Дифференциальные уравнения, 2024, № 10

Российская академия наук
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 
УРАВНЕНИЯ
Том 60   № 10   2024   Октябрь
Издается с января 1965 г.
ISSN: 0374-0641
Ежемесячный математический журнал
Журнал издается под руководством Отделения Математических наук
Российской академии наук, Отделения Нанотехнологий и информационных технологий РАН
Главный редактор
В.А. Садовничий
Редакционная коллегия:
А.В. Арутюнов, И.В. Асташова, В.А. Винокуров,
Д.В. Георгиевский, Н.А. Изобов, А.В. Ильин (зам. главного редактора),
В.И. Корзюк, А.Б. Куржанский, Ю.С. Осипов, С.И. Репин,
В.Г. Романов, Я.Т. Султанаев, В.В. Фомичев, Ф.Л. Черноусько
Ответственный секретарь: Н.В. Зайцева
Адрес редколлегии: 
119991, ГСП-1, г.  
Москва, 
Ленинские 
горы,
МГУ имени М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, комната 733б.
Телефон: 8 (495) 932-88-53.
Москва
Издательство «Наука» 
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Дифференциальные 
 уравнения” (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 60, номер 10, 2024
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Задача Коши для одного нелинейного волнового уравнения
М. В. Артемьева, М. О. Корпусов
1299
Начальные задачи для абстрактного уравнения Лежандра, содержащего два параметра
А. В. Глушак
1312
Задача Коши для параболической системы с переменными коэффициентами
в анизотропных пространствах Зигмунда
А. Ю. Егорова, А. Н. Коненков
1325
О точных решениях многомерного обобщ¨
енного уравнения Монжа–Ампера
А. А. Косов, Э. И. Семенов
1334
Асимптотическое поведение решения задачи Коши для одного нелинейного уравнения
Х. Г. Умаров
1350
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
Построение управления для многомерной системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с релейным гистерезисом и возмущением
В. В. Евстафьева
1368
Решение многоточечной задачи управления с интегральными ограничениями
типа равенств
В. Н. Лаптинский
1386
Регуляторы финитной стабилизации для гибридных линейных непрерывно-дискретных
систем
В. Е. Хартовский
1394
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Апостериорные оценки погрешности приближ¨
енных решений задачи с препятствием
для оператора 𝑝-Лапласа
Д. Е. Апушкинская, А. А. Новикова, С. И. Репин
1407

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
О слабой разрешимости математической модели движения растворов полимеров,
учитывающей память среды
А. В. Звягин, М. И. Струков
1422
Об одной задаче Геллерстедта с данными на параллельных характеристиках
Т. Е. Моисеев, А. А. Холомеева
1429
Об оценках в уравнении с параметром и разрывным оператором
Д. К. Потапов
1435

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2024, том 60, №10, с. 1299–1311
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.955+517.957
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО
ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
© 2024 г.
М. В. Артемьева1, М. О. Корпусов2
1,2Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
2Российский университет дружбы народов имени Патриса Лумумбы, г. Москва
e-mail: 1artemeva.mv14@physics.msu.ru, 2korpusov@gmail.com
Поступила в редакцию 21.01.2024 г., после доработки 23.07.2024 г.; принята к публикации 02.08.2024 г.
Рассмотрена теплоэлектрическая (1+1)-мерная модель нагрева полупроводника в электрическом поле. Для соответствующей задачи Коши доказано существование непродолжаемого во времени классического решения, получена глобальная во времени априорная
оценка, обосновано отсутствие даже локального во времени классического решения.
Ключевые слова: нелинейное уравнение соболевского типа, задача Коши в полосе,
локальная разрешимость, классическое решение
DOI: 10.31857/S0374064124100014, EDN: JUDMOQ
ВВЕДЕНИЕ
Современные радиоинформационные системы (РИС), решающие задачи мониторинга космического пространства, характеризуются больш´
им числом плотно расположенной радиоэлектронной аппаратуры (РЭА), непрерывно функционируют в течение длительного времени и имеют высокие требования к надёжности. При работе структурно-сложной РИС в
теплонапряжённых режимах резко возрастает тепловыделение в РЭА за счёт высокой токовой нагрузки. Повышение тепловыделения влечёт за собой перегрев аппаратуры, что, как
следствие, увеличивает вероятность её отказов и снижает надёжность изделия [1]. Данные
обстоятельства обуславливают необходимость исследования нелинейных тепловых процессов
в полупроводнике, а также построения и изучения теплоэлектрической модели полупроводника.
