Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, 2024, № 4

ИЗВЕСТИЯ
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
МЕХАНИКА 
ТВЕРДОГО ТЕЛА
№ 4    Июль–Август    2024
Журнал основан в январе 1966 года 
Выходит 6 раз в год
ISSN 1026-3519
Журнал издается под руководством
Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН
Главный редактор 
В.И. КАРЕВ
доктор технических наук
РЕДКОЛЛЕГИЯ:
Амелькин Н.И. д.ф.-м.н., доцент РАН; Альтенбах Х. (Германия) д.т.н., профессор; 
Бербенни С. (Франция) Phd, профессор; Буренин А.А. д.ф.-м.н., член-корр. РАН, 
профессор; Васильев В.В. д.т.н., академик РАН, профессор; 
Ватульян А.О. д.ф.-м.н., профессор; Ганиев Р.Ф. д.ф.-м.н., академик РАН, 
профессор; Георгиевский Д.В. д.ф.-м.н., профессор; Гдоутос Э. (Греция) Phd, 
иностранный член РАН, профессор; Гуткин М.Ю. д.ф.-м.н.; Гупта Н.К. (Индия) 
Phd, почетный доктор РАН, профессор; Доброхотов С. Ю. д.ф.-м.н., профессор; 
Журавлев В.Ф. д.ф.-м.н., академик РАН, профессор; дел-Изола Ф. (Италия) Phd, 
профессор; Климов Д.М. д.ф.-м.н., академик РАН,  профессор; 
Кукушкин С.А. д.ф.-м.н., профессор; Лисовенко Д.С. д.ф.-м.н., профессор РАН 
(ответственный секретарь редколлегии); Ломакин Е.В. д.ф.-м.н., член-корр. РАН, 
профессор; Лурье С.А. д.ф.-м.н., профессор; Мовчан А.А., д.ф.-м.н. профессор; 
Морозов Н.Ф. д.ф.-м.н., академик РАН, профессор; Мурашкин Е.В. к.ф.-м.н.; 
Назайкинский В.Е. д.ф.-м.н., член-корр. РАН, профессор; Назарова Л.А. д.ф.м.н.; 
Радаев Ю.Н. д.ф.-м.н., профессор; Ритчи Р. (США) Phd, иностранный член 
РАН, профессор; Романов А.Е. д.ф.-м.н., профессор; Солдатенков И.А. д.ф.-м.н., 
профессор; Устинов К.Б. д.ф.-м.н., доцент; Шешенин С.В. д.ф.-м.н., профессор 
Зав. редакцией Е. В. Лисовенко
Адрес: 119526, Москва, проспект Вернадского, д. 101, корп. 1
Телефон: 8-495-434-35-38
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Известия РАН. 
     Механика твердого тела” 
     (составитель), 2024

ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА          № 4,  2024
С О Д Е Р Ж А Н И Е
Нелокальные решения задач теории упругости о нагружении  
неограниченного пространства сосредоточенными силами
В. В. Васильев, C. А. Лурье, В. А. Салов 
3
Прецессионные движения гиростата, имеющего неподвижную точку,  
в трех однородных силовых полях 
Г. В. Горр 
15
Характерные определяющие числа в полуизотропной связанной  
термоупругости
Е. В. Мурашкин, Ю. Н. Радаев 
36
Идентификация кэп-модели упругопластичности некомпактных сред  
в условиях сжимающего среднего напряжения
А. А. Адамов, И. Э. Келлер, С. Г. Жилин, Н. А. Богданова 
55
О Максвелловом представлении гравитационного потенциала  
симметричного тела
Е. А. Никонова 
76
Релаксационные процессы вблизи поверхности ударного нагружения  
импульсным электронным пучком
В. А. Морозов, В. С. Иванов, В. М. Кац 
90
О вынужденных колебаниях двойного математического маятника
А. Г. Петров 
103
Моделирование влияния поверхностной пленки на термоупругую  
неустойчивость при трении композитных тормозных дисков
А. Г. Шпенев 
118
Кинематический анализ нового пятиподвижного робота  
параллельной структуры типа “Дельта”
А. В. Антонов, П. А. Ларюшкин, А. С. Фомин 
135
T-напряжения в ортотропной полосе с центральной полубесконечной  
трещиной нагруженной вдали от вершины трещины
К. Б. Устинов 
150

