Дифференциальные уравнения и их приложения

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Казанский национальный исследовательский 
технологический университет          
С. Р. Еникеева, Р. Ф. Ахвердиев, И. Д. Емелина  
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ  
УРАВНЕНИЯ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ   
Учебное пособие                
Казань 
Издательство КНИТУ 
2022 

УДК 517.9(075) 
ББК 22.161.6я7  
Е63  
Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета  
Рецензенты: 
канд. физ.-мат. наук, доц. Е. А. Турилова 
канд. физ.-мат. наук Л. К. Астафьева               
Еникеева С. Р. 
Е63 Дифференциальные уравнения и их приложения : учебное пособие / 
С. Р. Еникеева, Р. Ф. Ахвердиев, И. Д. Емелина; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ
, 2022. – 108 с.  
ISBN 978-5-7882-3266-9  
Излагаются основные приемы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, детально разобраны типовые примеры с решениями. 
Приведено большое количество заданий для самостоятельного решения. Также 
рассмотрены задачи прикладного характера, позволяющие студентам глубже понять практическую значимость изучаемой дисциплины. 
Предназначено для бакалавров, магистров и преподавателей, углубленно изучающих теорию дифференциальных уравнений. 
Подготовлено на кафедре высшей математики.  
УДК 517.9(075) 
ББК 22.161.6я7 
ISBN 978-5-7882-3266-9 
© Еникеева С. Р., Ахвердиев Р. Ф., Емелина И. Д., 2022  
© Казанский национальный исследовательский  
технологический университет, 2022  
2

С О Д Е Р Ж А Н И Е
Введение 
................................................................................................................ 
4 
1. Основные понятия 
............................................................................................ 
5 
2. Уравнения с разделяющимися переменными 
............................................. 
10 
3. Однородные уравнения первого порядка и уравнения, приводящиеся
к однородным ..................................................................................................... 
14 
4. Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Я. Бернулли ............. 
19 
5. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель ..... 
25 
6. Уравнение Лагранжа и Клеро ....................................................................... 
30 
7. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно
производной 
........................................................................................................ 
33 
8. Другие уравнения, разрешенные относительно производной .................. 
38 
9. Обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие
понижения порядка ............................................................................................ 
41 
10. Линейные однородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами ..................................................................... 
47 
11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами ........................................ 
50 
12. Метод вариации произвольных постоянных (Метод Лагранжа) 
............ 
57 
13. Системы линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами ..................................................................... 
60 
14. Приближенное решение дифференциальных уравнений
первого порядка методом Эйлера .................................................................... 
64 
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям ............................... 
67 
Варианты расчетных работ ............................................................................... 
96 
Литература ........................................................................................................ 
108 
3 

ВВЕДЕНИЕ 
Настоящая книга является учебным пособием для практических занятий со 
студентами специальностей, по которым учебным планом предусмотрено изучение дисциплин «Дифференциальные уравнения», «Математика», «Высшая математика», «Дополнительные главы математики», «Математический анализ». 
Содержание учебного пособия позволяет получить практические навыки 
в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов 
высшего образования для бакалавров технического направления.  
Цель пособия – помочь изучающим теорию дифференциальных уравнений 
приобрести навыки при решении различных задач этого курса, изучить практические приложения дифференциальных уравнений. 
Дифференциальные уравнения являются основным математическим инструментом моделирования и анализа разнообразных явлений и процессов в науке 
и технике. Методы их решения подразделяются на два класса: 
1) точные (аналитические) методы, в которых решение получается в виде
аналитических функций; 
2) численные (приближенные) методы, где искомые интегральные кривые
получают в виде таблиц их численных значений. 
Применение аналитических методов позволяет исследовать полученные решения методами математического анализа и сделать соответствующие выводы 
о свойствах моделируемого явления или процесса. Не существует общего метода 
решения произвольных обыкновенных дифференциальных уравнений (кратко: 
ОДУ) n-го порядка. 
Класс «Точные методы интегрирования» позволяет находить точные решения для основных типов ОДУ первого и второго порядков, а также систем ОДУ. 
Класс «Численные методы интегрирования» включает один из приближенных 
(численных) методов решения задачи Коши для ОДУ первого порядка и систем 
ОДУ первого порядка – метод Эйлера.  
Для закрепления в конце пособия приводятся задачи из различных наук, требующие использования дифференциальных уравнений, которые приводят к ОДУ. 
Пособие будет полезно и преподавателям, так как позволяет освободиться от 
необходимости подбирать материал, рассмотренный в различной литературе. 
4 

