Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, 2024, № 3

ИЗВЕСТИЯ
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
МЕХАНИКА 
ТВЕРДОГО ТЕЛА
№ 3    Май–Июнь    2024
Журнал основан в январе 1966 года 
Выходит 6 раз в год
ISSN 1026-3519
Журнал издается под руководством
Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН
Главный редактор 
В.И. КАРЕВ
доктор технических наук
РЕДКОЛЛЕГИЯ:
Амелькин Н.И. д.ф.-м.н., доцент РАН; Альтенбах Х. (Германия) д.т.н., профессор; 
Бербенни С. (Франция) Phd, профессор; Буренин А.А. д.ф.-м.н., член-корр. РАН, 
профессор; Васильев В.В. д.т.н., академик РАН, профессор; 
Ватульян А.О. д.ф.-м.н., профессор; Ганиев Р.Ф. д.ф.-м.н., академик РАН, 
профессор; Георгиевский Д.В. д.ф.-м.н., профессор; Гдоутос Э. (Греция) Phd, 
иностранный член РАН, профессор; Гуткин М.Ю. д.ф.-м.н.; Гупта Н.К. (Индия) 
Phd, почетный доктор РАН, профессор; Доброхотов С. Ю. д.ф.-м.н., профессор; 
Журавлев В.Ф. д.ф.-м.н., академик РАН, профессор; дел-Изола Ф. (Италия) Phd, 
профессор; Климов Д.М. д.ф.-м.н., академик РАН,  профессор; 
Кукушкин С.А. д.ф.-м.н., профессор; Лисовенко Д.С. д.ф.-м.н., профессор РАН 
(ответственный секретарь редколлегии); Ломакин Е.В. д.ф.-м.н., член-корр. РАН, 
профессор; Лурье С.А. д.ф.-м.н., профессор; Мовчан А.А., д.ф.-м.н. профессор; 
Морозов Н.Ф. д.ф.-м.н., академик РАН, профессор; Мурашкин Е.В. к.ф.-м.н.; 
Назайкинский В.Е. д.ф.-м.н., член-корр. РАН, профессор; Назарова Л.А. д.ф.м.н.; 
Радаев Ю.Н. д.ф.-м.н., профессор; Ритчи Р. (США) Phd, иностранный член 
РАН, профессор; Романов А.Е. д.ф.-м.н., профессор; Солдатенков И.А. д.ф.-м.н., 
профессор; Устинов К.Б. д.ф.-м.н., доцент; Шешенин С.В. д.ф.-м.н., профессор 
Зав. редакцией Е. В. Лисовенко
Адрес: 119526, Москва, проспект Вернадского, д. 101, корп. 1
Телефон: 8-495-434-35-38
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Известия РАН. 
     Механика твердого тела” 
     (составитель), 2024

ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА          № 3,  2024
С О Д Е Р Ж А Н И Е
Тензорно нелинейные вязкоупругие модели максвелловского типа: 
виброползучесть и ретчеттинг
Д. В. Георгиевский 
3
К определению двумерного закона изменения плотности 
в функционально-градиентной упругой пластине
В. В. Дударев, Р. М. Мнухин 
12
Упруго-пластический анализ круговой трубы, вывернутой наизнанку
Г. М. Севастьянов 
34
Анализ конструктивной безопасности сооружений при учете процессов 
прогрессирующего разрушения
Ж. Ы. Маматов, А. А. Абдыкалыков, Н. У. Шамшиев 
51
О собственных движениях плоской конструкции типа Коссера
Г. Л. Бровко, В. В. Кожухов, Е. Д. Мартынова 
67
Факторы устойчивости скважин в коллекторах подземных 
хранилищ газа
Д. М. Климов, В. И. Карев, Ю. Ф. Коваленко, К.Б. Устинов 
85
О критерии прочности соединения пластин внахлест
В. В. Глаголев, А. И. Лутхов 
101
Резонансные вращения динамически симметричного спутника 
с шаровым демпфером на круговой орбите
Н. И. Амелькин 
112
Движение изменяемого тела в силовом поле, зависящем от времени
А. А. Буров, В. И. Никонов 
136
Теорема о дополнительной энергии для закритически деформируемых 
тонких композитных пластин
С. В. Селюгин 
148
Моделирование скольжения системы неровностей по границе 
вязкоупругого полупространства с покрытием
Ф. И. Степанов, Е. В. Торская 
164

