Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2024, № 5

Российская академия наук
ДОКЛАДЫ 
РОССИЙСКОЙ 
АКАДЕМИИ НАУК 
МАТЕМАТИКА,
ИНФОРМАТИКА,
ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
Том 519    2024   Сентябрь–Октябрь
Основан в 1933 г.
Выходит 6 раз в год
ISSN 2686-9543
Журнал издается под руководством
Президиума РАН
Редакционный совет
Г.Я. Красников (председатель), В.Я. Панченко, С.Н. Калмыков,
Н.С. Бортников, А.Г. Габибов, В.В. Козлов, О.В. Руденко
Главный редактор
А.Л. Семенов
Редакционная коллегия
А.А. Галяев (заместитель главного редактора),
В.П. Платонов (заместитель главного редактора), В.А. Васильев,
С.Н. Васильев, С.С. Гончаров, И.А. Каляев, В.В. Козлов,
А.Б. Куржанский, И.А. Соколов,
И.А. Тайманов, Д.В. Трещев, Б.Н. Четверушкин
Ответственный секретарь Ю.В. Чехович
Заведующая редакцией Т.А. Оловянникова
Адрес редакции: 119991, Москва, Ленинский проспект, д. 14
E-mail: doklady_mathematics@mail.ru
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
Оригинал-макет подготовлен ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Доклады российской
академии наук. Математика, информатика, 
процессы управления” (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 519, 2024 год
МАТЕМАТИКА
Об устойчивости строгого равновесия плазмы в двумерных математических моделях магнитных ловушек
К. В. Брушлинский, В. В. Крюченков, Е. В. Стёпин
3
Стабилизированная схема для расчета переноса излучения в приближении ষ1
Б. Н. Четверушкин, О. Г. Ольховская, В. А. Гасилов
7
Бесконечная алгебраическая независимость полиадических рядов с периодическими коэффициентами
В. Г. Чирский
14
Сравнение затрат на генерацию волн Толлмина–
–Шлихтинга и оптимальных возмущений при
помощи оптимального вдува–
–отсоса
К. В. Демьянко, Ю. М. Нечепуренко, И. Г. Чечкин
18
Точный квадратичный алгоритм кратчайшего преобразования деревьев
К. Ю. Горбунов, В. А. Любецкий
22
Вещественность функции спектрального сдвига для сжатий и диссипативных операторов
М. М. Маламуд, Х. Найдхардт, В. В. Пеллер
28
Исследование смещения 𝑁-частичных оценок метода Монте-Карло в задачах со взаимодействием частиц
Г. А. Михайлов, Г. З. Лотова, С. В. Рогазинский
33
Построение гладких дуг “источник-сток” в пространстве диффеоморфизмов двумерной сферы
Е. В. Ноздринова, О. В. Починка, Е. В. Цаплина
39
О численном бимформинге для идентификации акустического источника по данным суперкомпьютерного моделирования
Г. М. Плаксин, Т. К. Козубская, И. Л. Софронов
46
Аналитический метод решения одного класса нелинейных уравнений
Ю. С. Попков
53
Почти достоверные модальные логики и законы нуля и единицы в хорновых классах
В. В. Слюсарев
57
Об одном дополнении к методу унификации Н. Н. Красовского в теории дифференциальных
игр
В. Н. Ушаков, А. М. Тарасьев, А. А. Ершов
65
ИНФОРМАТИКА
Инфобизнес как новое цифровое явление в социально-экономической сфере России: возможности моделирования и регулирования
А. С. Воронов, Л. Н. Орлова, М. В. Шамолин
72

CONTENT
Volume 519, 2024
MATHEMATICS
On the Stability of Strict Equilibrium of Plasma in Two-Dimensional Mathematical Models of
Magnetic Traps
K. V. Brushlinskii, V. V. Kriuchenkov, E. V. Stepin
3
Stabilized Scheme for Calculating Radiation Transfer in the ষ1 Approximation
B. N. Chetverushkin, O. G. Olkhovskaya, V. A. Gasilov
7
Infinite Algebraic Independence of Polyadic Series with Periodic Coefficients
V. G. Chirskii
14
Comparison of the Costs for Generating the Tollmien-Schlichting Waves and Optimal Disturbances
Using Optimal Blowing–Suction