Масштабный эффект при моделировании механических процессов  
в окрестности скважины на установке истинно трехосного нагружения
В. И. Карев, Ю. Ф. Коваленко 
166
О максимуме первой резонансной частоты для неоднородных упругих тел
А. О. Ватульян, В. О. Юров 
180
О неполупростом вырождении волн Лэмба
А. И. Каракозова, С. В. Кузнецов 
193
Экспериментальное исследование свойств метаматериалов  
на основе PLA пластика при пробивании жестким ударником
 С. Ю. Иванова, К. Ю. Осипенко, Н. В. Баничук, Д. С. Лисовенко 
207

ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 2024, 
№ 4,  с.  3–14
 
УДК 539.3
НЕЛОКАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 
О НАГРУЖЕНИИ НЕОГРАНИЧЕННОГО ПРОСТРАНСТВА 
СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ СИЛАМИ
© 2024 г. В. В. Васильевa, *, C. А. Лурьеb, **, В. А. Саловa, ***
aЦентральный НИИ специального машиностроения, Хотьково, Россия
bИнститут прикладной механики РАН, Москва, Россия
*e-mail: vvvas@dol.ru, **e-mail: salurie@mail.ru,  
***email: snegiricentral@yandex.ru
Поступила в редакцию 26.12.2023 г. 
После доработки 16.01.2024 г. 
Принята к публикации 17.01.2024 г.
В статье рассматриваются две классические задачи теории упругости. Первой из них является задача Кельвина о неограниченном пространстве, в котором действует сосредоточенная сила. Классическое 
решения является сингулярным и определяет бесконечно большое перемещение точки приложения силы, что не имеет физического смысла. Для 
получения физически обусловленного решения используется аппарат 
нелокальной теории упругости, основанной в отличие от классической 
теории на рассмотрении элемента среды, обладающего малыми, но конечными размерами, и позволяющей получать регулярные решения традиционных сингулярных задач. Уравнения нелокальной теории включают дополнительную экспериментальную константу, которая имеет 
размерность длины и не может быть определена для пространственной 
задачи. В связи с этим рассматривается вторая задача о неограниченной 
плоскости, растягиваемой двумя сосредоточенными силами, лежащими 
на одной прямой и направленными в противоположные стороны. Классическое решение этой задачи также является сингулярным и определяет 
бесконечно большое увеличение расстояния между силами независимо 
от их величины. Получено решение этой задачи в рамках нелокальной 
теории упругости, определяющее регулярную зависимость этого расстояния от величины нагрузки. Решение также включает дополнительную 
константу, которая для плоской задачи определяется экспериментально.
Ключевые слова: теория упругости, задача Кельвина, сингулярное решение
DOI: 10.31857/S1026351924040014, EDN: UDUGVE
1. Введение. В статье получены регулярные решения классических 
сингулярных задач теории упругости о напряженно-деформированном 
состоянии тел, испытывающих сосредоточенные силовые воздействия. 

ВАСИЛЬЕВ и др.
Применительно к теории упругости сингулярные функции можно разделить на две категории. К первой относятся функции, не наблюдаемые в эксперименте и сингулярные по определению. К таким функциям относится, 
в частности, напряжение, которое является отношением равнодействующей 
силы к площади области, на которую она действует. Если сила является сосредоточенной, площадь этой области стремится к нулю, а напряжение стремится к бесконечности, то есть оказывается сингулярным. Устранить такую 
сингулярность не представляется возможным, так как она вводится по определению. Ко второй категории относятся функции, которые наблюдаются 
в эксперименте. Такой функцией является, в частности, перемещение, которое может быть измерено в процессе эксперимента. Поскольку бесконечно 
больших перемещений в эксперименте не наблюдается, решения задач теории упругости, приводящие к бесконечно большим перемещениям, представляются не имеющими физического смысла и сингулярность таких решений 
необходимо устранить. 
Для получения регулярных решений классических сингулярных задач теории упругости в настоящей работе используется аппарат нелокальной теории 
упругости [1–3], уравнения которой получаются в результате анализа элемента среды, имеющего малые, но конечные размеры. В результате уравнения 
Ламе сохраняют традиционную форму:
 
(
)
,
div
0
U
U
P'
 P  O ’
 
  
(1.1)
однако включают нелокальную функцию вектора перемещений U, которая 
связана с вектором наблюдаемых перемещений уравнением Гельмгольца:
 
.
2
u
s
u
U

'
 
