Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2024, № 6
Покупка
Новинка
Издательство:
Год издания: 2024
Кол-во страниц: 94
Дополнительно
Доступ онлайн
4 023 ₽
В корзину
Тематика:
ББК:
УДК:
- 004: Информационные технологии. Вычислительная техника...
- 007: Деятельность и организация. Общая теория информации связи и управления (кибернетика)
- 51: Математика
ОКСО:
- 01.00.00: МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
- 02.00.00: КОМПЬЮТЕРНЫЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ НАУКИ
- 09.00.00: ИНФОРМАТИКА И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
Российская академия наук
ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
Том 520 2024 Ноябрь-Декабрь
Основан в 1933 г.
Выходит 6 раз в год ISSN 2686-9543
Журнал издается под руководством Президиума РАН
Редакционный совет
Г.Я. Красников (председатель), В.Я. Панченко, С.Н. Калмыков, Н.С. Бортников, А.Г. Габибов, В.В. Козлов, О.В. Руденко
Главный редактор А.Л. Семенов
Редакционная коллегия
А.А. Галяев (заместитель главного редактора),
В.П. Платонов (заместитель главного редактора), В.А. Васильев, С.Н. Васильев, С.С. Гончаров, И.А. Каляев, В.В. Козлов, А.Б. Куржанский, И.А. Соколов, И.А. Тайманов, Д.В. Трещев, Б.Н. Четверушкин
Ответственный секретарь Ю.В. Чехович
Заведующая редакцией Т.А. Оловянникова
Адрес редакции: 119991, Москва, Ленинский проспект, д. 14
E-mail: doklady_mathematics@mail.ru
Москва ФГБУ «Издательство «Наука»
Оригинал-макет подготовлен ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Доклады российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления” (составитель), 2024
СОДЕРЖАНИЕ Том 520, 2024 год МАТЕМАТИКА F-фактор интерполяция решений уравнения с вырожденной функцией Ю. Г. Евтушенко, А. А. Третъяков 5 Трехмерные сеточно-характеристические схемы повышенного порядка аппроксимации И. Б. Петров, В. И. Голубев, А. В. Шевченко, A. Sharma 11 Решеточное уравнение Больцмана для нелинейной анизотропной диффузии в приложениях к задаче обработки изображений О. В. Ильин 19 Промежуточные асимптотики решений уравнений типа Эмдена—Фаулера С. А. Степин, А. И. Шафаревич 24 Метод туннельной кластеризации Ф. Т. Алескеров, А. Л. Мячин., В. И. Якуба 29 Подход для построения уточненных обобщенных моделей долговечности композитов в экстремальных условиях на основе современных положений кинетической теории прочности Е. Л. Гусев, В. Н. Бакулин 35 Счетный спектр слабо о-минимальных теорий конечного ранга выпуклости Б. Ш. Кулпешов 43 Приближенная теория гироскопа и ее приложения для движения космических объектов А. Г. Петров 54 Об аппроксимации функциями с ограниченным спектром Ю. А. Криксин, В. Ф. Тишкин 57 Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных операторов с линейной зависимостью от спектрального параметра В. С. Кобенко, А. А. Шкаликов 64
ИНФОРМАТИКА Индекс этичности российских банков на основе искусственного интеллекта М. А. Сторчевой, П. А. Паршаков, С. Н. Паклина, А. В. Бузмаков, В. В. Кракович 70 Онтологии как фундамент формализации научной информации и извлечения новых знаний А. С. Бубнов, Н. И. Галлини, И. Ю. Гришин, И. М. Кобозева, Н. В. Лукашевич, М. Б. Панич, Е. Н. Раевский, Ф.А. Садковский, Р. Р. Тимиргалеева 82 ПОПРАВКА Поправка к статье “Совместная логика задач и высказываний”, 2024, том 516, с. 38—50 С. А. Мелихов 90 2
