Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, 2024, № 6

ИЗВЕСТИЯ
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
МЕХАНИКА  
ТВЕРДОГО ТЕЛА
№ 6    Ноябрь–Декабрь    2024
Журнал основан в январе 1966 года  
Выходит 6 раз в год 
ISSN 1026-3519
Журнал издается под руководством
Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН
Главный редактор  
В.И. КАРЕВ
доктор технических наук
РЕДКОЛЛЕГИЯ:
Амелькин Н.И. д.ф.-м.н., доцент РАН; Альтенбах Х. (Германия) д.т.н., профессор; 
Бербенни С. (Франция) Phd, профессор; Буренин А.А. д.ф.-м.н., член-корр. РАН, 
профессор; Васильев В.В. д.т.н., академик РАН, профессор;  
Ватульян А.О. д.ф.-м.н., профессор; Ганиев Р.Ф. д.ф.-м.н., академик РАН, 
профессор; Георгиевский Д.В. д.ф.-м.н., профессор; Гдоутос Э. (Греция) Phd, 
иностранный член РАН, профессор; Гуткин М.Ю. д.ф.-м.н.; Гупта Н.К. (Индия) 
Phd, почетный доктор РАН, профессор; Доброхотов С. Ю. д.ф.-м.н., профессор; 
Журавлев В.Ф. д.ф.-м.н., академик РАН, профессор; дел-Изола Ф. (Италия) Phd, 
профессор; Климов Д.М. д.ф.-м.н., академик РАН,  профессор;  
Кукушкин С.А. д.ф.-м.н., профессор; Лисовенко Д.С. д.ф.-м.н., профессор РАН 
(ответственный секретарь редколлегии); Ломакин Е.В. д.ф.-м.н., член-корр. РАН, 
профессор; Лурье С.А. д.ф.-м.н., профессор; Мовчан А.А., д.ф.-м.н. профессор; 
Морозов Н.Ф. д.ф.-м.н., академик РАН, профессор; Мурашкин Е.В. к.ф.-м.н.; 
Назайкинский В.Е. д.ф.-м.н., член-корр. РАН, профессор; Назарова Л.А. д.ф.м.н.; 
Радаев Ю.Н. д.ф.-м.н., профессор; Ритчи Р. (США) Phd, иностранный член 
РАН, профессор; Романов А.Е. д.ф.-м.н., профессор; Солдатенков И.А. д.ф.-м.н., 
профессор; Устинов К.Б. д.ф.-м.н., доцент; Шешенин С.В. д.ф.-м.н., профессор 
Зав. редакцией Е. В. Лисовенко
Адрес: 119526, Москва, проспект Вернадского, д. 101, корп. 1
Телефон: 8-495-434-35-38
Москва 
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Известия РАН.  
     Механика твердого тела”  
     (составитель), 2024

ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА          № 6,  2024
С О Д Е Р Ж А Н И Е
Неклассические теории балок, пластин и оболочек (обзор)
В. В. Васильев
3
Описание свойств полимерных гелей в рамках обобщенной модели  
Муни–Ривлина
Е. Я. Денисюк
27
Коэффициенты интенсивности напряжений в вершине  
центральной полубесконечной трещины  
в произвольно нагруженной изотропной полосе
К. Б. Устинов
46
Особенности динамики вращающегося вала с нелинейными 
моделями внутреннего демпфирования и упругости
А. А. Азаров, А. М. Гуськов, Г. Я. Пановко
74
Динамический анализ возмущенного движения земного полюса
В. В. Перепёлкин
91
Устойчивость по Якоби и восстановление параметров  
нелинейного двойного маятника
П. М. Шкапов, В. Д. Сулимов, А. В. Сулимов
103
О движении бусинки на шероховатом обруче, свободно вращающемся 
вокруг вертикального диаметра
А. А. Буров, В. И. Никонов, Е. А. Никонова
119
Пространственные колебания проводов электропередачи  
с гололедным отложением
А. Н. Данилин, Е. А. Денисов, В. А. Фельдштейн
135
Определение спектра частот и колебаний прямоугольной пластинки, 
подвижно заделаннной по краю, в разных средах 
К. Б. Сабитов, А. Г. Хакимов
155
Численно-экспериментальный метод определения  
модуля упругости грунтового массива
Г. Н. Гусев, Р. В. Цветков, В. В. Епин
177
Измерение упругих характеристик монокристаллов никелевого 
жаропрочного сплава методом спекл-интерферометрии
А. И. Епишин, И. Н. Одинцев, Д. С. Лисовенко, Н. В. Петрушин, И. Л. Светлов
187
Теплопроводность второго типа в линейных анизотропных термоупругих 
микрополярных средах
Ю. Н. Радаев
205
Информация
218
Информация