  
(1.2)
В правой части уравнений (1.2) стоит решение уравнений (1.1). Если 
это решение сингулярно, то частное решение уравнений (1.2) также сингулярно. Однако однородные уравнения, соответствующие уравнениям (1.2), 
имеют фундаментальные решения, которые позволяют устранить сингулярность частного решения и получить регулярное решение для перемещений. 
Константа s в уравнениях (1.2) связана с размером элемента, для которого 
получены уравнения (1.1). Она имеет размерность длины и определяется 
экспериментально.
2. Задача Кельвина. Рассмотрим неограниченную упругую среду, отнесенную к декартовым координатам x1, x2, x3. Предположим, что в начале координат приложена единичная сила, направленная вдоль одной из осей. Решение 
уравнений (1.1) определяется тензором функций Грина, имеющим следующий вид [4]:
2
2
2
2
1
2
3
1
1
4
4 1
 
,
.
(
)
ik
ik
i
k
r
U
r
x
x
x
r
x x
§
·
G
w
 

 


¨
¸
¨
¸
SP
 Q w w
©
¹
 
(2.1)
Здесь Uik – перемещение в направлении оси xk, вызванное единичной силой, 
направленной вдоль оси xi. Из равенства (2.1) следует, что при r  o  0 перемещение неограниченно возрастает, что не имеет физического смысла. 

 
НЕЛОКАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ... 
5
В рамках нелокальной теории решение (2.1) следует подставить в правую 
часть уравнения (1.2). В результате получим:
 
.
2
ik
ik
ik
u
s
u
U

'
 
 
(2.2)
Решение этого уравнения можно представить в форме:
 
,
(
)
2
1
1
4
4 1
ik
ik
i
k
u
x x
§
·
w \
 
G M 
¨
¸
¨
¸
SP
 Q w w
©
¹
 
(2.3)
где функции M и \ удовлетворяют уравнениям Гельмгольца:
 
,
.
2
2
1
s
s
r
r
M 
'M  
\ 
'\  
 
 (2.4)
Действительно, действуя на равенство (2.3) оператором L(·) = (1  s2')(·) и 
учитывая уравнения (2.4), придем к уравнению (2.2). Найдем частные решения уравнений (2.4). Учитывая, что функция 1/r (x1, x2, x3) является гармонической, а функция r (x1, x2, x3) – бигармонической, имеем:
 
,
.
2
1
2
p
p
s
r
r
r
M
 
\
 

Отсюда следует, что частные решения, как и классическое решение (2.1), 
являются сингулярными. Фундаментальное решение однородного уравнения 
Гельмгольца, затухающее при r  o  f, имеет вид [5]:

M
\
 
 
/
(
.
,
)
0
0
1
r s
e
r
Таким образом, окончательно получим следующие решения уравнений 
(2.4):


M  

\  


 
(2.5)
 




/
/
,
.
2
1
2
1
1
r s
r s
s
e
r
e
r
r
В результате нелокальное решение задачи Кельвина, определяющее перемещения точек пространства при действии сосредоточенной силы, приложенной в начале координат, принимает вид:
 
(
)
(
)
.
(
)
2
2
1
1
2
1
1
4
4 1
r s
r s
ik
ik
i
k
s
u
e
r
e
r
x x
r


ª
º
§
·
G
w
 




«
»
¨
¸
SP
 Q w w
©
¹
¬
¼
  (2.6)
Представляя функции (2.5) абсолютно сходящимися степенными рядами 
по параметру r/s
n
n
n
n
2
f
f

r s
r s
s
s
n
n
1
1
1
2
1
1
3
 
(
) ( / )
(
) ( / )
,
,
(
)!
(
)!
n
n
0
0
 
 
§
·


M  
\  

¨
¸
¨
¸


©
¹
¦
¦
можно записать решение (2.6) в форме:

ВАСИЛЬЕВ и др.
f
x x
r
u
s
n
s
n
rs n
n
2 1
1
1
8
1
3
2
4
 Q G

ª
º
§
·
 

¨
¸ «
»
S P
 Q



©
¹ ¬
¼
¦
 
(
)
(
)
.
(
)
!
(
)(
)
0
n
n
ik
i
k
ik
n
 
При действии силы P в начале координат получим:
 