В настоящей работе, продолжающей исследования [2–6], рассматривается следующая
задача Коши для модельного уравнения:
𝜕
𝜕𝑡
𝜀𝑣𝑥= 0,
𝑣(𝑥, 0) = 𝑣0(𝑥),
(1)
(︂
𝑣𝑥+ 𝛾
2𝑣2
)︂
+ 4𝜋𝜎
причём функция 𝑣= 𝜑𝑥, где 𝜑— потенциал электрического поля. Уравнение (1) возникло
в [6] при рассмотрении одной теплоэлектрической модели, потенциал электрического поля
𝜑в которой был связан с температурой 𝜓соотношением
−𝜓𝑥𝑥= 𝛾0|𝜑𝑥|2.
Начальную функцию 𝑣0(𝑥) выбираем такой, что при 𝑥→−∞она убывает как (1−𝑥)−𝛼
при 𝛼> 1 и существует такое число 𝑏> 0, что при 𝑥⩾𝑏имеем 𝑣0(𝑥) ⩾𝑎> 0.
В статье доказано существование классического непродолжаемого во времени решения
задачи в весовых пространствах и получен результат об отсутствии даже локального во
времени классического решения.
1299

АРТЕМЬЕВА, КОРПУСОВ
1. ЗАДАЧА КОШИ
Рассмотрим следующую задачу Коши:
𝜕
𝜕𝑡(𝑣𝑥+𝑣2)+𝑣𝑥= 0,
(𝑥, 𝑡) ∈R1 ×[0, 𝑇],
(2)
𝑣(𝑥, 0) = 𝑣0(𝑥),
𝑥∈R1.
(3)
Пусть 𝑥−:= min{𝑥, 0}, 𝜏(𝑥) := 1−𝑥−. Через 𝐶(𝑘)
𝑏
(R1) при 𝑘∈N∪{0} будем обозначать
линейное пространство непрерывно дифференцируемых функций до порядка 𝑘включительно, причём все частные производные до порядка 𝑘являются ограниченными. Это линейное
пространство является банаховым относительно стандартной нормы.
Определение 1. Функция 𝑤∈𝐶𝑏(𝜏𝜇; R1) при 𝜇> 0, если 𝑤∈𝐶𝑏(R1) и конечна норма:
‖𝑤‖𝜇:= sup
𝑥∈R1 𝜏𝜇(𝑥)|𝑤(𝑥)| < +∞.
(4)
Определение 2. Функция 𝑤∈𝐶(1)
𝑏(𝜏𝜇, 𝜏𝜈; R1) при 𝜇> 0 и 𝜈> 0, если 𝑤∈𝐶(1)
𝑏(R1) и
конечна норма:
𝑑𝑥
⃒
⃒
⃒
⃒< +∞.
(5)
‖𝑤‖𝜇,𝜈:= sup
𝑥∈R1 𝜏𝜇(𝑥)|𝑤(𝑥)|+ sup
𝑥∈R1 𝜏𝜈(𝑥)
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑑𝑤(𝑥)
Определение 3. Классическим решением задачи Коши (2), (3) называется функция
класса 𝑣∈𝐶(1)([0, 𝑇]; 𝐶(1)
𝑏(𝜏𝛼, 𝜏2𝛼; R1)) при 𝛼> 1, удовлетворяющая равенствам (2) и (3)
поточечно.
Справедлива следующая
Лемма 1. Линейные пространства 𝐶𝑏(𝜏𝜇; R1) и 𝐶(1)
𝑏(𝜏𝜇, 𝜏𝜈; R1) являются банаховыми
относительно норм (4) и (5).
Пусть функция 𝑣∈𝐶𝑏(𝜏𝛼; R1) при 𝛼> 1 удовлетворяет следующему условию: найдутся
такие числа 𝑎> 0 и 𝑏> 0, что
𝑣(𝑥) ⩾𝑎> 0
при
𝑥⩾𝑏> 0.
(6)
Рассмотрим оператор
𝑄2(𝑣)ℎ(𝑥) := 𝑑ℎ(𝑥)
𝑑𝑥
+2𝑣(𝑥)ℎ(𝑥).
(7)
Пусть
ℎ∈𝐶(1)
𝑏(𝜏𝛼, 𝜏2𝛼; R1),
𝑓∈𝐶𝑏((1−𝑥−)2𝛼; R1),
𝛼> 1.
