Теоретическая механика: задачник

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Казанский национальный исследовательский 
технологический университет 
Х. С. Гумерова, М. К. Сагдатуллин 
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА 
Задачник 
Казань 
Издательство КНИТУ 
2023 

УДК 531(076) 
ББК 22.21я7 
Г94 
Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 
Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук, проф. Д. В. Бережной 
д-р техн. наук Б. А. Снигерев 
Г94 
Гумерова Х. С. 
Теоретическая механика : задачник / Х. С. Гумерова; М. К. Сагдатуллин; 
Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во 
КНИТУ, 2023. – 124 с. 
ISBN 978-5-7882-3374-1 
Представлены материалы для подготовки к тестированию по теоретической 
механике. 
Предназначен для студентов всех форм обучения при изучении дисциплины 
«Теоретическая механика». 
Подготовлен на кафедре основ конструирования и прикладной механики. 
УДК 531(076) 
ББК 22.21я7 
ISBN 978-5-7882-3374-1 
© Гумерова Х. С., Сагдатуллин М. К., 2023 
© Казанский национальный исследовательский 
технологический университет, 2023 
2 

С О Д Е Р Ж А Н И Е
ВВЕДЕНИЕ 
.................................................................................................................... 5 
1. СТАТИКА .................................................................................................................. 6
1.1. Основные понятия .............................................................................................. 6 
1.2. Основные виды связей (опор) и их реакции .................................................... 7 
1.3. Система сходящихся сил 
.................................................................................. 10 
1.4. Система параллельных сил. Распределенная нагрузка 
................................. 13 
1.5. Главный вектор произвольной плоской системы сил 
................................... 15 
1.6. Главный вектор произвольной пространственной системы сил.................. 18 
1.7. Определение момента силы относительно произвольной точки 
для произвольной плоской системы сил ............................................................... 20 
1.8. Момент силы относительно оси ...................................................................... 23 
1.9. Главный момент системы сил.......................................................................... 25 
1.10. Приведение системы сил  к простейшему виду .......................................... 28 
1.11. Статическая определимость задач ................................................................ 33 
1.12. Равновесие произвольной плоской  системы сил 
........................................ 38 
1.13. Количество уравнений равновесия ............................................................... 43 
1.14. Равновесие произвольной пространственной системы сил ....................... 44 
1.15. Расчет усилий в стержнях фермы способом вырезания узлов 
................... 49 
1.16. Расчет усилий в стержнях фермы  методом Риттера .................................. 51 
1.17. Центр тяжести ................................................................................................. 53 
1.18. Равновесие тел с учетом трения .................................................................... 55 
2. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ ........................................................................................ 62
2.1. Основные понятия кинематики ....................................................................... 62 
2.2. Кинематика точки. Скорость и ускорение точки при векторном 
способе задания движения ...................................................................................... 62 
2.3. Скорость и ускорение точки при координатном способе задания 
движения ................................................................................................................... 64 
2.4. Скорости и полное ускорение при естественном способе задания 
движения ................................................................................................................... 67 
2.5. Скорости точек при сложном движении ........................................................ 73 
2.6. Направление ускорения Кориолиса ................................................................ 77 
2.7. Ускорения точки при сложном движении 
...................................................... 80 
3 

3. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ..................................................................... 90
3.1. Основные виды движения твердого тела ....................................................... 90 
3.2. Сложение скоростей и ускорений точек тела при сложении 
поступательных движений 
...................................................................................... 91 
3.3. Линейные скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела ....... 93 
3.4. Скорости точек тел при передаче движения (анализ механизмов) ............. 98 
3.5. Скорости точек при плоском движении тела 
............................................... 101 
3.6. Угловая скорость в плоскопараллельном движении 
................................... 104 
3.7. Ускорения точек тела при плоском движении ............................................ 107 
3.8. Угловое ускорение тела при плоском движении 
......................................... 111 
3.9. Скорость точки тела при сферическом движении 
....................................... 114 
3.10. Мгновенная ось вращения тела ................................................................... 118 
3.11. Мгновенные угловые скорость и мгновенное угловое ускорение тела ...... 120 
ЛИТЕРАТУРА 
........................................................................................................... 123 
4 