Клетки и фигуры Ная для атермических гемитропных, изотропных и 
ультраизотропных микрополярных упругих тел
Е. Ю. Крылова, Е. В. Мурашкин, Ю. Н. Радаев 
183
Отрицательная ползучесть монокристаллов никелевых 
жаропрочных сплавов
 А. И. Епишин, Д. С. Лисовенко 
199

ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 2024, 
№ 3,  с.  3–11
 
УДК 539.3
ТЕНЗОРНО НЕЛИНЕЙНЫЕ ВЯЗКОУПРУГИЕ МОДЕЛИ 
МАКСВЕЛЛОВСКОГО ТИПА: ВИБРОПОЛЗУЧЕСТЬ 
И РЕТЧЕТТИНГ
© 2024 г. Д. В. Георгиевскийa, b, c,*
aМосковский государственный унив 
ерситет им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия
bИнститут проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, Россия
cМосковский центр фундаментальной и прикладной математики, Москва, Россия
*e-mail: georgiev@mech.math.msu.su
Поступила в редакцию 18.10.2023 г.
После доработки 27.10.2023 г.
Принята к публикации 30.10.2023 г.
Некоторые эффекты напряженно-деформированного состояния, такие 
как виброползучесть, ускорение ползучести и ретчеттинг, наблюдаемые 
и изучаемые в экспериментальной механике деформируемого твердого 
тела, предлагается моделировать на основе определяющих соотношений, реализуемых в тензорно нелинейных вязкоупругих моделях максвелловского типа. Привлекается аппарат изотропных тензор-функций, 
зависящих от двух симметричных тензорных аргументов. Приводятся 
примеры сложного напряженного состояния в трубчатом образце, когда 
имеет место существенный непропорциональный рост во времени осевой компоненты деформации при совместном действии постоянной 
осевой и колебательной сдвиговой нагрузок по сравнению со случаем 
действия только осевой нагрузки. Вводятся понятия обобщенного и 
комбинированного ретчеттинга в условиях сложного напряженного состояния.
Ключевые слова: изотропная тензор-функция, инвариант, материальная 
функция, вязкоупругость, среда максвелловского типа, виброползучесть, ретчеттинг
DOI: 10.31857/S1026351924030017, EDN: UIKYFM 
1. Определяющие соотношения в виде изотропных функций двух тензорных аргументов. В линейной теории вязкоупругости известны две базовые 
одномерные модели, состоящие из различным образом соединенных друг 
с другом элементарных упругого и вязкого элементов, – модели Фойгта 
и Максвелла. В дифференциальных определяющих соотношениях модели 
Фойгта напряжение является линейной комбинацией деформации, в силу 
структуры модели совпадающей у двух элементов, и скорости деформации. В модели Максвелла скорость деформации есть линейная комбинация напряжения, совпадающего в упругом и вязком звеньях, и скорости 
напряжения.

ГЕОРГИЕВСКИЙ
В трехмерной изотропной теории вязкоупругости [1] говорят о средах 
фойгтовского типа, если в их дифференциальных определяющих соотношениях тензор напряжений V является некоторой изотропной, вообще говоря, 
нелинейной функцией двух тензорных аргументов – тензоров деформации H и 
скоростей деформаций  .
H. Соответственно дифференциальные определяющие 
соотношения сред максвелловского типа связывают в виде изотропной нелинейной функции тензор скоростей деформаций  .
H с тензорами напряжений V и 
скоростей напряжений  .
V. Естественно, предполагается, что в каждый момент 
времени тензоры V и  .
V локально независимы.
Известно [2, 3], что в трехмерном пространстве наиболее общее представление изотропной тензор-функции двух аргументов, связывающей симметричный тензор второго ранга (в данном случае  .
H) с двумя симметричными 
тензорами второго ранга (V и  .
V), следующее:
=
(
)
K
K
K
K
K
K
H

