Основы моделирования геометрических объектов

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Казанский национальный исследовательский 
технологический университет 
В. В. Сагадеев, С. Н. Михайлова 
ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ  
ОБЪЕКТОВ 
Учебное пособие 
Казань 
Издательство КНИТУ 
2023 

УДК 514.18(075) 
ББК 22.151.3я7 
С13 
Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, проф. Я. Д. Золотоносов 
д-р техн. наук, проф. А. Г. Лаптев 
С13 
Сагадеев В. В. 
Основы моделирования геометрических объектов : учебное пособие / 
В. В. Сагадеев, С. Н. Михайлова; Минобрнауки России, Казан. нац. 
исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2023. – 116 с. 
ISBN 978-5-7882-3373-4 
Рассмотрены методы воспроизведения геометрических объектов в двух- и трехмерном пространстве в соответствии с требованиями ЕСКД, а также перспективные проекции и построение теней. 
Предназначено для бакалавров первого курса всех направлений, изучающих 
дисциплину «Инженерная графика».  
Подготовлено на кафедре инженерной компьютерной графики и автоматизированного проектирования. 
УДК 514.18(075) 
ББК 22.151.3я7 
ISBN 978-5-7882-3373-4 
© Сагадеев В. В., Михайлова С. Н., 2023 
© Казанский национальный исследовательский 
технологический университет, 2023 
2

С О Д Е Р Ж А Н И Е
ВВЕДЕНИЕ 
.................................................................................................................... 5 
1. СВЕДЕНИЯ О ПРОЕКЦИЯХ .................................................................................. 6 
1.1. Центральное проецирование 
......................................................................... 7 
1.2. Параллельное проецирование 
....................................................................... 7 
1.3. Ортогональное проецирование точки на две плоскости проекций .......... 8 
1.4. Отсутствие на комплексном чертеже оси проекций ................................ 14 
1.5. Ортогональное проецирование точки  на три плоскости проекций 
....... 14 
1.6. Координаты точки 
........................................................................................ 16 
2. ПРОЕКЦИИ ПРЯМОЙ 
........................................................................................... 18 
2.1. Следы прямой 
............................................................................................... 19 
2.2. Прямые частного положения ...................................................................... 21 
2.3. Взаимное расположение двух прямых ...................................................... 24 
2.4. Перпендикулярные прямые ........................................................................ 27 
3. ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ И ИХ ИЗОБРАЖЕНИЯ НА ЭПЮРЕ ...... 29 
3.1. Следы плоскости .......................................................................................... 30 
3.2. Прямая, принадлежащая плоскости 
........................................................... 32 
3.3. Горизонтали и фронтали на плоскости 
...................................................... 33 
3.4. Точка на плоскости ...................................................................................... 35 
3.5. Построение следов плоскости .................................................................... 36 
3.6. Различные положения плоскости в пространстве 
и их изображения на комплексном чертеже .................................................... 37 
3.7. Примеры принадлежности точки и прямой плоскости 
............................ 43 
4. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ......................................... 46 
4.1. Две плоскости параллельны 
........................................................................ 46 
4.2. Две плоскости пересекаются ...................................................................... 47 
4.3. Общий прием решения задачи 
.................................................................... 50 
4.4. Две плоскости перпендикулярны 
............................................................... 50 
5. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ 
.................................. 55 
6. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА 
................... 58 
6.1. Замена плоскостей проекций ...................................................................... 58 
6.2. Плоскопараллельное перемещение 
............................................................ 62 
3 

6.3. Вращение ...................................................................................................... 63 
6.3.1. Вращение точки вокруг проецирующей оси...................................... 63 
6.3.2. Определение натуральной величины отрезка методом 
вращения вокруг проецирующей прямой .................................................... 65 
6.3.3. Определение натуральной величины треугольника методом 
вращения .......................................................................................................... 67 
7. ГРАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ И ИЗОБРАЖЕНИЯ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ 
......................................................................................... 69 
7.1. Образование поверхности. Определитель поверхности .......................... 72 
7.2. Поверхности и тела вращения .................................................................... 73 
7.3. Цилиндр и конус .......................................................................................... 76 
7.4. Сфера и тор ................................................................................................... 81 
7.5. Линейчатые поверхности ............................................................................ 87 
7.6. Винтовые поверхности ................................................................................ 88 
8. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
И ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТИ ...................................................................... 89 
8.1. Гипербола как результат пересечения поверхности конуса 
с фронтальной плоскостью ................................................................................ 90 
8.2. Пересечение поверхности цилиндра с плоскостью 
.................................. 92 
8.3. Определение истинной величины сечения 
................................................ 94 
8.4. Виды конических сечений .......................................................................... 96 
8.5. Пересечение сферы с плоскостью 
............................................................ 101 
9. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 
....................................................... 103 
10. ПРИМЕНЯЕМЫЕ ЛИНИИ ЧЕРТЕЖА ............................................................ 107 
11. РАССТАНОВКА ВИДОВ ИЛИ ПРОЕКЦИЙ 
.................................................. 108 
12. ПОСТРОЕНИЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ 
....................................................................................... 110 
13. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ ТЕХНИЧЕСКОЙ
ДЕТАЛИ 
..................................................................................................................... 111 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ..................................................................... 115 
4 

