Методы решения дифференциальных уравнений

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Казанский национальный исследовательский 
технологический университет 
Д. Л. Егоров 
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ  
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ 
Учебное пособие 
Казань 
Издательство КНИТУ 
2022 

УДК 517.9(075) 
ББК 22.161.6я7 
Е30 
Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 
Рецензенты: 
канд. физ.-мат. наук, доц. С. А. Кузнецов 
канд. физ.-мат. наук, доц. Ф. Р. Шакирзянов 
Егоров Д. Л. 
Е30 Методы решения дифференциальных уравнений : учебное пособие / 
Д. Л. Егоров; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2022. – 92 с. 
ISBN 978-5-7882-3288-1 
Представлены основные методы решения обыкновенных дифференциальных 
уравнений. Рассмотрены различные виды уравнений первого порядка, а также 
уравнения высших порядков. По каждой теме приведены подробные примеры. 
Предназначено для бакалавров, обучающихся по направлениям подготовки 
01.03.02 «Прикладная математика и информатика», 01.03.05 «Статистика», 
02.03.03 «Математическое обеспечение и администрирование информационных 
систем». 
Подготовлено на кафедре интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами. 
УДК 517.9(075) 
ББК 22.161.6я7 
ISBN 978-5-7882-3288-1 
© Егоров Д. Л., 2022 
© Казанский национальный исследовательский 
технологический университет, 2022 
2

С О Д Е Р Ж А Н И Е
ВВЕДЕНИЕ................................................................................................... 4 
1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА ................................................................................. 6 
1.1. Понятие дифференциального уравнения ........................................ 6 
1.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися 
переменными ............................................................................................. 8 
1.3. Однородные дифференциальные уравнения ................................ 14 
1.4. Уравнения в полных дифференциалах 
.......................................... 20 
1.5. Линейные дифференциальные уравнения .................................... 26 
1.6. Уравнения Лагранжа и Клеро 
......................................................... 36 
2. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ............................................................................ 43 
2.1. Понятие дифференциального уравнения порядка n .................... 43 
2.2. Уравнения вида y(n) = f(x) ................................................................ 44 
2.3. Уравнения, не содержащие искомую функцию ........................... 46 
2.4. Уравнения, не содержащие независимую переменную .............. 50 
2.5. Уравнения, однородные относительно неизвестной 
функции и ее производных .................................................................... 54 
2.6. Линейные дифференциальные уравнения порядка n .................. 57 
2.7. Линейные однородные уравнения порядка n ............................... 60 
2.8. Линейные однородные уравнения порядка n с постоянными 
коэффициентами ..................................................................................... 66 
2.9. Линейные неоднородные уравнения порядка n ........................... 70 
2.10. Уравнение Эйлера 
.......................................................................... 83 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .......................................................................................... 88 
Список литературы .................................................................................... 89 
3 

ВВЕДЕНИЕ
Задачи, которые приводят к дифференциальным уравнениям, 
встречаются в различных областях естествознания. Например, в классической механике дифференциальные уравнения используются для 
описания законов движения объектов и динамики механических процессов. Уравнение Шрёдингера, лежащее в основе квантовой механики, 
является линейным дифференциальным уравнением в частных производных. Изучение кинетики химических реакций, а также некоторых 
вопросов биологии и экономики также связано с выводом и решением 
соответствующих дифференциальных уравнений. Таким образом, аппарат дифференциальных уравнений является одним из важнейших инструментов высшей математики. 
История дифференциальных уравнений начинается с задач механики, где требовалось определить координаты тел, их скорости и ускорения как функции времени при различных воздействиях. Некоторые 
геометрические задачи также приводят к дифференциальным уравнениям. 
Основой теории дифференциальных уравнений стало дифференциальное исчисление, разработанное Лейбницем и Ньютоном. Термин 
«дифференциальное 
уравнение» 
был 
предложен 
Лейбницем 
в 1676 году. До появления мощных ЭВМ решения дифференциальных 
уравнений в конкретных прикладных задачах искали исключительно 
в аналитическом виде, вводя серьезные упрощающие предположения. 
С развитием компьютерной техники все большую актуальность приобретают приближенные численные методы решения дифференциальных 
уравнений. Современные пакеты прикладных программ позволяют решать задачи различной сложности и точности в зависимости от возможностей аппаратного обеспечения. 
Данное учебное пособие рассматривает основные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Для каждой темы 
представлены теоретическое введение и примеры с подробным разбором решения. Предполагается, что читатель знаком с математическим 
анализом и линейной алгеброй и что терминология и специальные обозначения, используемые в учебном пособии, не вызовут у него затруднений. 
Первый раздел пособия посвящен понятию дифференциального 
уравнения и различным типам дифференциальных уравнений первого 
4 

