Газовая динамика сплошных сред

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Казанский национальный исследовательский 
технологический университет 
ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА
СПЛОШНЫХ СРЕД 
Учебно-методическое пособие 
2-е издание, переработанное и дополненное
Казань 
Издательство КНИТУ 
2023 

УДК 533.6(075) 
ББК 22.253.3я7 
Г13 
Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, проф. К. Х. Гильфанов 
д-р техн. наук, проф. Ю. Ф. Гортышов 
Г13 
Авторы: Д. И. Сагдеев, Т. В. Максимов, И. М. Абдулагатов,  
В. А. Аляев  
Газовая динамика сплошных сред : учебно-методическое пособие / 
Д. И. Сагдеев, Т. В. Максимов, И. М. Абдулагатов, В. А. Аляев; 
Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – 2-е изд., 
перераб. и доп. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2023. – 192 с. 
ISBN 978-5-7882-3365-9 
Изложены основные теоретические положения и методы исследований по 
прикладной газовой динамике сплошных сред. Рассмотрены вопросы теории параметров потока газа, обтекания сверхзвуковым потоком внешнего тупого угла, 
скачков уплотнения, расчета газоструйного эжектора, а также общие вопросы 
движения вязкого газа и жидкости, основные понятия пограничного слоя, которые сопровождаются примерами решения индивидуальных заданий, конкурсных 
задач и контрольными вопросами. 
Предназначено для обучающихся направления подготовки 15.03.02 «Технологические машины и оборудование». 
Подготовлено на кафедре вакуумной техники электрофизических установок. 
УДК 533.6(075) 
ББК 22.253.3я7 
ISBN 978-5-7882-3365-9 
© Сагдеев Д. И., Максимов Т. В., 
Абдулагатов И. М., Аляев В. А., 2023 
© Казанский национальный исследовательский 
технологический университет, 2023 
2

С О Д Е Р Ж А Н И Е
Перечень условных обозначений 
......................................................................................................................5 
Введение 
..............................................................................................................................................................7 
1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИКЛАДНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 
................................................10 
1.1. Понятие о рабочем теле. Задачи, модели газа и жидкости. Параметры потока газа 
........................10 
1.2. Методы расчета потоков в прикладной газовой динамике 
.................................................................12 
1.2.1. Уравнения движения Навье–Стокса 
.................................................................................................14 
1.2.2. Уравнение неразрывности (сплошности) ........................................................................................14 
1.2.3. Уравнение состояния Менделеева–Клайперона .............................................................................14 
1.2.4. Уравнения зависимости вязкости от температуры и давления .....................................................15 
1.2.5. Уравнение энергии 
.............................................................................................................................15 
1.2.6. Уравнение термоупругости 
...............................................................................................................15 
1.3. Одномерное течение невязкого (идеального) газа 
...............................................................................16 
1.3.1. Уравнение неразрывности (сплошности) ........................................................................................16 
1.3.2. Уравнения движения Эйлера ............................................................................................................17 
1.3.3. Уравнение состояния газа .................................................................................................................17 
1.3.4. Уравнение энергии 
.............................................................................................................................17 
1.4. Закон сохранения массы (уравнение неразрывности, сплошности) ..................................................18 
1.5. Закон сохранения энергии (уравнение энергии) 
..................................................................................22 
1.6. Параметры торможения .........................................................................................................................27 
1.7. Характерные скорости течения газа 
......................................................................................................34 
1.7.1. Скорость звука (скорость распространения звука) 
.........................................................................34 
1.7.2. Максимальная скорость течения газа 
...............................................................................................36 
1.7.3. Критическая скорость 
........................................................................................................................38 
1.7.4. Безразмерные и приведенные скорости ...........................................................................................40 
1.8. Газодинамические функции параметров торможения τ(λ), π(λ), ε(λ) ................................................43 
1.9. Связь между скоростью и площадью поперечного сечения в энергоизолированном 
изоэнтропном потоке 
.....................................................................................................................................45 
1.10. Газодинамические функции потока массы 
.........................................................................................47 
1.11. Примеры решения контрольных задач индивидуального задания № 1 ..........................................50 
1.12. Конкурсные задачи ...............................................................................................................................54 
2. ОБТЕКАНИЕ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА ТВЕРДЫХ ТЕЛ ...................57 
2.1. Распространение слабых возмущений в потоке газа 
...........................................................................57 
2.2. Обтекание сверхзвуковым потоком внешнего тупого угла 
................................................................60 
2.3. Обтекание сверхзвуковым потоком внутреннего тупого угла ...........................................................65 
2.4. Примеры решения контрольных задач индивидуального задания № 2 ............................................68 
2.5. Конкурсные задачи .................................................................................................................................69 
3 

3. СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ ...........................................................................................................................71 
3.1. Прямые и косые скачки уплотнения .....................................................................................................71 
3.2. Теория косого скачка уплотнения .........................................................................................................76 
3.3. Кинетическое и динамическое соотношения .......................................................................................77 
3.4. Примеры решения контрольных задач индивидуального задания № 3 ............................................83 
3.5. Конкурсные задачи .................................................................................................................................90 
4. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ РАСЧЕТА И ПРОЕКТИРОВАНИЯ СТРУЙНЫХ АППАРАТОВ 
.......................91 
4.1. Принципиальная схема струйного аппарата ........................................................................................91 
4.2. Классификация струйных аппаратов ....................................................................................................93 
4.3. Определение конструктивных и режимных параметров газоструйного эжектора ..........................98 
4.4. Пример решения контрольный задачи индивидуального задания № 4 
...........................................107 
5. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОГО ГАЗА И ЖИДКОСТИ. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ .........................................112 
5.1. Общие свойства вязких течений. Уравнения Навье–Стокса. Частные случаи течения 
.................112 
5.2. Течение вязкой жидкости в узких щелях ...........................................................................................115 
5.3. Подобие гидромеханических процессов ............................................................................................121 
5.4. Основные понятия теории  пограничного слоя..................................................................................126 
5.4.1. Метод Стокса–Одинца 
.....................................................................................................................126 
5.4.2. Метод Прандтля ...............................................................................................................................126 
5.5. Дифференциальное уравнение пограничного слоя (уравнение Прандтля) 
.....................................130 
5.6. Основные понятия о турбулентном пограничном слое ....................................................................132 
5.7. Схема турбулентного пограничного слоя ..........................................................................................135 
5.8. Пограничный слой с продольным градиентом давления. Отрыв. Взаимодействие 
со скачками уплотнения ..............................................................................................................................136 
5.9. Понятие о турбулентных струях .........................................................................................................142 
5.10. Управление турбулентным пограничным слоем .............................................................................144 
5.11. Контрольные вопросы по самоподготовке 
.......................................................................................146 
5.12. Порядок выполнения индивидуальных заданий 
..............................................................................151 
5.13. Ответы на контрольные вопросы по теме 5 .....................................................................................152 
Список литературы 
.........................................................................................................................................153 
Приложения ....................................................................................................................................................154 
Приложение 1 
...............................................................................................................................................154 
Приложение 2 
...............................................................................................................................................157 
Приложение 3 
...............................................................................................................................................170 
Приложение 4 
...............................................................................................................................................171 
Приложение 5 
...............................................................................................................................................179 
Приложение 6 
...............................................................................................................................................184 
Приложение 7 
...............................................................................................................................................185 
Приложение 8 
...............................................................................................................................................186 
Приложение 9 
...............................................................................................................................................187 
Приложение 10 
.............................................................................................................................................188 
Приложение 11 
.............................................................................................................................................189 
4 

П Е Р Е Ч Е Н Ь  У С Л О В Н Ы Х  О Б О З Н А Ч Е Н И Й
𝑎 – скорость звука
𝑎кр – критическая скорость
𝑏 –  ширина
𝑐𝑓 –  коэффициент сопротивления
𝑐р – теплоемкость при
𝐷, 𝑑 –  диаметр
𝐹 – площадь поверхности, сечения
𝑘  –  показатель изоэнтропы
𝐿  –  механическая работа, длина
𝐿𝑟  –  работа сил трения
𝑙  –  длина
𝑀  –  масса газа, число Маха
𝑀𝑐  –  массовый секундный расход жидкости, газа
𝑚  –  основной геометрический параметр
𝑝  –  давление
𝑄  –  тепловая энергия
𝑄𝑒  –  тепловая энергия, подводимая извне
𝑅  –  газовая постоянная
𝑟  –  радиус
T  – температура, К
𝑡  – температура, °С
𝑤  –  скорость
𝑥  –  линейный размер
𝛼  –  угол фронта скачка
𝛽  –  угол между фронтом скачка и скоростью газа за скачком
𝛿  –  угол отклонения потока, толщина пограничного слоя
𝛿∗ –  условная толщина вытеснения пограничного слоя
𝛿∗∗ –  условная толщина потери импульса пограничного слоя
Δ  – шероховатость
𝜋(𝜆), 𝜀(𝜆), 𝜏(𝜆), 𝑞(𝜆), 𝑦(𝜆) –  газодинамические функции
𝜆  –  приведенная скорость
𝜆тр –  коэффициент сопротивления трения
𝜇  –  коэффициент динамической вязкости
𝜇  –  угол слабых возмущений
𝜈  –  коэффициент кинематической вязкости
5 