V 
V 
V 
V 
V˜V  V˜V 
I





2
2
0
1
2
3
4
5
 
K
K
K
(
)
(
)
(
),

V ˜V  V˜V

V˜V  V ˜V 
V ˜V  V ˜V






 
(1.1)
2
2
2
2
2
2
2
2
6
7
8
где I – единичный тензор второго ранга, а девять скалярных материальных функций K0, ..., K8 зависят от десяти функционально независимых 
инвариантов:
 
2
2
3
3
1
2
1
3
4
5
= tr ,
=
= tr ,
=
tr
,
=
tr
,
=
tr
,
I
I
I
I
I
I
V
V
V
V
V



 
3
2
3
3
6
7
8
=
tr
,
=
tr(
),
=
tr(
),
I
I
I
V
V˜V
V ˜V



 
2
2
2
3
4
9
10
=
tr(
),
=
tr(
),
I
I
V˜V
V ˜V


 
(1.2)
среди которых последние четыре совместные. Точка над тензором означает 
его инвариантную, или объективную, производную по времени, такую что 
соотношение (1.1) остается инвариантным относительно вращений. Такой 
производной является, например, вращательная производная Яуманна, часто 
используемая в гидродинамике неньютоновских жидкостей [4, 5]:
 
=
,
t
wV
V

˜’V  V˜Z Z˜V
w
v

 
(1.3)
где v – вектор скорости, Z – тензор вихря. Однако в отличие от гидромеханических приложений будем рассматривать деформирование вязкоупругой 
среды, в котором скорости и все компоненты градиента скоростей настолько 
малы, что нелинейными слагаемыми в (1.3) можно пренебречь по сравнению 
с частной производной по времени.
Представления функций двух тензорных аргументов, сходные по структуре 
с (1.1), (1.2), неоднократно использовались в задачах и приложениях механики деформируемого твердого тела при моделировании различных проявлений 
тензорной нелинейности в поведении сплошных сред под нагрузкой [6–9].
Остановимся на весьма частном виде тензор-функции (1.1), позволяющем тем не менее качественно отразить некоторые эффекты 

 
ТЕНЗОРНО НЕЛИНЕЙНЫЕ ВЯЗКОУПРУГИЕ МОДЕЛИ... 
5
на 
пря 
женно-деформированного состояния (НДС), о которых пойдет речь 
ниже. Пусть в (1.1) 
W

{
{
{
 
(1.4)
1
1
,
=
,
,
,
,
I
I
K
I I
K
K
K
k
k
k
k
k
  


1
2
0
1
2
1
2
7
3
01
02
1
2
7
где k01, k02, k1, k2, k7 и W – постоянные коэффициенты (материальные константы), характеризующие выбранную вязкоупругую среду, причем k01 и k1 имеют 
размерность динамической вязкости, k02, k2 и k7 – модулей упругости, а W – 
времени. Остальные помимо (1.4) материальные функции Ki в (1.1) положим 
тождественно нулевыми. Тогда определяющее соотношение (1.1) запишется 
следующим образом:
 




lin
nl
=
,
,
H
H
V V  H
V V




 , 
(1.5)
§
·
V
V
W
H



H
V˜V  V ˜V
¨
¸
©
¹
I





, 
(1.6)
 


2
2
1
2
lin
nl
3
01
02
1
2
7
=
,
=
I
I
k
k
k
k
k
где 
lin( , )
H
V V

  – физически линейный дифференциальный оператор, соответствующий трехмерной линейной модели Максвелла, а 
nl( , )
H
V V

