Дифференциальные уравнения, 2024, № 11

Российская академия наук
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 
УРАВНЕНИЯ
Том 60   № 11   2024   Ноябрь
Издается с января 1965 г.
ISSN: 0374-0641
Ежемесячный математический журнал
Журнал издается под руководством Отделения Математических наук
Российской академии наук, Отделения Нанотехнологий и информационных технологий РАН
Главный редактор
В.А. Садовничий
Редакционная коллегия:
А.В. Арутюнов, И.В. Асташова, В.А. Винокуров,
Д.В. Георгиевский, Н.А. Изобов, А.В. Ильин (зам. главного редактора),
В.И. Корзюк, А.Б. Куржанский, Ю.С. Осипов, С.И. Репин,
В.Г. Романов, Я.Т. Султанаев, В.В. Фомичев, Ф.Л. Черноусько
Ответственный секретарь: Н.В. Зайцева
Адрес редколлегии: 
119991, ГСП-1, г.  
Москва, 
Ленинские 
горы,
МГУ имени М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, комната 733б.
Телефон: 8 (495) 932-88-53.
Москва 
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Дифференциальные 
 уравнения” (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 60, номер 11, 2024
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
О свойствах решений уравнений, возникающих в задачах моделирования
криохимического синтеза лекарственных наноформ
И. В. Асташова, Ю. Н. Морозов, А. В. Филиновский, Г. А. Чечкин, Т. И. Шабатина
1443
Задача Наймарка для обыкновенного дифференциального уравнения с оператором
дробного дискретно распредел¨
енного дифференцирования
Л. Х. Гадзова
1452
Итерационные последовательности метода локализации
А. П. Крищенко
1460
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Об однозначной разрешимости задачи Коши в классе 𝐶1,0(𝐷) для параболических
систем на плоскости
Е. А. Бадерко, С. И. Сахаров
1471
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
О свойствах множества разрешимости для линейной системы с неопредел¨
енностью
А. А. Мельникова, П. А. Точилин, А. Н. Дарьин
1484
О системах управления, описываемых дифференциальными включениями
дробного порядка с обратной связью
Г. Г. Петросян
1499
Количественные показатели управляемости нелинейных систем
А. Д. Пирогова, В. Н. Четвериков
1519
Семейство логарифмических спиралей в гамильтоновых системах размерности 8
с управлением из круга
М. И. Ронжина, Л. А. Манита
1531
О расширении множества разбиений пространства состояний для устойчивой
переключаемой аффинной системы
А. С. Фурсов, П. А. Крылов
1541

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
О численных методах в задачах локализации
А. Н. Канатников, О. С. Ткачева
1553
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
Kонечно-энергетическое решение волнового уравнения, не стремящееся на бесконечности
к сферической волне
А. Б. Плаченов, А. П. Киселев
1562
ХРОНИКА
О семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском
государственном университете имени М.В. Ломоносова
1566

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2024, том 60, №11, с. 1443–1451
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.925.54
О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ,
ВОЗНИКАЮЩИХ В ЗАДАЧАХ МОДЕЛИРОВАНИЯ
КРИОХИМИЧЕСКОГО СИНТЕЗА
ЛЕКАРСТВЕННЫХ НАНОФОРМ
© 2024 г.
И. В. Асташова1, Ю. Н. Морозов2,
А. В. Филиновский3, Г. А. Чечкин4, Т. И. Шабатина5
1–5Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
1Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова, г. Москва
2,3,5Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
e-mail: 1irina.astashova@math.msu.ru, 2yunmor@mail.ru, 3alexey.filinovskiy@math.msu.ru,
4chechkin@mech.math.msu.su, 5tsh@kinet.chem.msu.ru
Поступила в редакцию 20.09.2024 г., после доработки 28.09.2024 г.; принята к публикации 03.10.2024 г.
Для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, возникающего при математическом моделировании процессов криохимического синтеза лекарственных наноформ, исследовано поведение его положительных монотонных решений,
а также существование, единственность и свойства решений различных краевых задач
с фиксированными и свободными границами.