𝜌  –  плотность жидкости, газа
𝜔  –  угол отклонения потока в косом скачке уплотнения
𝜎  –  коэффициент восстановления полного давления
𝜏  –  напряжение сил трения
𝜙  –  скоростной коэффициент
𝜍  –  коэффициент сопротивления
Nw – число подобия Ньютона
Re  –  число подобия Рейнольдса
Sh  – число подобия Струхаля
Fr  – число подобия Фруда
Eu  – число подобия Эйлера
𝑀  –  число подобия Маневского–Маха
𝑃𝑟  – число подобия Прандтля
𝛿  –  толщина пограничного слоя
𝑤гр –  скорость на границе пограничного слоя
𝑤∞ – скорость в ядре потока 
𝑤0 – скорость внешнего потока 
Индексы 
0 – исходное состояние 
1 – начальное сечение 
2 – конечное сечение 
г – горло канала 
кр – критическое сечение 
n – нормальные составляющие 
𝜏 – тангенциальные составляющие 
c – сечение выхода из сопла 
* – параметры торможения
6 

Посвящается памяти профессора 
Максимова Валерия Архиповича 
В В Е Д Е Н И Е
Промышленная революция (ПР) – коренное, качественное преобразование производительных сил на основе превращения науки в ведущий 
фактор развития общественного производства, непосредственную производительную силу. В эпоху, когда все в большей мере проявляется роль 
науки как непосредственной производительной силы, главным становятся уже не отдельные достижения, какими бы блестящими они ни были, 
а высокий научно-технический уровень всего производства.  
ПР выдвинула требования коренной перестройки технической 
базы производства, что, в свою очередь, требует от выпускника вуза нового мышления, новой идеологии. Развитие науки и техники должно 
быть подчинено решению экономических и социальных задач, стоящих 
перед нашим обществом. ПР – весомый фактор дальнейшего развития 
термоядерной энергетики, космических исследований, инноваций 
в электронике и электротехнике, машиностроении и металлургии, химической, легкой, пищевой промышленности и т. д. ПР также диктует 
необходимость самого широкого использования современных компьютерных технологий для решения сложнейших задач по моделированию 
газодинамических процессов. 
Специалистам, работающим в области вакуумного откачного оборудования, турбин, компрессоров, часто приходится иметь дело с расчетом или исследованием газовых потоков в различных частях машин. 
Поэтому они должны хорошо знать законы движения газов в условиях 
разреженного газа и сплошной среды, а также уметь применять их на 
практике. 
Механика жидкостей и газов представляет собой весьма обширную 
отрасль науки, которая включает в себя такие дисциплины, как гидравлика, гидродинамика, аэродинамика и газовая динамика. Две первые из 
них изучают вопросы механики несжимаемой жидкости, например воды. 
Аэродинамика изучает движение воздуха, причем, пока рассмотрение 
ограничивается областью невысоких скоростей, воздух представляют как 
7 