(8)
Запишем уравнение
𝑑ℎ(𝑥)
𝑑𝑥
+2𝑣(𝑥)ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥).
(9)
Очевидно, что 𝑄2(𝑣): 𝐶(1)
𝑏(𝜏𝛼, 𝜏2𝛼; R1) →𝐶𝑏(𝜏2𝛼; R1).
Введём функцию 𝑞(𝑥) :=
´ 𝑥
0 𝑣(𝑧) 𝑑𝑧. Заметим, что 𝑞∈𝐶(1)(R1) и 𝑞′(𝑥) = 𝑣(𝑥), а также
справедливы равенства
exp{−2𝑞(𝑥)} 𝑑
𝑑𝑥
(︀
exp{2𝑞(𝑥)}ℎ(𝑥)
)︀
= 𝑓(𝑥),
𝑑
𝑑𝑥
(︀
exp{2𝑞(𝑥)}ℎ(𝑥)
)︀
= exp{2𝑞(𝑥)}𝑓(𝑥).
(10)
Проинтегрировав второе равенство в (10) по 𝑥в пределах от −∞до 𝑥, с учётом (8) получим
ℎ(𝑥) =
𝑥
ˆ
−∞
exp{−2𝐼(𝑥, 𝑦)}𝑓(𝑦) 𝑑𝑦,
𝐼(𝑥, 𝑦) := 𝑞(𝑥)−𝑞(𝑦).
(11)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№10
2024

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
1301
Справедливо равенство
𝐼(𝑥, 𝑦) =
𝑥
ˆ
𝑦
𝑣(𝑧) 𝑑𝑧.
(12)
Таким образом, из (11) и (12) имеем
ℎ(𝑥) =
𝑥
ˆ
𝑥
ˆ
𝑦
𝑣(𝑧) 𝑑𝑧
}︂
𝑓(𝑦) 𝑑𝑦.
−∞
exp
{︂
−2
Получим оценку для функции ℎ(𝑥), рассмотрев следующие случаи.
1. Пусть 𝑥⩽0, тогда
𝑑𝑧
𝑥
ˆ
0
ˆ
|ℎ(𝑥)|⩽‖𝑓‖2𝛼
}︂
1
(1−𝑧−)𝛼
(1−𝑦−)2𝛼𝑑𝑦=‖𝑓‖2𝛼exp{2(𝛼−1)−1‖𝑣‖𝛼}
1
(1−𝑥)2𝛼−1 , (13)
−∞
exp
{︂
2‖𝑣‖𝛼
−∞
откуда получаем при 𝛼> 1 оценку
sup
−∞<𝑥⩽0
|ℎ(𝑥)|(1−𝑥−)𝛼⩽‖𝑓‖2𝛼exp{𝑎1(𝑏, 𝛼)‖𝑣‖𝛼}.
(14)
2. Если 0 < 𝑥⩽𝑏, то справедлива оценка
𝑑𝑦
𝑑𝑧
𝑏
ˆ
}︂
𝑏
ˆ
sup
0⩽𝑥⩽𝑏
|ℎ(𝑥)|⩽‖𝑓‖2𝛼exp
{︂
2‖𝑣‖𝛼
(1−𝑧−)𝛼
(1−𝑦−)2𝛼=𝐴1(𝑏,𝛼)‖𝑓‖2𝛼exp{𝑎1(𝑏,𝛼)‖𝑣‖𝛼}. (15)
−∞
−∞
3. При 𝑥> 𝑏имеют место соотношения
𝑏
ˆ
𝑏
ˆ
𝑥
ˆ
|ℎ(𝑥)| ⩽‖𝑓‖2𝛼
𝑏
𝑣(𝑧) 𝑑𝑧
}︂
1
(1−𝑦−)2𝛼𝑑𝑦+
−∞
exp
{︂
2
−∞
|𝑣(𝑧)| 𝑑𝑧
}︂
exp
{︂
−2
𝑥
ˆ
𝑥
ˆ
+‖𝑓‖2𝛼
exp
{︂
−2
𝑦
𝑣(𝑧) 𝑑𝑧
}︂
𝑑𝑦⩽
𝑏
𝑥
ˆ
⩽‖𝑓‖2𝛼
[︂
𝐴1(𝑏, 𝛼) exp{𝑎1(𝑏, 𝛼)‖𝑣‖𝛼}+
𝑏
exp{−2𝑎(𝑥−𝑦)} 𝑑𝑦
]︂
⩽
2𝑎
⩽‖𝑓‖2𝛼
[︂
𝐴1(𝑏, 𝛼) exp{𝑎1(𝑏, 𝛼)‖𝑣‖𝛼}+ 1
]︂
.
(16)
Таким образом, из (13)–(16) получаем оценку
𝑎
]︂
‖𝑓‖2𝛼.
(17)
‖ℎ‖𝛼⩽𝐴(𝑏, 𝛼)
[︂
exp{𝑎1(𝑏, 𝛼)‖𝑣‖𝛼}+ 1
Заметим, что функция ℎ(𝑥) удовлетворяет равенству (9), из которого находим
𝑑ℎ(𝑥)
𝑑𝑥
= −2𝑣(𝑥)ℎ(𝑥)+𝑓(𝑥).
(18)
𝑑𝑥
Следовательно,
⃦
⃦
⃦
⃦
𝑑ℎ(𝑥)
⃦
⃦
⃦
⃦
2𝛼
⩽‖𝑓‖2𝛼+2‖𝑣‖𝛼‖ℎ‖𝛼⩽
[︀
1+2‖𝑣‖𝛼𝐴(𝑏, 𝛼, ‖𝑣‖𝛼)
]︀
‖𝑓‖2𝛼.
(19)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№10
2024

АРТЕМЬЕВА, КОРПУСОВ
Из (17)–(19) заключаем, что при 𝛼> 1
𝑄−1
2 (𝑣)𝑓=
𝑥
ˆ
𝑥
ˆ
𝑦
𝑣(𝑧) 𝑑𝑧
}︂
𝑓(𝑦) 𝑑𝑦,
𝑄−1
2 (𝑣): 𝐶𝑏(𝜏2𝛼; R1) →𝐶(1)
𝑏(𝜏𝛼, 𝜏2𝛼; R1).
−∞
exp
{︂
−2
Таким образом, доказана следующая
Лемма 2. Оператор 𝑄2(𝑣), определённый равенством (7), действует на любую функцию
𝑣∈𝐶𝑏(𝜏𝛼; R1), удовлетворяющую условию (6), при 𝛼> 1 следующим образом:
𝑄2(𝑣): 𝐶(1)
𝑏(𝜏𝛼, 𝜏2𝛼; R1) →𝐶𝑏(𝜏2𝛼; R1),
при этом существует обратный оператор
𝑄−1
2 (𝑣): 𝐶𝑏
(︀
𝜏2𝛼; R1)︀
→𝐶(1)
𝑏
(︀
𝜏𝛼, 𝜏2𝛼; R1)︀
и справедливо равенство
𝑄−1
2 (𝑣)𝑓:=
𝑥
ˆ
𝑥
ˆ
𝑦
𝑣(𝑧) 𝑑𝑧
}︂
𝑓(𝑦) 𝑑𝑦.
−∞
exp
{︂
−2
Распространим результат леммы 2 на случай функций, зависящих от переменной 𝑡∈[0, 𝑇]
как от параметра. Для этого предположим, что функция 𝑣∈𝐶([0, 𝑇]; 𝐶𝑏(𝜏𝛼; R1)) удовлетворяет условию
𝑣(𝑥, 𝑡) ⩾𝑎𝑒−𝑇> 0
для всех
𝑥⩾𝑏> 0,
𝑡∈[0, 𝑇].
(20)
Справедлива следующая
Лемма 3. Оператор 𝑄2(𝑣), определённый равенством
𝑄2(𝑣)ℎ(𝑥, 𝑡) := 𝜕ℎ(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
+𝑣(𝑥, 𝑡)ℎ(𝑥, 𝑡)
для любой функции 𝑣∈𝐶([0, 𝑇]; 𝐶𝑏(𝜏𝛼; R1)), удовлетворяющей условию (20), действует при
𝛼> 1 следующим образом:
𝑄2(𝑣): 𝐶
(︀
[0, 𝑇]; 𝐶(1)
𝑏(𝜏𝛼, 𝜏2𝛼; R1)
)︀
→𝐶
(︀
[0, 𝑇]; 𝐶𝑏(𝜏2𝛼; R1)
)︀
,
при этом существует обратный оператор
𝑄−1
2 (𝑣): 𝐶
(︀
[0, 𝑇]; 𝐶𝑏(𝜏2𝛼; R1)
)︀
→𝐶
(︀
[0, 𝑇]; 𝐶(1)
𝑏(𝜏𝛼, 𝜏2𝛼; R1)
)︀
и справедливо равенство
𝑄−1
2 (𝑣)𝑓:=
𝑥
ˆ
𝑥
ˆ
𝑦
𝑣(𝑧, 𝑡) 𝑑𝑧
}︂
𝑓(𝑦, 𝑡) 𝑑𝑦.
−∞
exp
{︂
−2
Доказательство. Рассмотрим функцию
ℎ(𝑥, 𝑡) :=
𝑥
ˆ
𝑥
ˆ
𝑦
𝑣(𝑧, 𝑡) 𝑑𝑧
}︂
𝑓(𝑦, 𝑡) 𝑑𝑦.
−∞
exp
{︂
−2
Прежде всего точно так же, как и при доказательстве результата (17) (см. (13)–(16)), можно
показать, что для любого 𝑡∈[0, 𝑇] функция ℎ∈𝐶(1)
𝑏(𝜏𝛼, 𝜏2𝛼; R1).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№10
2024

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
1303
Для любых 𝑡1, 𝑡2 ∈[0, 𝑇] справедливо равенство
𝑥
ˆ
𝑥
ˆ
𝑥
ˆ
ℎ(𝑥, 𝑡1)−ℎ(𝑥, 𝑡2) =
[︂
exp
{︂
−2
𝑦
𝑣(𝑧, 𝑡1) 𝑑𝑧
}︂
−exp
{︂
−2
𝑦
𝑣(𝑧, 𝑡2) 𝑑𝑧
}︂]︂
𝑓(𝑦, 𝑡1) 𝑑𝑦+
−∞
+
𝑥
ˆ
𝑥
ˆ
𝑦
𝑣(𝑧, 𝑡2) 𝑑𝑧
}︂
[𝑓(𝑦, 𝑡1)−𝑓(𝑦, 𝑡2)] 𝑑𝑦=: ℎ1(𝑥)+ℎ2(𝑥).
(21)
−∞
exp
{︂
−2
Заметим, что имеют место соотношения
𝑑
𝑥
ˆ
1
ˆ
𝑥
ˆ
𝑥
ˆ
0
exp
{︂
−2
𝑦
𝑣(𝑧, 𝑡1) 𝑑𝑧
}︂
−exp
{︂
−2
𝑑𝑠exp
{︂
−2
𝑦
𝑣(𝑧, 𝑡2) 𝑑𝑧
}︂
=
𝑦
𝑣𝑠(𝑧) 𝑑𝑧
}︂
𝑑𝑠=
1
ˆ
𝑥
ˆ
𝑥
ˆ
= −2
𝑦
[𝑣(𝑧, 𝑡1)−𝑣(𝑧, 𝑡2)] 𝑑𝑧,
0
exp
{︂
−2
𝑦
𝑣𝑠(𝑧) 𝑑𝑧
}︂
𝑑𝑠
где 𝑣𝑠(𝑧):=𝑠𝑣(𝑧, 𝑡1)+(1−𝑠)𝑣(𝑧, 𝑡2). Тогда для ℎ1(𝑥) и ℎ2(𝑥) получаем следующие выражения:
𝑥
ˆ
𝑥
ˆ
ℎ1(𝑥) = −2
(︂
1
ˆ
0
exp
{︂
−2
𝑦
𝑣𝑠(𝑧) 𝑑𝑧
}︂
𝑑𝑠
)︂(︂
𝑥
ˆ
𝑦
[𝑣(𝑧, 𝑡1)−𝑣(𝑧, 𝑡2)] 𝑑𝑧
)︂
𝑓(𝑦, 𝑡1) 𝑑𝑦,
−∞
ℎ2(𝑥) =
𝑥
ˆ
𝑥
ˆ
𝑦
𝑣(𝑧, 𝑡2) 𝑑𝑧
}︂
[𝑓(𝑦, 𝑡1)−𝑓(𝑦, 𝑡2)] 𝑑𝑦.