K. V. Demyanko, Y. M. Nechepurenko, I. G. Chechkin
18
An Exact Quadratic Algorithm for the Shortest Tree Transformation
K. Yu. Gorbunov, V. A. Lyubetsky
22
Real-valued Spectral Shift Functions for Contractions and Dissipative Operators
M. M. Malamud, H. Neidhardt, V. V. Peller
28
Study of the Bias of 𝑁-Particle Estimates of the Monte Carlo Method in Problems with Particle
Interaction
G. A. Mikhailov, G. Z. Lotova, S. V. Rogasinsky
33
Construction of Smooth “Source-Sink” Arcs in the Space of Diffeomorphisms of a Two-dimensional
Sphere
Е. V. Nozdrinova, О. V. Pochinka, E. V. Tsaplina
39
On Numerical Beamforming for Acoustic Source Identification Basing on Supercomputer Simulation
Data
G. M. Plaksin, T. K. Kozubskaya, I. L. Sofronov
46
Analytic Method for Solving One Class of Nonlinear Equations
Yu. S. Popkov
53
Modal Logics of Almost Sure Validities and Zero-One Laws in Horn classes
V. V. Sliusarev
57
Concerning One Supplement to Unification Method of N.N. Krasovskii in Differential Games Theory
V. N. Ushakov, A. M. Tarasyev, A. A. Ershov
65
COMPUTER SCIENCES
Infobusiness As a New Digital Phenomenon in The Socio-Economic Sphere of Russia: Possibilities of
Modeling and Regulation
A. S. Voronov, L. N. Orlova, M. V. Shamolin
72
2

ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2024, том 519, с. 3–6
МАТЕМАТИКА
УДК 519.634
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТРОГОГО РАВНОВЕСИЯ ПЛАЗМЫ
В ДВУМЕРНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ МАГНИТНЫХ
ЛОВУШЕК
© 2024 г.
К. В. Брушлинский1,*, В. В. Крюченков2,**, Е. В. Стёпин1,***
Представлено академиком РАН Б. Н. Четверушкиным
Получено 30.07.2024 г.
После доработки 17.09.2024 г.
Принято к публикации 20.09.2024 г.
В статье представлен анализ известных из предыдущих работ неустойчивостей в двумерной математической модели равновесия плазмы. Конкретно рассмотрен пример распрямленной в цилиндр
тороидальной магнитной ловушки “Галатея-Пояс”, обладающей плоской симметрией. Установлено, что наблюдавшиеся ранее большие значения двумерной скорости возмущений в плоскости
сечения цилиндра возникают на периферии конфигурации вблизи ее условной границы, не растут
со временем, а обязаны как угодно малым значениям плотности, которая не определяется идеализированной моделью строгого равновесия. Варьируя плотность, можно влиять на устойчивость.
Трехмерные (гофрированные вдоль оси цилиндра) возмущения растут со временем в соответствии
с традиционной по Ляпунову неустойчивостью. Расчеты позволяют определить зависимость ее количественных характеристик от параметров задачи.
Ключевые слова: магнитоплазменные конфигурации, модель равновесия, устойчивость конфигураций, возмущения.
DOI: 10.31857/S2686954324050015, EDN: XFBYTG
Устойчивость
плазменных
конфигураций,
удерживаемых в равновесии магнитным полем
ловушек, является постоянной темой исследований, направленных на реализацию управляемого
термоядерного
синтеза
(УТС).
Существенную
роль в них играют математическое моделирование
и расчеты с применением современной высокопроизводительной вычислительной техники.
Модели равновесных конфигураций плотной
квазинейтральной плазмы в приближении механики сплошных сред строятся в терминах краевых задач с системой уравнений плазмостатики∗
для трех функций: давления плазмы 𝑝, напряженности магнитного поля H и плотности электрического тока j. Они следуют из уравнений магнитной газодинамики (МГД) и уравнений Максвелла. Задачи описывают распределение этих величин
в пространстве ловушки и в общем случае трехмерны.