C o n t e n t
On-classical theories of beams, plates and shells (review) 
V. V. Vasiliev
3
Description of Polymer Gel Properties in Framework of Generalized  
Mooney–Rivlin Model
E. Ya. Denisyuk
27
Stress intensity factors at the top of the central semi-infinite crack  
in an arbitraly loaded isotropic strip  
K. B. Ustinov
46
Features of the dynamics of a rotating shaft with nonlinear models  
of internal damping and elasticity
A. A. Azarov, A. M. Gouskov, G. Y. Panovko
74
Dynamic Analysis of the perturbed motion of the Earth’s Pole
V. V. Perepelkin
91
Jacobi stability and restoration of parameters of the nonlinear double pendulum
P. M. Shkapov, V. D. Sulimov, А. V. Sulimov
103
On the motion of a bead on a rough hoop freely rotating  
around a vertical diameter
A. A. Burov, V. I. Nikonov, E. A. Nikonova
119
Spatial vibrations of power transmission conductors with ice deposits
A. N. Danilin, E. A. Denisov, V. A. Feldstein
135
Determination of the spectrum of frequencies and vibrations  
of a rectangular plate, mobily employed around the edge,  
in different environments
K. B. Sabitov, A. G. Khakimov
155
Numerical-experimental method of determination of the elastic modulus  
of a soil massif
G. N. Guseva, R. V. Tsvetkova, V. V. Epina
177
Measurement of elastic characteristics of single-crystals  
of a nickel-base superalloy by speckle interferometry
A. I. Epishin, I. N. Odintsev, D. S. Lisovenko, N. V. Petrushin, I. L. Svetlov
187
Type-II Thermoelasticity of Linear Anisotropic Micropolar Media
Yu. N. Radayev
205
Information
218

ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 2024, 
№ 6,  с.  3–26
УДК 539.3
НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ БАЛОК, ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК 
(ОБЗОР)
©2024 г.
В. В. Васильевa, *
aЦентральный НИИ специального машиностроения, Хотьково, Россия
*e-mail: vvvas@dol.ru
Поступила в редакцию 29.05.2024 г.
После доработки 10.06.2024 г.
Принята к публикации 11.06.2024 г.
Статья является аналитическим обзором и посвящена проблеме построения неклассических теорий балок, пластин и оболочек, востребованность 
которых связана с появлением новых конструкционных материалов, обладающих свойствами, не вполне соответствующими гипотезам, принятым при построении классических теорий. Изложение основано на 
анализе проблемы понижения порядка уравнений теории упругости для 
тонкостенных элементов конструкций и используемых для этой цели математических и физических методов. Основное внимание уделяется корректности и энергетической согласованности этих методов. Изложение 
иллюстрируется примерами конкретных теорий.
Ключевые слова: теория балок, пластин и оболочек
DOI: 10.31857/S1026351924060013, EDN: TZLMMW
1. Введение. Классическая теория оболочек, основанная на гипотезах об 
отсутствии деформаций в трансверсальных плоскостях ортогональных базовой поверхности, определяющей форму оболочки, широко используется 
при расчете и проектировании тонкостенных конструкций, однако обладает известными противоречиями, порождаемыми принятыми гипотезами. 
Построение более общих неклассических теорий полностью или частично 
свободных от этих гипотез всегда сопровождало классическую теорию. Однако после появления композитных материалов, обладающих сравнительно низкими трансверсальными жесткостями, это направление получило 
прикладную значимость. В результате появилось исключительно большое 
и все возрастающее число работ, отраженных в обзорах [1–6], содержащих 
описание конкретных теорий. Настоящий обзор посвящен описанию основных подходов к построению неклассических теорий применительно к 
задачам статики, и конкретные теории обсуждаются только в качестве иллюстраций. Тем более что конструктивных идей в этой области значительно 
меньше, чем публикаций [7].
Заметим, что основные особенности неклассических теорий проявляются уже в теории балок. Теории пластин отличаются учетом краевого 

