Методы решения уравнений в частных производных

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Казанский национальный исследовательский 
технологический университет 
Д. Л. Егоров 
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 
УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ 
Учебное пособие 
Казань 
Издательство КНИТУ 
2024 

УДК 517.9(075) 
ББК 22.161.6я7 
Е30 
Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 
Рецензенты: 
канд. физ.-мат. наук, доц. С. А. Кузнецов 
канд. физ.-мат. наук, доц. Ф. Р. Шакирзянов 
Е30 
Егоров Д. Л. 
Методы решения уравнений в частных производных : учебное пособие / Д. Л. Егоров; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. 
ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2024. – 88 с. 
ISBN 978-5-7882-3480-9 
Рассмотрены методы решения простейших уравнений в частных производных, а также основных уравнений математической физики. 
Предназначено для бакалавров направлений подготовки 01.03.02 «Прикладная математика и информатика», 01.03.05 «Статистика», 02.03.03 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем». 
Подготовлено на кафедре интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами. 
УДК 517.9(075) 
ББК 22.161.6я7 
ISBN 978-5-7882-3480-9 
© Егоров Д. Л., 2024 
© Казанский национальный исследовательский 
технологический университет, 2024 
2

С О Д Е Р Ж А Н И Е
ВВЕДЕНИЕ................................................................................................... 4 
1. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 
................................... 6 
1.1. Уравнение в частных производных и его общее решение 
............ 6 
1.2. Простейшие уравнения в частных производных ......................... 12 
1.3. Уравнения первого порядка, линейные относительно 
частных производных 
............................................................................. 15 
1.4. Классификация уравнений в частных производных второго 
порядка ..................................................................................................... 19 
2. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ 
.............................................. 31 
2.1. Постановка задачи ........................................................................... 31 
2.2. Метод Даламбера для бесконечной струны 
.................................. 33 
2.3. Метод Фурье 
..................................................................................... 38 
3. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 
............................................. 50 
3.1. Постановка задачи ........................................................................... 50 
3.2. Методы решения задачи линейной теплопроводности ............... 53 
4. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ 
.............................................................................. 60 
4.1. Оператор Лапласа ............................................................................ 60 
4.2. Уравнение Лапласа .......................................................................... 65 
4.3. Пространственные, плоские и одномерные задачи Дирихле ..... 66 
4.4. Задача Дирихле для круга ............................................................... 69 
4.5. Метод функции Грина 
..................................................................... 76 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .......................................................................................... 83 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ......................................................................... 84 
3 

В В Е Д Е Н И Е
Теория дифференциальных уравнений представляет собой один из 
важнейших разделов высшей математики. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, встречаются практически во всех областях естествознания. Например, с помощью них в классической механике описываются законы движения различных объектов и в целом динамика механических процессов. В основе квантовой механики лежит 
уравнение Шредингера, являющееся линейным дифференциальным 
уравнением в частных производных. Изучение кинетики химических 
реакций, а также некоторых вопросов биологии и экономики, тоже связано с выводом и решением соответствующих дифференциальных 
уравнений.  
Ряд важных уравнений, возникших при решении классических задач из указанных областей (например, задачи о колебании струн 
и стержней, задачи распространения тепла и диффузии и т. д.), были 
названы уравнениями математической физики. С теоретической точки 
зрения их изучение позволяет на конкретных примерах познакомиться 
с особенностями уравнений в частных производных и методами их решения. С практической точки зрения уравнения математической физики предоставляют готовый набор классических методик и математических моделей, которые могут быть полезны при решении различных 
прикладных проблем. 
Основой теории дифференциальных уравнений стало дифференциальное исчисление, созданное Лейбницем и Ньютоном. Сам термин 
«дифференциальное уравнение» был предложен в 1676 г. Лейбницем. 
История математического аппарата уравнений в частных производных 
ведет свой отсчет от работ Леонарда Эйлера, посвященных теории поверхностей (первая половина XVIII в.). Важный вклад в развитие уравнений в частных производных внесли также Даламбер, Лагранж, Коши, 
Якоби и Фурье.  
До появления современных мощных ЭВМ решения дифференциальных уравнений в частных производных во многих задачах приходилось искать исключительно в аналитическом виде, вводя серьезные 
упрощающие предположения. По мере развития компьютерной техники все большую роль стали играть приближенные численные методы, реализуемые с помощью компьютерных программ. Это позволило значительно расширить круг решаемых задач. 
4 