Ситуация существенно упрощается, если рассматриваемая ловушка обладает какой-либо симметрией (плоской, осевой, винтовой, …) или допускает ее в каком-либо приближении. Уравнения (1) при этом сводятся к одному скалярному полулинейному уравнению Грэда–Шафранова [1, 2],
плоский вариант которого имеет вид
Ѵ𝑝= j · H<
j = rot H<
div H = 0
(1)
ɶʩ + ৅𝑝
৅ʩ + র৅র
৅ʩ = 0,
(2)
1Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша
РАН, Москва, Россия
2Национальный исследовательский ядерный университет
“МИФИ”, Москва, Россия
*E-mail: brush@keldysh.ru
**E-mail: kriuchenkov.viacheslav@mail.ru
***E-mail: eugene.v.stepin@gmail.com
1 Здесь и далее все физические величины безразмерные,
т.е. отнесены к единицам измерения, составленным из размерных констант задачи
где
ʩ(𝑥,𝑦) –
– 𝑧-компонента
вектор-потенциала
магнитного поля, র(𝑥,𝑦) = 𝐻𝑧, и 𝑝, ʩ, রфункционально зависимы друг от друга: функции 𝑝= 𝑝(ʩ)
и র= র(ʩ) должны быть заданы при постановке
задачи о конкретной ловушке с учетом имеющейся
или требуемой информации о ней. Численное
решение краевых задач с уравнением (2) или его
разновидностями позволяет определить основные
3

БРУШЛИНСКИЙ и др.
свойства
равновесных
конфигураций
плазмы
грамм УТС, исследуется в основном относительно малых возмущений упомянутых выше функций и скорости плазмы в линейном приближении [6–8]. Уравнения МГД, линеаризованные на
равновесии, имеют вид
в тороидальных ловушках и их распрямленных
в цилиндр аналогах: геометрию магнитных поверхностей ʩ = const и изобар, а также необходимую
количественную информацию.
В цикле работ авторов (см. [3, 4] с подробной
ρ౯V
౯V
౯
1
౯𝑝1
(4)
౯𝑡+ Ѵ𝑝1 = [rot H1,H] + [j
[j
[ 𝑝𝑙,H1],
౯H1
౯𝑡+ (Ѵ𝑝,V1) + ʔ div V1 = 0,
౯𝑡
= rot [V1,H].
⎧
⎪
⎧
⎪
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎨
⎪
⎪
⎨
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎩
⎪
Здесь малые возмущения упомянутых выше величин, а также скорости V снабжены индексом “1” и рассматриваются в объеме цилиндра
с граничными условиями ঽ1𝑛
ঽ1𝑛
ঽ
= 0, 𝐻1𝑛= 0 и требобиблиографией) изложены математическая модель
равновесия плазмы в цилиндрическом аналоге
предложенной А. И. Морозовым тороидальной ловушки “Галатея–Пояс” [5]. В плазменный цилиндр
погружены два параллельных оси проводника с током, создающие необходимое для удержания магнитное поле и не соприкасающиеся с горячей плазмой (рис. 1). Модель получена в результате решения
краевой задачи с уравнением (2) в квадратном сечении цилиндра. Функции 𝑝(ʩ), র(ʩ) задаются формулами
2
(3)
ванием ограниченности решения при 𝑧→‘ҋ. Равновесные конфигурации плазмы считаются устойчивыми, если решения задачи для возмущений
остаются ограниченными со временем при произвольных начальных данных.
৑
)
)<
𝑝(ʩ) = 𝑝0 exp(−(ʩ −ʩ0
Численное решение задач проведено в два этаʩ0 = ʩ(0,0)<
র(ʩ) ≡𝐻ু
≡𝐻ু
≡𝐻
≡0,
па. На первом –
– рассмотрены только двумерные
которые отражают отсутствие продольного магнитного поля 𝐻𝑧
𝐻𝑧
𝐻и быстрое убывание давления от маквозмущения при ౯/౯𝑧≡0. В этом случае система из
7 скалярных уравнений (4) распадается на две независимых: два уравнения для 𝑧-компонент ঽ1𝑧
ঽ1𝑧
ঽ
и 𝐻1𝑧
симального значения 𝑝0 в центре и на проходящей
через него магнитной сепаратрисе в стороны проводников и внешней границы. На рис. 1 приведен пример численного решения одного из вариантов задачи: магнитное поле представлено силовыми линиями ʩ(𝑥,𝑦) = const, которые являются изобарами согласно (3).