ВАСИЛЬЕВ
кручения, описанного в работе [8] и отсутствующего у балок, а теории оболочек – более сложными уравнениями, учитывающими кривизну поверхности. 
В связи с этим для сокращения записи анализ в основном будет далее проводится для балки (полосы) прямоугольного сечения, показанной на рис. 1. 
Уравнения плоской задачи теории упругости для ортотропной полосы имеют 
вид:
∂
∂
+ ∂
∂
=
∂
∂
+ ∂
∂
=
σ
τ
σ
τ
x
xz
z
xz
x
z
z
x
0
0
,
, 
(1.1)
ε
σ
ν
σ
ε
σ
ν σ
x
x
x
yz
z
z
z
z
xz
x
E
E
=
−
(
)
=
−
(
)
1
1
,
,
ε
τ
ν
ν
xz
xz
xz
x
xz
z
zx
G
E
E
=
=
(
) , 
(1.2) 
ε
ε
ε
x
x
z
z
xz
x
z
u
x
u
z
u
z
u
x
= ∂
∂
= ∂
∂
= ∂
∂
+ ∂
∂
,
,
. 
(1.3)
На поверхностях z
h
= ±
/ 2 имеют место следующие статические условия:
τ
σ
σ
xz
z
z
x z
h
x z
h
q
x z
h
p
( ,
/ )
,
( ,
/ )
,
( ,
/ )
= ±
=
= −
=
=
=
2
0
2
2
. (1.4)
2. Однородные балки, пластины и оболочки. Конструктивная особенность 
балок пластин и оболочек заключается в том, что отношение толщины h  к 
характерному размеру конструкции (для балки это ее длина l ) по определению должно быть значительно меньше единицы. В таком случае проблема 
построения теории балок, пластин или оболочек формально выглядит просто. Перемещения представляются в виде разложений по некоторой системе 
заданных координатных функций переменной z , то есть
z, uZ
p(x)
P
Q
M
h
N
x, ux
l
dx
b
q(x)
Рис. 1. Консольная балка.

НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ БАЛОК...
5
J
I
j
( , )
( )
( ),
( , )
( )
( )
=
=
i
z
j
j
u
x z
u x
z
u
x z
w
x
z
x
i
i
=
=
∑
∑
0
0
ϕ
ψ
.
(2.1)
Координатные функции ϕi z
( )  и ψ j z
( ) определяются системой взаимно 
независимых степеней свободы элемента балки (он заштрихован на рис. 1) 
и для получения уравнений теории можно воспользоваться принципом возможных перемещений. С этой целью первое уравнение равновесия (1.1) умножается на ϕi z
( ) , второе – на ψ j z
( )  и осуществляется интегрирование 
этих уравнений по z  от −h / 2  до h / 2. В результате получается система, 
состоящая из (
)
I
J
+
 уравнений, для функций u x
i( )  и w
x
j( ). Кинематические граничные условия на краях x = const удовлетворяются соответствующим заданием этих функций, а статические – заданием напряжений 
следующих равенств (1.2), (1.3) и (2.1). Граничные условия (1.4) в общем 
случае не удовлетворяются. Заметим, что выражения для напряжений τxz
и σz,
 которые можно получить, подставляя разложения (2.1) в геометрические соотношения (1.3) и далее в соотношения упругости (1.2), трудно 
признать корректными, так как они требуют дифференцирования разложений (2.1) по координате z. Эти разложения аппроксимируют распределение перемещений по толщине, а дифференцирование аппроксимирующих 
выражений, как известно, не допускается. Корректное определение напряжения τxz  и σz  осуществляется в результате интегрирования уравнений 
равновесия (1.1).
Теории оболочек, в которых в качестве координатных функций используются степенные функции или полиномы Лежандра, построены в работах 
[9–11]. Заметим, что балки, пластины и оболочки, формально рассматриваемые как некоторые математические многообразия, фактически являются инженерными объектами и теории, описывающие эти объекты, должны удовлетворять определенным физическим условиям. В частности, элемент балки, 
показанный на рис. 1, должен иметь как твердое тело три взаимно независимые степени свободы, соответствующие его смещениям в направлении осей 
х , z  и повороту в плоскости xz. Тогда при малых углах поворота в разложениях (2.1) следует принять ϕ
ϕ
ψ
0
1
0
1
1
=
=
=
,
,
z
. Полагая ϕi
i
=
≥
0
2
(
)  и 
ψ j
j
=
≥
0
1
(
) , рассмотрим теорию, соответствующую перемещениям:
u
u
x
zu x
u
w
x
x
z
=
+
=
0
1
0
( )
( ),
( ). 
(2.2)
В работах по неклассическим теориям теория, основанная на кинематических соотношениях аналогичных равенствам (2.2), называется сдвиговой теорией первого порядка. Дело в том, что касательные напряжения, формально 
определенные с помощью равенств (1.2), (1.3) и (2.2), имеют вид
τxz
x
z
G
u
z
u
x
G u
w
=
∂
∂
+ ∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟=
+
′
(
)
1
0
(2.3)
и не удовлетворяют граничным условиям (1.4). Однако, как уже отмечалось, 
первое равенство (2.2) является приближенным и его нельзя дифференцировать по z . Для того чтобы избежать дифференцирования, необходимо ввести 
интегральную характеристику – поперечную силу:

ВАСИЛЬЕВ
h
2
/
[
(
/ )
(
/ )
]
x
x
=
=
−
−
+
′
=
0
2
2
Q
b
dz
Gb u
h
u
h
w h
xz
h
/
2
−∫τ
Gbh u
w
S
=
+
′
=
γ
(
)
1
0
.
(2.4)
Здесь S
Gbh
=
– жесткость балки на сдвиг и γ =
+
′
u
w
1
0 – осредненная 
по толщине деформация сдвига. Таким образом, в обсуждаемой теории соотношение упругости для сдвига существует только в интегральной форме (2.4). 
Аналогичная ситуация имеет место в классической теории. В ней, как известно, u
w
1
0
= −′  и соотношение (2.3) вообще отсутствуют. Равенства (2.2) дают 
линейное распределение напряжений по толщине, эквивалентное осевой силе 
и изгибающему моменту, то есть
h
/
2
2
,
,
/
. 
(2.5)
h
N
bh
M
bh
z
N
b
dz
M
b
zdz
=
+
=
=
σ
σ
σ
x
x
h
x
h
/
/
2
−
−
∫
∫
12
3
2
Воспользовавшись принципом возможных перемещений, умножим первое уравнение (1.1) на 1, а затем – на z  и проинтегрируем по толщине. Проинтегрируем также второе уравнение (1.1), умноженное на 1. Используя интегрирование по частям и равенства (1.4), (2.4), (2.5), получим уравнения 
равновесия:
′ =
′ −
=
′ +
−
=
N
M
Q
Q
p
q
0
0
0
,
,
, 
(2.6)
в которых
3
N
E bhu
M
E bh u
Q
G bh u
w
x
x
xz
o
=
′
=
′
=
+
′
0
1
1
12
,
,
(
).
(2.7)
Заметим, что три уравнения (2.6) могут быть получены непосредственно из 
условий равновесия элемента балки (рис. 1) как твердого тела, что соответствует трем степеням свободы элемента, предусмотренным разложениями (2.2).
Рассмотрим консольную балку, нагруженную силой Р  (рис. 1). При 
p
q
=
= 0  общее решение уравнений (2.6) и (2.7) имеет вид:
N
C
Q
C
M
C x
C
u
C x
E bh
C
x
=
=
=
+
=
+
1
2
2
3
0
1
4
,
,
,
,
u
x
E bh
C x
C
x
=
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟+
1
3
2
3
12
2
C5
w
C x
G bh
x
3
2
3
5
6
6
3
=
−
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟+
+
. 
(2.8)
E bh
C x
C
C x
C
xz
x
0
2
2
Подставляя напряжение σх  (2.5) в первое уравнение (1.1) и интегрируя с 
учетом уравнений (2.6) и условий (1.4), найдем касательное напряжение
h
z
=
−
⎛
2
2 . 
(2.9)
τxz
Q
bh
⎠
⎟
6
4
3
⎝
⎜
⎞

НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ БАЛОК...
7
Рассмотрим вариационную постановку задачи. Из принципа Лагранжа 
имеем:
/
2
h
l
σ δε
σ δε
τ
δε
+
+
(
)
−
dx
dz
x
x
z
z
xz
xz
h
0
2
−∫
∫
/
l
dx
.
(2.10)
p u h
q u
h
z
z
δ
δ
−
−
−
⎡
(
/ )
(
/ )
2
2
⎣
⎤
⎦
=
∫
0
0
С учетом приведенных выше соотношений получим:
N u
M u
Q
u
w
p
q
w
dx
l
δ
δ
δ
δ
0
1
1
0
0
0
0
+
+
+
′ −
−
⎡
⎣
⎤
⎦
=
∫
(
)
(
)
. 
(2.11)
Отсюда следуют вариационные уравнения, которые совпадают с уравнениями равновесия (2.6). Теорию, в которой уравнения, следующие из вариационного принципа Лагранжа, совпадают с непосредственно полученными 
уравнениями равновесия, назовем энергетически согласованной [12, 13]. Заметим, что классическая теория не является таковой. Действительно, при условии u
w
1
0
= −′  функционал (2.11) принимает вид:
N u
M w
p
q
w
dx
l
δ
δ
δ
0
0
0
0
0
−
′ −
−
⎡
⎣
⎤
⎦
=
∫
(
)
.
Отсюда получим вариационные уравнения:
′ =
′′ +
−
=
N
M
p
q
0
0
,
.
Эти уравнения следуют из уравнений равновесия (2.6), но не совпадают с 
ними. Причина заключается в том, что кинематические условия (2.2) в классической теории принимают вид:
u
u
x
zw
u
w
x
x
z
=
−
′
=
0
0
0
( )
,
( ) .
Эти поля перемещений не являются кинематически возможными, так как 
угол поворота элемента пластины (рис. 1) не является независимым и выражается через ее прогиб. В результате в классической теории удовлетворяется 
только комбинация из уравнений равновесия (2.6). На то, что в классической 
теории фактически не удовлетворяется последнее уравнение равновесия (2.6), 
указывается в работе П.А. Жилина [14].
Из вариационного уравнения (2.11) следуют естественные граничные условия для концов балки х = 0  и x
l
=
 (рис. 1):
N u
M u
Q w
δ
δ
δ
0
1
0
0
0
0
=
=
=
,
,
. 
(2.12) 
При х = 0  имеем u
u
w
0
1
0
0
=
=
=
 и согласно равенству (2.2) 
u
x
z
x(
, )
.
=
≡
0
0  При x
l
=
 – N
M
Q
P
=
=
=
0,
 (рис. 1). Определяя из этих 
условий постоянные интегрирования, входящие в решение (2.8), окончательно получим следующее решение для консольной балки, нагруженной силой 
Р  (рис. 1):

ВАСИЛЬЕВ
N
Q
P
M
P l
x
u
Px
E bh
l
x
x
=
=
= −
−
= −
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
0
6
2
1
3
,
,
(
),
,
2
w
Px
G bh
Px
bh
l
x
3
3
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟. 
(2.13)
E
xz
x
=
+ 6
0
Первое слагаемое в равенствах (2.13) для прогиба учитывает влияние деформации сдвига, игнорируемое классической теорией балок. Заметим, 
что решение (2.13) и кинематическое поле (2.2) позволяют получить нулевые перемещения в закрепленном сечении балки, то есть u
x
z
x(
, )
=
≡
0
0  и 
u
x
z
z(
, )
=
≡
0
0 . Такую теорию будем называть кинематически согласованной. Классическая теория также является кинематически согласованной. 
Кроме того, из условий (2.12) следует, что на свободном конце балки должны выполняться условия N
M
Q
=
=
= 0. Таким образом, силовые факторы, соответствующие заданному кинематическому полю (2.2), обращаются 
в ноль. Теорию, соответствующую этому условию, будем называть статически согласованной. Классическая теория балок является статически согласованной. Однако классические теории пластин и оболочек не обладают этим 
свойством – как известно, порядок уравнений в них не позволяет обратить в 
ноль на свободном краю поперечную силу, изгибающий и крутящий моменты. 
Условие статической согласованности накладывает некоторое ограничение на 
разложения (2.1).
Для того чтобы получить это ограничение, воспользуемся принципом возможных перемещений и разложениями (2.1). Умножим уравнения (1.1) соответственно на ϕk z
( ) , ψk z
( )  и проинтегрируем их по z  от −h / 2  до h / 2 . 
Используя интегрирование по частям и учитывая равенства (1.4), получим:
′ −
=
′ −
+
−
=
M
Q
R
T
p
q
k
k
k
k
k
k
0
0
,
,
=
=
−
p
p
h
q
q
h
k
k
k
k
2
2
(
/ ),
(
/ )
ψ
ψ
. 
(2.14) 
где 
h
/
2
/
,
,
2

h
=
=
M
b
dz
Q
b
dz
k
x
h
k
k
xz
k
h
/
2
/
2
−
−
∫
∫
σ ϕ
τ
ϕ
/
h
,
h
=
/
=
2
(2.15)
R
b
d
k
xz
n
h
2
z
T
b
dz
n
z
n
h
2
/
/
2
−∫τ
ψ
−∫σ ψ