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных 
две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) n-го порядка называется соотношения вида  
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, . . . , 𝑦(𝑛)) = 0
 (1.1) 
или 
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑑𝑦
𝑑𝑥, 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 , . . . , 𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛) = 0, 
которое связывает искомую функцию 𝑦= 𝑦(𝑥) и ее производные до 
n-го порядка включительно.
Пример 1.1 
1) 𝑦′𝑥= 4𝑥2 + 𝑦3 – ОДУ первого порядка;
4
2) 𝑥3𝑦′ =
𝑥𝑦′′ + (𝑦′)4 – уравнение второго порядка;
𝑑3𝑦
𝑑𝑦
3) 
𝑑𝑥3 −4𝑥𝑦
𝑑𝑥= 5 sin2 𝑥 – ОДУ третьего порядка;
4) 7𝑦(5) = 3𝑦′′ −4𝑦−2 sin 𝑥 – ОДУ 5-го порядка.
Выполнить самостоятельно: 
Определите порядок следующих ОДУ: 
1) 𝑥2𝑦′′ + 𝑥𝑦′ = 0;
2) (𝑦′)3 = 𝑥5;
3) 𝑦′′ + 3𝑥𝑦′ −𝑥3𝑦2 = 0;
𝑑3𝑠
𝑑𝑠
4) 
𝑑𝑡3 −𝑡⋅𝑠2 ⋅
𝑑𝑡= 5;
5 

5) 𝑦′ + 𝑦𝑒𝑥= 𝑡𝑔3𝑥;
6) 𝑦′ = 𝑦3 −1;
7) (𝑦′)2 = 4𝑦;
𝑑2𝑠
𝑑𝑠
8) 
𝑑𝑡2 + 𝑡𝑔𝑡⋅
𝑑𝑡= sin 2𝑡. 
Если уравнение удается разрешить относительно старшей производной, т. е.  
𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, . . . , 𝑦(𝑛−1)),
 (1.2) 
то это уравнение принято называть ОДУ n-го порядка, разрешенным 
относительно старшей производной. 
Пример 1.2 
1) 𝑦(3) = 3𝑥−𝑦′′ – ОДУ 3-го порядка;
2) (𝑦′)3 = 4𝑦′ + 3𝑥𝑦 – ОДУ 1-го порядка, не разрешенное относительно старшей производной. 
Одной из основных задач теории ОДУ является нахождение решения уравнения (1.1) или (1.2) или, как говорят, проинтегрировать дифференциальное уравнение. Решением (общим решением) уравнения 
(1.1) или (1.2) называется функция 𝑦= 𝜑(𝑥, 𝐶1, 𝐶2, . . . , 𝐶𝑛), где Cj – произвольная постоянная, которая обращает данное уравнение в тождество 
при подстановке в него этой функции и ее производных. Количество 
постоянных в решении совпадает с порядком уравнения. Если общее 
решение 
уравнения 
(1.1) 
или 
(1.2) 
получено 
в 
виде 
𝜑(𝑥, 𝑦, 𝐶1, 𝐶2, . . . , 𝐶𝑛) = 0, то говорят, что найден общий интеграл уравнения (1.1) или (1.2).  
Пример 1.3 
1) Для ОДУ 1-го порядка 𝑦′ = 4𝑥 функция 𝑦= 2𝑥2 + 𝐶 является общим решением, так как обращает это уравнение в тождество 4𝑥≡4𝑥. 
2) Для ОДУ 2-го порядка 𝑦′′ = 𝑥𝑒𝑥 функция 𝑦= (𝑥−2)𝑒𝑥+ 𝐶1𝑥+
+𝐶2 является решением, так как 𝑦′ = (𝑥−1)𝑒𝑥+ 𝐶2 и 𝑦′′ = 𝑒𝑥+
+(𝑥−1)𝑒𝑥≡𝑥𝑒𝑥.
3) Для ОДУ 3-го порядка 𝑦′′′ = 6 решением будет функция
1
𝑦= 𝑥3 +
2 𝐶1𝑥2 + 𝐶2𝑥+ 𝐶3. 
Действительно,
𝑦′ = 3𝑥2 + 𝐶1𝑥+ 𝐶2,
𝑦′′ = 6𝑥+ 𝐶1, 𝑦′′′ = 6𝑥.
6 