образуют систему уравнений типа акустики, решения которой ограничены (см. [3, 4]), а оставшиеся
5 уравнений связывают только 5 оставшихся величин. В их численном решении наблюдались растущие значения скоростей ঽ1𝑥
ঽ1𝑥
ঽ
и ঽ1𝑦
ঽ1𝑦
ঽ
при превышении
давлением значения 𝑝𝑐𝑟
0 ҵ 0.5. Это ограничение существенно более сильное, чем ограничение 𝑝0 ࢪ4,
при котором задача о равновесии теряет свой физический смысл [3, 4].
Полученный результат имеет право быть на0 , позванным неустойчивостью конфигураций относительно двумерных возмущений при 𝑝0 > 𝑝𝑐𝑟
скольку в расчетах появляются достаточно большие значения возникшей при возмущении скорости плазмы в плоскости 𝑧= const. Однако более
подробный объем расчетов и их анализ позволяет
обратить внимание на некоторые закономерности
в их результатах и связать их с особенностями использованной двумерной модели равновесия в терминах задач с уравнением Грэда–Шафранова (2).
Во-первых, следует обратить внимание на то,
что упомянутые большие значения наблюдаются
только в скорости V1, а возмущения давления 𝑝1
и магнитного поля H1 остаются ограниченными.
Во-вторых, скорости растут только на перифеРис 1. Распределение магнитного поля в ловушке “Галатея–
Пояс”.
Решение
получено
итерационным
методом
установления в разностном аналоге обсуждаемой
задачи.
В-третьих, большие значения скорости появляУстойчивость магнитоплазменных конфигурарии траектории ловушки по обе стороны от сепаратрисы магнитного поля (рис. 1), где невозмущенное давление 𝑝экспоненциально убывает с ростом
(ʩ −ʩ0)2.
ются одновременно с убыванием плотности плазций в ловушках, необходимая с точки зрения проДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
том 519
2024

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТРОГОГО РАВНОВЕСИЯ ПЛАЗМЫ
5
мы ρ, а значения удельного потока массы ρV1 остаются ограниченными по величине со временем
и возрастание V1 связано не со временем, а с убыванием плотности при удалении по пространству
в направлениях от центра конфигурации к ее фактическим границам.
Сама по себе граница конфигурации здесь весьма условна, поскольку рассматриваемая и в целом зарекомендовавшая себя модель равновесия
с уравнением Грэда–Шафранова идеализирована:
она описывает строгое равновесие, пренебрегая
диссипативными процессами диффузии, в первую
очередь полагая проводимость плазмы бесконечной. Газодинамическая природа плазмы представлена только функцией 𝑝(ʩ), заданная исследователем (3) и не содержит какой-либо информации
о плотности ρ, которая может неограниченно убывать, приближаясь к проводникам и внешней границе ловушки, вызывая там неограниченный рост
возмущений скорости.
В предыдущих работах [3, 4] и цитированных
в них более ранних имелось ввиду, что давление 𝑝и связанная с ним плотность ρ, температура 𝑇и энтропийная функция 𝑆= exp(৓/প৖) удовлетворяют уравнению состояния совершенного газа
𝑝= 𝑝0ρ𝑇= 𝑝0ρʔ𝑆
(5)
и неявно предполагалась адиабатичность процессов 𝑆≡const, т.е. неограниченное убывание плотности ρ ҩ 𝑝(1/ʔ и, соответственно, температуры 𝑇ҩ
𝑝(ౘ−1)/ౘпри удалении от центра. Это стало причиной фактически неограниченного роста скорости
V1. Однако стремление плотности к нулю вступает
в противоречие с приближением механики сплошных сред, поэтому в решение уравнений (4) введено
ограничение плотности снизу малой величиной ρгр:
𝑝0
)
1/ʔ
,ρгр),
ρ = max(( 𝑝
ρ = ρгр, можно интерпретировать как фактическую
границу исследуемой равновесной конфигурации,
тем более, что скорость V1 направлена здесь вдоль
нее.
