Введение в системный анализ

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Казанский национальный исследовательский 
технологический университет 
Н. Н. Зиятдинов, Т. В. Лаптева, И. В. Логинова 
ВВЕДЕНИЕ  
В СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ
Учебно-методическое пособие 
Казань 
Издательство КНИТУ 
2023 

УДК 519.7(075) 
ББК 22.18я7  
З-66 
Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, проф. Р. И. Ибятов 
д-р техн. наук, доц. С. В.  Новикова 
З-66 
Зиятдинов Н. Н. 
Введение в системный анализ : учебно-методическое пособие / 
Н. Н. Зиятдинов, Т. В. Лаптева, И. В. Логинова; Минобрнауки России, 
Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2023. – 
108 с. 
ISBN 978-5-7882-3353-6 
Приведены основные определения и рассмотрены задачи в области системного анализа, изложена базовая информация о задачах линейного программирования и методах их решения. Теоретический материал подкреплен разбором примеров задач, заданиями по лабораторным работам и вопросами для самопроверки. 
Предназначено для бакалавров, обучающихся по направлениям подготовки 
27.03.01 «Стандартизация и метрология», 27.03.02 «Управление качеством», 
27.03.03 «Системный анализ и управление», 27.03.05 «Инноватика», а также может быть использовано студентами других направлений, изучающими дисциплину «Системный анализ и принятие решений». 
Подготовлено на кафедре системотехники. 
УДК 519.7(075) 
ББК 22.18я7 
ISBN 978-5-7882-3353-6 
© Зиятдинов Н. Н., Лаптева Т. В., 
Логинова И. В., 2023 
© Казанский национальный исследовательский 
технологический университет, 2023 
2

С О Д Е Р Ж А Н И Е
Введение 
......................................................................................................................... 5 
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА И ПРИНЯТИЯ
РЕШЕНИЙ ..................................................................................................................... 6 
1.1. Понятие и свойства системы ........................................................................ 6 
1.2. Системные направления исследования ..................................................... 10 
1.3. Принятие решений ....................................................................................... 11 
1.3.1. Подходы к процедурам принятия решений ....................................... 11 
1.3.2. Классификация задач принятия решений .......................................... 12 
1.4. Оптимизационный подход в задачах принятия решений 
........................ 14 
1.4.1. Постановка задачи оптимизации 
......................................................... 14 
1.4.2. Классификация задач оптимизации .................................................... 15 
Вопросы для контроля знаний 
........................................................................... 16 
2. ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ..................................... 18 
2.1. Постановка задачи ЛП 
................................................................................. 18 
2.2. Эквивалентные постановки задач .............................................................. 19 
2.3. Примеры задачи ЛП и их математические модели .................................. 22 
2.4. Графический метод решения задач ЛП ..................................................... 25 
2.4.1. Пример решения задачи  ЛП графическим методом ........................ 26 
2.4.2. Анализ полученного решения ............................................................. 30 
Вопросы для контроля знаний 
........................................................................... 33 
3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.
ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ..................................................................................... 34 
3.1. Численные методы решения задач ЛП. Базисное решение 
..................... 34 
3.2. Симплексный метод 
..................................................................................... 37 
3.3. Двойственная задача линейного программирования ............................... 45 
Вопросы для контроля знаний 
........................................................................... 55 
4. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 
........................... 56 
4.1. Постановка задачи целочисленного линейного программирования 
...... 56 
4.2. Метод ветвей и границ ................................................................................ 58 
4.3. Задача с булевыми переменными  (задача выбора вариантов) ............... 61 
Вопросы для контроля знаний 
........................................................................... 64 
3 

5. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ 
........................................................................ 65 
Лабораторная работа 1. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ 
МОДЕЛИ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 
..................... 65 
Лабораторная работа 2. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ........................................................ 79 
Лабораторная работа 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО 
ПРОГРАММИРОВАНИЯ В MS EXCEL 
.......................................................... 86 
Лабораторная работа 4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ЛП 
В MS EXCEL ....................................................................................................... 98 
Заключение ................................................................................................................ 105 
Библиографический список ..................................................................................... 106 
4 