  – тензорно 
нелинейная составляющая скоростей деформаций, характеризуемая модулем 
k7 и временем релаксации W. Заметим, что и оператор 
nl
H

 в (1.6), и вся сумма 
(1.5) формально тензорно линейны по первому аргументу V при любом втором аргументе  .
V.
Разлагая тензоры  .
H, V и  .
V на девиаторные и шаровые составляющие
 
1
2
1
1
1
=
,
=
,
,
3
3
3
I
I
H

T
V

V  
e
I
s
I
s
I




 
(1.7)
соотношения (1.5), (1.6) можно представить в виде:
3
1
3
1
2
=
,
I
I
I
k
k
k
k
k
§
·
§
·
W
T




¨
¸
¨
¸
©
¹
©
¹

 
(1.8)
 
3
1
2
9
3
01
1
02
2
7
s
s
e
I




 
(1.9)
2
=
,
3 I
k
k
k
W §
·


V˜V  V ˜V 
¨
¸
©
¹
 
2
2
3
9
3
1
2
7
 




3
2
2
2
9
1
2
1 2
1
2
1
= tr
tr
tr
3
3
9
I
I
I
I I
˜


˜

s s
s
s s



 
(1.10)
Из (1.8) видно, что несжимаемость среды эквивалентна равенству бесконечности всех коэффициентов k01, k02, k1, k2 и k7. Из-за тензорной нелинейности модели девиаторные и шаровые части скоростей деформаций одновременно зависят и от девиаторных, и от шаровых частей напряжений, а не по 
раздельности, как в скалярно нелинейных изотропных моделях.
2. Тензорно нелинейные (ортогональные) эффекты НДС. Возьмем длинный трубчатый образец постоянного круглого кольцевого сечения, материал которого удовлетворяет определяющим соотношениям (1.5), (1.6), и будем 

ГЕОРГИЕВСКИЙ
производить различные выборочные процессы его нагружения во времени. 
Пусть в цилиндрической системе координат (r, T, z), связанной с осью z образца, ненулевые физические компоненты тензоров V и  .
V имеют вид:
 


0
0
1
=
( ) ( ),
=
=
( )
( )sin
( ),
zz
z
z
h t
t h t
T
T
V
V
V
V
W
 W
Z
x
x
x
 
1
=
=
( ) ( )cos
,
z
z
h t
t
T
T
V
V
ZW
Z
x


 
(2.1)
где h(t ) – функция Хевисайда, V0(x) > 0, W0(x) и W1(x) – не зависящие от t функции, обеспечивающие выполнение уравнений равновесия стержня и условий 
совместности в напряжениях. Для напряженного состояния (2.1) инварианты 
I1 и I2, входящие в (1.6), (1.8)–(1.10), следующие: 
 
1
0
2
=
,
0.
I
I
V
{
 
(2.2)
Подставляя (2.1) и (2.2) в соотношения (1.5) и (1.6), выпишем ненулевые 
компоненты скоростей деформаций при t > 0:
 
2 2
2
0
1
0
3
01
1
01
7
1
1
2
=
cos
,
=
=
,
zz
zz
t
k
k
k
k
TT
§
·
V
W
H


Z W
Z
V
H
H
¨
¸
¨
¸
©
¹



 


2 2
2
0
1
1
3
1
7
1
2
=
=
sin
cos
.
z
z
t
t
k
k
T
T
§
·
W
H
H
W  W
Z

Z W
Z
¨
¸
¨
¸
©
¹


 
(2.3)
Наличие ненулевого коэффициента W/k7
3 приводит к тому, что осевая компонента 
zz
H

 явно зависит от частоты Z и амплитуды W1 крутильных 
(Tz)-колебаний. Относительное влияние параметров Z и W1 на осевую скорость 
деформации характеризуется безразмерным отношением:

2
1
1
sup
=
.
zz
 

 
(2.4)
t
zz
k
k
k

H
§
·
WZ W

¨
¸
H
©
¹
1
nl
2 2
1
3
lin
01
1
7
Даже при малой амплитуде W1 крутильной (Tz)-колебательной нагрузки 
(2.1) (W1 <
< V0) отношение (2.4) может достичь конечной величины за счет высокой частоты вибрации Z. Показателен случай, когда линейные динамические вязкости k01 и k1 равны бесконечности, т.е. 
lin
= 0
zz
H

 и линейная составляющая осевой деформации образца постоянна. Тогда наличие 
nl zz
H

 в (1.5) 
приводит к нарастанию осевой деформации по пульсирующему закону:
W
H
H

ZW V
Z 
Z
 
(2.5)
 


2
1
0
3
7
( )=
(0)
2
sin2
.
2
zz
zz
t
t
t
k
Заметим, что в (2.4) и в (2.5) не входит присутствующая в (2.1) функция 
W0(x) – среднее по периоду колебаний крутильное напряжение VTz. Это говорит о том, что на дополнительный, вызванный тензорной нелинейностью, 
рост осевой деформации не влияет, с нулевым или с ненулевым средним 
осуществляется вибрационный (Tz)-процесс на основном фоне растяжения 
стержня вдоль оси z.
Аналогично (2.4) для компоненты 
z
T
H

 имеем:

 
ТЕНЗОРНО НЕЛИНЕЙНЫЕ ВЯЗКОУПРУГИЕ МОДЕЛИ... 
7

k
T
2
sup
=
.
z
 
H
W
Z W
H

 
(2.6)
k
t
z
T
nl
2 2
1
1
3
lin
7
В экспериментальной механике деформируемого твердого тела известны 
близкие к описанным выше эффекты поведения материалов под нагрузкой, 
реализуемые в сложном напряженном состоянии и называемые ортогональными эффектами НДС [8]. Кратко перечислим некоторые из них.
1) В работе [10] в испытаниях трубчатых образцов из алюминевых сплавов 
Д16Т и АД1 наблюдалось резкое возрастание скорости ползучести при добавлению к статическому напряжению вибрационного напряжения малой относительной амплитуды. Этот эффект, названный гораздо ранее виброползучестью 
[11], проявляется только в тех случаях, когда вид напряженного состояния при 
совместном действии статического и динамического напряжений отличается от 
вида статического напряженного состояния. В работе [10] предложена модель 
для описания полученных экспериментальных данных, в которой фигурирует 
кинетический параметр. В качестве количественной меры этого параметра используется величина угла поворота вектора максимального главного напряжения при добавлении малых вибраций к основному напряженному состоянию.
2) Известны эксперименты [12], в которых немонотонные (периодические) 
нагрузки приводят к так называмому ускорению ползучести. Эти эксперименты не удается объяснить главными теориями вязкоупругости, т.е. теориями, 
основанными на однократных интегралах. В работе [13] показывается, что 
ускорение ползучести с вполне допустимой точностью можно моделировать 
на основе нелинейных определяющих соотношений теории вязкоупругости 
[14], имеющих в трехмерном случае следующий вид:
t
 
ij
ijklmn
mn
kl
A
t
Q
d
V
W
W H H
W
W
³
 
(2.7)
0
=
( , )
( , )
( )
,
где Qmn – mn-ая компонента тензора Q:
1
 
1
1
1
0
=
( ,
): (
)d

W
§
·
 D
W W
H W
W
¨
¸
¨
¸
©
¹
³
Q
I
q
 
(2.8)
В (2.7) и (2.8) A(t, W) – тензор шестого ранга внешних ядер релаксации, 
q(t, W) – тензор четвертого ранга внутренних ядер релаксации, D – по модулю меньший единицы параметр, по которому можно вести разложение дроби 
в (2.8) в степенной ряд. Нулевое приближение этого разложения соответствует 
линейной теории вязкоупругости.
3) На протяжении последних трех десятилетий много работ посвящено 
ретчеттингу – одностороннему накоплению деформации в материале при его 
циклическом нагружении. В работах [9, 15] содержатся некоторые обзоры таких работ, а также предлагается вариант классификации проявлений ретчеттинга в зависимости от степени сложности всего процесса деформирования. 
Обращает на себя внимание то, что единое устоявшееся определение термина 
“ретчеттинг” пока не сложилось. Некоторые понимают его только в узком 

