Методы численного моделирования

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Казанский национальный исследовательский 
технологический университет 
Ю. П. Александровская 
МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ  
Учебно-методическое пособие 
Казань 
Издательство КНИТУ 
2023 

УДК 519.6(075) 
ББК 22.19я7 
А46 
Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 
Рецензенты: 
канд. физ.-мат. наук, доц. М. И. Галяутдинов 
канд. пед. наук, доц. О. В. Федорова 
А46 
Александровская Ю. П. 
Методы численного моделирования : учебно-методическое пособие / 
Ю. П. Александровская; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. 
технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2023. – 84 с. 
ISBN 978-5-7882-3433-5 
Рассмотрены основные методы численного решения математической модели, показана реализация алгоритмов численных методов с использованием инструментария табличного процессора MS Excel. Даны подробные рекомендации 
по выполнению лабораторных работ. 
Предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки 
01.03.05 «Статистика». 
Подготовлено на кафедре бизнес-статистики и экономики. 
УДК 519.6(075) 
ББК 22.19я7 
ISBN 978-5-7882-3433-5 
© Александровская Ю. П., 2023 
© Казанский национальный исследовательский 
технологический университет, 2023 
2

С О Д Е Р Ж А Н И Е
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ КАК ИНСТРУМЕНТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО 
МОДЕЛИРОВАНИЯ .................................................................................................... 5 
Особенности численных методов 
...................................................................................................7 
Лабораторная работа 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ ПУТЕМ 
РАЗЛОЖЕНИЯ ЕЕ В РЯД............................................................................................................ 11 
Варианты заданий ......................................................................................................................... 16 
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ................................................................................... 17 
Интерполирование и экстраполирование ................................................................................... 19 
Лабораторная работа 2. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ 
ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ПОЛИНОМА  В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА ...................................... 24 
Варианты заданий ......................................................................................................................... 26 
Лабораторная работа 3. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ 
ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ПОЛИНОМА  В ФОРМЕ НЬЮТОНА ........................................ 27 
Аппроксимация функции методом  наименьших квадратов .................................................... 31 
Лабораторная работа 4. АППРОКСИМАЦИЯ ТАБЛИЧНОЙ ФУНКЦИИ МЕТОДОМ 
НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ .................................................................................................. 36 
Варианты заданий ......................................................................................................................... 43 
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ................................. 44 
Основные этапы и методы численного решения нелинейного уравнения 
.............................. 44 
Лабораторная работа 5. ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ .............. 56 
Лабораторная работа 6. УТОЧНЕНИЕ КОРНЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ 
ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ ................................................................................................... 58 
Варианты заданий ......................................................................................................................... 62 
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ 
УРАВНЕНИЙ .............................................................................................................. 63 
Прямые методы решения СЛАУ.................................................................................................. 63 
Лабораторная работа 7. РЕШЕНИЕ СЛАУ ПРЯМЫМИ МЕТОДАМИ 
.................................. 69 
Итерационные методы решения СЛАУ ...................................................................................... 71 
Лабораторная работа 8. РЕШЕНИЕ СЛАУ ИТЕРАЦИОННЫМИ 
МЕТОДАМИ ................................................................................................................................. 78 
Варианты заданий ......................................................................................................................... 80 
Заключение .................................................................................................................. 82 
Библиографический список ....................................................................................... 
83 
3 

В В Е Д Е Н И Е
Современные научные и инженерные задачи предполагают исследование поведения сложных систем и процессов, не всегда доступных 
для прямого наблюдения или экспериментального изучения. Численное 
моделирование позволяет изучать различные экономические, социальные, физические, химические или биологические процессы, которые 
трудно или невозможно проанализировать существующими аналитическими методами. 
Численное моделирование – это процесс создания математической 
модели, которая описывает поведение и свойства реальных объектов или 
явлений. Эта модель затем реализуется в виде компьютерной программы, позволяющей проводить численные эксперименты и анализировать результаты, что экономит время и ресурсы, заменяя дорогостоящие физические эксперименты на более дешевые и безопасные виртуальные. Тем более важна роль численного моделирования при анализе 
и прогнозировании процессов и явлений в социальной и экономической 
сферах, где проведение экспериментов практически недопустимо. 
Процесс численного моделирования включает в себя несколько этапов. Сначала определяются цели моделирования и выбирается подходящая математическая модель. Затем модель реализуется в виде компьютерной программы, в которой описываются уравнения и начальные условия. После этого проводятся численные эксперименты, включающие решение уравнений и анализ результатов. На последнем этапе результаты 
моделирования интерпретируются и используются для прогнозирования 
и оптимизации системы. Таким образом, численное моделирование играет важную роль в научных и инженерных исследованиях, помогая 
улучшить понимание и предсказание поведения сложных систем. 
Пособие содержит 4 главы, посвященные изучению методов численного решения задач приближения функций, решения нелинейных 
уравнений, систем линейных алгебраических уравнений, являющихся 
типовыми компонентами математической модели процесса или явления. Каждая глава содержит наряду с теоретическим материалом подробные методические указания по выполнению лабораторных работ 
по решению соответствующих задач в табличном процессоре Excel. 
В конце каждой главы приводятся варианты заданий для закрепления 
материала. 
4 

