Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, 2024, № 5

ИЗВЕСТИЯ
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
МЕХАНИКА 
ТВЕРДОГО ТЕЛА
№ 5    Сентябрь–Октябрь    2024
Журнал основан в январе 1966 года 
Выходит 6 раз в год
ISSN 1026-3519
Журнал издается под руководством
Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН
Главный редактор 
В.И. КАРЕВ
доктор технических наук
РЕДКОЛЛЕГИЯ:
Амелькин Н.И. д.ф.-м.н., доцент РАН; Альтенбах Х. (Германия) д.т.н., профессор; 
Буренин А.А. д.ф.-м.н., член-корр. РАН, профессор; 
Васильев В.В. д.т.н., академик РАН, профессор; 
Ватульян А.О. д.ф.-м.н., профессор; Ганиев Р.Ф. д.ф.-м.н., академик РАН, 
профессор; Георгиевский Д.В. д.ф.-м.н., профессор; Гдоутос Э. (Греция) Phd, 
иностранный член РАН, профессор; Гуткин М.Ю. д.ф.-м.н.; Гупта Н.К. (Индия) 
Phd, почетный доктор РАН, профессор; Доброхотов С. Ю. д.ф.-м.н., профессор; 
Журавлев В.Ф. д.ф.-м.н., академик РАН, профессор; дел-Изола Ф. (Италия) Phd, 
профессор; Климов Д.М. д.ф.-м.н., академик РАН,  профессор; 
Кукушкин С.А. д.ф.-м.н., профессор; Лисовенко Д.С. д.ф.-м.н., профессор РАН 
(ответственный секретарь редколлегии); Ломакин Е.В. д.ф.-м.н., член-корр. РАН, 
профессор; Лурье С.А. д.ф.-м.н., профессор; Мовчан А.А., д.ф.-м.н. профессор; 
Морозов Н.Ф. д.ф.-м.н., академик РАН, профессор; Мурашкин Е.В. к.ф.-м.н.; 
Назайкинский В.Е. д.ф.-м.н., член-корр. РАН, профессор; Назарова Л.А. д.ф.м.н.; 
Радаев Ю.Н. д.ф.-м.н., профессор; Ритчи Р. (США) Phd, иностранный член 
РАН, профессор; Романов А.Е. д.ф.-м.н., профессор; Солдатенков И.А. д.ф.-м.н., 
профессор; Устинов К.Б. д.ф.-м.н., доцент; Шешенин С.В. д.ф.-м.н., профессор 
Зав. редакцией Е. В. Лисовенко
Адрес: 119526, Москва, проспект Вернадского, д. 101, корп. 1
Телефон: 8-495-434-35-38
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Известия РАН. 
     Механика твердого тела” 
     (составитель), 2024

ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА          № 5,  2024
С О Д Е Р Ж А Н И Е
О взаимосвязи результатов аналитических решений задач теории упругости 
и оптимизации напряженного состояния в окрестности особых точек
А. Ю. Федоров, В. П. Матвеенко 
3
О нестационарных контактных задачах для анизотропных композитов 
в неклассических областях 
В. А. Бабешко, О. В. Евдокимова, С. Б. Уафа, В. С. Евдокимов, О. М. Бабешко 
18
О сборке горячей посадкой упруговязкопластического диска 
с некруговым включением
А. А. Буренин, А. В. Ткачева 
29
Эллиптический погранслой в оболочках вращения при ударных 
поверхностных воздействиях нормального типа
И. В. Кириллова 
48
Производство тепла за счет деформаций ползучести и пристеночного 
вязкопластического течения в материале пробки в круглой трубе  
под действием переменного перепада давления
Л. В. Ковтанюк, Г. Л. Панченко, Е. О. Попова 
60
Динамический изгиб балки
В. В. Саурин 
78
Электроупругость пьезоволоконного дискового актюатора
А. А. Паньков 
97
О влиянии неклассического диффузионного процесса на длительное  
разрушение составного растягиваемого стержня в процессе ползучести
Л. В. Фомин, А. А. Далинкевич, Ю. Г. Басалов 
122
Описание явления уменьшения пластичности с увеличением предела 
текучести поликристалла
В. Ю. Марина 
138
Применение неинкрементального подхода для осесимметричного 
расчета больших деформаций методом конечных элементов  
в тензорно-матричной форме
В. В. Чехов 
164