ГЕОРГИЕВСКИЙ
смысле и связывают с движением (“дрейфом”) петли гистерезиса при действии циклической нагрузки в ортогональном основному процессу направлении. Другие же не привязываются к моделированию ретчеттинга исключительно с позиций теории упругопластических процессов, трактуя данное 
понятие значительно шире.
3. Обобщенный ретчеттинг. Реализуем теперь другое, отличающееся от 
(2.1), напряженное состояние в трубчатом образце:
 


0
0
1
=
( ) ( ),
=
=
( )
( )sin
( ),
zz
rz
zr
h t
t h t
V
V
V
V
W
 W
Z
x
x
x
 
1
=
=
( ) ( )cos
.
rz
zr
h t
t
V
V
ZW
Z
x


 
(3.1)
Различие состоит в том, что на фоне той же самой постоянной по времени 
осевой нагрузки V0(x) происходят не (Tz)-колебания, а продольные сдвиговые 
(rz)-колебания с некоторым средним W0(x).
Подстановка (3.1) в определяющие соотношения (1.5), (1.6) приводит 
к тому, что выражения для осевых компонент 
zz
H

, 
TT
H

 и 
rr
H

 останутся такими же, как и в (2.3), среди сдвиговых отличной от нуля будет только 
rz
H

, 
причем вид ее будет такой же, как 
z
T
H

 в (2.3). Выражения (2.4) и (2.5) со всеми 
выводами из них остаются в силе.
Таким образом, явление дополнительного нарастания во времени осевой 
деформации при действии сдвиговой колебательной нагрузки имеет место не 
только при классическом ретчеттинге, когда этой сдвиговой нагрузкой служат крутильные (Tz)-колебания сечений, но и в случае продольных сдвиговых (rz)-вибраций цилиндрических слоев трубчатого образца. Совпадение 
соответствующих компонент тензоров скоростей деформаций не только качественное, но и, как было выше установлено, количественное.
Аналогичная картина наблюдается, когда в качестве основной ненулевой 
фоновой нагрузки выбирается внутреннее давление с компонентой напряжений Vrr (а следовательно, в силу уравнений равновесия и VTT):
 
0
0
=
( ) ( ),
=
( ) ( ),
rr
h t
h t
TT
V
V
V
V
x
x

 
(3.2)
а в качестве ненулевой колебательной сдвиговой либо Vrz:
 


0
1
1
=
=
( )
( )sin
( ),
=
=
( ) ( )cos
rz
zr
rz
zr
t h t
h t
t
V
V
W
 W
Z
V
V
ZW
Z
x
x
x


 
(3.3)
либо VrT:
 
0
1
1
=
=(
( )
( )sin
) ( ),
=
=
( ) ( )cos
.
r
r
r
r
t h t
h t
t
T
T
T
T
V
V
W
 W
Z
V
V
ZW
Z
x
x
x


 
(3.4)
Тогда происходит пульсирующее нарастание радиальной деформации Hrr 
по аналогичным (2.3) и (2.5) законам:
1
1
2
=
cos
,
rr
t
k
k
k
 
2 2
2
1
0
3
01
1
7
§
·
W
H


Z W
Z
V
¨
¸
¨
¸
©
¹

 
(3.5)
W
H
H

ZW V
Z 
Z
f  
(3.6)
 