 
несжимаемую жидкость, не имеющую веса. При переходе к большим скоростям необходимо учитывать сжимаемость, подвод и отвод тепла. 
Именно здесь и начинается область газовой динамики. 
В последнее время интенсивно развиваются новые отрасли механики жидкости и газа. К ним относятся гиперзвуковая аэродинамика, 
механика сильно разреженных газов, супераэродинамика и магнитная 
газодинамика.  
В гиперзвуковой аэродинамике изучается движение тел в газе 
с очень большими сверхзвуковыми скоростями.  
Супераэродинамика связана с течениями газа, настолько разреженного, что длина свободного пробега молекул становится соизмеримой с размерами обтекаемого тела. В этом состоянии газ уже нельзя 
рассматривать как сплошную среду – здесь приобретают большое значение индивидуальные взаимодействия молекул с обтекаемым телом.  
В магнитной газодинамике изучается движение электропроводящего газа (плазмы) в магнитном поле. При взаимодействии электрического тока с магнитным полем возникают, как известно, электродинамические силы. Организованные соответствующим образом, эти силы, 
действующие на частицы газа, могут быть использованы для увеличения или уменьшения скорости или для изменения направления потока. 
Значительную роль в газовой динамике играют экспериментальные исследования. С их помощью проверяются разработанные теорией 
методы расчета. Постановка эксперимента также позволяет быстро получить конкретные данные, необходимые при проектировании новых 
машин. Накопление экспериментальных данных и их последующий 
анализ часто дают возможность уточнить физическую картину явлений 
и выбрать рациональную расчетную схему. Методы экспериментальных исследований совершенствовались параллельно с развитием теории. В настоящее время они довольно тщательно систематизированы 
и составляют самостоятельный раздел газодинамики, называемый экспериментальной аэро- или экспериментальной газодинамикой. 
Необходимый в практической работе инженера (вакуумщика или 
компрессорщика) круг вопросов, отобранных как из теоретических, так 
и из экспериментальных и прикладных разделов газодинамики, составляет отдельную дисциплину, называемую прикладной газовой динамикой. В этой дисциплине многие задачи даются не в такой строгой постановке, как, например, в теоретической газодинамике, а при решении 
часто применяются приближенные методы. В большинстве случаев эти 
8 

методы достаточно просты, дают вполне удовлетворительную точность 
и потому имеют широкое распространение в инженерной практике. 
Прикладная газовая динамика опирается на такие дисциплины, 
как теоретическая механика, гидравлика, термодинамика и, конечно, 
математика и физика. Они составляют тот фундамент, без которого изучение прикладной газодинамики невозможно. На этот предмет, в свою 
очередь, опираются специальные дисциплины учебного плана специальности, например «Вакуумная и компрессорная техника электрофизических установок». 
9 

.  О С Н О В Н Ы Е  У Р А В Н Е Н И Я  П Р И К Л А Д Н О Й  
Г А З О В О Й  Д И Н А М И К И  
1 . 1 .  П о н я т и е  о  р а б о ч е м  т е л е .  З а д а ч и ,  м о д е л и  
г а з а  и  ж и д к о с т и .  П а р а м е т р ы  п о т о к а  г а з а  
В теории газодинамики пользуются понятием рабочего тела.  
Рабочее тело – это движущаяся материальная среда (жидкая или газообразная), которая является посредником в процессе превращения 
тепла в механическую работу или в процессе передачи энергии из одного места машины в другое. 
Наиболее широко применяются такие рабочие тела, как воздух, 
продукты сгорания углеводородов или других топлив, водяной пар, 
а также вода или минеральные масла. Все эти вещества обладают различными свойствами. Если гидро- или газодинамические расчеты производить, принимая во внимание все свойства рабочего тела, то решение получается чрезвычайно громоздким. С другой стороны, если не 
учитывать всех свойств жидкости, а взять только те из них, которые 
оказывают заметное влияние на параметры потока, то задача может 
сильно упроститься без ущерба для точности. В связи с этим в гидродинамике и в прикладной газовой динамике пользуются понятиями моделей жидкости. 
Задачи, изучаемые в гидродинамике, классифицируются в зависимости от взаимного расположения потока жидкости и обтекаемого тела 
на внешние и внутренние, в зависимости от характера заданных и искомых величин – на прямые и обратные. 
Внешняя задача рассматривает твердое тело, обтекаемое снаружи 
потоком жидкости, внутренняя задача – течение жидкости в трубах или 
каналах, когда поток жидкости движется внутри, а стенки твердого тела 
ограничивают его снаружи. Если при постановке задачи известны формы 
и размеры обтекаемого тела, требуется определить параметры потока во 
всех точках изучаемого пространства, то речь идет о прямой задаче. Если 
же заданы параметры потока и требуется определить геометрические размеры и формы обтекаемого тела, то задача этого вида называется обратной. Каждому виду задач соответствуют свои особенности расчета, хотя 
основные уравнения и закономерности остаются во всех случаях одними 
10