Ориентация зоны локализованной поврежденности в хрупком твердом  
теле при истинном трехосном сжатии
И. А. Пантелеев, Д. В. Ложкин, В. А. Ляховский 
187
Усталостная прочность при высокочастотном нагружении материалов, 
полученных методом селективного лазерного плавления
И. С. Никитин, Н. Г. Бураго, А. Д. Никитин, Б. А. Стратула 
210
Расслоение полосы, состоящей из двух одинаковых ортотропных полуполос 
с осями изотропии, симметрично наклоненными к границе раздела
К. Б. Устинов, Н. Л. Борисова 
235

ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 2024, 
№ 5,  с.  3–17
 
УДК 539.3
О ВЗАИМОСВЯЗИ РЕЗУЛЬТАТОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ 
РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ОПТИМИЗАЦИИ 
НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ 
ОСОБЫХ ТОЧЕК
© 2024 г. А. Ю. Федоровa,*, В. П. Матвеенкоa,**
aИнститут механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, Россия
*e-mail: fedorov@icmm.ru, **e-mail: mvp@icmm.ru
Поступила в редакцию 02.08.2024 г. 
После доработки 10.08.2024 г. 
Принята к публикации 12.08.2024 г.
В работе приводятся результаты двух направлений исследования напряженно-деформированного состояния в окрестности особых точек упругих тел, а именно: смены типа граничных условий; края поверхности 
контакта различных материалов. Результатом первого направления являются решения задач теории упругости в окрестности особых точек, из 
которых следует возможность бесконечных напряжений в этих точках. 
Второе направление связано с анализом численными и экспериментальными методами напряженного состояния в окрестности особых точек, которые, как правило, имеют место при моделировании реальных 
объектов и являются потенциальными зонами концентрации напряжений. Основным содержанием работы является установление на основе 
сопоставления результатов двух направлений взаимосвязи вариантов с 
минимальным уровнем напряжений в окрестности особых точек с результатами о характере сингулярности напряжений в этих точках.
Ключевые слова: упругость, сингулярность напряжений, концентрация 
напряжений, оптимизация геометрии, распределение напряжений на 
границе раздела
DOI: 10.31857/S1026351924050013, EDN: UBYNIB
1. Введение. Одним из результатов классической теории упругости является возможность существования сингулярных решений, связанных с появлением бесконечных значений напряжений в особых точках поверхности, где имеет место нарушение ее гладкости, происходит смена типа краевых условий, контактируют различные материалы, а также внутри тела, 
в точках нарушения условия гладкости поверхности контакта различных 
материалов. Примером теоретических обоснований появления сингулярных решений является работа [1], где было показано, что для уравнений 
линейной теории упругости в окрестности угловых точек имеет место решение вида