В В Е Д Е Н И Е
Системный анализ – это решение сложных проблем жизнедеятельности человека и принятия решений в ситуациях, когда необходимо 
осуществлять выбор одной альтернативы из множества существующих, 
это комплекс специальных процедур, приемов, методов, обеспечивающих реализацию системного подхода. 
В пособии рассмотрен широкий круг вопросов в области системного анализа, изложена базовая информация о задачах и методах линейного программирования (ЛП). 
Пособие состоит из введения, четырех глав, лабораторного практикума, заключения, библиографического списка.  
В первой главе рассмотрены основные понятия системного анализа и принятия решений. Выделен оптимизационный подход в задачах 
принятия решений. 
Во второй главе рассмотрены постановки и примеры задач линейного программирования. Для лучшего понимания и наглядности разобран графический метод и анализ результатов решения задачи планирования производства.  
Третья глава посвящена численным методам решения задач линейного программирования. На конкретном примере изложен алгоритм 
табличного симплексного метода, дан анализ решения. Описана двойственная задача линейного программирования, дана ее экономическая 
интерпретация. Для ранее рассмотренного примера установлена связь 
прямой и двойственной задач. Показано, как двойственные оценки служат инструментом анализа и принятия правильных решений в условиях 
меняющихся коммерческих ситуаций. 
В четвертой главе рассмотрены задачи целочисленного программирования, к которым сводится большинство практических задач принятия 
решения, а также метод ветвей и границ для решения этого класса задач.  
Каждая глава сопровождается вопросами для контроля знаний. 
В лабораторном практикуме приведены материалы для выполнения лабораторных работ к каждой главе. Работы выполняются в среде 
MS Excel. 
5 

.  О С Н О В Н Ы Е  П О Н Я Т И Я  С И С Т Е М Н О Г О
А Н А Л И З А  И  П Р И Н Я Т И Я  Р Е Ш Е Н И Й  
1 . 1 .  П о н я т и е  и  с в о й с т в а  с и с т е м ы
Система (с греч. целое, состоящее из частей) – совокупность элементов, находящихся в связях и отношениях между собой и окружающей средой, образующая присущую данной системе качественную 
определенность, единство (рис.1.1). 
Система обладает следующими основными свойствами: 
– целостность и членимость;
– иерархичность;
– коммуникативность;
– связность;
– интегративность;
– организованность;
– наличие жизненного цикла.
Свойство целостности и членимости. Целостность системы
означает, что в некотором существенном аспекте «сила» связей между 
элементами внутри системы выше, чем с внешней средой. 
Членимость означает возможность расчленения системы на относительно самостоятельные компоненты – подсистемы. Расчленение системы на подсистемы и элементы часто является условным и зависит от 
целей исследования. 
Свойство иерархичности. Это свойство проявляется в многоступенчатом построении системы, когда каждый ее уровень (подсистема) 
связан с ближайшими – верхним и нижним. Причем уровни более высокого порядка ставят цели перед уровнями более низкого порядка. 
Свойство коммуникативности. Система не является изолированной, а взаимодействует через множество связей (коммуникаций) со 
окружающей средой. 
Свойство связности системы. Это наличие связей и отношений, которые позволяют посредством переходов по ним от элемента к элементу 
соединить два любых элемента системы. Межэлементные связи подразделяются по содержанию (материально-вещественные, энергетические, информационные) и по направлению (прямые, обратные, нейтральные). 
6 

 
Рис. 1.1. Структура системы 
Совокупность элементов и связей между ними образует структуру системы. Структуру можно графически изобразить в виде графа, 
узлы которого соответствуют элементам, а дуги – связям. Возможные 
виды структур: линейные, параллельные, замкнутые, сотовые, сетевые, 
иерархические и др. (рис. 1.2).  
 
 
 
 
Линейная 
Параллельная 
Замкнутая 
 
 
 
Сотовая 
Сетевая 
Иерархическая 
 
Рис. 1.2. Виды структур системы 
7 

Свойство интегративности (эмерджентности). Это свойство системы, не присущее отдельным элементам системы. Проявляется в следующем:  
– свойства системы не являются суммой свойств элементов;  
– свойства системы зависят от свойств элементов (изменение части вызывает изменение в других частях и во всей системе). 
Таким образом, система не сводится к простой совокупности элементов. Возможности системы превосходят возможности ее частей.  
Свойство организованности системы. Это свойство состоит 
в наличии определенной организации, что проявляется в снижении информационной энтропии (степени неопределенности) системы. Информационная энтропия Э есть натуральный логарифм числа S допустимых 
состояний системы, т. е. Э = ln S.  
Уровень организованности системы: R = 1 – Э/Эmax, где Эmax – максимальная энтропия, лежит в пределах 0 ≤ R ≤ 1.  
Если система полностью детерминирована и организована, то 
Э = 0 и R = 1. Если система полностью дезорганизована, то информационная энтропия максимальна и R = 0.  
Повышение уровня упорядоченности и организованности системы R за счет накопления информации проявляется в уменьшении энтропии.  
 
Рис. 1.3. Модель жизненного цикла системы 
8 

Свойство жизненного цикла системы. Жизненный цикл для систем любого типа (естественных и искусственных, технических, биологических, социальных и др.) – это процесс последовательного изменения состояния системы, проходящий определенные стадии начиная 
с момента ее возникновения до полного исчезновения. 
Модель жизненного цикла в общем виде отображается S-образной 
кривой (рис. 1.3), характеризующей изменения во времени главных характеристик системы (сила, мощность, работоспособность, энергия, 
производительность и т. д.).  
Кривая жизненного цикла имеет характерные для всех систем 
участки: создание, рост, эксплуатация, спад. 
Классификация систем по наиболее существенным признакам 
приведена в табл. 1.1. 
 
Таблица 1.1 
Классификация систем 
Признак 
классификации 
Классы систем и их характеристика 
Происхождение 
Естественные  
Искусственные 
Абстрактная  
Природа элементов 
Реальная  
(физическая) 
(символическая) 
Длительность существования 
Постоянные 
Временные 
Изменчивость 
Статические 
Динамические 
Сложность 
Простые 
Сложные 
Большие 
Отношение к среде 
Изолированные 
Закрытые 
Открытые 
 
 
Активные 
Пассивные 
Реакция на воздействия среды  
Предсказуемость 
поведения 
Детерминированные Стохастические Неопределенные 
Конкретные системы на свяАбстрактные системы без 
зях между элементами повходных и выходных потосредством процессов на входНаличие 
входящих и выходящих потоков 
ков 
ных и выходных потоках 
Организованность 
Хорошая 
Плохая 
Самоорганизующиеся 
 
9 

. 2 .  С и с т е м н ы е  н а п р а в л е н и я  и с с л е д о в а н и я  
Системный подход – это метод познания, при котором исследуемый объект представляется как целостная совокупность элементов, 
находящихся в отношениях и устойчивых связях между собой. При таком подходе в процессе проведения исследований учитываются системные свойства анализируемых объектов. Суть системного подхода 
заключается в постановке задачи исследования, рассмотрении объекта 
как системы из внешней среды, установлении компонентов и присущих 
им свойств, определении целей системы и ее подсистем, построении 
модели системы для изучения ее состояний. 
Системный подход является основой системного анализа. 
Системный анализ – это совокупность методов исследования, проектирования и управления сложными системами, в том числе в условиях 
различного рода неопределенностей (неполноты информации, ограниченности ресурсов и дефицита времени и т. д.). Важнейшей задачей системного анализа является проблема принятия решения, связанная с выбором эффективной альтернативы в условиях неопределенности.  
Основной инструмент системного анализа – метод математического моделирования, суть которого состоит в замене исследуемого 
объекта его математической моделью и в исследовании свойств этой 
модели с использованием компьютерных технологий. 
Математическая модель – это математическое представление 
наиболее существенных свойств объекта, которое позволяет предсказывать его поведение в определенных условиях. 
Перейдем к рассмотрению основных этапов исследования. 
В системном анализе всегда присутствуют три главных этапа: 
1. Постановка задачи исследования. 
2. Построение математической модели исследуемого объекта (декомпозиция, параметризация, композиция). 
3. Решение поставленной математической задачи. 
При декомпозиции (с фр. – разделение целого на части) выделяют 
элементы объекта, отношения, связи и взаимодействия между ними 
и внешней средой (рис. 1.4). Кроме того, определяют перечень входных 
и выходных воздействий элементов.  
На этапе параметризации устанавливают показатели свойств и выявляют зависимости между входными и выходными воздействиями. 
10