В В Е Д Е Н И Е
Теоретическая механика – базовая физико-математическая дисциплина для обучающихся различных механических и технологических направлений – будущих инженеров производства. На основании 
данной дисциплины в дальнейшем изучаются такие общеинженерные 
предметы, как «Сопротивление материалов», «Теория машин и механизмов», «Детали машин», «Гидравлика», «Процессы и аппараты химической технологии» и др.  
Одной из актуальных проблем оценки уровня знаний и умений 
студентов по предлагаемым дисциплинам является определение качества высшего технического образовании. Проведение контроля знаний 
путем тестирования помогает не только получить достаточно объективную и независимую информацию о том, насколько обучающиеся владеют набором знаний, опытом и навыками для продолжения своего образования и применения полученных знаний в инженерной практике, 
но и определить уровень знаний студентов в целом.  
Представленные в работе тестовые задания являются совокупностью сбалансированных задач. Основное содержание дисциплины 
«Теоретическая механика» пропорционально отражает количество тестовых задач по разделам «Статика», «Кинематика точки», «Кинематика твердого тела». Причем при решении этих задач не требуется знания каких-либо особых или оригинальных приемов или выполнения 
сложных математических действий. 
Предлагаемые тесты имеют, как правило, несколько возможных 
вариантов ответов, из которых верным является лишь один. Возможные 
варианты ответов приводятся после постановки задачи. Для проверки 
полного усвоения материала дисциплины «Теоретическая механика» 
к каждой тестовой задаче приводится ее решение, что позволяет подготовиться к проверке остаточных знаний.   
При использовании приведенных тестов студент получает возможность достаточно объективно оценить свой уровень полученных 
знаний, а университет – уровень полученных знаний выпускаемого специалиста.  
5 

.  С Т А Т И К А
1 . 1 .  О с н о в н ы е  п о н я т и я
1. Материальной точкой называется:
а) абсолютно твердое тело, размеры которого меньше размеров 
других тел, рассматриваемых в этой задаче (в данном случае ими можно 
пренебречь);     
b) рассматриваемое в статике тело, у которого расстояние между
двумя точками при всех других условиях не меняется; 
с) данное тело, у которого в процессе равновесия или движения 
расстояния между точками не меняются;  
d) рассматриваемая совокупность точек, для которой с целью
упрощения вычислений все точки можно перенести в одну. 
Ответ: a). 
2. Статика (раздел теоретической механики) изучает следующие
области задач: 
а) определение условий равновесия при действии заданных активных сил и найденных реакций связи, действующих на материальный 
объект, а также преобразование рассматриваемой системы сил в простейшие им эквивалентные; 
b) движение материальных точек с геометрической точки зрения
без учета причин, вызывающих это движение; 
с) движения механических систем при отсутствии приложенных сил; 
d) общие законы и закономерности движения или равновесия материальных тел. 
Ответ: а). 
3. Свободным называется рассматриваемое тело:
a) возможность движения, которого не имеет ограничений;
b) возможность движения которого ограничивается материальными объектами, соприкасающимися с ним; 
с) на которое действуют активные силы; 
d) на которое действуют различные системы сил.
Ответ: a). 
6 

4. Абсолютно твердым телом называется: 
a) рассматриваемое твердое тело, расстояние между двумя точками которого не меняется;  
b) рассматриваемое твердое тело, размерами которого в данной 
конкретной задаче можно пренебречь; 
c) рассматриваемое твердое тело, расстояние между точками которого меняется в процессе их равновесия или движения; 
d) рассматриваемое твердое тело, поверхность которого сопротивляется действию различных сил. 
Ответ: а). 
 