порядка: уравнения с разделяющимися переменными, однородные 
уравнения, уравнения в полных дифференциалах, линейные дифференциальные уравнения, а также уравнения Клеро и Лагранжа. 
Во втором разделе учебного пособия рассматриваются дифференциальные уравнения высших порядков. Представлены методы понижения порядка для некоторых важных частных случаев, а также большое 
внимание уделено линейным дифференциальным уравнениям n-го порядка. 
5 

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.1. Понятие дифференциального уравнения 
Обыкновенное дифференциальное уравнение – это уравнение, связывающее независимую переменную, ее функцию и производные этой 
функции. Порядок дифференциального уравнения определяется порядком старшей производной, входящей в него. Таким образом, с формальной точки зрения обыкновенное дифференциальное уравнение первого 
порядка представляет собой соотношение вида 
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′) = 0 
(1.1) 
или, если есть возможность выразить y', 
𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦), 
где x – независимая переменная; y = y(x) – неизвестная функция. 
С учетом тождества 
𝑦′ ≡𝑑𝑦
𝑑𝑥
дифференциальное уравнение можно представить в форме 
𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥+ 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦= 0, 
являющейся записью в дифференциалах. 
Общим решением уравнения (1.1) называется функция 
𝑦= 𝜙(𝑥, 𝐶), 
(1.2) 
6 

обращающая уравнение (1.1) в тождество при любом значении константы C, которая является произвольной и возникает в результате интегрирования. 
Поскольку константа C может принимать любые значения, число 
решений дифференциального уравнения (1.1) бесконечно. Для того 
чтобы выделить из этого бесконечного множества некоторое единственное решение, к уравнению (1.1) должно быть добавлено дополнительное условие, называемое начальным условием: 
𝑦(𝑥0) = 𝑦0,
(1.3) 
где x0, y0 – некоторые заданные значения. Применение условия (1.3) 
к общему решению (1.2) приводит к алгебраическому уравнению относительно константы C. Его решение дает определенное значение константы C = C0, а решение уравнения (1.1), таким образом, приобретает 
вид 
𝑦= 𝜙(𝑥, 𝐶0).
(1.4) 
Выражение (1.4) называется частным решением дифференциального уравнения (1.1). Задача (1.1), (1.3) называется задачей Коши. В теории дифференциальных уравнений существуют теоремы существования и единственности, согласно которым при некоторых достаточно 
общих предположениях задача Коши всегда имеет решение, причем это 
решение единственное. 
График всякого решения y = (x) дифференциального уравнения 
называется интегральной кривой данного уравнения. Единственному 
решению задачи Коши соответствует и единственная интегральная кривая, проходящая через точку (x0, y0), определяемую условием (1.3).  
Особым решением называется решение, во всех точках которого 
условие единственности не выполняется, т. е. в любой окрестности 
каждой точки (x, y) такого решения существует по крайней мере две 
интегральные кривые, проходящие через эту точку. Ключевой особенностью особых решений является то, что они не получаются из общего 
решения ни при каких значениях произвольной постоянной C. 
7 