ФЕДОРОВ, МАТВЕЕНКО
 
~
,
1
1
n
n
n
n
K
f r O 
 
V ¦
 
,
при  
0
r o
 
Re
Re
Re
1
2
n
c 
O 
O


O

!
! (1.1)
или более сложное, с логарифмическими составляющими в случае кратных 
точек спектра On. Здесь r — расстояние до угловой точки, Kn — коэффициенты интенсивности напряжений; fn — функции углового распределения поля 
напряжения V в окрестности угловой точки, в плоском случае зависящие от 
одной полярной угловой переменной M при этом c = 0, в пространственном — 
от двух сферических координат M, 0 при c = 0.5. Из представления решения 
(1.1) следует, что если среди On имеется хотя бы одно, удовлетворяющее условию Re On < 1, то напряжения стремятся к бесконечности при r, стремящимся 
к нулю.
Изучением поведения напряжений в окрестностях особых точек занимаются многие исследователи. Для двумерных и трехмерных задач линейной 
теории упругости рассмотрены различные варианты особых точек. Достаточно полно результаты, достигнутые в этой области, представлены в обзорных 
работах [2–6].
Особые точки и связанные с ними сингулярные решения с одной стороны представляют теоретический интерес, а с другой стороны, они достаточно 
часто встречаются в расчетных схемах прикладных задач и их окрестности, 
как правило, являются зонами ярко выраженной концентрации напряжений. 
В настоящей работе представлен обзор результатов решения оптимизационных задач, связанных с поиском вариантов, обеспечивающих минимальный 
уровень концентрации напряжений в окрестности особых точек. Основным 
содержанием работы является установление взаимосвязи оптимальных решений в окрестности особых точек с характером сингулярности напряжений 
в этих точках.
2. Точка поверхности со сменой типа граничных условий. Примером задачи, 
в которой есть особые точки, где имеет место смена типа граничных условий, является представленный на рис. 1, a цилиндр, находящийся под действием массовых сил с неподвижной внешней поверхностью и свободной от 
нагрузок внутренней и торцевых поверхностями. Для данного цилиндра была 
решена задача поиска геометрии торцевых поверхностей, обеспечивающих 
минимальные напряжения в окрестности особой точки — пересечение торцевой и внешней поверхности [7]. Оптимизационные задачи решались при 
ограничениях, обеспечивающих поиск геометрии в пределах заданных размеров h, l. Результатом решения оптимизационных задач являются геометрии для соответствующих ограничений h, l. Общим свойством этих геометрий является угол сопряжения свободной торцевой и внешней неподвижной 
поверхностей — D. 
Аналогичная по постановке задача была рассмотрена в работах [8, 9], где 
для цилиндра, представленного на рис. 1, b, необходимо было найти геометрию боковой поверхности в окрестности точек, где имеет место смена типа 
граничных условий, при ограничениях h, l, за пределы которых не может 
выходить искомая геометрия. Были рассмотрены два варианта оптимизационной задачи. В первом — геометрия должна обеспечивать минимальную 

О ВЗАИМОСВЯЗИ РЕЗУЛЬТАТОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ
5
(а)
(b)
α
h
L
a
l
b
L
α
h
p
l
Рис. 1. Расчетные схемы для цилиндров, находящихся под действием массовых сил (a) и 
растягивающих усилий (b).
(b)
(а)
γ1
r
φ
γ
r
φ
γ2
Рис. 2. Однородный (a) и составной (b) плоские клинья в полярных координатах.
интенсивность касательных напряжений, во втором варианте — наименьшее 
отклонение отрывных напряжений на закрепленном торце от их среднего значения. Основным результатом решения оптимизационных задач является то, 
что все найденные геометрии для соответствующего значения коэффициента 
Пуассона материала имеют одинаковый угол сопряжения свободной от нагрузок и неподвижной поверхностей — D.
Для рассматриваемого типа особой точки вывод о наличии сингулярных решений может быть сделан на основе анализа собственных решений 
для клина (рис. 2, a), одна грань которого неподвижна, а вторая свободна от 
напряжений [10]:
 ,
i
i
i
r
r
u
r O
 