2
1
0
01
1
3
7
( )=
(0)
2
sin2
,
=
=
.
2
rr
rr
t
t
t
k
k
k

 
ТЕНЗОРНО НЕЛИНЕЙНЫЕ ВЯЗКОУПРУГИЕ МОДЕЛИ... 
9
Совокупность описанных тензорно нелинейных эффектов, проявляющихся 
при формально разной геометрии НДС, уместно назвать термином “обобщенный ретчеттинг”. Он заключается в существенном непропорциональном росте 
во времени компоненты HDD(t ) деформаций при совместном действии постоянной VDD и колебательной сдвиговой VDE(t ) нагрузок (даже если амплитуда колебаний мала) по сравнению со случаем действия только нагрузки VDD. Здесь (DD) 
и (DE) – диагональная и внедиагональная физические компоненты тензоров 
в ортогональной криволинейной системе координат (в рассмотренном случае 
в цилиндрической). Данный рост HDD(t ) не зависит от среднего по периоду колебаний значения HDE(t ), но зависит от амплитуды и частоты вибрации.
4. Комбинированный ретчеттинг. Пусть во взятом выше трубчатом образце 
реализуется сложное напряженное состояние довольно общего комбинированного вида:
 
=
( ) ( ),
= , , ,
h t
z
r
DD
DD
V
V
D
T
x
 
(1)
(1)
1
2
=
=
( ) ( )sin
,
=
=
( ) ( )sin
,
z
z
rz
zr
rz
z
h t
t
h t
t
T
T
T
V
V
V
Z
V
V
V
Z
x
x
 
(1)
3
=
=
( ) ( )sin
,
r
r
r
h t
t
T
T
T
V
V
V
Z
x
 
(1)
(1)
1
1
2
2
=
=
( ) ( )cos
,
=
=
( ) ( )cos
,
z
z
rz
zr
rz
z
h t
t
h t
t
T
T
T
V
V
Z V
Z
V
V
Z V
Z
x
x




 
(1)
3
3
=
=
( ) ( )cos
,
r
r
r
h t
t
T
T
T
V
V
Z V
Z
x


 
(4.1)
где Z1, Z2 и Z3 – вообще говоря, не связанные друг с другом частоты вибраций 
сдвиговых нагрузок, а амплитуды 
(1),
z
T
V
 
(1)
rz
V
 и 
(1)
rT
V
 много меньше характерных 
значений VDD. Средние за период колебания сдвиговые напряжения для простоты положены нулевыми.
Вычислим на основе определяющих соотношений (1.5), (1.6) диагональные компоненты 
nl zz
H

 и 
nl rr
H

:
t
t
T

 (4.2) 
 


zz
z
rz
zz
cos
cos
2
=
,
cos
sin
cos
sin
cos
k
t
t
t
t
t


(1)2
2
2
2
(1)2
2
1
1
2
2
nl
3
(1)
(1)
(1)
7
3
3
2
1
2
1
2
1
z
rz
r
T
T
ª
º
V
Z V
Z
 Z V
Z

W «
»
H
«
»
V
V
V
Z
Z
Z
Z
Z
 Z
Z
Z
¬
¼
t
t
T
 



 (4.3)
rr
rz
r
rr
k
t
t
t
t
t
cos
cos
2
=
.
cos
sin
cos
sin
cos


z
rz
r
(1)2
2
(1)2
2
2
2
2
2
3
3
nl
3
(1)
(1)
(1)
7
1
1
2
3
2
3
2
3
T
T
ª
º
V
Z V
Z
 Z V
Z

W «
»
H
«
»
V
V
V
Z
Z
Z
Z
Z
 Z
Z
Z
¬
¼
Второе слагаемое, стоящее в квадратных скобках в (4.2), имеет более высокий порядок малости чем первое слагаемое. Такая же ситуация имеет место 
и в отношении равенства (4.3). Таким образом, главные части тензорно нелинейных добавок (4.2) и (4.3) к диагональным компонентам скоростей деформаций обусловлены наличием (Tz)-, (rz)-сдвигов для 
zz
H

 и (rz)-, (r T)-сдвигов для 
rr
H

 и зависят от них аддитивно. Назовем тензорно нелинейное НДС 
в трубчатом образце, описывающееся соотношениями (4.1)–(4.3), комбинированным ретчеттингом.