В В Е Д Е Н И Е
В то время как в школьном курсе элементарной геометрии изучают метрические свойства фигур (площадь круга, длину окружности 
и т. д.), начертательная геометрия составляет ту часть геометрии, в которой пространственные фигуры изучают непосредственно по их проекционным отражениям. К чертежам в начертательной геометрии 
предъявляются следующие требования: 
1) обратимость, т. е. чертеж должен предоставлять возможность
определять местоположение объекта в пространстве; 
2) наглядность, чтобы иметь возможность мысленно представить
объект в пространстве; 
3) простота и точность выполнения.
Французский инженер, основоположник начертательной геометрии Г. Монж считал чертеж языком техника, а выдающийся русский 
геометр В. И. Курдюмов называл начертательную геометрию грамматикой этого языка, так как она учит постигать чужие мысли и излагать 
собственные, пользуясь вместо слов лишь точками и прямыми.  
Начертательная геометрия наилучшим образом способствует 
развитию пространственного воображения, так необходимого инженеру в практической деятельности при проектировании и создании 
сооружения или машины по выполненному проекту, а также при исследовании форм предметов на прочность и решении конкретных задач науки и техники. 
В настоящей работе достаточно подробно изложены такие темы 
курса начертательной геометрии, как методы проецирования, комплексные чертежи точки, прямой и других геометрических фигур, прямые общего и частного положения, следы прямой, плоскости общего 
и частного положения.  
Учебное пособие знакомит обучающихся и с процессом решения 
типовых задач по каждым темам данного курса. Рассмотрены задачи на 
преобразование комплексного чертежа, в том числе метрические задачи, задачи на формирование, задания и изображения поверхностей, 
а также позиционные задачи первого и второго рода с указанием последовательности графических построений. Указание методики и выбор 
кратчайшего пути решения приведенных задач позволят студентам 
с наименьшими затратами справиться с поставленными задачами и тем 
самым поднять свой уровень геометрической и конструкторской инженерной подготовки. 
5 

.  С В Е Д Е Н И Я  О  П Р О Е К Ц И Я Х  
В основу построения изображения, геометрически равноценного 
оригиналу, положен метод проектирования. Известны такие виды проецирования, как центральное, параллельное и ортогональное, другими 
словами, прямоугольное. Соответственно изображение, образованное 
на плоскости, называют центральной, параллельной или ортогональной 
проекцией. 
Следует подчеркнуть, что в начертательной геометрии точки 
чаще всего обозначают прописными латинскими буквами (А, В, С 
и т. д.), а прямые – строчными буквами (а, б, с, д и т. д.). Что касается 
проекций точек, то их обозначают индексами. Например, горизонтальные проекции отмечают индексом 1, а фронтальные проекции – 
индексом 2. 
Если из точки М опустить проецирующий луч до пересечения 
с плоскостью проекций, то результатом пересечения будет проекция 
точки М1 (рис. 1.1). В зависимости от метода проецирования возникает 
либо центральная проекция точки М, либо параллельная, либо ортогональная. 
 
Рис. 1.1. Проекция точки М на плоскость 
Таким образом с помощью метода проецирования можно создавать проекции различных геометрических фигур. Например, построив 
на плоскости проекции вершин треугольника и затем связав их прямыми линиями, можно получить изображение треугольника. Очевидно, 
что это будет проекцией треугольника.  
 
6 

. 1 .  Ц е н т р а л ь н о е  п р о е ц и р о в а н и е  
Рассмотрим разные виды проецирования. 
Надо полагать, что центральное проецирование является общим 
случаем формирования изображений геометрических объектов. Аппарат центрального проецирования включает в себя центр проецирования 
S и плоскость проекций . При заданном аппарате центрального проецирования каждой точке в пространстве соответствует одна-единственная центральная проекция. Обратное утверждение не работает. 
Нельзя определить положение точки в пространстве по центральной 
проекции (рис. 1.2).  
 