Ч И С Л Е Н Н Ы Е  М Е Т О Д Ы  К А К  И Н С Т Р У М Е Н Т  
М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Г О  М О Д Е Л И Р О В А Н И Я  
Методы вычислительной математики являются основной составляющей численного моделирования и используются для решения математических моделей, которые описывают различные явления или процессы реального мира. Они позволяют аппроксимировать сложные математические уравнения, которые не могут быть решены аналитически, 
с использованием дискретных значений и итераций. 
Процесс математического моделирования можно разбить на несколько этапов: 
1. Постановка задачи. На этом этапе задача осмысливается, как 
правило, с физической точки зрения и определяются конечные цели исследования. 
2. Построение математической модели явления или процесса. 
Математическая модель любого изучаемого явления или процесса по 
причине его чрезвычайной сложности должна отражать важнейшие для 
рассматриваемой задачи стороны процесса, его существенные характеристики и формализованные связи, подлежащие учету. 
Как правило, математическая модель изучаемого процесса формулируется в виде уравнений или систем уравнений (линейных, нелинейных, дифференциальных и др.), содержащих большое число неизвестных и параметров. 
Если математическая модель выбрана недостаточно тщательно, 
то, какие бы методы ни применялись для дальнейших расчетов, полученные результаты будут ненадежны, а в отдельных случаях и совершенно неверны. 
3. Проведение математического исследования полученной модели 
и получение решения. Для решения математических задач используются 
графические, аналитические и численные методы. 
Используя графические методы, в ряде случаев можно оценить порядок искомых величин. Аналитические методы позволяют найти решение задачи с помощью формул. Для наиболее грубых и несложных 
моделей удается получить их аналитическое решение. Для более сложных моделей аналитическое решение удается получить сравнительно 
5 

редко. Численные методы являются основным инструментом решения 
сложных математических задач. 
Численный метод решения задачи – это вычислительный алгоритм, 
обеспечивающий получение решения задачи путем выполнения определенной последовательности конечного количества арифметических операций над числами. Численные методы, с одной стороны, требуют проведения расчетов на компьютере в связи с большим объемом вычислений, 
а с другой – простота их языка позволяет реализовать численные методы 
на вычислительных машинах, что делает эти методы мощным и универсальным инструментом исследования. Эти методы позволяют добиться 
хорошего количественного и даже качественного результата в описании 
модели. Но у них есть и принципиальные недостатки – как правило, речь 
идет о рассмотрении некоторого частного решения. 
Процесс решения задачи численным методом на компьютере следующий: 
– выбор численного метода, т. е. необходимо выбрать из имеющегося арсенала методов тот, который наиболее пригоден для решения поставленной задачи; 
– разработка алгоритма и построение блок-схемы; 
– программирование, когда алгоритм решения задачи записывается на выбранном алгоритмическом языке в виде точно определенной 
последовательности операций – программы; 
– отладка программы – поиск и исправление ошибок, допущенных при составлении программы; 
– проведение расчетов. 
4. Анализ состоятельности предложенной модели, т. е. осмысление результатов решения, сопоставление полученного результата 
с имеющимися экспериментальными данными. На этом этапе решается 
вопрос о состоятельности (адекватности) математической модели 
и проведенного исследования. «Хорошее» согласование с «экспериментом» обычно свидетельствует о правильности выбора модели. 
В противном случае необходимы дополнительные уточнения, изменения и т. п., проведение предыдущих этапов исследования. 
Таким образом, численные методы являются неотъемлемой частью математического моделирования и позволяют решать сложные 
математические задачи, которые не могут быть решены аналитически. 
6 