𝑥2
4) Для ОДУ 𝑦′ =
𝑦2+1 общий интеграл имеет вид 𝑦3 + 3𝑦−𝑥3 = 𝐶.
Дифференцируя обе части этого равенства по x, получим 
3𝑦2𝑦′ + 3𝑦′ −3𝑥2 = 0 ⇒(𝑦2 + 1)𝑦′ = 𝑥2 ⇒𝑦′ =
𝑥2
(𝑦2 + 1). 
Уравнение 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) устанавливает связь (зависимость) между 
координатами точки (𝑥, 𝑦) и угловым коэффициентом 𝑦′ касательной
к интегральной кривой, проходящей через эту точку, т. е. это уравнение 
дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости 𝑂𝑥𝑦. 
Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного 
построения интегральных кривых. Уравнения изоклины можно получить, если положить tg𝛼= 𝑦′ = 𝑐, т. е. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐, 𝑐= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. 
Пример 1.4. С помощью изоклин начертить вид интегральных кривых уравнения 𝑦′ = 2𝑥. 
Решение. Уравнение изоклин этого уравнения будет 2𝑥= 𝑐, т. е. 
𝑐
изоклинами будут прямые, параллельные оси 𝑂𝑦 (𝑥=
2). 
В точках прямых проведем отрезки, образующие с осью 𝑂𝑥 один 
и тот же угол 𝛼 так, что tg𝛼= 𝑐. Так, при 𝑐= 0 имеем 𝑥= 0, tg𝛼= 0 ⇒
⇒𝛼= 0°; при 𝑐= 1 имеем 𝑥= 0,5, tg𝛼= 1 ⇒𝛼= 45°; при 𝑐= −1 
имеем 𝑥= −0,5, tg𝛼= −1 ⇒𝛼= −45°; при 𝑐= 2 имеем 𝑥= 1, 
tg𝛼= 2 ⇒𝛼= arctg2 ≈63° и т. д.  
Построив четыре изоклины и отметив 
на каждой из них ряд стрелочек, наклоненных к оси Ox под определенным углом 
(см. рисунок), по их направлениям строим 
линии, представляющие собой семейства 
парабол. 
Выполнить самостоятельно: проверьте, являются ли приведенные функции решениями для соответствующих 
ОДУ:  
1) 𝜑1(𝑥) = 𝐶1𝑒𝑥, 𝜑2(𝑥) = 𝐶1𝑒−𝑥 для
𝑦′′ −𝑦= 0. 
2) 𝜑1(𝑥) = 𝐶1 cos 𝑥, 𝜑2(𝑥) = 𝐶1 sin 𝑥 для 𝑦′′ + 𝑦= 0.
7 

Задавая различные значения постоянных (т. е. варьируя постоянные), получаем множество частных решений уравнения. Частные решения изображаются на плоскости в виде кривых, называемых интегральными. Так, в примере 1.3 в случае 1) при C = −2 получим частное решение 𝑦= 𝑥2 −2, интегральная кривая которого представляет собой параболу. Обычно на практике из всей совокупности решений нужно выбрать то, которое соответствует определенному физическому процессу. 
Это означает, что из множества интегральных кривых требуется выделить одну, проходящую через заданную точку. Для этого необходимо 
задать дополнительные условия, которым должно удовлетворять искомое решение. Эти условия называются начальными. 
Начальными условиями для ОДУ n-го порядка называется система 
из (n+1)-го числа 𝑥0, 𝑦0, 𝑦′(𝑥0), 𝑦′′(𝑥0), . . . , 𝑦(𝑛−1)(𝑥0), где x0 – начальное
значение независимой переменной. 
Пример 1.5 
1) Для 𝑦′ = 4𝑥 ОДУ 1-го порядка 𝑦(−1) = −3 – начальные условия,
𝑦= 2𝑥2 −5 – решение, удовлетворяющее этим начальным условиям
(парабола, проходящая через точку (−1;−3)). 
2) Для 𝑦′′ = 𝑥𝑒𝑥 ОДУ 2-го порядка удовлетворяющим начальным
условиям 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 0 решением является 𝑦= (𝑥−2)𝑒𝑥+ 𝑥+ 3.
Задачей Коши называется задача, состоящая в том, чтобы найти решение уравнения (1.1) или (1.2), удовлетворяющее заданным начальным условиям. Достаточные условия существования и единственности 
решения задачи Коши для ОДУ, разрешенного относительно старшей 
производной, определяются теоремой Коши. 
Теорема 
(Коши). 
Если 
функция 
(n + 1)-й 
переменной 
𝑓= 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, . . . , 𝑦(𝑛−1)) в области D (n + 1)-мерного пространства
непрерывна 
и 
имеет 
непрерывные 
частные 
производные 
по 
𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, . . . , 𝑦(𝑛−1), 
то, 
какова 
бы 
ни 
была 
точка
(𝑥0, 𝑦0, 𝑦′(𝑥0), 𝑦′′(𝑥0), . . . , 𝑦(𝑛−1)(𝑥0)) этой области, существует решение (и притом единственное) 𝑦= 𝜑(𝑥) уравнения (1.2), определенное 
на некотором интервале, содержащем точку x0 и удовлетворяющее 
начальным условиям  
(𝑥0, 𝑦0, 𝑦′(𝑥0), 𝑦′′(𝑥0), . . . , 𝑦(𝑛−1)(𝑥0)).
Единственность решения задачи Коши для уравнения первого порядка означает, что через заданную точку (x0, y0) проходит одна 
8 