Ключевые слова: нелинейное уравнение, монотонное решение, краевая задача, криохимический синтез
DOI: 10.31857/S0374064124110011, EDN: JENAXV
1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Строится математическая модель процесса создания наноформ лекарственных препаратов
методом криохимического синтеза. Терапевтическая эффективность различных фармацевтических препаратов находится в прямой зависимости от размера и структуры формирующих
микрочастиц, влияющих на биоэффективность и биодоступность [1, 2]. Уменьшение лекарственных частиц до наноразмеров позволяет добиваться большой площади реагирующей
поверхности и получать высокоэффективные препараты, следовательно, снижать дозировку
и возможные токсические эффекты от их применения [3]. Для получения лекарственных
наноформ используются различные физические и химические методы (см., например, [4–6]),
в том числе криохимический синтез [7–9]. Одним из эффективных активно развивающихся
методов является метод криохимического преобразования лекарственной субстанции, основанный на её возгонке в условиях высокого вакуума и переносе полученных паров потоком
газа-носителя с последующей низкотемпературной конденсацией газообразного потока молекул лекарственной субстанции на охлаждаемой поверхности.
Технология криохимической модификации фармацевтических веществ заключается в следующем. Исходное лекарственное вещество нагревается до определённой температуры в
потоке предварительно нагретого газа-носителя. Образующиеся пар´
ы исходного соединения захватываются потоком газа-носителя и выносятся через сопло во внешнее свободное
1443

АСТАШОВА и др.
вакуумируемое пространство химического реактора, заканчивающегося охлаждающей поверхностью. При движении от сопла формирователя к холодной поверхности смешанный
молекулярный поток резко охлаждается за счёт теплопроводности. В результате в системе создаются условия для быстрого газофазного “зародышеобразования”. В свою очередь,
высокая скорость зародышеобразования быстро обедняет газовую фазу пар´
ами соединения,
что ограничивает дальнейший рост зародышей. Таким образом, удаётся получать формы
(кристаллиты) с размерами, близкими к размерам критических зародышей, составляющими
для органических соединений несколько десятков нанометров.
Задача математического описания процесса криохимической модификации фармацевтических субстанций разбивается на две:
1) расчёт температурного поля в потоке несущего газа, взаимодействующего с охлаждаемой поверхностью;
2) построение кинетической модели, учитывающей процессы зарождения и роста наночастиц в газовой фазе в заданном температурном поле.
В данной работе исследуется задача 1), для решения которой необходимо сделать ряд
допущений:
– смешанный молекулярный поток не рассеивается при движении от сопла формирователя молекулярного потока к холодной поверхности;
– смешанный молекулярный поток имеет одинаковую температуру по всему сечению;
– температура смешанного молекулярного потока равна температуре охлаждаемой поверхности при достижении её;
– теплофизические характеристики газа-носителя не изменяются при включении в него
молекул и наночастиц фармацевтической субстанции.
При этих допущениях для расчёта температурного поля, создаваемого потоком газаносителя, можно использовать уравнение теплопроводности с массопереносом для одномерного случая:
𝜕𝑇
𝜕
𝜕𝑡= 𝑣𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥−
𝜇
𝜌𝐶𝑉
(︂
𝜆𝜕𝑇
)︂
.
(1)
Здесь 𝜌, 𝜇, 𝜆— соответственно плотность, молекулярный вес и температуропроводность
газа-носителя, 𝐶𝑉— молярная теплоёмкость газа-носителя при постоянном объёме, 𝑣—
линейная скорость фронта потока газа-носителя.
В стационарном случае (𝜕𝑇/𝜕𝑡= 0) уравнение (1) приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению
𝑑𝑇
𝑑
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥−
𝜇
𝜌𝑣𝐶𝑉
(︂
𝜆𝑑𝑇
)︂
= 0.
(2)
Регулируемый поток газа-носителя, проходя через подогретый медный экран цилиндрической формы, нагревается до определённой температуры, захватывает пар´
ы исходного вещества и выводит их в вакуумное пространство. Пусть площадь сопла формирователя
смешанного молекулярного потока равна 𝑆. Тогда молярный расход газа-носителя равен
˙
𝑁= 𝑑𝑁
𝑑𝑡= 𝜌𝑣𝑆
𝜇.
В этом случае отношение молярной скорости потока газа-носителя 𝑑𝑁/𝑑𝑡к площади сопла
(т.е. плотность потока газа-носителя 𝑑𝑛/𝑑𝑡) может быть представлено в виде
˙
𝑛= 𝑑𝑛
𝑑𝑡=
˙
𝑁
𝑆= 𝜌𝑣
𝜇.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№11
2024

О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ
1445
Теперь уравнение (2) можно записать как
𝑑𝑇
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥−𝑑
𝐶𝑉˙
𝑛
𝑑𝑇
(︂
𝜆
)︂
= 0.
(3)
Уравнение (3) может быть решено аналитически с учётом зависимости теплопроводности
газа-носителя от температуры. Для большого количества газов (азот, гелий, аргон, углекислый газ и т.д.) зависимость теплопроводности от температуры выражается приближённой
формулой
𝑅𝑇
𝜆=
𝑖𝑘
𝜇,
(4)
3𝜋3/2𝑑2
√︃
где 𝑖— сумма поступательных и вращательных степеней свободы молекул (5 — для двухатомных газов, 3 — для одноатомных), 𝑘— постоянная Больцмана, 𝜇— молярная масса,
𝑇— абсолютная температура, 𝑑— эффективный диаметр молекул, 𝑅— универсальная
газовая постоянная.
Представив 𝜆в (4) как 𝛼
√
𝑇с подходящим коэффициентом 𝛼, получим
𝑇
𝜆
𝑇,
𝑏=
𝛼
𝐶𝑉˙
𝑛= 𝛼
√
𝐶𝑉˙
𝑛= 𝑏
√
𝐶𝑉˙
𝑛.
Тогда уравнение (3) примет вид
𝑑
𝑇𝑑𝑇
𝑑𝑥
𝑑𝑥
(︂
𝑇−𝑏
√
)︂
= 0,
𝑏> 0.
(5)
2. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ УБЫВАЮЩИЕ РЕШЕНИЯ
Исследуем поведение положительных решений уравнения (5).
Теорема 1. Каждое положительное решение 𝑇уравнения (5) либо постоянно, либо
строго монотонно. Любое строго убывающее решение имеет вид
𝑏𝑐
𝑇(𝑥) = 𝑐2Θ
(︂𝑥−𝑥*
)︂
2
,
(6)
где 𝑥* и 𝑐> 0 – произвольные константы, а функция Θ: (−∞, 0) →(0, 1) убывает и неявно
задаётся формулой
𝑥= 2Θ(𝑥)+ln 1−Θ(𝑥)
1+Θ(𝑥).
(7)
Выражение 𝑇−𝑏
√
𝑇𝑑𝑇/𝑑𝑥в (5) является постоянным и для решения вида (6) равно 𝑐2.
Максимально продолженное решение 𝑇определено на интервале (−∞; 𝑥*) и для него справедливы соотношения
𝑇(𝑥) →𝑐2 и 𝑇′(𝑥) →0
при
𝑥→−∞,
𝑇(𝑥) →0 и 𝑇′(𝑥) →−∞
при
𝑥→𝑥*.
(8)
Доказательство. С помощью замены 𝑇= 𝑍2, где 𝑍> 0, преобразуем уравнение (5) к
виду
(𝑍2 −2𝑏𝑍2𝑍′)′ = 0,
откуда сразу следует, что
𝑍2 −2𝑏𝑍2𝑍′ = 𝐶= const .
Если 𝐶= 0, то или 𝑍≡0, или 1 = 2𝑏𝑍′, это означает, что 𝑍′ > 0 и 𝑍строго возрастает.
Если 𝐶= −𝑐2 < 0, то получается 𝑍2 +𝑐2 = 2𝑏𝑍2𝑍′, откуда опять вытекает, что 𝑍′ > 0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№11
2024

АСТАШОВА и др.
Таким образом, 𝐶= 𝑐2 > 0, где 𝑐> 0, и имеем уравнение
𝑍2 −𝑐2 = 2𝑏𝑍2𝑍′.
(9)
Если 𝑍(𝑥) = 𝑐в некоторой точке 𝑥, то (по теореме единственности) 𝑍совпадает с
постоянным решением 𝑍≡𝑐. Если это не так, то на всей области определения либо 𝑍> 𝑐,
либо 𝑍< 𝑐. Первый случай не рассматривается (для него из (9) следует 𝑍′ > 0), как и
предыдущий случай постоянного решения. Во втором случае положим
𝑏𝑐
𝑍(𝑥) = 𝑐𝑧
(︂𝑥
)︂
,
0 < 𝑧< 1,
что приводит (9) к уравнению
𝑧2 −1 = 2𝑧2𝑧′,
(10)
которое можно представить в виде
1 =
(︂
2+
2
)︂
𝑧′.
𝑧2 −1
Отсюда для случая 0 < 𝑧< 1 получаем, что при некотором 𝑎справедливо равенство
𝑧(𝑥)
ˆ
1+𝑧(𝑥).
𝑥−𝑎=
0
(︂
2+
2
)︂
𝑑𝜁= 2𝑧(𝑥)+ln 1−𝑧(𝑥)
𝜁2 −1
Итак, имеется общее семейство неявно определённых строго убывающих решений уравнения (10), удовлетворяющих условию 0 < 𝑧< 1. Одно из них (при 𝑎= 0) — в точности
функция Θ, неявно заданная уравнением (7). Все остальные решения могут быть получены
из Θ сдвигом по горизонтали. Таким образом, доказано соотношение (6).
Из (7) следует, что
Θ(𝑥) →0
при
𝑥→0,
Θ(𝑥) →1
при
𝑥→−∞.
Отсюда, используя (10), получаем
Θ′(𝑥) →−∞
при
𝑥→0,
Θ′(𝑥) →0
при
𝑥→−∞.
Вместе с (6) это даёт первые три предела в (8). Для четвертого предела, применив (9),
имеем
𝑇′ = 2𝑍𝑍′ = 𝑍2 −𝑐2
2𝑏𝑍
= 𝑇−𝑐2
2𝑏
√
𝑇
→−∞
при
𝑇→0.
Теорема доказана.
3. О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Исследуем зависимость температуры потока 𝑇от расстояния 𝑥до сопла при трёх типах
граничных условий: Дирихле, Неймана и Робена. Отметим, что условие Дирихле задаёт
значение температуры на границе, условие Неймана — граничное значение для производной
температуры, условие Робена — линейную комбинацию значений температуры и производной
температуры на границе. Коэффициентом значения температуры в условии Робена является
число Био (отношение кондуктивного теплового сопротивления внутри объекта к конвективному сопротивлению на поверхности объекта). Аналогичные задачи рассматривались для
теплового процесса в статье [10].
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№11
2024

О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ
1447
Теорема 2. Для любых постоянных 𝑥0 < 𝑥1 и 𝑇0 > 𝑇1 > 0 уравнение (5) имеет единственное решение 𝑇, определённое на отрезке [𝑥0, 𝑥1] и удовлетворяющее условиям
𝑇(𝑥0) = 𝑇0,
𝑇(𝑥1) = 𝑇1.
(11)
𝑇𝑗
𝑏𝑐
Доказательство. Граничные условия (11) показывают, что в соответствии с теоремой 1
решение 𝑇должно строго убывать и поэтому задаётся формулами (6) и (7). При этом
граничные условия принимают форму
√︀
𝑐
= Θ
(︂𝑥𝑗−𝑥*
)︂
,
𝑗∈{0, 1},
𝑇𝑗
𝑇𝑗
или, учитывая (7),
𝑥𝑗−𝑥*
𝑏𝑐
= 2
𝑇𝑗
,
𝑗∈{0, 1}.
(12)
√︀
𝑐
+ln 𝑐−
√︀
𝑐+
√︀
𝑇0/𝑐∈(0, 1),
(13)
𝑇1/𝑇0 ∈(0, 1)
и
𝑘:=
√︀
Осталось доказать существование и единственность пары чисел (𝑥*, 𝑐), удовлетворяющей (12). Полагая
𝑞:=
√︀
запишем разность двух уравнений (12) как
𝑘(𝑥1 −𝑥0)
𝑏√𝑇0
= 2𝑘(𝑞−1)+ln (1−𝑞𝑘)(1+𝑘)
(1+𝑞𝑘)(1−𝑘)
или
𝑥1 −𝑥0
2𝑏√𝑇0
= 𝐹𝑞(𝑘),
(14)
где
2𝑘ln 1+𝑘
𝐹𝑞(𝑘) := 𝑓(𝑘)−𝑞𝑓(𝑞𝑘),
𝑓(𝑘) := 1
1−𝑘−1.
(15)
Лемма. Для любых 𝐴> 0 и 𝑞∈(0, 1) существует единственное число 𝑘∈(0, 1), при
котором 𝐹𝑞(𝑘) = 𝐴, где 𝐹𝑞задана равенствами (15). Отображение (𝐴, 𝑞) ↦→𝑘является
функцией (0, +∞)×(0, 1) →(0, 1) класса 𝐶1, строго возрастающей как по 𝐴, так и по 𝑞.
Доказательство. Заметим, что
𝑓(𝑘) = ln(1+𝑘)
2𝑘
−ln(1−𝑘)
2𝑘
−1,
откуда имеем 𝑓(𝑘) →0 при 𝑘→0 (по правилу Лопиталя) и 𝑓(𝑘) →+∞при 𝑘→1.
Теперь исследуем производную функции 𝑓, используя ряды Тейлора, равномерно сходящиеся на любом подотрезке интервала (0, 1). Из соотношений
2𝑛
𝑓′(𝑘) =
1
2𝑘2
+ ln(1−𝑘)
2𝑘2
=
2𝑛+1𝑘2𝑛−1 > 0
𝑛=1
𝑘(1−𝑘2) −ln(1+𝑘)
∞
∑︁
следует, что 𝑓(𝑘) > 0.
Далее, из 𝑓′′(𝑘) > 0 заключаем, что 𝑓′ строго возрастает и
𝑑𝐹𝑞
𝑑𝑘(𝑘) = 𝑓′(𝑘)−𝑞2𝑓′(𝑞𝑘) > 0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№11
2024

АСТАШОВА и др.
Значит, 𝐹𝑞строго возрастает по 𝑘, 𝐹𝑞(𝑘) →0 при 𝑘→0 и
𝐹𝑞(𝑘) = (1−𝑞)𝑓(𝑘)+𝑞(𝑓(𝑘)−𝑓(𝑞𝑘)) > (1−𝑞)𝑓(𝑘) →+∞
при
𝑘→1.
Таким образом, 𝐹𝑞принимает каждое значение 𝐴> 0 ровно один раз, что доказывает
первую часть леммы.
Вторая часть утверждения следует немедленно из теоремы о неявной функции и неравенств
𝜕(𝐹𝑞(𝑘)−𝐴)/𝜕𝐴= −1 < 0,
𝜕(𝐹𝑞(𝑘)−𝐴)/𝜕𝑞= −𝑓(𝑞𝑘)−𝑞𝑘𝑓′(𝑞𝑘) < 0.
Лемма доказана.
Вернёмся к доказательству теоремы 2. Имея единственное значение 𝑘, удовлетворяющее
равенству (14), получим из (12) и (13) единственные значения
𝑐=
√𝑇0
𝑐+√𝑇1
,
𝑇1 −𝑏𝑐ln 𝑐−√𝑇1
𝑘
>
√︀
𝑇0
и
𝑥* = 𝑥1 −2𝑏
√︀
что завершает доказательство теоремы 2.
Перейдём к формулировке и доказательству двух теорем, относящихся к другим граничным условиям для уравнения (5) (условиям Неймана (теорема 3) и Робена (теорема 4)).
Теорема 3. Для любых вещественных постоянных 𝑥0 <𝑥1, 𝑇0 >0 и 𝑈1 <0 уравнение (5)
имеет единственное решение 𝑇, определённое на [𝑥0, 𝑥1] и удовлетворяющее условиям
𝑇(𝑥0) = 𝑇0,
𝑇′(𝑥1) = 𝑈1.
Теорема 4. Для любых вещественных постоянных 𝑥0 <𝑥1, 𝑇0 >0 и 𝑈1 <0 уравнение (5)
имеет единственное решение 𝑇, определённое на [𝑥0, 𝑥1] и удовлетворяющее условиям
𝑇(𝑥0) = 𝑇0,
𝑇′(𝑥1) = 𝑈1𝑇(𝑥1).
𝑇𝑇′ = 𝑐2, откуда, используя обозначения (13), получаем
Доказательство теорем 3 и 4. Докажем существование и единственность постоянной
𝑇1 ∈(0, 𝑇0), при которой единственное решение 𝑇, существующее в соответствии с теоремой 2,
удовлетворяет граничным условиям соответствующей теоремы.
По теореме 1 имеем 𝑇−𝑏
√
√𝑇0
𝑇′(𝑥1) = 𝑇(𝑥1)−𝑐2
𝑘2𝑞
𝑏
,
𝑇′(𝑥1)
𝑘2𝑞3
1
𝑇(𝑥1) = 𝑘2𝑞2 −1
𝑏𝑞√𝑇0
= 𝑘2𝑞2 −1
𝑏√𝑇0
,
𝑇(𝑥1)
= 𝑞2𝑇0 −𝑇0/𝑘2
𝑏
√︀
где число 𝑘∈(0, 1) выбирается зависящим от 𝑞∈(0, 1) так, чтобы обеспечивались граничные
условия (11) для решения 𝑇, заданного формулой (6).
Из леммы следует, что дроби в правых частях последних уравнений являются отрицательными. Теперь рассмотрим их пределы при стремлении аргумента к нулю и к единице.
Обе дроби стремятся к −∞при 𝑞→0. Что касается случая 𝑞→1, то должен существовать
предел 𝑘1 = lim𝑞→1 𝑘∈(0, 1]. Если 𝑘1 < 1, то из (14), (15) следует, что
0 < 𝑥1 −𝑥0
2𝑏√𝑇0
= 𝐹1(𝑘1) = 𝑓(𝑘1)−1·𝑓(1·𝑘1) = 0.
Это противоречие показывает, что 𝑘1 = 1. (Для значения 𝑘1 = 1 противоречия не возникает,
поскольку 𝑓(𝑘) →+∞при 𝑘→1.) Таким образом,
𝑇′(𝑥1) →0
и
𝑇′(𝑥1)
𝑇(𝑥1) →0
при
𝑞→1.
Следовательно, оба выражения строго возрастают от −∞до 0, когда 𝑞меняется от 0
до 1 (т.е. когда 𝑇1 меняется от 0 до 𝑇0). Таким образом, они оба должны принимать один
раз каждое отрицательное значение, что завершает доказательство теорем 3 и 4.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№11
2024

О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ
1449
4. О ЗАДАЧЕ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ
Следующая теорема даёт ответ на вопрос о том, на каком расстоянии может находиться
охлаждающая поверхность, если на левом конце отрезка нам задана температура, а на
правом — температура и её градиент.
Теорема 5. Если 𝑏> 0, 𝑇0 > 𝑇1 > 0 и 𝑈1 < 0, то неравенство
𝑇1 > 𝑇0 −𝑇1
(16)
𝑏|𝑈1|
√︀
эквивалентно существованию на некотором отрезке [𝑥0, 𝑥1] строго убывающего решения 𝑇
уравнения (5), удовлетворяющего условиям
𝑇(𝑥0) = 𝑇0,
(17)
𝑇′(𝑥1) = 𝑈1,
(18)
𝑇(𝑥1) = 𝑇1.
(19)
Доказательство. Для любых 𝑥1, 𝑏>0, 𝑇1 >0 и 𝑈1 <0 существует решение уравнения (5),
заданное в некоторой окрестности точки 𝑥1 и удовлетворяющее условиям (18) и (19).
Согласно теореме 1 это решение строго убывает и, будучи максимально продолженным,
стремится на −∞к константе 𝑐2 =𝑇1 −𝑏𝑈1
√𝑇1. Таким образом, существование точки 𝑥0 <𝑥1,
в которой выполняется (17), эквивалентно неравенству 𝑇0 < 𝑐2 = 𝑇1−𝑏𝑈1
√𝑇1 или, что то же
самое, неравенству (16). Теорема доказана.
Замечание. Часть результатов данной статьи была анонсирована в [11]. Другие исследования авторов по математическому моделированию физических и биологических процессов
см., например, в работах [12–16].
ФИНАНСИРОВАНИЕ РАБОТЫ
Работа выполнена в рамках программы развития Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова (проект №23-НШ05-26).
КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ
Авторы данной работы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Синтез и функциональные свойства гибридных наноформ биоактивных и лекарственных веществ / М.Я. Мельников, Л.И. Трахтенберг, В.П. Шабатин [и др.] ; под ред. М.Я. Мельникова,
Л.И. Трахтенберга. — М. : Техносфера, 2019. — 383 c.
2. Cryochemically obtained nanoforms of antimicrobial drug substance dioxidine and their physicochemical and structural properties / T.I. Shabatina, O.I. Vernaya, V.P. Shabatin [et al.] // Crystals. —
2018. — V. 8, №7. — P. 1–15.
3. Cryochemical modification, activity, and toxicity of dioxidine nanoforms / O.I. Vernaya, V.P. Shabatin,
T.I. Shabatina [et al.] // Russ. J. Phys. Chem. A. — 2017. — V. 91, №2. — P. 229–232.
4. New forms of old drugs: improving without changing / S. Domingos, V. Andre, S. Quaresma
[et al.] // J. Pharm. Pharmacol. — 2015. — V. 67, №6. — P. 830–846.
5. Sergeev, G.B. Nanochemistry / G.B. Sergeev, K.J. Klabunde. — 2nd edn. — Amsterdam : Elsevier,
2013. — 372 p.
6. Verma, S. Quality by design approach to understand the process of nanosuspension preparation /
S. Verma, R. Gokhale, D.J. Burgess // Int. J. Pharm. — 2009. — V. 377, №1–2. — P. 185–198.
7. Cryosynthesis of nanosized drug substances / Y.N. Morozov, A.Y. Utekhina, V.P. Shabatin [et al.] //
Russ. J. Gen. Chem. — 2014. — V. 84, №5. — P. 1010–1017.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№11
2024