О с о б е н н о с т и  ч и с л е н н ы х  м е т о д о в  
Место численных методов в математическом моделировании 
можно описать следующим образом: 
1) Решение дифференциальных уравнений: одним из основных применений численных методов является решение дифференциальных уравнений, которые описывают множество физических явлений. Численные 
методы позволяют аппроксимировать решение уравнения с использованием набора дискретных значений и вычислительных алгоритмов. 
2) Моделирование сложных систем: численные методы позволяют 
моделировать сложные системы, такие как атмосфера, океаны, экономика 
и др. Такие системы часто описываются системами дифференциальных 
уравнений или системами уравнений в частных производных. Численные 
методы позволяют аппроксимировать решение этих систем и проводить 
численные эксперименты для изучения их поведения. 
3) Работа с большими объемами данных: в численном моделировании часто используются большие объемы данных, такие как трехмерные модели, изображения, временные ряды и т. д. Численные методы 
позволяют обрабатывать и анализировать эти данные с использованием 
различных алгоритмов и методов. 
4) Оптимизация и оптимальное управление: численные методы 
также используются для решения задач оптимизации и оптимального 
управления. Это позволяет найти наилучшие решения для определенных критериев или целей, учитывая ограничения системы. 
К типовым задачам численных методов относят: 
– решение систем линейных уравнений; 
– нахождение собственных значений и векторов матрицы; 
– нахождение сингулярных значений и векторов матрицы; 
– решение нелинейных алгебраических уравнений; 
– решение систем нелинейных алгебраических уравнений; 
– решение дифференциальных уравнений (как обыкновенных 
дифференциальных уравнений, так и уравнений с частными производными); 
– решение систем дифференциальных уравнений; 
– решение интегральных уравнений; 
– решение задач аппроксимации; 
– решение задач интерполяции; 
– решение задач экстраполяции. 
7 

В настоящее время в теории численных методов выделяют три основных направления: 
1. Анализ математических моделей. 
2. Разработка методов и алгоритмов решения типовых математических задач. Разработкой численных методов занимаются, как правило, высококвалифицированные специалисты в области вычислительной математики. 
3. Теория и практика программирования, включая автоматизацию 
программирования задач на компьютере. 
Решение, получаемое численным методом, обычно является приближенным, т. е. содержит некоторую погрешность (ошибку). Численное решение задачи не может быть выполнено абсолютно точно, поскольку в процессе действий над числами могут возникать и накапливаться ошибки вычислений, связанные с конечной точностью представления чисел в вычислительном устройстве или накапливающиеся в результате последовательности математических операций. 
Понятие о погрешности. Различают два вида погрешностей: абсолютную погрешность и относительную погрешность. 
Абсолютной погрешностью ∆𝑥 приближенного числа х называют 
разность между истинным значением (𝑥∗) и приближенным значением:  
∆𝑥= |𝑥∗−𝑥|. 
Относительная погрешность 𝛿𝑥 – это отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения числа х: 
𝛿𝑥= ∆𝑥
|𝑥|. 
Источники погрешностей. Существует четыре основных источника погрешностей: математическая модель, исходные данные задачи, 
приближенный метод и погрешность при реализации вычислений 
(в частности, погрешность округления). 
Погрешность математической модели 𝛿1𝑦 связана с неточностью математического описания задачи, являющейся следствием принятых допущений (несоответствие математического описания задачи 
реальности).  
Погрешность исходных данных 𝛿2𝑦 связана с неточностью задания числовых данных, входящих в математическую модель. Это по8 

грешности исходных данных (например, вследствие их неточного измерения), физических констант, чисел π, е и др. Эта погрешность порождает неустранимую погрешность решения. 
Погрешность метода 𝛿3𝑦 связана с тем, что применяемый метод, 
даже в случае его точной реализации, дает лишь приближенное решение задачи. Задачи, подлежащие решению, формулируются, как правило, на обычном математическом языке (уравнений, функций, дифференциальных операторов и т. п.). Использование для решения задачи 
численного метода предполагает замену исходной задачи другой, близкой к ней задачей, сформулированной в терминах чисел и арифметических операций. 
Численные методы основаны на замене бесконечных процессов, 
пределами которых являются искомые величины, конечной последовательностью действий. 
Как правило, погрешность численного метода регулируема, 
т. е. она может быть уменьшена до любого разумного значения. Обычно 
при решении прямых задач погрешность численного метода стараются 
довести до величины, в несколько раз меньшей погрешности исходных 
данных. 
Вычислительная погрешность 𝛿4𝑦 появляется в результате 
округления исходных данных, промежуточных и окончательных результатов. 
При реализации вычислений на компьютере действительные 
числа представляются в форме с плавающей запятой: 𝑎= 𝑀∙𝑟𝑝, 
где r – основание системы счисления; М – мантисса числа a, причем 
первая r-я цифра в записи мантиссы не равна нулю; р – порядок числа 
(целое). 
Например, в десятичной системе счисления число 1268,67 будет 
представлено как 0,1268710 ∙104 (мантисса 0,12867, порядок 4), число 
0,000234 – как 0,234 ∙10−3 (мантисса 0,234, порядок -3). 
В современных компьютерах в качестве основания системы счисления r выбирается двойка: r = 2. Тогда, на n-разрядном компьютере для 
записи мантиссы отводится только n двоичных разрядов, что позволяет 
записать лишь конечное число рациональных чисел, а все остальные 
вещественные числа подвергаются округлению при их представлении 
в компьютере. 
При решении прямой задачи необходимо придерживаться некоторых эмпирических правил:  
9