Результаты расчета упомянутого адиабатического варианта равновесия представлены в таблице 1 значениями характерных максимальных
по пространству двумерных значений скорости V1
и возмущений 𝑝1 и H1, которые, начиная с некоторого момента, практически не растут, а лишь колеблются со временем.
При этом максимальные значения потока массы (ρV1)max находятся не на границе ρ = ρгр и не зависят от ρгр, а граничное значение (ρV1)гр убывает
вместе с ρгр, но медленнее, чем сама плотность.
Таким образом, полученные ранее результаты
о неустойчивости объяснены достаточно большими значениями двумерной скорости возмущений
на условной границе конфигурации. Они зависят
от произвольного выбора этой границы и значения ρ = ρгр ӗ 1 на ней, а также от заданной связи плотности и давления в равновесной конфигурации. Зависимость результатов от этой связи представлена расчетами устойчивости еще двух вариантов равновесия, находящихся “по разные стороны” от адиабатического. Изотермический вариант 𝑇≡1, т.е. ρ = 𝑝/𝑝0, где температура остается
равной своему максимальному значению в центре
конфигурации, а плотность убывает в сторону границ быстрее, чем в адиабатическом. Назовем его
“горячей” плазмой. Другой вариант предполагает
постоянную плотность конфигурации ρ ≡1 и быстрое убывание температуры 𝑇= 𝑝/𝑝0 вместе с давлением, т.е. “холодную” плазму вблизи условной границы конфигурации.
Результаты содержатся в таблицах 2 и 3.
Из них следует, во-первых, очевидное в случае
“холодной” плазмы невозрастание скорости у границ, т.е. устойчивость в любом смысле понимания
этого слова. В “горячей” плазме имеет место замеченная ранее “неустойчивость”, т.е. рост скорости
у границы при малых значениях плотности ρгр ӗ 1,
которое ограничивает сверху значение скорости.
Магнитную силовую линию ʩ = const, на которой
Таблица 1. 𝑆≡1, ρ = (𝑝/𝑝0)1/ʔ
ρгр
ঽ1max
(ρV1)max
(ρV1)гр
𝐻1max
𝑝1max
10−2
41
26
0.410
11
1:
10−3
221
31
0.221
10
20
10−4
490
2:
0.049
12
1:
Таблица 2. 𝑇≡1, ρ = (𝑝/𝑝0)
ρгр
ঽ1max
(ρV1)max
(ρV1)гр
𝐻1max
𝑝1max
10−2
52
35
0.520
13
26
10−3
295
35
0.295
15
26
10−4
620
33
0.062
12
27
ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
том 519
2024

БРУШЛИНСКИЙ и др.
34
34
4
15
Таблица 3. 𝑇= (𝑝/𝑝0), ρ ≡1
ঽ1max
(ρV1)max
𝐻1max
𝑝1max
ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ
Работа выполнена при поддержке Московского
центра фундаментальной и прикладной математики, соглашение с Министерством науки и высшего
образования РФ №075-15-2022-283.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шафранов В. Д. // ЖЭТФ. 1957. Т. 33. №3.
С. 710–722.
2. Grad H., Rubin H. // Proc. 2nd UN Int. Conf. on
the Peaceful Uses of Atomic Energy. Geneva. 1958.
V. 319. P. 190–197.
3. Брушлинский К. В., Стёпин Е. В. // Дифф. уравнения. 2022. Т. 58. №8. С. 1112–1120.
4. Брушлинский
К. В.,
Крюченков
В. В.,
Стёпин Е. В. // Труды МИАН. 2023. Т. 322, С. 58–70.
более интенсивный, чем в адиабатическом варианте.
На втором этапе исследовалась динамика трехмерных малых возмущений в процессе численного решения начально-краевых задач с уравнениями (4) в продолжение и развитие начатых расчетов в [3, 4]. Поскольку коэффициенты линейных однородных уравнений (4) не зависят от 𝑧, решения задач строятся из Фурье-гармоник с множителем exp(৉𝑘𝑧), ограниченных при 𝑧→‘ҋ, т.е.