и ( ,
)
( ,
) /
 
ϕ ψ
ϕ ψ
= d
dz . Вариационный принцип Лагранжа дает уравнения 
(2.14) и следующие граничные условия на концах балки:
M
u
R
w
k
k
k
k
δ
δ
=
=
0
0
,
.
Отсюда следует, что на свободном конце балки M
R
k
k
=
= 0. Однако в 
теории имеется еще одна система равнодействующих касательных напряжений – силы Qk, которые также должны быть равны нулю на конце балки. 
Согласно равенствам (2.15), для обеспечения этого условия, то есть для статической согласованности теории, необходимо потребовать, чтобы ψ
ϕ
k
k
= 
. 
Таким образом, для статически согласованной теории функции ϕi z
( ) и ψ j z
( )

НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ БАЛОК...
9
в разложениях (2.1) не могут быть взаимно независимыми и эти разложения 
должны иметь вид [12, 13]:
I
I
i
=
i
z
i
i
u
u x
z
u
w x
z
x
i
i
=
=
∑
∑
0
0
( )
( ),
( )
( )
ϕ
ϕ

. 
(2.16)
В работе [13] доказывается, что при перемещениях (2.16) получаемое из 
соотношения упругости распределение касательных напряжений по толщине 
балки удовлетворяет теореме функционального анализа о наилучшей аппроксимации. Заметим, что теории, учитывающие деформацию сдвига и не учитывающие поперечную деформацию, являются статически согласованными.
Традиционно считается, что теория изгиба балок, основанная на поле перемещений (2.2), предложена С.П. Тимошенко в работе [15], опубликованной в 1922 г. Однако это не вполне соответствует действительности. Основные 
соотношения теории содержатся в курсе теории упругости С.П. Тимошенко, 
вышедшем в свет в 1916 г. [16]. История создания теории описана в монографии [17]. Из геометрических соображений в работе [16] принимается, что 
касательная к линии прогиба балки поворачивается на угол
dw
dx =
+
θ
γ , 
(2.17)
где θ – угол, на который поворачивается сечение балки и γ  – осредненная 
по толщине деформация сдвига. Тогда соотношения упругости в обозначениях настоящей статьи принимают вид:
M
E bh
Q
kbG
h w
x
xz
=
′
=
′ −
1
12
3θ
θ
,
(
) , 
(2.18)
где k – коэффициент, зависящий от формы сечения. В совокупности с уравнениями равновесия (2.6) получается система уравнений, решение которой 
формально совпадает с равенствами (2.8), соответствующим перемещениям (2.2). Однако в теории Тимошенко нет равенств (2.2). Соотношения (2.17) 
и (2.18), по существу, введены как гипотезы. В отличие от классической теории, в которой изгибающий момент пропорционален кривизне оси балки, в 
обсуждаемой теории он пропорционален производной от угла поворота сечения, причем выражение для изгибной жесткости балки не следует из теории 
и принимается таким же, как и в классической теории. Следует отметить, что 
теория Тимошенко, построенная для анализа колебаний балки, позволяет 
определить изгибающий момент, но не позволяет найти напряжение σх  и 
перемещение ux. Таким образом, теория Тимошенко не имеет непосредственного отношения к теории балок, основанной на перемещениях (2.2), которые 
были предложены позже H. Hencky [18] и L. Bolle [19].
Теория пластин, фактически основанная на поле перемещений (2.2), построена в работах E. Reissner [20] и L. Bolle [19] и для изотропной пластины 
сводится к следующей системе уравнений [8]:
D
p w
D
S
k
ΔΔ
Δ
Δ
ϕ
ϕ
ϕ
ψ
ψ
=
=
−
−
=
,
,
,
2
0
2
2
12 1
2
1
. 
(2.19)
D
Eh
S
Gh k
D
S
ν
ν
=
−
=
=
−
(
)
,
,
(
)
3
Здесь w
w
q
=
=
0
0
,
, функции ϕ  и ψ  являются проникающим и краевым 
потенциалами, через которые выражаются углы поворота элемента пластины: