Дифференциальные уравнения, 2024, № 12

Российская академия наук
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 
УРАВНЕНИЯ
Том 60   № 12   2024   Декабрь
Издается с января 1965 г.
ISSN: 0374-0641
Ежемесячный математический журнал
Журнал издается под руководством Отделения Математических наук
Российской академии наук, Отделения Нанотехнологий и информационных технологий РАН
Главный редактор
В.А. Садовничий
Редакционная коллегия:
А.В. Арутюнов, И.В. Асташова, В.А. Винокуров,
Д.В. Георгиевский, Н.А. Изобов, А.В. Ильин (зам. главного редактора),
В.И. Корзюк, А.Б. Куржанский, Ю.С. Осипов, С.И. Репин,
В.Г. Романов, Я.Т. Султанаев, В.В. Фомичев, Ф.Л. Черноусько
Ответственный секретарь: Н.В. Зайцева
Адрес редколлегии: 
119991, ГСП-1, г.  
Москва, 
Ленинские 
горы,
МГУ имени М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, комната 733б.
Телефон: 8 (495) 932-88-53.
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука» 
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Дифференциальные 
 уравнения” (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 60, номер 12, 2024
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Классификация квазилинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений
и е¨
е применение при нормализации систем в критическом случае Богданова–Такенса
В. В. Басов
1587
Исследование пространства параметров многомерной системы с релейным гистерезисом
и возмущением
В. В. Евстафьева, М. Ю. Гусева
1601
Построение решений с отрицательными показателями дифференциальной системы
в двумерном антиперроновском эффекте при возмущениях высшего порядка
Н. А. Изобов, А. В. Ильин
1616
О чувствительности решений уравнений Риккати при малых изменениях коэффициентов
и анализе оптимальности в линейных стохастических системах управления
Е. С. Паламарчук
1623
Об устойчивости по нелинейному нестационарному гибридному приближению
А. В. Платонов
1640
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Единственность энтропийного решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения
с мерозначным потенциалом в гиперболическом пространстве
В. Ф. Вильданова
1653
Локализация собственных функций задачи Дирихле около контура на границе
тонкой области
С. А. Назаров
1664
Разрешимость нелинейных краевых задач для дифференциальных уравнений равновесия
непологих оболочек типа Тимошенко ненулевой гауссовой кривизны
в изометрических координатах
С. Н. Тимергалиев
1685
Интегрирование модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза отрицательного
порядка с нагруженным членом в классе периодических функций
Г. У. Уразбоев, М. М. Хасанов, О. Б. Исмоилов
1703

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
Краевая задача для уравнения Лапласа со смешанными граничными условиями
в полуполосе
Н. Ю. Капустин, Д. Д. Васильченко
1713
Авторский указатель тома 60, 2024
1719

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2024, том 60, №12, с. 1587–1600
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.925
КЛАССИФИКАЦИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
И Е¨
Е ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ НОРМАЛИЗАЦИИ СИСТЕМ
В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ БОГДАНОВА–ТАКЕНСА
© 2024 г.
В. В. Басов
Санкт-Петербургский государственный университет
e-mail: vlvlbasov@rambler.ru
Поступила в редакцию 29.04.2024 г., после доработки 16.06.2024 г.; принята к публикации 03.10.2024 г.
Рассмотрена двумерная автономная система с квазиоднородным многочленом первой
степени с весом (1, 2) в невозмущённой части. Проведена классификация невозмущённой
части, согласно которой множество таких многочленов конструктивным образом разбито на восемь классов эквивалентности относительно квазиоднородных замен нулевой
степени и в каждом классе выделена образующая, называемая канонической формой.
Получены все структуры обобщённых нормальных форм для остававшейся неисследованной системы с одной из канонических форм в невозмущённой части. Методом
резонансных уравнений и наборов осуществлена нормализация в системе с невозмущённой частью (𝑥2, 𝑎𝑥1𝑥2 +𝑏𝑥3
1), что значительно усилило уже имеющиеся результаты
исследований в одном из критических случаев классификации Богданова–Такенса.
Ключевые слова: обобщённая нормальная форма, квазиоднородный многочлен, резонансное уравнение
DOI: 10.31857/S0374064124120016, EDN: IPTQYI
1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим двумерную вещественную автономную систему
˙
𝑥= 𝑃[1]
(1,2)(𝑥)+𝑋(𝑥)
(𝑥= colon(𝑥1, 𝑥2)),
(1)
невозмущённую часть которой образует квазиоднородный многочлен (КОМ) 𝑃[1]
(1,2) первой
степени, а возмущение 𝑋= colon(𝑋1, 𝑋2) разложено в сумму КОМ степени 𝑛с весом (1, 2),
т.е. 𝑋= ∑︀∞
𝑛=2 𝑋[𝑛](𝑥1, 𝑥2), где 𝑋[𝑛]
𝑖
= ∑︀
𝑞1+2𝑞2−𝑖=𝑛𝑋[𝑞1,2𝑞2]
𝑖
𝑥𝑞1
1 𝑥𝑞2
2
(𝑖= 1, 2).
Основной целью этой и многих других работ является получение различных обобщённых
нормальных форм (ОНФ), формально эквивалентных системе (1).
Нормализацию системы (1) удобно осуществлять в два этапа.
Этап 1. Сначала к нормальной форме приводится невозмущённая часть системы (1).
Для этого множество невозмущённых систем
˙
𝑥= 𝑃[1]
(1,2)(𝑥),
или
˙
𝑥1 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥2
1,
˙
𝑥2 = 𝑐𝑥1𝑥2 +𝑑𝑥3
1,
(2)
правые части которых, как и они сами, отождествляются с матрицей
𝑀=
(︂𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
)︂
,
1587

БАСОВ
разбивается на классы эквивалентности относительно квазилинейных замен нулевой степени.
В каждом классе, основываясь на должным образом введённых принципах, выделяются образующие — наиболее простые системы, называемые нормальными формами невозмущённой
системы (2). Их правые части будем обозначать 𝐶𝐹и называть каноническими формами.
В п. 2 приведены структурные и нормировочные принципы, на основании которых получены следующие невырожденные канонические формы (под невырожденностью понимается
отсутствие в матрице 𝑀нулевых строк) системы (2):
𝐶𝐹2
1 =
(︂0
𝑢
1
0
)︂
,
𝐶𝐹2
2 =
(︂0
1
0
1
)︂
,
𝐶𝐹2
3 =
(︂1
0
1
0
)︂
,
𝐶𝐹2
4 =
(︂1
0
0
𝜎
)︂
(𝜎= ±1);
𝐶𝐹3
1 =
(︂0
1
2
1
)︂
,
𝐶𝐹3
2 =
(︂1
𝑢
1
0
)︂
(︀
𝑢∈(−1/2, 0)∪(0, 1/2]
)︀
,
)︂
𝑢∈(0,
√
)︂
.
(3)
𝐶𝐹3
3 =
(︂1
𝑢
0
−1
2);
𝐶𝐹4
1 =
(︂1
1
−2
−2
Кроме того, в теореме 1 для каждой канонической формы 𝐶𝐹из (3) в явном виде
найдены условия на коэффициенты системы (2) и квазилинейные замены, приводящие при
данных условиях правую часть (2) к выбранной 𝐶𝐹, а также получаемые при этом значения
параметров 𝑢и 𝜎.
Этап 2. При помощи формальных почти тождественных замен (нормализующих) последовательно приводятся системы (1), имеющие одну из канонических форм (3) в невозмущённой части. К настоящему моменту исследованы системы (1), имеющие в качестве
невозмущённых частей следующие канонически формы: 𝐶𝐹2
1 [1], 𝐶𝐹2
2 [2], 𝐶𝐹2
3 [2], 𝐶𝐹2
4
[3–5], 𝐶𝐹3
2 [6], частный случай 𝐶𝐹3
3 [7].
В продолжение этих исследований в п. 3 выделены все возможные структуры ОНФ для
системы (1) с достаточно простой канонической формой 𝐶𝐹3
1 в невозмущённой части и
приведены примеры ОНФ с выбранными типами структур.
Нормализация, как и в предшествующих случаях, осуществляется так называемым методом резонансных уравнений и наборов (см., например, [2, 3, 8]). В этих же работах даётся
определение используемого здесь понятия ОНФ, которое фактически соответствует определению ОНФ первого порядка из статьи [7].
К сожалению, аналогичные результаты для систем с 𝐶𝐹3
3 в невозмущённой части пока отсутствуют из-за того, что в линейной алгебраической связующей системе возникает
пятидиагональная матрица, у которой не удаётся оценить собственные числа.
Как было отмечено, в работе [7] осуществлена нормализация системы (1) вида
˙
𝑥1 = 𝑥2 +𝑋1(𝑥1, 𝑥2),
˙
𝑥2 = 𝛼𝑥1𝑥2 +𝛽𝑥3
1 +𝑋2(𝑥1, 𝑥2)
(𝛼, 𝛽̸= 0),
(4)
невозмущённая часть которой относится к одному из неисследованных критических случаев
классификации Богданова–Такенса (см. [9]). При серьёзном предположении о том, что число
𝛼−2𝛽не является алгебраическим (не позволяет обращаться в нуль собственным числам
связующей системы), была получена одна из возможных структур ОНФ:
˙
𝑦1 = 𝑦2,
˙
𝑦2 = 𝛼𝑦1𝑦2 +𝛽𝑦3
1 +
𝑛=4
𝑎𝑛𝑦𝑛
1 .
(5)
∞
∑︁
В п. 4 предложен и реализован один из возможных способов нормализации системы в
критическом случае Богданова–Такенса, а в замечании 4 исправлена ошибка, допущенная
в [7] при описании членов младшего порядка возмущения полученной ОНФ (5).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№12
2024

КЛАССИФИКАЦИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
1589
Дело в том, что классификация Богданова–Такенса, относящаяся к системам (1), отличается от классификации, предложенной в настоящей работе. Простейшая нормализация для
двумерных систем ˙
𝑥= 𝐴𝑥+𝑋(𝑥) с вырожденной матрицей 𝐴=
(︂0
1
0
0
)︂
, задающей линейную невозмущённую часть, была осуществлена Ф. Такенсом в [10]. В свою очередь, именно
полученная им нормальная форма, имеющая вид ˙
𝑦1 = 𝑦2, ˙
𝑦2 = 𝑓(𝑥)+𝑦𝑔(𝑥), точнее вся её
правая часть, была выбрана в статье [9] в качестве невозмущённой и использована для создания классификации, названной авторами классификацией Богданова-Такенса, поскольку
её основы были заложены в работах Р.И. Богданова [11] и Ф. Такенса [10].
Недостаток такой классификации заключается в том, что нормализации не подвергается
квазилинейная часть системы (4), а с её помощью происходит нормализация членов более
высокого порядка.
Действительно, матрица 𝑀=
(︂1
0
𝛼
𝛽
)︂
, введённая для невозмущённой системы (2), является не канонической, а структурной формой из класса 𝑆𝐹3
4 (см. определения 1, 2 и (13) в
п. 2), и поэтому допускает упрощения.
Оказывается, что в случае когда у системы (4)
𝛽⩾−𝛼2/8,
(6)
её квазилинейная часть квазиоднородной заменой нулевой степени сводится по теореме 1
к более простой форме 𝐶𝐹3
2 . Системы с 𝐶𝐹3
2 в невозмущённой части исследованы в [6] и
для них методом резонансных наборов и уравнений в явном виде выписаны все структуры
ОНФ.
Таким образом, нормализация матрицы 𝑀позволяет существенно продвинуться в исследовании критических случаев классификации Богданова–Такенса и, в частности, не требовать трансцендентности числа 𝛼−2𝛽.
Что касается случая, когда неравенство (6) не выполняется, то 𝑆𝐹3
4 может быть сведена
только к 𝐶𝐹3
3 , для неё сохраняется пока не решённая проблема с оценкой собственных чисел
матрицы связующей системы.
Следует отметить, что полученные в п. 4 результаты не полностью решают проблему
нормализации в критическом случае Богданова–Такенса, поскольку в полученных ОНФ в
квазилинейной части вместо слагаемого 𝛽𝑦3
1 во втором уравнении появляется слагаемое 𝑢𝑦2
1
в первом уравнении, а его отсутствие может требоваться при решении конкретных задач,
связанных с нормализацией системы. В конечном счёте всё упирается в одну из ключевых
проблем, связанных с обобщёнными нормальными формами: какие слагаемые в правой части
системы использовать в качестве невозмущённой части.
2. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ВЕСОМ (1,2)
Рассмотрим двумерную вещественную квазилинейную систему (2), правая часть которой
является невырожденным квазиоднородным многочленом первой степени с весом (1, 2). Этот
многочлен обозначается 𝑃[1]
(1,2)(𝑥) и отождествляется, как и сама система, с матрицей 𝑀.
Напомним, что невырожденность 𝑃[1]
(1,2) означает отсутствие в матрице 𝑀нулевых строк,
т.е. наличие ограничения 𝑎2 +𝑏2 ̸= 0, 𝑐2 +𝑑2 ̸= 0.
Структура системы (2) сохраняется при выполнении произвольной вещественной обратимой квазиоднородной замены нулевой степени с весом (1, 2), которая имеет вид
𝑥1 = 𝜏1𝑧1,
𝛿
𝜏2
(𝜏1, 𝜏2 ̸= 0).
(7)
𝑥2 = 𝜏2𝑧2 +𝛿𝑧2
1
или
𝐿=
(︃
𝜏1
0
)︃
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№12
2024

БАСОВ
Замену (7), отождествляемую с матрицей 𝐿, удобно записать в виде композиции двух
замен: нормированной и нормирующей.
Структурирующая замена
𝑥1 = 𝑦1,
𝑥2 = 𝑦2 +𝛾𝑦2
1
(8)
преобразует (2) в квазилинейную систему
˙
𝑦1 = 𝑎𝑦2 +(𝑏+𝑎𝛾) 𝑦2
1,
,
(9)
(︃
˜
𝑎
˜
𝑏
˜
𝑐
˜
𝑑
)︃
˙
𝑦2 = (𝑐−2𝑎𝛾) 𝑦1𝑦2 +(𝑑+(𝑐−2𝑏)𝛾−2𝑎𝛾2) 𝑦3
1
или
̃︁
𝑀=
где ˜
𝑎= 𝑎, ˜
𝑏= 𝑏+𝑎𝛾, ˜
𝑐= 𝑐−2𝑎𝛾, ˜
𝑑= 𝑑+(𝑐−2𝑏)𝛾−2𝑎𝛾2.
В свою очередь, нормирующая замена
𝑦1 = 𝜏1𝑧1,
𝑦2 = 𝜏2𝑧2
(𝜏1, 𝜏2 ̸= 0)
(10)
преобразует систему (9) в квазилинейную систему
˙
𝑧1 = 𝜏−1
1 𝜏2˜
𝑎𝑧2 +𝜏1˜
𝑏𝑧2
1,
.
(11)
^
𝑐
^
𝑑
(︃
^
𝑎
^
𝑏
)︃
˙
𝑧2 = 𝜏1˜
𝑐𝑧1𝑧2 +𝜏3
1 𝜏−1
2
˜
𝑑𝑧3
1
или
̂︁
𝑀=
Утверждение 1. 1. В замене (7), являющейся композицией замен (8) и (10), 𝛿= 𝜏2
1 𝛾.
2. Условие 𝑎= 0 инвариантно относительно замены (7).
Обозначим через 𝐷дискриминант выражения 𝑎𝛾2 −(𝑐/2−𝑏)𝛾−𝑑/2, тогда
𝐷= (𝑐/2−𝑏)2 +2𝑎𝑑
или
𝐷= (𝑐/2+𝑏)2 +2 det 𝑀.
(12)
Аналогичным образом введём дискриминанты ̃︀
𝐷и ̂︀
𝐷.
Утверждение 2. Для дискриминантов систем (9) и (11), полученных из системы (2),
справедливы следующие равенства: ̃︀
𝐷= 𝐷, ̂︀
𝐷= 𝜏2
1 ̃︀
𝐷.
Следуя [12], введём формальное понятие структурной формы, упорядочим множество
структурных форм, основываясь на должным образом выбранном структурном принципе,
разобьём их на классы эквивалентности относительно замены (7) и выделим в каждом классе
образующую — простейшую с учётом выбранного нормировочного принципа структурную
форму, называемую канонической.
Определение 1. Вещественную матрицу 𝑀из (2) будем называть структурной 𝑚-формой (𝑚= 2, 3, 4) и обозначать 𝑆𝐹𝑚, если какие-либо 𝑚её элементов отличны от нуля, а
остальные равны нулю.
Очевидно, что структурные 𝑚-формы отличаются одна от другой различным расположением ненулевых элементов и имеется всего девять структурных форм.
Вполне упорядочим множество структурных форм при помощи следующего структурного
принципа: 𝑆𝐹𝑚предшествует 𝑆𝐹𝑘, если 𝑚< 𝑘, а среди форм с одинаковым 𝑚порядок
предшествования таков: 𝑎= 0, 𝑑= 0, 𝑐= 0.
Для каждого 𝑚(𝑚= 2, 3, 4) расставим структурные формы 𝑆𝐹𝑚в соответствии с введённым порядком и присвоим каждой соответствующий ей номер 𝑖, вводя обозначение 𝑆𝐹𝑚
𝑖:
𝑆𝐹2
1 =
(︂0
𝑏
𝑐
0
)︂
,
𝑆𝐹2
2 =
(︂0
𝑏
0
𝑑
)︂
,
𝑆𝐹2
3 =
(︂𝑎
0
𝑐
0
)︂
,
𝑆𝐹2
4 =
(︂𝑎
0
0
𝑑
)︂
;
)︂
.
(13)
𝑆𝐹3
1 =
(︂0
𝑏
𝑐
𝑑
)︂
,
𝑆𝐹3
2 =
(︂𝑎
𝑏
𝑐
0
)︂
,
𝑆𝐹3
3 =
(︂𝑎
𝑏
0
𝑑
)︂
,
𝑆𝐹3
4 =
(︂𝑎
0
𝑐
𝑑
)︂
;
𝑆𝐹4
1 =
(︂𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№12
2024

КЛАССИФИКАЦИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
1591
Здесь 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑̸=0. Каждую 𝑆𝐹𝑚
𝑖
из (13) нормируем при помощи замены (10) в соответствии
с нормировочным принципом: из элементов, расположенных в порядке 𝑎, 𝑑, 𝑐, 𝑏, первый
ненулевой нормируется к 1, а второй, если возможно, — к 1 или −1.
Нормированную 𝑆𝐹𝑚
𝑖
будем обозначать 𝑁𝑆𝐹𝑚
𝑖, а её оставшиеся ненормированными элементы, если такие имеются, будем называть параметрами.
Определение 2. Нормированную каноническую форму 𝑁𝑆𝐹𝑚
𝑖
будем называть канонической формой и обозначать 𝐶𝐹𝑚
𝑖, если выделено такое минимальное множество допустимых
значений её параметров, называемое каноническим и обозначаемое 𝑐𝑠𝑚
𝑖, что 𝐶𝐹𝑚
𝑖
ни при
каких значениях параметров из 𝑐𝑠𝑚
𝑖
не может быть сведена заменой (7) к какой-либо предшествующей структурной форме. Под минимальностью 𝑐𝑠𝑚
𝑖
понимается максимальное ограничение значений его параметров по модулю или по знаку при помощи должным образом
подобранной замены (7).
Разумеется, в 𝐶𝐹𝑚
𝑖
параметры могут не иметь ограничений или, наоборот, могут оказаться константами. В этих случаях каноническое множество не указывается, оно тривиально.
Замечание 1. Предложенные структурный и нормировочный принципы введены таким
образом, что позволяют максимально сократить технические трудности, связанные с нормализацией возмущённых систем, имеющих в невозмущённой части какую-либо из выделенных
форм 𝐶𝐹. А требование невырожденности 𝐶𝐹или, что то же самое, отсутствия нулевой
строки у матрицы 𝑀вызвано желанием полноценно нормализовать возмущённую систему, т.е. иметь возможность при помощи почти тождественных преобразований получать
максимальное число нулевых коэффициентов в возмущении.
Докажем, что матрица 𝑀системы (2) сводится к одной из восьми форм 𝐶𝐹в (3),
и покажем, что матрица 𝑀в ряде случаев заменой (7) может быть сведена не только
к каноническим, но и к вырожденным (с нулевой второй строкой) каноническим формам,
обозначаемым 𝐶𝐹𝜇
𝑑,𝜄.
Три вырожденные канонические формы системы (2) имеют вид
𝐶𝐹1
𝑑,1 =
(︂0
1
0
0
)︂
,
𝐶𝐹1
𝑑,2 =
(︂1
0
0
0
)︂
,
𝐶𝐹2
𝑑,1 =
(︂1
1
0
0
)︂
.
Для случая когда в (12) дискриминант 𝐷⩾0, введём константы
𝐷
𝐷
𝐷
𝐷
𝛾1 = 𝑐/2−𝑏−
√
2𝑎
,
𝛾2 = 𝑐/2−𝑏+
√
2𝑎
;
𝜂1 = 𝑐/2+𝑏−
√
2
,
𝜂2 = 𝑐/2+𝑏+
√
2
.
(14)
Теорема 1. С помощью замен (8) и (10) правая часть системы (2) сводится к одной из
восьми попарно неэквивалентных друг другу относительно замен (7) канонических форм (3).
Ниже для каждой CF из (3) приведены: a) условия на коэффициенты системы (2);
b) замены (8) и (10), приводящие при данных условиях правую часть системы (2) к выбранной 𝐶𝐹; с) получаемые при этом значения параметров 𝑢и 𝜎:
𝐶𝐹2
2 : a) 𝑎= 0, 𝑐= 0; b) 𝛾= 0, 𝜏1 = 𝑏−1, 𝜏2 = 𝑏−3𝑑;
𝐶𝐹3
1 : a) 𝑎= 0, 𝑐= 2𝑏, 𝑑̸= 0; b) 𝛾= 0, 𝜏1 = 𝑏−1, 𝜏2 = 𝑏−3𝑑;
𝐶𝐹2
1 : a) 𝑎= 0, 𝑐̸= 0 (𝑐̸= 2𝑏или 𝑐= 2𝑏, 𝑑= 0); b) 𝛾= (2𝑏−𝑐)−1𝑑, 𝜏1 = 𝑐−1 или 𝛾= 0,
𝜏1 = (2𝑏)−1; 𝜏2 = 1; c) 𝑢= 𝑏𝑐−1;
𝐶𝐹2
4 : a) 𝑎̸= 0, 𝑐= −2𝑏, 𝑎𝑑+2𝑏2 ̸= 0; b) 𝛾= −𝑎−1𝑏, 𝜏1 = |𝑑+2𝑎−1𝑏2|−1/2 sign 𝑎, 𝜏2 = 𝑎−1𝜏1;
c) 𝜎= sign(𝑑+2𝑎−1𝑏2);
𝐶𝐹4
1 : a) 𝑎̸= 0, 𝑐= −2𝑏, 𝑑= −2𝑎−1𝑏2; b) 𝛾= 0, 𝜏1 = 𝑏−1, 𝜏2 = (𝑎𝑏)−1;
𝐶𝐹2
3 : a) 𝑎̸=0, 𝑐+2𝑏̸=0, 𝑑=𝑎−1𝑏𝑐(𝐷>0); b) 𝛾=𝛾1 при 𝑐+2𝑏>0 или 𝛾=𝛾2 при 𝑐+2𝑏<0,
𝜏1 = (𝑐+2𝑏)−1, 𝜏2 = 𝑎−1𝜏1;
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№12
2024

БАСОВ
𝐶𝐹3
2 : a) 𝑎̸= 0, 𝑐+2𝑏̸= 0, 𝑑̸= 𝑎−1𝑏𝑐(𝐷⩾0); b) 𝛾= 𝛾𝜄, 𝜏1 = (𝑐−2𝑎𝛾𝜄)−1, 𝜏2 = 𝑎−1𝜏1; c) 𝑢=
= (𝑏+𝑎𝛾𝜄)(𝑐−2𝑎𝛾𝜄)−1, где 𝜄= 1 при 𝑐+2𝑏> 0, 𝜄= 2 при 𝑐+2𝑏< 0;
𝐶𝐹3
3 : a) 𝑎̸= 0, 𝑐+2𝑏̸= 0 (𝐷< 0); b) 𝛾= (2𝑎)−1𝑐, 𝜏1 = (𝑏𝑐−𝑎𝑑)−1/2 sign(𝑐+2𝑏), 𝜏2 = 𝑎−1𝜏1;
c) 𝑢= |𝑐/2+𝑏|(𝑏𝑐−𝑎𝑑)−1/2.
Доказательство. 1. Рассмотрим случай 𝑎=0 (𝑏̸=0), т.е. в (2) 𝑀=
(︂0
𝑏
𝑐
𝑑
)︂
. В результате
)︂
.
1.1. Пусть 𝑐= 0 (𝑑̸= 0). Выбирая, например, 𝛾= 0, чтобы сохранить невырожденность,
замены (8) получаем систему (9) с ̃︁
𝑀=
(︂0
𝑏
𝑐
𝑑+(𝑐−2𝑏)𝛾
)︂
и после нормировки (10) c 𝜏1 = 𝑏−1, 𝜏2 = 𝑏−3𝑑получаем 𝐶𝐹2
2 , а при
𝛾= (2𝑏)−1𝑑и 𝜏1 = 𝑏−1 (𝜏2 = 1) получаем 𝐶𝐹1
𝑑,1.
имеем 𝑀= ̃︁
𝑀=
(︂0
𝑏
0
𝑑
)︂
.
1.2. Если 𝑐= 2𝑏, то при любом 𝛾, например при 𝛾= 0, матрица ̃︁
𝑀=
(︂0
𝑏
2𝑏
𝑑
1.2.1. При 𝑑= 0 нормировка (10) c 𝜏1 = (2𝑏)−1 (𝜏2 = 1) даёт 𝐶𝐹2
1 с 𝑢= 1/2.
1.2.2. При 𝑑̸= 0 нормировка (10) c 𝜏1 = 𝑏−1, 𝜏2 = 𝑏−3𝑑даёт 𝐶𝐹3
1 .
)︂
и её нормировка (10)
1.3. Пусть 𝑐̸= 0, 2𝑏. Тогда при 𝛾= (2𝑏−𝑐)−1𝑑матрица ̃︁
𝑀=
(︂0
𝑏
𝑐
0
c 𝜏1 = 𝑐−1 (𝜏2 = 1) даёт 𝐶𝐹2
1 с 𝑢= 𝑏𝑐−1 ̸= {0, 1/2}.
2. Случай 𝑎̸= 0. Из системы (2) с помощью замены (8) получаем систему (9).
2.1. Пусть 𝑐= −2𝑏. Это условие позволяет при желании аннулировать в (9) элементы ˜
𝑏
)︂
.
и ˜
𝑐, так как в этом случае ̃︁
𝑀=
(︂
𝑎
𝑏+𝑎𝛾
−2(𝑏+𝑎𝛾)
𝑑−4𝑏𝛾−2𝑎𝛾2
)︂
и её нормировка (10) с 𝜏1 = |𝜓1|−1/2 sign 𝑎, 𝜏2 = 𝑎−1𝜏1 даёт 𝐶𝐹2
4 c 𝜎= sign 𝜓1.
2.1.1. Пусть 𝜓1 = 𝑑+2𝑎−1𝑏2 ̸= 0. При 𝛾= −𝑎−1𝑏имеем матрицу ̃︁
𝑀=
(︂𝑎
0
0
𝜓1
)︂
.
2.1.2. Если 𝑑= −2𝑎−1𝑏2 (𝜓1 = 0), то ̃︁
𝑀=
(︂
𝑎
𝑏+𝑎𝛾
−2(𝑏+𝑎𝛾)
−2𝑎−1(𝑏+𝑎𝛾)2
)︂
и нормировка (10) с 𝜏1 =𝑏−1, 𝜏2 =(𝑎𝑏)−1
даёт 𝐶𝐹4
1 , а при 𝛾= −𝑎−1𝑏и 𝜏1 = 𝑎(𝜏2 = 1) получаем 𝐶𝐹1
𝑑,2.
Теперь при 𝛾=0 имеем 𝑀, ̃︁
𝑀=
(︂𝑎
𝑏
−2𝑏
−2𝑎−1𝑏2
2.2. При 𝑐+2𝑏̸= 0 в матрице ̃︁
𝑀из (9) предпочтительнее всего согласно структурному
принципу аннулировать элемент ˜
𝑑= −2(𝑎𝛾2 −(𝑐/2−𝑏)𝛾−𝑑/2). Это возможно сделать, если
дискриминант 𝐷из (12) неотрицательный.
2.2.1. 𝐷=(𝑐/2+𝑏)2+2(𝑎𝑑−𝑏𝑐)⩾0. Тогда в (14) 𝛾1, 𝛾2 — нули элемента ˜
𝑑из ̃︁
𝑀, 𝜂1 =𝑏+𝑎𝛾1 =
= (𝑐−2𝑎𝛾2)/2, 𝜂2 = 𝑏+𝑎𝛾2 = (𝑐−2𝑎𝛾1)/2.
)︂
(𝑖= 1, 2).
Пусть в замене (8) 𝛾= 𝛾𝑖, тогда в системе (9) ̃︁
𝑀𝑖=
(︂
𝑎
𝑏+𝑎𝛾𝑖
𝑐−2𝑎𝛾𝑖
0
2.2.1.1. Условие 𝑑= 𝑎−1𝑏𝑐равносильно условию 𝐷= (𝑐/2+𝑏)2 > 0 (𝛾1 ̸= 𝛾2).
i) Если 𝑐+2𝑏>0, то выбираем 𝛾=𝛾1. Тогда в ̃︁
𝑀1 согласно (14) элемент ˜
𝑏=𝑏+𝑎𝛾1 =𝜂1 =0,
)︂
.
элемент ˜
𝑐= 𝑐−2𝑎𝛾1 = 2𝜂2 = 𝑐+2𝑏, т.е. ̃︁
𝑀1 =
(︂
𝑎
0
𝑐+2𝑏
0
ii) Если 𝑐+2𝑏<0, то выбираем 𝛾=𝛾2. Тогда в ̃︁
𝑀2 согласно (14) элемент ˜
𝑏=𝑏+𝑎𝛾2 =𝜂2 =0,
)︂
.
элемент ˜
𝑐= 𝑐−2𝑎𝛾2 = 2𝜂1 = 𝑐+2𝑏, т.е. ̃︁
𝑀2 =
(︂
𝑎
0
𝑐+2𝑏
0
После нормировки (10) c 𝜏1 = (𝑐+2𝑏)−1, 𝜏2 = 𝑎−1𝜏1 ̃︁
𝑀1 и ̃︁
𝑀2 превращаются в 𝐶𝐹2
3 .
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№12
2024

КЛАССИФИКАЦИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
1593
Если в случае 1 взять 𝛾=𝛾2, а в случае 2 — 𝛾=𝛾1, то будет получена матрица
(︂𝑎
𝑐+2𝑏
0
0
)︂
,
которую та же нормировка сведёт к 𝐶𝐹2
𝑑,1.
2.2.1.2. Условие 𝑑̸= 𝑎−1𝑏𝑐равносильно условиям 𝜂1, 𝜂2 ̸= 0.
i) При 𝑐+ 2𝑏> 0 выбираем 𝛾= 𝛾1, тогда в ̃︁
𝑀1 согласно (14) ˜
𝑑= 0, поскольку 𝛾1 —
корень уравнения 2𝛾2−𝛼𝛾−𝛽= 0, далее, ˜
𝑏= 𝜂1, ˜
𝑐= 2𝜂2, причём 𝜂2 > |𝜂1| при 𝐷> 0 и 𝜂2 = 𝜂1
при 𝐷= 0. После нормировки (10) c 𝜏1 = (2𝜂2)−1, 𝜏2 = 𝑎−1𝜏1 в системе (11) ̂︁
𝑀= 𝐶𝐹3
2 с
𝑢= 𝜂1(2𝜂2)−1 = (𝑏+𝑎𝛾1)(𝑐−2𝑎𝛾1)−1, причём 𝑢∈(−1/2, 0)∪(0, 1/2].
ii) При 𝑐+2𝑏<0 выбираем 𝛾=𝛾2, тогда в ̃︁
𝑀2 согласно (14) ˜
𝑏=𝜂2, ˜
𝑐=2𝜂1, причём −𝜂1 >|𝜂2|
при 𝐷> 0 и 𝜂1 = 𝜂2 при 𝐷= 0. После замены (10) c 𝜏1 = (2𝜂1)−1, 𝜏2 = 𝑎−1𝜏1 получаем 𝐶𝐹3
2 с
𝑢= 𝜂2(2𝜂1)−1 = (𝑏+𝑎𝛾2)(𝑐−2𝑎𝛾2)−1, при этом 𝑢∈(−1/2, 0)∪(0, 1/2].
2.2.2. Пусть 𝐷=(𝑐/2+𝑏)2+2(𝑎𝑑−𝑏𝑐)<0 (𝑎𝑑−𝑏𝑐<0). Тогда при 𝛾=(2𝑎)−1𝑐в (9) матрица
)︂
и её нормировка (10) c 𝜏1 = (𝑏𝑐−𝑎𝑑)−1/2 sign(𝑐+2𝑏), 𝜏2 = 𝑎−1𝜏1 даёт
̃︁
𝑀=
(︂𝑎
𝑐/2+𝑏
0
𝑎−1(𝑎𝑑−𝑏𝑐)
𝐶𝐹3
3 с 𝑢=|𝑐/2+𝑏|(𝑏𝑐−𝑎𝑑)−1/2. При этом 0<𝑢<
√
2, так как равносильны неравенства 𝐷<0
и ˘
𝐷= 𝑢2 −2 < 0. Теорема доказана.
)︂
и та же нор8).
Замечание 2. В случае 2.2.2 при 𝛾=−𝑎−1𝑏в (9) ̃︁
𝑀=
(︂
𝑎
0
𝑐+2𝑏
𝑎−1(𝑎𝑑−𝑏𝑐)
)︂
с 𝜃=|𝑐+2𝑏|(𝑏𝑐−𝑎𝑑)−1/2 (0<𝜃<
√
мировка приводит эту матрицу к 𝑁𝑆𝐹3
4 вида
(︂1
0
𝜃
−1
Очевидно, что такая 𝑁𝑆𝐹3
4 для любого 𝜃∈(0,
√
8) заменой (8) с 𝛾= 𝜃/2 сводится к предшествующей ей 𝐶𝐹3
3 , у которой 𝑢= 𝜃/2.
Замечание 3. В случаях 1.1, 2.1.2 и 2.2.1.1 установлено, что вместо 𝐶𝐹2
2 , 𝐶𝐹4
1 и 𝐶𝐹2
3
можно получить соответственно 𝐶𝐹1
𝑑,1, 𝐶𝐹1
𝑑,2 и 𝐶𝐹2
𝑑,1. Нормализацию возмущённых систем
с 𝐶𝐹𝑑в невозмущённой части имеет смысл проводить в тех случаях, когда эквивалентная
𝐶𝐹достаточно сложна, как, например, 𝐶𝐹4
1 . Тогда для получения полноценной нормализации из правой части второго уравнения возмущённой системы в нулевую невозмущённую
часть выделяют некоторые члены возмущения, позволяющие ввести новый вес и определить
степень созданного невырожденного квазиоднородного многочлена.
3. ОБОБЩ¨
ЕННАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА СИСТЕМЫ
С 𝐶𝐹3
1 В НЕВОЗМУЩ¨
ЕННОЙ ЧАСТИ
Рассмотрим систему (1), невозмущённая часть которой представлена канонической формой 𝐶𝐹3
1 :
˙
𝑥1 = 𝑥2
1 +𝑋1(𝑥1, 𝑥2),
˙
𝑥2 = 2𝑥1𝑥2 +𝑥3
1 +𝑋2(𝑥1, 𝑥2),
(15)
в которой 𝑋𝑖= ∑︀∞
𝑛=2 𝑋[𝑛]
𝑖(𝑥1, 𝑥2) (𝑖= 1, 2), а 𝑋[𝑛]
𝑖
= ∑︀
𝑞1+2𝑞2−𝑖=𝑛𝑋[𝑞1,2𝑞2]
𝑖
𝑥𝑞1
1 𝑥𝑞2
2 .
Пусть вещественная почти тождественная замена
𝑥𝑖= 𝑦𝑖+ℎ𝑖(𝑦1, 𝑦2)
(𝑖= 1, 2)
(16)
преобразует систему (15) в формально эквивалентную ей систему
˙
𝑦1 = 𝑦2
1 +𝑌1(𝑦1, 𝑦2),
˙
𝑦2 = 2𝑦1𝑦2 +𝑦3
1 +𝑌2(𝑦1, 𝑦2),
(17)
здесь ℎ𝑖= ∑︀∞
𝑛=2 ℎ[𝑛−1]
𝑖
(𝑦1, 𝑦2), ℎ[𝑛−1]
𝑖
= ∑︀
𝑞1+2𝑞2−𝑖=𝑛−1 ℎ[𝑞1,2𝑞2]
𝑖
𝑦𝑞1
1 𝑦𝑞2
2
и 𝑌𝑖аналогичны 𝑋𝑖.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№12
2024