( )
.
0
12
ik
ik
P
u
s
G
 
S P
 
 (2.7)
При s  > 0 это выражение определяет конечную величину перемещения. 
Параметр s определяется экспериментально. Для этого следует экспериментально найти перемещение точки приложения силы P и воспользоваться формулой (2.7). Однако постановка такого эксперимента технически невозможна. В связи с этим ниже рассматривается более реалистичная плоская задача 
о действии двух расположенных на одной прямой, но направленных в разные 
стороны сил.
3. Неограниченная пластина под действием сосредоточенных сил. Рассмотрим задачу, показанную на рис. 1.
В двух точках неограниченной пластины действуют две коллинеарные и 
направленные в разные стороны одинаковые силы. Необходимо найти зависимость расстояния между точками от силы. Решение задачи классической 
теории упругости о действии на неограниченную пластину силы P, приложенной в начале координат в направлении оси x, получается с помощью представления Папковича–Нейбера и имеет вид:
 
)
.
(
,
,
(
)
2
2
2
1
4 1
rf
U
f
r
ix
jy
r
x
y
h
’
ª
º
 

 

 

«
»
P
 Q
¬
¼
  
(3.1)
Здесь U – вектор перемещения, h – толщина пластины и f – фундаментальное 
решение уравнения Лапласа (функция точечного источника). Для нелокального перемещения и силы, направленных по оси x, решение (3.1) принимает 
вид:
 
( ln )
ln
.
(
)
1
2
4 1
x
P
U
x
r
r
h
x
w
§
·
 

¨
¸
SP
 Q w
©
¹
 
(3.2)
Дифференцируя, получим:
Рис. 1. Неограниченная пластина, нагруженная двумя силами.

 
НЕЛОКАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ... 
7
 
(
)ln
.
(
)
2
3
4
8
1
x
P
x
U
r
h
r
ª
º
 

 Q
«
»
SP
 Q ¬
¼
 
(3.3)
Рассмотрим задачу, показанную на рис. 1. Для того чтобы найти перемещения от силы P, приложенной в точке A с координатой x = l, в равенстве (3.2) 
следует заменить x на (x  l) и принять r 
2 = (x  l)2 + y2. Соответственно, для 
определения перемещений от силы P, приложенной в точке B с координатой 
x = l, необходимо заменить x на x + l и принять r 
2 = (x + l)2 + y2. В результате 
получим:
2
2
2
2
2
3
4
8
1
A B
x
P
x
l
U
x
l
y
h
x
l
y
 
,
(
)
(
)ln
(
)
.
(
)
(
)
B
B
B
 
(3.4)
r
ª
º
 

 Q

«
»
SP
 Q

«
»
¬
¼
При действии двух сил в точках A и B (рис. 1) поле перемещений принимает вид:
 

 
AB
A
B
x
x
x
U
U
U
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
8
1
P
x
l
x
l
x
l
y
h
x
l
y
x
l
y
x
l
y
(
)
(
)
(
)
(
)ln
.
(
)
(
)
(
)
(
)
ª
º




«
»
 


 Q
SP
 Q «
»






¬
¼
 (3.5)
При y = 0 отсюда следует перемещения точек, лежащих на оси x:
2
0
8
1
 
(
)
ln
.
(
)
AB
x
P
x
l
U
y
h
x
l

§
·
 
 
¨
¸
SP
 Q

©
¹
 
(3.6)
При x  = 0 имеем Ux
AB = 0, что соответствует условию симметрии задачи 
(рис. 1), при x  = ±l, то есть в точках A и B, решение (3.6) является сингулярным. Перемещения оказываются бесконечно большими, что не имеет физического смысла. Зависимость относительного перемещения 
 
(
)
(
)
(
) /
0
8
1
0
AB
AB
x
x
U
y
h
U
y
P
 
 
SP
 Q
 
от относительной координаты x/l, построенная по формуле (3.6), показана 
на рис. 2.
Получим нелокальное решение рассматриваемой задачи. Преобразуем равенство (3.2), используя следующее тождество:
 
ln
,
ln
.
2
1
2
2
r
x
r
r
x
wM
§
·
 
M  

¨
¸
w
©
¹
В результате получим:
2
 
ln
.
(
)
2
1
2
4 1
x
P
U
r
h
x
§
·
w M
 

¨
¸
¨
¸
SP
 Q w
©
¹
 
(3.7)
Существенно, что в этом равенстве ln r является гармонической функцией, 
а функция M – бигармонической.

