0003044
0,0003,
30
σ
= ±
= ±
…≈±
 (7)
             
максимальная ошибка округления будет равна:
= ±
=
            
3 0,0003
0,0009,
∆
≈± ×
≈±
max
 
(8)
0,00000110
11
0,00031623
0,0003.
                          
= ±
≈±
 
(11)
Полученное значение σокр практически совпадают с теоретическим — σокр = ±0,0003 ​
 Исходя из этой 
величины и максимальной ошибки округления 
∆max = ±0,0005 можно установить, что приближенно 
связь между ними может быть выражена в виде 
следующего соотношения:
что не согласуется с ранее рассчитанной по формуле (2) максимальной ошибкой (∆max = ±0,0005).
При установлении связи между средней квадратической ошибкой σокр и максимальной ошибкой 
 
∆max  следует иметь в виду, что ошибки округления 
∆окр, меняясь с шагом α = ±0,0005, принимают макwww.accounting.fa.ru

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА / THEORETICAL AND APPLIED STATISTICS
             
окр
окр
max
1,666
1,667
∆
≈±
…σ
≈±
σ
. 
(12)
•  средняя квадратическая ошибка округления 
составляет не более 
окр 0,3 .
σ
≤
β
На основе соответствующих теоретических выводов эту связь можно отразить и оценить более 
строго:
                    
∆
∆
σ
≈±
≈±
max
 
(13)
max
окр
,
1,732
3
  
окр 3
0,0003*1,732
0,0005.
∆
≈±σ
≈±
≈±
max
 
(14)
Для того чтобы выявить степень влияния этих 
ошибок на точность конечных результатов статистических наблюдений и вычислений необходимо рассмотреть и относительные ошибки 
округления ∆отн, %. Их диапазон бывает весьма 
значительным, и установить его можно путем 
сопоставления максимальных ∆max и минимальных ∆min  ошибок округления с предельно малыми Xmin  и предельно большими Xmax  значениями 
округляемых чисел:
         
min
отн
0,1
%
100%
100%,
i
i
X
X
∆
β
∆
=
=
 
(15)
∆
β
∆
=
=
 
(16)
         
max
отн
0,5
%
100%
100%.

i
i
X
X
Примеры такого сопоставления приведены 
в табл. 4, 5. Из них следует, что ошибки округления могут достигать довольно больших значений — 
​
 
от 1,0 до 33,3% и более.
Для установления допустимых и приемлемых 
относительных ошибок округления можно руководствоваться следующими рекомендациями:
Полученное значение свидетельствует о высокой сходимости практического и теоретического 
значений максимальной ошибки округления.
Рассмотренный пример позволяет сделать следующие выводы:
•  в процессе наблюдения или вычислений 
ошибки округления могут быть заранее предопределены и учтены;
•  максимальные ошибки округления ∆max  не могут превышать величину, равную половине единицы сохраняемого при округлении разряда β (∆max = 
= 0,5β) ;
•  минимальные значащие ошибки округления 
не превышают десятую часть сохраняемого разряда ∆min = 0,1β;
Таблица 4 / Тable 4
Относительные ошибки округления ∆отн, %  (в знаменателе) предельно малых и предельно больших 
целых чисел (в числителе) с минимальными ошибками ∆min  / Relative rounding errors ∆rel, % (in the 
denominator) of extremely small and extremely large integers (in the numerator) with minimal errors ∆min
β
10
100
1 000
10 000
 Xi
 
min
∆
1
10
100
1 000
 119,1
. . .
. . .
. . .
Десятки
Xmin 
99
Xmax
1,0
 1011,0
 1109,1
Сотни
 Xmin 
. . .
. . .
Xmax
999
0,1
990
1,0
 1
0010,1
 10101,0
 
 11
 009,1
. . .
Тысячи
Xmin 
Xmax
9990
0,1
9
999
0,01
9900
1,0
 
Xmin 
 10
0010,01
 10
0100,1
 101001,0
 
 11
0009,1
Десятки 
тысяч
Xmax
99
999
0,001
99
990
0,01
99
900
0,1
99000
1,0
 
Источник / Source: составлено автором / compiled by the author.
Учет. Анализ. Аудит •  Т. 11, № 3’2024