[
M
 .
i
i
i
u
r O
M
M
 
[
M

ФЕДОРОВ, МАТВЕЕНКО
γ
90
75
Re λi<1
60
Re λi>1
v
450
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Рис. 3. Области решений с сингулярностью и без сингулярности напряжений  
(угол J в градусах).
Здесь ur
i, uM
i — компоненты вектора перемещений в полярной системе координат; [r
i, [M
i — собственные функции; Oi — собственные значения.
При наличии среди собственных значений хотя бы одного, удовлетворяющего условию Re Oi < 1, напряжения в вершине клина принимают бесконечные значения. Для данного типа особой точки собственные значения Oi 
определяются значением угла раствора клина J и значением коэффициента 
Пуассона материала Q. На рис. 3 в области параметров J, Q приведена кривая, 
которая для первого собственного значения разделяет области решений с сингулярностью напряжений (Re Oi < 1) и решений без сингулярности напряжений (Re Oi  t 1).
Для рассматриваемого типа особой точки взаимосвязь сингулярных решений с геометриями, обеспечивающими минимальный уровень концентрации 
напряжений в окрестности особых точек, определяется следующим условием. Для оптимальных геометрий угол сопряжения свободной и неподвижной 
поверхностей вместе с коэффициентом Пуассона материала являются одной 
из точек на кривой (рис. 3), разделяющей решения с сингулярностью и без 
сингулярности напряжений.
Результат о взаимосвязи сингулярных решений и концентрации напряжений в окрестности особой точки в работе [11] получил экспериментальное 
подтверждение. Цилиндрические образцы из полиметилметакрилата марки 
СТ-1 (рис. 4, a) были испытаны при растяжении и консольном изгибе. Образцы имели выточки на боковой поверхности с разными углами сопряжения 
свободной боковой поверхности и стальной поверхностью, к которой приклеены образцы. Необходимо отметить, что модуль упругости стали почти на два 
порядка больше модуля упругости полиметилметакрилата, то есть в данном 
случае верхнюю поверхность цилиндрического образца можно рассматривать 
как неподвижную. На рис. 4, b представлены зависимости усилия отрыва от 
величины угла D. Результаты эксперимента демонстрируют, что максимальные усилия отрыва, которые можно полагать реализуются при минимальной 
концентрации напряжений, имеют место при угле D | 48q, который вместе со 
значением коэффициента Пуассона полиметилметакрилата (Q | 0.45) дает точку на кривой, разделяющей решения с сингулярностью и без сингулярности 
напряжений. 

О ВЗАИМОСВЯЗИ РЕЗУЛЬТАТОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ
7
(а)
(b)
1
40
α
σ
2
2
30
20
1
3
10
Pb
P
0
20
40
60
80
100
α
Pf
P
Рис. 4. Схема испытаний: 1 — стальной грибок, 2 — образец, 3 — нижний захват (a); зависимость прочности соединения V (в МПа) от угла стыка D (в градусах)  при нормальном 
отрыве (1) и при консольном изгибе (2) (b).
3. Край поверхности соединения различных материалов. В расчетных схемах 
прикладных задач теории упругости достаточно часто имеет место тип особой 
точки, представляющий край поверхности соединения различных материалов. Поведение напряжений в окрестности данной особой точки может быть 
проанализировано на основе анализа собственных решений для составного 
клина (рис. 2, b), боковые грани которого свободны от напряжений, а на поверхности соединения различных материалов выполняются условия идеального контакта [12]. Собственные значения, определяющие характер сингулярности напряжений в окрестности особой точки, зависят в данном случае от 
углов раствора J1, J2 частей составного клина, коэффициентов Пуассона Q1, Q2
и отношения модулей упругости E2/E1.
В работе [8] была рассмотрена задача для двухслойного цилиндра, находящегося под действием внутреннего давления (рис. 5). Решалась задача оптимизации, связанная с поиском геометрии торцевых поверхностей в окрестности особой точки — края поверхности соединения различных материалов — обеспечивающей минимальное значение интенсивности касательных 
напряжений в окрестности особой точки. Ограничения h, l1, l2 определяют 
допустимую область изменения геометрии. Результатом решения оптимизационных задач являются геометрии торцевых поверхностей для разных комбинаций механических характеристик материалов и ограничений h, l1, l2. Для 
каждой из комбинаций механических характеристик материалов найденные 
оптимальные геометрии имеют одинаковые углы сопряжения D1, D2 в особой точке свободных от нагрузок поверхностей и поверхности соединения 
материалов.