ВАСИЛЬЕВ и др.
Рис. 2. Зависимость относительного перемещения от x/l.
Перемещения точки приложения силы определяется решением уравнения 
Гельмгольца (1.2), в правой части которого стоит классическое решение (3.7), 
то есть
 
ln
.
(
)
2
2
2
1
2
4 1
x
x
P
u
s
u
r
h
x
§
·
w M

'
 

¨
¸
¨
¸
SP
 Q w
©
¹
 
 (3.8)
Общее решение однородного уравнения Гельмгольца [5]:
 
( / )
( / )
0
1 0
2
0
x
u
C I
r s
C K
r s
 

 
(3.9)
выражается через модифицированные функции Бесселя [6]:
f
f
2
2
n
n
2
2
2
 
 

¦
¦
r
s
r
s
I
r s
K
r s
r
s
t
n
n


>
@
( /
)
( /
)
/
,
( / )
ln( /
)
,
( !)
( !)
0
0
2
2
0
0
 
 
n
n
n
n
1
.
 
 J
 
¦
 
(3.10)
t
m
1
n
m
 
Здесь J = 0.5772 – постоянная Эйлера и t0 = J, t1 = 1  J ... . Из соотношений 
(3.10) следует, что функция I0 расходится при r  o  f, поэтому в решении (3.9) 
следует принять C1 = 0. Функция K0 имеет логарифмическую особенность при 
r  = 0, и это ее свойство можно использовать для устранения аналогичной сингулярности частного решения уравнения (3.8). Рассмотрим уравнение:

 
НЕЛОКАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ... 
9
 
( )
( )
ln .
1
2
1
x
x
u
s
u
r

'
 
Функция ln r является гармонической (для плоской задачи), и частное решение этого уравнения имеет вид ux
(1) = ln r. Рассмотрим второе уравнение, 
следующее из уравнения (3.8):
 
( )
( )
ln
.
2
2
2
2
1
2
2
x
x
r
u
s
u
r
§
·

'
 

¨
¸
©
¹
Правая часть этого уравнения является бигармонической функцией. 
Частное решение этого уравнения состоит из гармонической и бигармонической функций и имеет вид:
 
( )
ln
ln
.
2
2
2
1
1
2
2
2
2
x
r
u
r
s
r
§
·
§
·
 



¨
¸
¨
¸
©
¹
©
¹
Таким образом, частные решения уравнения (3.8) имеют сингулярности 
логарифмического типа, которые могут быть устранены фундаментальным 
решением (3.9) при соответствующем выборе постоянной C2. Окончательно 
получим:
 
ln
ln
( / )
ln
( / ) .
(
)
2
2
2
0
0
2
1
1
1
2
2
4 1
2
2
2
x
P
r
u
r
s
r
K
r s
r
K
r s
h
x
-
½
ª
º
w
°
°
§
·
§
·
 






®
«
»
¾
¨
¸
¨
¸
SP
 Q w
©
¹
©
¹
°
°
¬
¼
¯
¿
Выполняя дифференцирование, найдем:
2
2
2
 
>
@
( / )
(
) ln
( /
.
(
)
2
0
2
2
2
2
1
2
3
4
8
1
x
P
x
x
s
u
K
r s
r
K
r s
h
r
r
r
-
½
§
·ª
º
°
°
 




 Q

¨
¸
®
«
»
¾
¨
¸
SP
 Q °
°
©
¹¬
¼
¯
¿
При действии сил, приложенных в точках A или B (рис. 1), по аналогии 
с равенством (3.4) имеем:
2
2
B
B
º
«
2
2
2
2
2
1
8
1
A B
x
P
x
l
x
l
u
h
x
l
y
x
l
y
,
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
B
B
»
¬
¼
2
1
ª
-
r
°
 
u


®
SP
 Q


°
¯
ª
º
§
·
u
2
2
2
2
2
2
 
s
K
x
l
y
s
x
l
y
(
)
(
)
¹
B
B



«
»
¨
¸

©
¬
¼
 
(
) ln
(
)
(
)
.
2
2
2
2
0
1
3
4
x
l
y
K
x
l
y
s
½
ª
º

 Q



¾
«
»
¬
¼¿
B
B
Соответственно, при одновременном действии сил в точках A и B получим:
 
2
2
2
2
0
2
2
1
3
4
8
1
AB
A
B
x
x
x
P
x
l
y
u
u
u
K
x
l
y
h
s
x
l
y
(
)
(
) ln
(
)
(
)
(
)
-
ª
°


§
·
 

 

«
 Q



®
¨
¸
SP
 Q


«
©
¹
°
¬
¯