интегральная кривая. Для ОДУ более высоких порядков таких интегральных кривых может быть множество, но на каждую из них накладываются дополнительные требования, позволяющие выделить единственную. Отметим, что чем выше порядок уравнения, тем больше 
должно быть таких дополнительных условий. 
Решить или, как часто говорят, проинтегрировать ОДУ – значит: 
а) найти его общее решение или общий интеграл (если начальные 
условия не заданы); 
б) или найти то частное решение уравнения, или частный интеграл, 
который удовлетворяет заданным начальным условиям (если таковые 
имеются). 
Встречаются ОДУ, имеющие особые решения. Особым решением 
называется решение, которое не содержится в общем решении ни при 
каком численном значении C, включая ±∞. 
Особое решение является результатом нарушения единственности 
решения задачи Коши. 
Геометрически особому решению соответствует интегральная кривая, которая является огибающей семейства интегральных кривых, 
определяемых общим решением. 
Контрольные вопросы 
1. Какое уравнение называется дифференциальным?
2. Как определить порядок дифференциального уравнения?
3. Что называется общим решением дифференциального уравнения? 
4. Как найти частное решение дифференциального уравнения?
9 

2. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 
ОДУ 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно представимо в виде 
𝑎(𝑥)𝑑𝑥+ 𝑏(𝑦)𝑑𝑦= 0, 
(2.1)
где функции 𝑎(𝑥), 𝑏(𝑦) являются соответственно функциями только от 
𝑥 или y. Уравнение (2.1) можно решить, находя интегралы отдельно: 
∫𝑎(𝑥)𝑑𝑥+ ∫𝑏(𝑦)𝑑𝑦= 𝐶. 
Уравнение вида 
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥+ 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦= 0 
является 
уравнением 
с 
разделяющимися 
переменными 
при 
𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑀1(𝑥) ⋅𝑀2(𝑦), 𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑁
1(𝑥) ⋅𝑁2(𝑦). Действительно, разделив обе части этого уравнения на 𝑁1(𝑥) ⋅𝑀2(𝑦), после сокращений
получим 
𝑀1(𝑥) ⋅𝑀2(𝑦)
𝑁
1(𝑥) ⋅𝑀2(𝑦) 𝑑𝑥+ 𝑁
1(𝑥) ⋅𝑁2(𝑦)
𝑁
1(𝑥) ⋅𝑀2(𝑦) 𝑑𝑦= 0 ⇒
⇒𝑀1(𝑥)
𝑁
1(𝑥) 𝑑𝑥+ 𝑁2(𝑦)
𝑀2(𝑦) 𝑑𝑦= 0.
Полученное уравнение является уравнением вида (2.1), в котором 
𝑀1(𝑥)
𝑁2(𝑦)
𝑎(𝑥) =
𝑁1(𝑥) 𝑑𝑥, 𝑏(𝑦) =
𝑀2(𝑦) 𝑑𝑦.
Уравнение вида 
𝑑𝑦
𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑦′ =
𝑑𝑥
является 
уравнением 
с 
разделяющимися 
переменными 
при 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓
1(𝑥) ⋅𝑓
2(𝑦). Действительно, умножив обе части этого урав𝑑𝑥
нения на 
𝑓
2(𝑦), после сокращений получим 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑓
1(𝑥)⋅𝑓
2(𝑦)
𝑑𝑥⋅
1
⋅
𝑓
2(𝑦) =
𝑓
2(𝑦) ⇒𝑓
1(𝑥) ⋅𝑑𝑥−
𝑓
2(𝑦) = 0. 
−1
Это уравнение вида (2.1), в котором 𝑎(𝑥) = 𝑓
1(𝑥), 𝑏(𝑦) =
𝑓
2(𝑦). 
10