ФЕДОРОВ, МАТВЕЕНКО
z
p
r
α1
l1 l2
l
α2
h
Рис. 5. Расчетная схема двухслойного полого цилиндра.
Взаимосвязь полученных результатов с сингулярными решениями определяется следующим образом. Для составного клина для каждой из комбинаций значений Q1, Q2, E2/E1 в области параметров J1, J2 может быть построена 
кривая, разграничивающая области решений с сингулярностью и без сингулярности напряжений. Углы оптимальных поверхностей D1, D2 соответствуют 
точке на этой кривой.
На основе анализа решений для составного клина в работе [13] было экспериментально продемонстрировано, что комбинации значений углов и механических характеристик материалов, соответствующие несингулярному решению задачи о собственных значениях в вершине составного клина обеспечивают «малонапряженное состояние в окрестности края поверхности контакта 
составного тела». Аналогичные результаты устранения концентрации напряжений в окрестности края поверхности контакта соединения различных материалов на основе выбора геометрий, при которых отсутствуют сингулярные 
решения, приведены в работах [14–18]. Здесь следует выделить работу [14], 
где показано, что среди геометрий с углами из области решений без сингулярности напряжений наименьший уровень напряжений вдоль поверхности контакта разных материалов наблюдается для геометрии с углом, близким к критическому (разделяющим решения с сингулярностью напряжений и без нее).
В работе [19] на примере соединения двух трапецеидальных пластин из 
различных материалов (рис. 6) в результате решения оптимизационной задачи 
также было показано, что минимальный уровень напряжений на поверхности 
соединения материалов соответствует границе между решениями с сингулярностью и без сингулярности напряжений.
В работе [20] проанализирована неединственность значений углов, обеспечивающих оптимальный вариант. Был рассмотрен составной цилиндр, 
представленный на рис. 7, a. Рассматривалась задача поиска оптимальной 
формы боковой поверхности при использовании в качестве изменяемой части боковой поверхности дуг окружности. В качестве критериев оптимизации 
использовались значения интенсивности напряжений в одной из составных 
частей цилиндрического тела, либо условие, обеспечивающее наименьшее отклонение напряжений по поверхности соединения от их среднего значения 
на этой поверхности. В одном из рассмотренных вариантов были следующие 

О ВЗАИМОСВЯЗИ РЕЗУЛЬТАТОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ
9
α1
α2
Рис. 6. Соединение двух трапецеидальных пластин.
(а)
(b)
Р
γ2
I
85
III
Re λi< 1
80
α1
75
IV
α2
70
Re λi> 1
65
II
60
60
65
70
75
80
85
γ1
Р
Рис. 7. Расчетная схема для составного цилиндра (a); кривая, разделяющие решения 
с сингулярностью и без сингулярности в плоскости параметров J1 и J2 (для Q1=Q2=0.3, 
E2/E1=10) (b).
значения упругих постоянных: Q1=Q2=0.3, E2/E1=10. На рис. 7, b для этого 
варианта представлена кривая, разделяющая в области значений J1, J2 решения с сингулярностью и без сингулярности напряжений.
Рассмотрены различные варианты оптимизационных задач. Сначала оптимизацию геометрии провели только для верхней, менее жесткой, части 
составного цилиндра. Для рассмотренных критериев оптимизации была получена одна оптимальная геометрия с углом J1=64.05q (точка I на рис. 7, b). 
Другая серия расчетов была выполнена, когда оптимизировалась геометрия нижней, более жесткой, части составного цилиндра. В этом случае параметры оптимальных решений определяют точку II на рис. 7, b. В следующей серии расчетов оптимизируется геометрия боковых поверхностей 
верхней и нижней частей составного цилиндра. В этой серии использовались три варианта критериев оптимизации. В первом варианте рассмотрено