В данном учебном пособии рассматриваются методы решения некоторых простых классов уравнений в частных производных. Достаточно много внимания уделено также методам решения классических 
уравнений математической физики. Каждый раздел содержит необходимый теоретический материал и примеры задач с подробным разбором 
хода решения. Предполагается, что читатель уже знаком с математическим анализом и линейной алгеброй и что использованная автором терминология и специальные обозначения не вызовут у него затруднений. 
В первом разделе пособия рассмотрено понятие уравнения в частных производных, а также сформулирована задача Коши. Предложены 
методы решения простейших уравнений в частных производных разных порядков, проанализированы уравнения первого порядка и линейные относительно частных производных. Далее приведена классификация уравнений в частных производных второго порядка и показаны методы приведения таких уравнений к каноническому виду. 
Второй раздел посвящен уравнению колебаний струны. Рассмотрены метод Даламбера для бесконечной струны и метод Фурье. 
В третьем разделе представлены методы решения уравнения линейной теплопроводности, рассмотрены различные случаи краевых 
условий. 
В четвертом разделе проанализированы уравнение Лапласа и задача Дирихле. Рассмотрены несколько примеров одномерной задачи 
Дирихле, а также его задача для круга. Описан метод функции Грина 
для задачи Дирихле в пространстве. 
5 

.  У Р А В Н Е Н И Я  В  Ч А С Т Н Ы Х  П Р О И З В О Д Н Ы Х
1 . 1 .  У р а в н е н и е  в  ч а с т н ы х  п р о и з в о д н ы х
и  е г о  о б щ е е  р е ш е н и е  
Уравнение в частных производных – это дифференциальное уравнение, в котором присутствует неизвестная функция, зависящая от двух 
или более переменных, а также ее частные производные. В общем виде 
уравнение в частных производных может быть представлено следующим образом: 
∂𝑢
∂𝑢
∂2𝑢
∂2𝑢
∂2𝑢
𝐹(𝑥, 𝑦, . . . , 𝑢,
∂𝑥,
∂𝑦,
∂𝑥2 ,
∂𝑦2 ,
∂𝑥∂𝑦, . . . ) = 0,  
 (1.1) 
где x, y, ... – независимые переменные; u = u(x, y, ...) – неизвестная функция. 
Количество независимых переменных может быть любым, как 
и порядок входящих в уравнение производных. Порядок уравнения 
(1.1) соответствует порядку входящей в него старшей производной. 
Решением уравнения в частных производных называется функция, 
обращающая его в тождество. Множество решений обыкновенного 
дифференциального уравнения бесконечно, так как в его общее решение входят постоянные, которые могут принимать произвольное значение. Уравнение в частных производных также имеет бесконечное множество решений, только в данном случае речь идет не о произвольных 
константах, а о произвольных функциях, причем их количество в решении будет соответствовать порядку уравнения: т. е. решение уравнения 
первого порядка будет содержать одну произвольную функцию, решение уравнения второго порядка – две произвольных функции и т. д. Такие решения называются общими. 
Проиллюстрируем все сказанное с помощью наглядных примеров. 
Пусть дана функция  
),
(x
u
u =
и для нее записано обыкновенное дифференциальное уравнение 
𝑑𝑢
𝑑𝑥= 0. 
6 