CONTENT Vol. 520, 2024 год MATHEMATICS F-Factor Interpolation of Solutions of an Equation with a Degenerate Function Yu. G. Evtushenko, A. A. Fret’yakov 5 Three-Dimensional Grid Characteristic Schemes of High Order of Approximation I. B. Petrov, V. I. Golubev, A. V. Shevchenko, A. Sharma 11 Lattice Boltzmann Model for Nonlinear Anisotropic Diffusion with Applications to Image Pro-cessing О. V Ilyin 19 Intermediate Asymptotics for Solutions to Equations of Emden-Fowler Type S. A. Stepin, A. I. Shafarevich 24 Tunnel Clustering Method F. Aleskerov, A. Myachin, V. Yakuba 29 An Approach for Constructing Refined Generalized Models of Durability of Composites in Extreme Conditions Based on Modern Provisions Kinetic Theory of Strength E. L. Gusev, VN. Bakulin 35 The Countable Spectrum of Weakly O-Minimal Theories of Finite Convexity Rank B. Sh. Kulpeshov 43 Approximate Theory of a Gyroscope and Its Applications to the Motion of Space Objects A. G. Petrov 54 On An Approximation by Band-Limited Functions Yu. A. Kriksin, VF Fishkin 57 Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations with Linear Dependence on the Spectral Parameter V S. Kobenko, A. A. Shkalikov 64 3
COMPUTER SCIENCES AI-Based Ethics Index of Russian Banks M. A. Slorchevoy, P A. Parshakov, S. N. Paklina, A. V. Buzmakov, V. V. Krakovich 70 Ontologies As a Foundation for Formalization of Scientific Information and Extracting New Knowledge A. S. Bubnov, N. I. Gallini, I. Yu. Grishin, I. M. Kobozeva, N. V. Lukashevich, M. B. Panich, E. N. Raevsky, F.A. Sadkovsky, R. R. Timirgaleeva 82 CORRECTION Correction to the article “A Joint Logic of Problems and Propositions” S.A. Melikhov 90 4
ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2024, том 520, с. 5-10
МАТЕМАТИКА
УДК 519.615
Р-ФАКТОР ИНТЕРПОЛЯЦИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННОЙ ФУНКЦИЕЙ
© 2024 г. Академик РАН Ю. Г. Евтушенко¹’*, А. А. Третьяков¹,²,³’**
Получено 15.08.2024 г.
После доработки 15.08.2024 г.
Принято к публикации 14.10.2024 г.
В статье рассматривается новый метод интерполяции нелинейных функций на отрезке, так называемый p-фактор метод интерполяции. Показывается на примере интерполяционного полинома Ньютона, что в случае вырождения аппроксимируемой функции Дх) в решении, классическая интерполяция не дает необходимой точности для поиска приближенного решения уравнения Дх) = 0, в отличие от невырожденного регулярного случая. В свою очередь, использование p-фактор интерполяционных полиномов для аппроксимации функций с целью получения нужного приближенного решения уравнения дает необходимый порядок точности по аргументу при вычислениях. Полученные результаты базируются на конструкциях теории p-регулярности и аппарата p-фактор операторов, эффективно используемых при исследовании вырожденных отображений.
Ключевые слова: аппроксимация, p-фактор интерполяция, полином, вырожденность, решение, р-регулярность.
DOI: 10.31857/S2686954324060016, EDN: KMDSNZ
1. ВВЕДЕНИЕ
В этой статье мы рассматриваем одно из последних применений теории p-регулярности — аппроксимацию вырожденных функций новым классом полиномов, так называемыми p-фактор интерполяционными полиномами (или p-фактор интерполяционными полиномами Ньютона). Существует большое число работ, посвященных аппроксимации и интерполяции функций полиномами (см., например, [1—11]). Однако, при интерполяции вырожденных функций может теряться порядок аппроксимации аргументов функций. Например, решения уравнений с исходной функцией и аппроксимирующим полиномом могут существенно отличаться и быть на порядок меньше, нежели порядок приближения функции. Мы это покажем ниже.
Рассмотрим аппроксимацию функции f (х) интерполяционным полиномом Ньютона, так как идеологически он является основополагающим для построения других видов полиномов интерполяции.