1.2. Дифференциальные уравнения 
с разделяющимися переменными 
Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде 
𝑓
1(𝑥)𝑔1(𝑦)𝑑𝑥+ 𝑓
2(𝑥)𝑔2(𝑦)𝑑𝑦= 0.
(1.5) 
Стоит обратить внимание на то, что в уравнении (1.5) при каждом 
из дифференциалов находятся произведения двух функций, каждая из 
которых зависит только от одной переменной. По этой причине уравнения вида (1.5) и получили свое название. 
Предполагая, что ни одна из участвующих в уравнении четырех 
функций не равна 0, разделим (1.5) на f2(x)g1(y): 
𝑓
1(𝑥)
𝑓
2(𝑥) 𝑑𝑥+ 𝑔2(𝑦)
𝑔1(𝑦) 𝑑𝑦= 0.
Теперь при дифференциале dx присутствует функция, зависящая только 
от переменной x, а при дифференциале dy – функция, зависящая только 
от y. Поэтому мы можем провести интегрирование: 
∫𝑓
1(𝑥)
𝑓
2(𝑥) 𝑑𝑥+ ∫𝑔2(𝑦)
𝑔1(𝑦) 𝑑𝑦= 0,
результатом которого будет общее решение вида 
𝐹(𝑥) + 𝐺(𝑦) = 𝐶, 
где C – произвольная константа. Отметим, что полученное выражение 
называется интегралом уравнения (1.5). Далее рассмотрим примеры решения конкретных уравнений. 
8 

Пример 1.1. Решить следующее дифференциальное уравнение: 
𝑥2
𝑦′ =
𝑦. 
(1.6) 
Решение. Умножим обе его части на y: 
𝑦𝑦′ = 𝑥2
и преобразуем к виду 
𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑥2  
⇒ 𝑦𝑑𝑦= 𝑥2𝑑𝑥.
Таким образом, при дифференциале dy теперь находится функция, 
зависящая только от y, а при дифференциале dx – функция, зависящая 
только от x. То есть мы разделили переменные, и теперь можем проинтегрировать полученное уравнение: 
∫𝑦𝑑𝑦= ∫𝑥2𝑑𝑥,
откуда будем иметь 
𝑦2
𝑥3
2 =
3 + 𝐶.
(1.7) 
Полученное равенство является интегралом исходного уравнения. 
Можно выразить из него y и окончательно записать общее решение: 
𝑦= √2𝑥3
3 + 𝐶.
(1.8) 
9 

Внимательный читатель может обратить внимание, что при получении решения (1.8) мы умножили обе части равенства (1.7) на 2, однако второе слагаемое под квадратным корнем записано как C, а не как 
2C. Это не ошибка, а общепринятая практика при записи общих решений дифференциальных уравнений. Поскольку C является произвольной константой, то и любая функция от нее также является произвольной константой. Поэтому нет принципиальной разницы между C, −С, 
1/С, 2C или, например, C + 2: все эти записи представляют собой произвольные константы. Таким образом, исходя из целесообразности, 
константу C в общих решениях представляют наиболее простым 
и удобным способом. 
Отметим, что сумма двух произвольных констант, очевидно, 
также будет представлять собой произвольную константу. Поэтому, 
хотя при взятии двух интегралов (по x и по y), вообще говоря, появляются две разные произвольные константы, в итоговом результате мы 
заменяем их сумму единственной константой C. 
Пример 1.2. Пусть дано то же самое дифференциальное уравнение 
(1.6), но теперь к нему добавлено начальное условие 
𝑦(0) = 2. 
(1.9) 
Решение. В данном случае мы имеем дело с задачей Коши (1.6), 
(1.9). Алгоритм получения общего решения при этом никак не меняется, и оно по-прежнему выражается формулой (1.8). Воспользуемся 
начальным условием и получим частное решение уравнения (1.6). Согласно (1.9), подставим в (1.8) значения 
𝑥= 0,  𝑦= 2. 
Будем иметь 
2 = √0 + 𝐶, 
откуда C = 4. Подставим найденную константу в общее решение (1.8) 
и получим частное решение уравнения (1.6) при условии (1.9): 
10