5. Сила – это вектор, который является количественной мерой действия материальных объектов друг на друга, поэтому задать вектор 
силы означает задать: 
a) точку приложения силы, направление и величину (модуль); 
b) направление, линию действия и точку приложения; 
c) величину (модуль) и линию действия, направление; 
d) прямую линию (с указанием положительного отсчета) и точку 
приложения, направление. 
Ответ: а). 
 
6. В теоретической механике связью называется: 
a) все то, что ограничивает перемещение данного тела в пространстве; 
b) тело, движение которого при действии других тел ограничено 
в каких-либо степенях свободы; 
c) возможность передачи информации при движении; 
d) отношение равновесия, движения, соединения или согласованности. 
Ответ: a). 
1 . 2 .  О с н о в н ы е  в и д ы  с в я з е й  ( о п о р )  и  и х  р е а к ц и и  
1. Сколько составляющих имеет реакция связи в точке С? 
а) 1; 
b) 3; 
с) 2; 
d) 6. 
7 

 
Решение 
Для данной конструкции, находящейся в пространстве, шарнирно 
невесомый стержень в точке С является связью. Для данной точки такое 
закрепление ограничивает линейное перемещение в направлении 
стержня СК и позволяет выполнить оставшиеся пять перемещений. Поэтому реакция связи в точке С имеет одну составляющую.  
Ответ: а). 
 
2. Сколько составляющих имеет реакция связи (полная) в точке В? 
a) 2; 
b) 1; 
c) 6; 
d) 3. 
 
Решение  
Для конструкции, находящейся в пространстве, в точке В связью 
является цилиндрическое шарнирное закрепление. Для этой точки 
8 

плиты данное закрепление ограничивает любые перемещения по вертикали и по горизонтали и позволяет вращаться около взаимно перпендикулярных трех осей, а также двигаться по прямой ВА. В этом случае 
реакция связи в точке В состоит из двух составляющих или из двух проекций реакции связи на взаимно перпендикулярные оси: вертикаль 
и направление ВС1. 
Ответ: а). 
 
3. Сколько составляющих имеет реакция связи (полная) в точке A? 
a) 6; 
b) 3; 
c) 1; 
d) 2. 
 
Решение 
Для конструкции, находящейся в пространстве, связью в точке А 
является сферическое шарнирное закрепление. Данное закрепление 
точки плиты не предусматривает движение по горизонтальному и вертикальному направлениям, но позволяет ей вращаться вокруг трех осей, 
перпендикулярных друг другу. В этом случае полная реакция в точке А 
имеет три составляющие проекции реакции связи на три взаимно перпендикулярные оси: вертикаль и горизонталь.  
Ответ: в). 
 
4. Данная конструкция в точке А опирается на гладкую поверхность (силой трения пренебрегаем), в точке В имеет шарнирную подвижною опору, в точке С – жесткое защемление, а в точке D – 
9 

невесомую упругую нить. Какую из неправильно изображенных на рисунке реакций необходимо исправить?  
a) жесткой заделки; 
b) гладкой поверхности; 
c) подвижной шарнирной опоры; 
d) невесомой нити. 
 
Решение  
В точке закрепления С отсутствует реактивный момент МС.  
Ответ: а). 
1 . 3 .  С и с т е м а  с х о д я щ и х с я  с и л  
1. Равнодействующая сходящейся системы сил состоит из следующих векторов (сил), Н:  
𝐹
⃗= 2𝑖
⃗+ 5𝑗
⃗+ 6𝑘
⃗
⃗ ; 
𝑄
⃗
⃗= 3𝑖
⃗−2𝑗
⃗−3𝑘
⃗
⃗ ; 
𝑃
⃗
⃗= −5𝑖
⃗+ 𝑗
⃗ . 
Косинус угла между осью у и равнодействующей равен:  
а) 0,8; 
b) 0,6; 
с) 0; 
d) 1,1. 
10