¹ Федеральный исследовательский центр “Информатика и управление” Российской академии наук, Москва, Россия
² Siedlce University, Faculty of Sciences, Siedlce, Poland
³Systems Research Institute, Polish Academy of Sciences, Warsaw, Poland
* E-mail: yuri-evtushenko@yandex.ru
** E-mail: prof.tretyakov@gmail.com
2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ ПОЛИНОМ НЬЮТОНА
Пусть Дх) е Cp⁺¹([a,b]), где [a,b] некоторый отрезок, на котором мы аппроксимируем функцию f (х). Рассмотрим уравнение
f(x) = 0, (1)
где х е [a, b]. Для некоторого Дх > 0 определим точки х,, i = 0,.. ,,п следующим образом:
х₀ = a, х₁ = х₀ + Дх, х₂ = х₁ + Дх,..., хп = хп₋₁ + Дх = b.
Пусть у, = Дх,-), i = 0,...,п. Задача интерполяции состоит в построении полинома Ж„(х) степени п такого, что Ж„(х,-) = у,, i = 0,...,п, и который дает хорошую аппроксимацию функции Дх) и ее аргументов. Здесь имеется ввиду близость аргументов решения уравнения Ж(х) = 0 и f(х) = 0. Пусть е = Дх достаточно малое и такое, что |Дх) - ЕЙП(х)| <се, где с > 0 независимая от е константа. Предположим, что уравнение f(х) = 0 имеет решение х* е (a, b) и уравнение Ж„(х) = 0 имеет решение х е (a,b). Наша цель, используя интерполяцию полиномом Ж„(х), получить решение х с точностью до ~ е² ³ по отношению к х*, т.е.
|х- х*| < се², (2)
5
ЕВТУШЕНКО, ТРЕТЬЯКОВ
где с > 0 независимая от е константа. Таким обраДоказательство этой теоремы в том или ином
зом получить аппроксимацию аргумента решения х* с точностью до е². В регулярном случае, т.е. когда Д(х*) t 0, оценка (2) может быть получена на основе использования интерполяционных полиномов Ньютона с Дх = е, что покажем ниже в теореме 1.
Однако для вырожденных функций ситуация
сложнее и соотношение (2) может нарушаться сувиде можно найти в многочисленной литературе, например, [1], и аналогично доказательству сходимости метода Ньютона, поэтому мы его опускаем. Однако для нашего случая f(х) = х³, х* = 0, функция f (х) вырождена в точке х* = 0 до второго порядка включительно, т.е. f (Дх*) = 0, i = 1,2, и теорема 1 не будет верна.
щественно. Скажем для функции f (х) = х³, х* = 0,
полином Ньютона первой степени Ж₁(х) =
—ез+ 27
Пример 1. Цель данного примера исследовать, дает ли аппроксимация функции f (х) интерполяционным полиномом Ньютона с порядком е оцене²х Г е 2 1 е , 2
+— на отрезке -3, зе , Дх = е, где а = -3, b = зе. Погрешность аппроксимации функции будет
ку погрешности по аргументу (2). Рассмотрим отрезок [а, b], где а = -зе, b = зе и полином Ж₁(х) = = а₁ + а₂(х - х₀), а коэффициенты а₀ и а₁ опреде|Дх)- ЕК1(х)| ~ез, хе [а, b], (3)
а Ж₁ (х) = 0 дает х = --е, т.е. |х - х*| ~ е. Порядок аппроксимации по аргументу хуже на 2 единицы по сравнению с порядком аппроксимации функции (3).
Напомним, что интерполяционный полином Ньютона степени п с узлами интерполяции
лены по формуле (5). Узлы интерполяции х₀ = а = 1 2 „
= -зе, х₁ = b = зе. Вычисление коэффициентов дает а0 = f(х0) = -, а = f(^¹⁾^^ = |-. Сле-27 х₁ - х₀ з
довательно, интерполяционный полином Ньютона
имеет вид:
Ж₁(х) = - + е (х+С = + ■.
IV > 27 з ' з ’ 27 з
(хо,Уо), (х1,У1),..., (хп,Уп),
определяется, как
Жп(х) = а₀ + а₁(х - х₀) + а₂(х - х₀)(х - х₁) + ... ... + ап(х - х0)(х - х1)... (х - хп-1) = п
и |Ж1 (х) - f(х)| < се, с > 0 — независимая константа, х е [а,b]. Решая уравнение Ж₁(х) = 0, получим
х = --е, что не является удовлетворительным, так как
= Ц а*ы*(х),
*=0
где ®0(х) = 1, ы,-(х) = (х -х0)(х
i-1
...........2
|х - х I = I - -е - 0| « е » е²,
(4)
- х1)... (х - х,--1) =
= П (х - х₂), i = 1,.,п. Коэффициенты а* называ-7=0
ются разделенными разностями и определяются
соотношениями
а* = [у0,...,у*], * = 0,1,...,п, (5)
при малых е > 0, и оценка (2) не достигается. Таким образом в вырожденном случае, в отличие от невырожденного—регулярного, даже если мы имеем аппроксимацию полиномом порядка ~ е, порядок аппроксимации решения будет только ~ е,ане ~ е², который нам требуется.
Далее введем некоторые понятия и определения теории ^-регулярности.
где [у*] = у*, * = 0,1,...,п,
[у*₊1,...,у*₊у] - [у*,...,У*₊у-1] [у*,.,у*+7] = ,
х*₊у - х*
* = 0,...,п - 1, j = 1,.,п - *.
В регулярном случае Д (х*) t 0 будет справедлива следующая теорема
Теорема 1. Пусть уравнение Дх) = 0, f е е С²([а, b]) имеет решение х* е (а, b), где функция f—регулярна в точке х*, т.е. f(^*) t 0 и Жп(х) интерполяционный полином Ньютона для функции Дх) на отрезке [а, b], причем е = Д > 0 достаточно малое, так что |f (х) - Е^п (х)| < с₁е.
Тогда уравнение Жп(х) = 0 имеет решение хе е (а, b) такое, что |х - х*| < с₂е². Здесь с₁ > 0, с₂ > 0 — независимые от е константы.
3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ^-РЕГУЛЯРНОСТИ Рассмотрим нелинейное уравнение
Е(х) = 0т,
(6)
где Е(х) достаточно гладкое отображение из R" в Кт,т.е. Е(х) = (Д(х),...,Д(х))т, ДКп ^ К¹,ах* решение (6). (Вообще говоря, не обязательно требовать Дх*) = 0).
Отображение Дх) называется регулярным в точке х*,если
Im Г'(х*) = Rm (7)
или, другими словами rank F' (х*) = т.
ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ том 520 2024
P-ФАКТОР ИНТЕРПОЛЯЦИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННОЙ ФУНКЦИЕЙ 7
Отображение F называется нерегулярным (иррегулярным, вырожденным), если условие (7) не выполнено. Пусть пространство Rm разложено в сумму подпространств
Rm = Цф...фУр, (8)
где Yi = Cl (ImF'(x*)) и Zᵢ = Rm. Через Z₂ мы обозначим замкнутое дополнение к Yᵢ и пусть PZ₂: Rm ^ Z² оператор проектирования на Z₂ параллельно Yᵢ.
Пусть Y₂ = Cl (spanImPZ₂F"(x*>[^]²). В общем случае определим индуктивно
Yi = Cl (spanImPz F⁽ⁱ⁾(x*>[^) e Zi,
где Zi — замкнутое дополнение к подпространству (Т1ф...фТ,-1) до Rm, i = 2,...,p и Pz,:Rm ^ Z, оператор проектирования на Z, параллельно (Yᵢ ф ... ф Yi₋ᵢ>, i = 2,...,p. Окончательно Yₚ = Zₚ. Порядок p выбирается как минимальное число, для которого выполнено (8).
Определим следующие отображения
Р(х>: R” ^ Yi, F,(x) = Py.F(x), i = i,...,p, (9)
где PY: R” ^ Yi — оператор проектирования на Yi-параллельно (Yi ф ... ф Yi-i ф Yi+i ф ... ф Yp), i = i, ...,p. Тогда отображение Fможет быть представлено как F(x) = Fᵢ(x) + ... + Fₚ(x> (или как F(x) = = ⁽Fi⁽x⁾,...,Fp⁽x⁾⁾⁾.
Определение 1. Линейный оператор Tₚ(h> e e L (R”,Yᵢ ф ... ф Yₚ>, где h e R”, h t 0, определенный как
T(h> = F((x*> + F"(x*)[h] + ... + Fp⁽p)(x*)[h]p⁻ⁱ,
называется p-фактор оператором, порожденным h.
Рассмотрим следующий нелинейный оператор TpHp:
Tp[x]p = F((x*> + F"(x*)[x]² + ... + Fp⁽p)(x*)[x]p.
Заметим, что Tₚ [x]p = Tₚ (x)[x] .
Определение 2. p-ядро оператора Tₚ определим как множество
Hp = Ker pTp
такое, что
KerpTp = {he R” | Tp[h]p = 0}.
Заметим, что KerpTₚ = Q KerkFₖ⁽k⁾(x*>, где fc=i
KerkFₖ⁽k⁾(x*> = {^ e R” | Fₖ⁽k⁾(x*)[^]k = 0} — к-ядро оператора Ffc⁽fc⁾(x*)[-]fc.
Определение 3. Отображение F называется p-регулярным в точке х* на элементе h, если
Im Tp(h) = Rm, VheHp(x*>\{0}.
Определение 4. Отображение F называется p-регулярным в точке х*, если оно p-регулярно на всех heHp(x*)\{0} или Hp(x*) = {0}.
Замечание 1. В скалярном случае F(x) = /(х>, х e R, т = i, условие p-регулярности функции /(х> в точке х* равносильно /⁽p⁾(x*) t 0.
Обозначим через М(х*> = {х e R” |F(x) = = F(x*> = 0}. Тогда основным результатом теории p-регулярности является следующая теорема.
Теорема 2. Пусть F: R” ^ Rm, F(x*> = 0, F e eCp⁺ⁱ(R”> и F-p -регулярно в точке х*. Тогда V£. e Ц,(х*>, где е > 0 достаточно малое, существует отображение х(£>: Пе(х*> ^ R” и независимая константа с > 0 такие, что F(^ + х(£>> = 0,
dist fcW>> < |х«>| <c£ ^«>1», и
p
dist (^,M(x*>) <||х(^> I | <c^| |Ft(^> 11ⁱ/k
k=i
V^e Пе(х*>.
4. p-ФАКТОР МЕТОД РЕШЕНИЯ ВЫРОЖДЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим уравнение (6) для случая, когда F(x) вырождено в решении х*. Принципиальная схема p-фактор метода следующая:
Xfc+i = Xfc - {F'(xfc> + P2F"(xfc>h + ... +
+PpF⁽p⁾(xfc)[h]p⁻ⁱ}⁻ⁱ • (F(xk> + P2F'(xfc>h+ (10) + ... + PpF⁽p⁻ⁱ⁾(xk)[h]p⁻ⁱ),
k = 0,i,..., P, = Pz,, i = 2,3,...,p, и h, | | h | | = i, выбирается таким образом, чтобы p-фактор оператор Tₚ был невырожден, что означает p-регулярность отображения F в точке х* на векторе h. Для p-фактор метода (10) будет справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Пусть F e Cp⁺ⁱ (R”> и существует h, | | h | | = i, такое, что p-фактор оператор Tₚ не вырожден. Тогда для Vx₀ e Ц(х* >, где е > 0 достаточно малое, последовательность {хк}, определенная соотношением (10), сходится к решению х* системы (6), причем скорость сходимости будет квадратичной, т.е.
| Xk+i - X* |<с | Xk - X* 11 ², к = 0,i,..., (11)
где с > 0 независимая константа.
ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ том 520 2024
ЕВТУШЕНКО, ТРЕТЬЯКОВ
5. р-ФАКТОР МЕТОД ИНТЕРПОЛЯЦИИ
В данном разделе, мы покажем, как желаемая точность (2) решения уравнения f (х) = 0 в вырожденном случае может быть получена с использованием р-фактор метода интерполяции (или р-фактор интерполяции) вместо классического метода использования интерполяционных полиномов Ньютона (4)—(5) с целью нахождения приближенного решения уравнения (1) с нужной точностью. Отметим, что в этом случае р-фактор метод (10) будет следующим
Хк+1 = Хк -(f'(xk) + ... + f ⁽p⁾(xₖ)hp ¹) ¹ (f(xk) + ... + f ⁽p⁻¹⁾(xₖ)hp⁻¹).
Пусть f e Ср⁺¹(К) вырождена в решении x*. Для некоторого р e N, р > 1 построим ассоциированную с f (х) р-фактор функцию f (х) по формуле
f(x) = f(x) + f'(x)[h] + ... + f ⁽p⁻¹⁾(x)[h]p⁻¹,
где he R, \h\ = 1. Здесь все операторы P-, i = 2,...,р из формулы (10) равны 1, так как мы имеем дело со скалярным случаем и предполагаем вырождение до р-го порядка, т.е. f'(х*) = 0,...,f ⁽р⁻¹⁾(х*) = 0 и выполнено условие р-регулярности функции f(x) в точке х*, т.е. f⁽р⁾ (х*) t 0.
Подобно интеполяционному полиному Ньютона введем р-фактор интеполяционный полином Ньютона п
Ш>(х) = ^afcfflfc(x),
k=0
где функции юк(х) определены тем же способом, как в формуле (4) и коэффициенты ак, к = 0,1,.,п, определяются соответственно как
Доказательство. Доказательство с очевидностью следует из теоремы 1, если заметить, что точка х* также является решением уравнения
f(x) = f(x) + f' (x)[h] +... + f⁽р⁻¹⁾ (xW⁻¹ = 0, (13)
т.е. f(x*) = 0. Тогда по теореме 1 для функции f(x) традиционный полином Ньютона будет как раз ^П(х). Причем f (х*) t 0, что следует из р-регулярности функции f (х) вточке х*. Значит по теореме 1 существует решение х уравнения (13), для которого будет верна оценка |х* - х| < се². Теорема доказана. □
Отметим, что при этом решения х* и х локально единстенные. Из этой теоремы вытекает
Следствие!. Пусть f (х) eCM¹ ([а, 6]), Ж„(х)= 0, х e (а, 6) и f (•) — р-регулярна в точке х и е = Д > 0 — достаточно малое, причем f(x) t 0.
Тогда для некоторого достатоно малого 8 > 0, вообще говоря зависящего от е, существует точка х* e П₈(х), являющаяся решением уравнения (1), т.е. f(x*) = 0, причем справедлива оценка (2).
Доказательство данного следствия аналогично доказательству существования решения уравнения f(х) = 0 в окрестности точки х (такой, что f(Зс) достаточно малое) при выполнении условия р-регулярности f (х) в точке х, и с использованием теоремы 4 (см, например, [12]).
Пример 1 (продолжение). Чтобы применить р-фактор интерполяционный полином Ньютона для нашего примера, определим функцию f (х) для р = 2 и h = 1 как
f(x) = f(x) + f' (x)[h] + f"(x)[h]² = x³ + 3x² + 6x.
а0 = = f(x0), [У1] = /(м),
а1 = [жй] = Ы - [ур]
Х1 - Х0 '
ап = [у0,.,уп] [у1,.,уп] - [у0,.,уп-1]
Хп - x0
Теорема 4. Пусть уравнение f (х) = 0 имеет решение х* e (а, 6). Предположим, что f e Ср⁺¹([а, 6]) и р-регулярна в точке х* на элементе h t 0, т.е. f ⁽р⁾(х*) t 0.
Пусть Жп (x) — р-фактор интерполяционный полином Ньютона для функции f (х) и е = Д > 0 достаточно малый шаг интерполяции.
Тогда уравнение Жп(х)= 0 имеет решение х e e (а, 6) такое, что
|х* - х| < се², где с > 0 — независимая константа.
Теперь построим р-фактор интерполяционный полином Ж1(х). Используем тот же отрезок [а, 6], где х₀ = а = -|е и х₁ = 6 = |е. Определим коэффициенты 1 1
а0 = 7(х0) = - 2уе³ + зе² - 2е
и
а = • - = 1е2 + е + 6.
Х1 - х₀ 3
Тогда р-фактор интерполяционный полином будет
^1(х)
а₀ + а₁(х - х₀) =
—^-е³ + ^е²
⁽
3
27
-!-е² + е +
3
⁶⁾
- 2е + ( 2Х
-е² + е + 6 3
Х ⁺ 27е
.3
+ ²
⁾⁽х ⁺ 5е⁾ ⁼
Следовательно
|Ж1(х)- f(x)| < се, с > 0,
где е > 0 достаточно малое.
ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ том 520 2024
Р-ФАКТОР ИНТЕРПОЛЯЦИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННОЙ ФУНКЦИЕЙ 9
Решая уравнение ЖДх) = 0, получаем
²еЗ + 2е²
х = - ~2~i--10 • Поэтому
е² + Зе + 18
|х - х*| =
-|еЗ - 2е²
е² + Зе + 18
е² б⁻’
0
и мы получим желаемую точность ~ е² решения уравнения /(х) = 0.
Таким образом, сравнивая использование инерполяционных полиномов Ж₁ (х) и Ж₁ (х) для получения точности (2) решения х* уравнения (1) для функции /(х) примера 1, видно, что полином Ж1(х) дает хорошую аппроксимацию функции /(х),т.к.
|Ж1(х)- /(х)| «еЗ<С2е’ С2 > 0.
В то же время решение х уравнения Ж₁ (х) = 0 не дает нужную точность е², т.к. |х-х*| « е > сЗе², сЗ > 0. Здесь все константы с₂, сЗ независимы от е.
В свою очередь для p-фактор интерполяционного полинома Ньютона Ж₁(х) аппроксимация функции /(х) будет порядка ~ е
|Ж1(х) - /(х)| ~е
на отрезке х е [аД]. И для решения х уравнения Ж₁ (х) = 0 мы получаем нужный порядок аппроксимации по аргументу для решения х*, т.е.
|х- х*| < -е² « е².
б
Таким образом такая точность не может быть получена с использованием классических интерполяционных полиномов, что мы проиллюстрировали на примере интерполяционного полинома Ньютона, идея которого так или иначе используется при построении интерполяционных полиномов для аппроксимации вырожденных функций.
В свою очередь, взяв в качестве х₀ любую начальную точку х₀ е [аД] = [-|б’ -|е], согласно схеме (12), получим
х1 = х₀-(Зх^+бх₀+б)⁻¹(х0+Зх0+бх₀) < с|х₀-0|² ~ е²’
где с > 0 — независимая константа. То есть за один шаг p-фактор метода получаем приближение х₁ порядка е², т.е. |х₁ - 0| ~ е².
Для сравнения классический метод Ньютона
х1 = х0 -(/'(хе)) ¹/(х0) = ^1° < с|х0 - 0|
дает всего лишь точность порядка ~ е, если взять х0 = х0.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987.
2. Исмоилова М.Н., Имомова Ш.М. Интерполяция функции // Вестник науки и образования. 2020. № 3-3(81). С. 5—8.
3. Задорин А. И., Задорин Н.А. Полиномиальная интерполяция функции двух переменных с большими градиентами в пограничных слоях // Ученые записки казанского университета. Серия: физико-математические науки. 2016. Т. 158. № 1. С. 40—50.
4. Рамазанов А. Р. К., Рамазанов А. К. Аппроксимации функций с интерполяцией. М.: LAP Lambert Ас., 2012. 132 с.
5. Асташкин С. В. Интерполяция операторов и ее приложения. М.: Нобель Пресс, 2013. 188 с.
6. Крейн С. Г, Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978. 400 с.
7. Маслов В. П.Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988.
8. Половко А.М. Интерполяция. СПб.: БХВ-Петербург, 2010.
9. Рассел Д. Бикубическая интеполяция. М.: VSD, 2013.
10. Рассел Д. Билинейная интеполяция. М.: VSD, 2013.
11. Уолш Дж. ^.Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М.: Государственное издательство иностранной литературы, 2022.
12. Prusinska A., Tret’yakovA. A Remark on the Exis-tance of Solutions to Nonlinear Equations with Degenerate Mappings // Set-Valued Analysis. 2008. V. 16. P. 93-104.
ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ том 520 2024
Доступ онлайн
4 023 ₽
В корзину