с действительными значениями параметра 𝑘. Поэтому в уравнениях (4) производные ౯/౯𝑧заменены умножением на множитель ৉𝑘, и сами уравнения остаются двумерными по пространству. Они,
вообще говоря, комплексные, но их действительные и мнимые части отличаются друг от друга только знаком 𝑘, что равносильно знаку мнимой единицы ৉=
√
5. Морозов А. И., Франк А. Г. // Физ. Плазмы. 1994.
Т. 20. №11. С. 982–989.
6. Веденов А. А., Велихов Е. П., Сагдеев Р. З. // УФН.
1961. Т. 73. Вып. 4. С. 701–766.
7. Кадомцев Б. Б. // Вопросы теории плазмы / ред.
М. А. Леонтович. М.: 1963. Вып. 2. С. 132–176.
−1. В серии расчетов установлено, что, вопервых, представляющий основной интерес рост
решения со временем имеет экспоненциальный характер вида exp(ʜ𝑡) при любых значениях частоты гофрированных возмущений 𝑘≠0, т.е. соответствует общепринятой в смысле Ляпунова неустойчивости. Во-вторых, он характеризуется двумя количественными параметрами: временем 𝑡нр начала
интенсивного роста возмущений и самой интенсивностью скорости роста, т.е. коэффициентом ʜ.
Первый из них убывает, а второй –
– возрастает с ростом абсолютной величины частоты 𝑘.
8. Bateman G. MHD instabilities. Cambridge: MIT
Press. 1978.
ON THE STABILITY OF STRICT EQUILIBRIUM OF PLASMA
IN TWO-DIMENSIONAL MATHEMATICAL MODELS OF MAGNETIC
TRAPS
K. V. Brushlinskii𝑎, V. V. Kriuchenkov𝑏, E. V. Stepin𝑏
𝑎Keldysh Institute of Applied Mathematics, Moscow, Russia
𝑏National Research Nuclear University MEPhI (Moscow Engineering Physics Institute), Moscow, Russia
Presented by Academician of the RAS B. N. Chetverushkin
The article presents an analysis of instabilities known from previous works in a two-dimensional mathematical model of plasma configuration equilibrium using the example of a toroidal magnetic trap “Galatea–Belt”
straightened into a cylinder and possessing plane symmetry. It is established that the previously observed
large values of the two-dimensional velocity of disturbances in the plane of the cylinder cross-section arise
on the periphery of the configuration near its conventional boundary, do not grow with time, and are due to
arbitrarily small values of density, which is not determined by the idealized model of strict equilibrium. By
varying the density, it is possible to influence stability. Three-dimensional (corrugated along the axis of the
cylinder) disturbances grow with time in accordance with the traditional Lyapunov instability. Calculations
allow us to determine the dependence of its quantitative characteristics on the problem parameters.
Keywords: magnetoplasma configurations, model of equilibrium, stability of configurations, perturbations.
ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
том 519
2024

ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2024, том 519, с. 7–13
МАТЕМАТИКА
УДК 519.6
СТАБИЛИЗИРОВАННАЯ СХЕМА ДЛЯ РАСЧЕТА ПЕРЕНОСА
ИЗЛУЧЕНИЯ В ПРИБЛИЖЕНИИ ষ1
© 2024 г.
Академик РАН Б. Н. Четверушкин1, О. Г. Ольховская1,*, В. А. Гасилов1
Получено 28.06.2024 г.
После доработки 24.07.2024 г.
Принято к публикации 23.08.2024 г.
Рассматриваются характеристические разностные схемы для уравнения переноса излучения в модели ষ1. Уравнения данной модели модифицируются посредством коррекции скорости переноса
энергии излучения. Такая коррекция способна уменьшить влияние нефизических эффектов при
расчете лучистого теплообмена в среде с неоднородной оптической толщиной.
Ключевые слова: лучистый теплообмен, приближение ষ1, метод характеристик с интерполяцией.
DOI: 10.31857/S2686954324050024, EDN: XEUSHK
1. ВВЕДЕНИЕ
расчетов по модифицированным моделям. Предложенный подход позволяет развивать явные численные алгоритмы, удобные для адаптации к различным архитектурам параллельных вычислителей [5, 6].
Во втором разделе работы рассматривается модель ষ1 и ее модификация, на основе которой строится численная методика. Третий раздел содержит
описание сеточно-характеристической схемы, построенной для решения системы уравнений модели ষ1. Описание тестовых решений и результаты
расчетов представлены в четвертом разделе.
2. УРАВНЕНИЯ ЛУЧИСТОГО ТЕПЛООБМЕНА
МОДЕЛИ ষ1
Мы будем рассматривать перенос энергии излучением в случае излучающей и поглощающей
среды. Спектральная интенсивность излучения ঱ʞ,
т.е. количество энергии, переносимой фотонами в единицу времени в спектральном интервале
৅ʞ через единичную площадку в точке с радиусвектором r перпендикулярно направлению полета квантов Ω в элементе телесного угла ৅Ω связана с плотностью распределения фотонов ভ(ʞ,r,Ω,𝑡)
соотношением [1]
Вычислительная сложность решения задач радиационной газодинамики обусловлена необходимостью, учитывать, в общем случае, взаимосвязь поля излучения с газодинамическими полями, от которых зависят оптические свойства среды [1]. Перенос излучения в высокотемпературных
средах зачастую бывает необходимо рассчитывать
на пределе применимости приближения локального термодинамического равновесия, что приводит к необходимости использования усовершенствованных моделей расчета лучистых потоков по
сравнению, например, с такими широко употребительными моделями, как лучистая теплопроводность или диффузия излучения [2]. В настоящей
работе рассматриваются уравнения переноса излучения в приближении ষ1. Известно [3], что это приближение не свободно от нефизических эффектов,
связанных со скоростью переноса лучистого потока энергии. В приближении ষ1 эта скорость занижена сравнительно со скоростью света, в то время
как в диффузионном приближении она может быть
сколь угодно большой. Уравнения модели ষ1 можно модифицировать аналогично моделям, рассмотренным в [4, 5] путем коррекции скорости переноса энергии излучения. Численные эксперименты с тестовыми задачами, имеющими точные решения для сред с неоднородной оптической толщиной, показывают хорошую практическую точность
঱ʞ(r,Ω,𝑡)৅ʞ৅Ω = ℎʞ𝑐ভ(ʞ,r,Ω,𝑡)৅ʞ৅Ω.
(1)
Уравнение для функции ঱ʞ(r,Ω,𝑡) в случае излучающей и поглощающей среды имеет вид [1]
౯঱ʞ
1Федеральное государственное учреждение “Федеральный
исследовательский центр Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук” Российской
академии наук, Москва, Россия
*E-mail: olkhovsk@gmail.com
౯𝑡(r,Ω,𝑡) + Ω𝑇Ѵ঱ʞ(r,Ω,𝑡) = ঩ʞ(r,Ω,𝑡)−
−𝑘ʞ(r,Ω,𝑡)঱ʞ(r,Ω,𝑡),
(2)
7

ЧЕТВЕРУШКИН и др.
а недиагональные элементы равны нулю, т.е.
Pʞ(r,𝑡) = ষʞ(r,𝑡)E,
где E –
– единичная матрица. Соответственно имеем
3
(8)
𝑐
𝑈ʞ(r,𝑡) = 1
𝑆2
ʊ2঱ʞ(r,Ω,𝑡)৅ʊ =
า
𝑘=1
∫
где функции ঩ʞ(r,Ω,𝑡), 𝑘ʞ(r,Ω,𝑡) –
– спектральные
коэффициенты испускания и поглощения фотонов.
Уравнение переноса (2) не включает учет рассеяния фотонов. Ситуации, когда это приближение
справедливо для газовых и плазменных сред рассмотрены, например, в монографиях [1–3].
Мы рассмотрим, следуя [2, 3], модель переноса излучения, в которой используются интегральные по угловым переменным величины –
– плотность энергии излучения 𝑈ʞ и лучистый поток Wʞ:
= 𝑇𝑟Pʞ(r,𝑡) = 3ষʞ(r,𝑡).
С учетом (8) система (7) становится замкнутой, ее
называют приближением ষ1:
𝑈ʞ(𝑟,𝑡) = 1
𝑆2
঱ʞ(r,Ω,𝑡)৅ʊ,
౯𝑈ʞ
𝑐∫
౯𝑡+ divWʞ = 4ʡ঩ʞ −𝑐𝑘ʞ𝑈ʞ,
(9)
𝑆2
Ω঱ʞ(r,Ω,𝑡)৅Ω.
(3)
Wʞ(𝑟,𝑡) = ∫
1
𝑐
౯Wʞ
౯𝑡+ 𝑐
3Ѵ𝑈ʞ = −𝑘ʞWʞ.
(10)
Интегрирование (2) по полному телесному углу
дает уравнение, связывающее 𝑈ʞ(r,𝑡) и Wʞ(r,𝑡):
౯𝑈ʞ
౯𝑡+ divWʞ = ʇ(r,𝑡),
(4)
Уравнения (9), (10) можно получить, оставив в разложении интенсивности поля излучения по сферическим гармоникам ঱ʞ(r,Ω,𝑡) линейную компоненту
঱ʞ(r,Ω,𝑡) ҵ েʞ(r,𝑡) + Ω𝑇ৈʞ(r,𝑡).
(11)
где ʇ(r,𝑡) –
– интеграл правой части (2) (его конкретный вид сейчас не важен).
Интегрирование (2) после домножения на компоненты вектора Ω, приводит к уравнению для Wʞ:
3
Функции েʞ(r,𝑡) и ৈʞ(r,𝑡) приведены, например,
в [3]:
েʞ(r,𝑡) = 𝑐
4ʡ𝑈ʞ(r,𝑡),
౯
(5)
1
𝑐
౯াʞ,৉
𝑆2
ʊ৉ʊ𝑘রʞ৅ʊ = −𝑘৉াʞ,৉,
౯𝑡
+
౯𝑥𝑘∫
า
𝑘=1
ৈʞ(r,𝑡) = 3
4ʡWʞ(r,𝑡).
৉ѵ {1,2,3}.
Cюда входит наряду с Wౢ(r,Ω,𝑡) тензор давления
излучения Рౢ:
Рౢ(r,𝑡) = 1
𝑆2
ΩΩ𝑇঱ʞ(r,Ω,𝑡)৅Ω.
𝑐∫
В дальнейшем предполагаем независимость лучеиспускательной способности и коэффициента
поглощения от угловой переменной:
Выпишем c учетом (6) систему (4), (5):
঩ʞ(r,Ω,𝑡) = ঩ʞ(r,𝑡),
𝑘ʞ(r,Ω,𝑡) = 𝑘ʞ(r,𝑡).
(6)
౯𝑈ʞ
Условия применимости линейной зависимости
вида (11), приводящей к приближенным моделям
типа диффузии, или ষ1, подробно обсуждаются
в [1, 2]. Там показано, что в случае умеренной анизотропии поля излучения такие модели дают правильные качественные, а зачастую и количественные результаты, поскольку приближенным является лишь уравнение (10), тогда как (9) является точным уравнением баланса энергии [2].
В случае малой оптической толщины среды
𝑙ʞ ҩ ঳(঳–
– характерный размер области распространения излучения, 𝑙ʞ –
– длина свободного пробега фотона частоты ౢ) уравнения приближения ষ1
соответствуют волновому процессу при скорости,
меньшей скорости света [3]. При условии 𝑙ʞ ҩ ঳
можно упростить систему (9)–(10), пренебрегая
слагаемыми, пропорциональными 𝑘ʞ:
౯𝑡+ divWʞ = 4ʡ঩ʞ −𝑐𝑘ʞ𝑈ʞ,
౯𝑈ʞ
1
𝑐
౯Wʞ
౯𝑡+ 𝑐ѴPʞ = −𝑘ʞWʞ.
(7)
౯𝑡+ divWʞ = 4ʡ঩ʞ,
(12)
1
𝑐
౯Wʞ
౯𝑡+ 𝑐
3Ѵ𝑈ʞ = 0.
(13)
В случае пространственной изотропии, как показано, например, в [2, 3], диагональные элементы
Pʞ(r,𝑡) равны между собой:
Преобразуем (12), умножая обе его части на 1/𝑐
и дифференцируя по времени. К уравнению (13)
ষʞ,11(r,𝑡) = ষʞ,22(r,𝑡) = ষʞ,33(r,𝑡),
ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
том 519
2024