Рис. 1.2. Проекция фигуры 
Примером центрального проецирования являются фотографические снимки – в данном случае функцию центра проецирования выполняет объектив, а роль плоскости проекций – фотопластинка.  
1 . 2 .  П а р а л л е л ь н о е  п р о е ц и р о в а н и е  
Когда центр проецирования удален на бесконечно большое расстояние, частным случаем центрального проецирования становится параллельное проецирование. Аппарат параллельного проецирования состоит из заданного направления проецирования l и плоскости проекций 
(рис. 1.3). 
7 

 
Рис. 1.3. Параллельная проекция прямых 
В результате пересечения проецирующего луча, проходящего в заданном направлении через точку А, с плоскостью проекций образуется 
параллельная проекция точки А. Если взять несколько произвольных 
точек в пространстве и таким методом построить их проекции, то проецирующие лучи при этом, несомненно, будут параллельны.  
Направление проецирующих лучей влияет на вид проецирования. 
Отсюда следует разделение проецирования на ортогональное (прямоугольное) и косоугольное. При ортогональном проецировании проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций, и образующиеся 
при этом проекции соответственно будут ортогональными. В противном случае (когда углы наклона проецирующих лучей отличны от прямого угла) получаются косоугольные проекции.  
1 . 3 .  О р т о г о н а л ь н о е  п р о е ц и р о в а н и е  т о ч к и   
н а  д в е  п л о с к о с т и  п р о е к ц и й  
Чертеж, составленный из двух или трех ортогональных проекций 
изображаемого оригинала, называют эпюром или комплексным чертежом. Его можно получить, развернув плоскости проекции П1 (горизонтальную плоскость проекций) вращением вокруг оси ОХ (П1∩П2 = ОХ), 
а П3 (профильную плоскость проекций) – вокруг оси ОZ (П2∩П3 = ОZ) 
и совместив их с плоскостью чертежа. Впервые принцип построения 
такого чертежа предложил французский инженер Гаспар Монж, поэтому чертеж и назван в его честь – эпюр Монжа. 
8 

Две взаимно перпендикулярные плоскости П1 и П2 делят все пространство на четыре равные части (рис. 1.4), которые называют четвертями. Отсчет четвертей ведут против часовой стрелки. Плоскости П1 
и П2 при пересечении образуют ось проекций ОХ, которая разбивает их 
на две части: горизонтальную плоскость проекций – на переднюю и заднюю, фронтальную плоскость проекций – на верхнюю и нижнюю.  
 
Рис. 1.4. Деление пространства на четверти  
Первая четверть ограничена верхней частью фронтальной плоскости проекций и передней частью горизонтальной плоскости проекций. 
В процессе совмещения П1 и П2 с плоскостью чертежа путем вращения вокруг оси неизбежно происходит наложение:  
а) задней части горизонтальной плоскости проекций на верхнюю 
часть фронтальной плоскости проекций; 
б) передней части горизонтальной плоскости проекций на нижнюю часть фронтальной плоскости проекций (рис. 1.5). 
 
Рис. 1.5. Совмещение плоскостей проекций с плоскостью чертежа 
9 

Разберем построение точки на комплексном чертеже. Точку А ортогонально проецируем на две плоскости проекций П1 и П2. Проецирующие лучи оставляют на плоскостях следы (в виде точек A1 и A2), которые называют соответственно горизонтальной и фронтальной проекциями точки А. По ним можно с большой степенью вероятности идентифицировать точку в пространстве (рис. 1.6). 
 
Рис. 1.6. Ортогональное проецирование точки А  
на плоскостях П1 и П2 
Выполнив описанные действия, связанные с переходом от трехмерной модели к двухмерной, в итоге получим развернутое изображение из двух проекций A1 и A2 – так называемый комплексный чертеж 
(рис. 1.7). Полученное изображение демонстрирует проекционную 
связь между проекциями точки A1 и A2. Вертикальная линия связи 
А1АхА2, соединяющей две проекции точки А, перпендикулярна оси ОХ. 
Каждая проекция точки А определяется парой координат. Самой точки 
на комплексном чертеже нет, но, располагая тремя координатами ХА, YА 
и ZА, можно однозначно найти ее местоположение в пространстве. Данный фактор является важным аргументом обратимости чертежа, входящей в перечень требований к нему в начертательной геометрии. 
Удаленность точки от фронтальной плоскости проекций определяют координатой Y, которая для точки А равна расстоянию от оси ОХ 
до горизонтальной проекции А1, т. е. |АА2| = |А1Ах|. Точка А отстоит от 
горизонтальной плоскости проекций на расстоянии, равном расстоянию от оси ОХ до фронтальной проекции А2, т. е. |АА1| = |А2Ах|, и это 
расстояние соответствует координате Z точки А. 
10