Общим решением данного уравнения будет u = C, где C – произвольная 
константа. 
Пусть теперь искомая функция зависит от двух переменных 
𝑢= 𝑢(𝑥, 𝑦), 
и дано уравнение в частных производных 
𝜕𝑢
𝜕𝑥= 0. 
Очевидно, что ему удовлетворяет не только некоторая произвольная 
константа, но и произвольная функция, зависящая от y:  
u = (y).  
В самом деле, если мы продифференцируем эту функцию по x, то получим 0, обратив, таким образом, исходное уравнение в тождество. 
Пример 1.1. Рассмотрим более сложное уравнение, предполагая 
здесь и в последующем примере, что неизвестная функция u зависит от 
двух переменных – x и y: 
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝑥
𝜕𝑥+ 𝑦
𝜕𝑦= 0,                                       (1.2) 
Покажем, что его общим решением является функция  
𝑦
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝜙(
𝑥).                                                                                   (1.3) 
Решение. Функция  является сложной и зависит от другой 
функции 
𝑣= 𝑦
𝑥. 
Поэтому при подстановке этой функции в уравнение (1.2) необходимо 
применить формулу дифференцирования сложной функции нескольких 
переменных: 
∂𝑢
∂𝑢
∂𝑢
∂𝑣1
∂𝑣2
∂𝑥=
∂𝑥+
∂𝑥+ …                       (1.4) 
∂𝑣1
∂𝑣2
7 

Каждая функция v1, v2,… в (1.4) зависит от одной или нескольких независимых переменных. В нашем примере  зависит от одной функции v, которая, в свою очередь, зависит от двух независимых переменных x и y.  
Воспользуемся формулой (1.4) для отыскания частных производных, входящих в уравнение (1.2): 
∂𝑢
∂𝑥= 𝜙′(𝑣) (−𝑦
𝑥2) , 
∂𝑢
∂𝑦= 𝜙′(𝑣) 1
𝑥.
 
Подставим эти производные в левую часть исходного уравнения: 
𝑥𝜙′(𝑣) (−𝑦
𝑥2) + 𝑦𝜙′(𝑣) 1
𝑥= −𝜙′(𝑣) 𝑦
𝑥+ 𝜙′(𝑣) 𝑦
𝑥= 0. 
Таким образом, мы получили тождество, и это доказывает, что функция (1.3) является общим решением уравнения (1.2). 
Пример 1.2. Пусть дано уравнение 
∂2𝑢
∂𝑦2 −𝑎2 ∂2𝑢
∂𝑥2 = 0,                                              (1.5) 
где a – константа.  
Покажем, что его общим решением является функция 
𝑢= 𝜙(𝑥+ 𝑎𝑦) + 𝜓(𝑥−𝑎𝑦).                                (1.6) 
Решение. В данном примере функция u зависит от двух других 
функций –  и , каждая из которых также является сложной  
функцией:  
 = (v),  
где 
𝑣= 𝑥+ 𝑎𝑦, 
а  
 = (w),  
где 
𝑤= 𝑥−𝑎𝑦. 
8 

Отыщем первые производные: 
∂𝑤
∂𝑢
∂𝑥= ∂𝑢
∂𝑣
∂𝑣
∂𝑥+ ∂𝑢
∂𝑤
∂𝑥= 𝜙′(𝑣) + 𝜓′(𝑤), 
𝜕𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑦= 𝜕𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦+ 𝜕𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑦= 𝑎𝜙′(𝑣) −𝑎𝜓′(𝑤). 
Для отыскания вторых производных нужно продифференцировать полученные выше выражения, учитывая, что каждое из них также 
является сложной функцией: 
2
u


+


=

+

(
)
),
(
)
(
)
(
)
(
2


=


w
v
w
v
x
x
 
2
u


+


=

−

(
)
).
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2


=


w
a
v
a
w
a
v
a
y
y
 
Подставив полученные выражения в уравнение (1.5), получаем тождество 
.
0
))
(
)
(
(
)
(
)
(
2
2
2



+


−


+


w
v
a
w
a
v
a
 
Таким образом, функция (1.6) является общим решением уравнения (1.5). 
Для того чтобы была возможность выделить из бесконечного множества решений некоторое конкретное решение, как и в случае с обыкновенными дифференциальными уравнениями, используются начальные условия. Уравнение в частных производных при заданных начальных условиях называется задачей Коши. Сформулируем это определение более строго.  
Пусть дано уравнение 
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝐹(𝑥,  𝑢, 
𝜕𝑥1 , . . . ,
𝜕𝑥𝑛) = 0,                                  (1.7) 
где x = {x1, x2,…, xn}.  
Пусть также задана регулярная (n – 1)-мерная поверхность класса 
C1 без самопересечений в пространстве переменных x1,…, xn: 
9