−∞
exp
{︂
−2
В силу того, что функция 𝑣(𝑥, 𝑡) удовлетворяет условию (20), имеем
𝑣𝑠(𝑥) = 𝑠𝑣(𝑥, 𝑡1)+(1−𝑠)𝑣(𝑥, 𝑡2) ⩾(𝑠𝑎+(1−𝑠)𝑎)𝑒−𝑇= 𝑎𝑒−𝑇> 0
для всех 𝑥⩾𝑏> 0 и 𝑡∈[0, 𝑇]. Для функции ℎ2(𝑥) получаем сразу же оценку
𝑥
ˆ
𝑥
ˆ
|ℎ2(𝑥)| ⩽‖𝑓(𝑡1)−𝑓(𝑡2)‖2𝛼
𝑦
𝑣(𝑧, 𝑡2) 𝑑𝑧
}︂
1
(1−𝑦−)2𝛼𝑑𝑦,
∞
exp
{︂
−2
причём для дальнейших оценок в точности повторяются рассуждения, приведённые при
выводе (17), и в результате можем записать
‖ℎ2‖𝛼⩽𝐴
(︀
𝑎𝑒−𝑇, 𝑏, 𝛼, ‖𝑣(𝑡2)‖𝛼
)︀
‖𝑓(𝑡1)−𝑓(𝑡2)‖2𝛼,
(22)
где функция 𝐴= 𝐴(𝑎𝑒−𝑇, 𝑏, 𝛼, ‖𝑣(𝑡2)‖𝛼) ограничена на любом компакте по ‖𝑣(𝑡2)‖𝛼и монотонно не убывает по этой же переменной.
Оценим теперь функцию ℎ1(𝑥), рассмотрев три случая.
1. При 𝑥⩽0 справедлива оценка
|ℎ1(𝑥)| ⩽
𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑧
𝑥
ˆ
𝑥
ˆ
1
ˆ
0
ˆ
⩽2‖𝑓(𝑡1)‖2𝛼
0
exp
{︂
2‖𝑣𝑠‖𝛼
}︂
𝑑𝑠‖𝑣(𝑡1)−𝑣(𝑡2)‖𝛼,
(23)
(1−𝑦−)2𝛼
(1−𝑢−)𝛼
(1−𝑧−)𝛼
−∞
−∞
−∞
из которой, в частности, при 𝛼> 1 получаем
sup
−∞<𝑥⩽0
(1−𝑥−)𝛼|ℎ1(𝑥)| ⩽
⩽
1
(2𝛼−1)(𝛼−1) exp
{︀
𝑎1(𝛼) max{‖𝑣(𝑡1)‖𝛼, ‖𝑣(𝑡2)‖𝛼}
}︀
‖𝑓(𝑡1)‖2𝛼‖𝑣(𝑡1)−𝑣(𝑡2)‖𝛼.
(24)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№10
2024

АРТЕМЬЕВА, КОРПУСОВ
2. Пусть 0 < 𝑥⩽𝑏, тогда
𝑑𝑦
1
𝑏
ˆ
𝑏
ˆ
sup
𝑥∈[0,𝑏]
|ℎ1(𝑥)| ⩽2
(1−𝑦−)2𝛼exp
{︂
2
(1−𝑧−)𝛼max{‖𝑣(𝑡1)‖𝛼, ‖𝑣(𝑡2)‖𝛼}
}︂
×
−∞
−∞
𝑑𝑧
𝑏
ˆ
×
(1−𝑧−)𝛼‖𝑓(𝑡1)‖2𝛼‖𝑣(𝑡1)−𝑣(𝑡2)‖𝛼⩽
−∞
3. При 𝑥> 𝑏имеет место неравенство
⩽𝐴(𝛼, 𝑏) exp
{︀
𝑎1(𝛼) max{‖𝑣(𝑡1)‖𝛼, ‖𝑣(𝑡2)‖𝛼}
}︀
‖𝑓(𝑡1)‖2𝛼‖𝑣(𝑡1)−𝑣(𝑡2)‖𝛼.
(25)
𝑑𝑦
𝑑𝑧
𝑏
ˆ
𝑏
ˆ
𝑥
ˆ
|ℎ1(𝑥)| ⩽2‖𝑓(𝑡1)‖2𝛼
(︂
1
ˆ
0
exp
{︂
2
}︂
exp
{︂
−2
𝑏
𝑣𝑠(𝑧) 𝑑𝑧
}︂)︂
𝑑𝑠×
(1−𝑦−)2𝛼
(1−𝑧−)𝛼‖𝑣𝑠‖𝛼
−∞
−∞
𝑑𝑢
×
[︂
𝑏
ˆ
(1−𝑢−)𝛼+𝑥−𝑏
]︂
‖𝑣(𝑡1)−𝑣(𝑡2)‖𝛼+
−∞
𝑥
ˆ
𝑥
ˆ
+2‖𝑓(𝑡1)‖2𝛼‖𝑣(𝑡1)−𝑣(𝑡2)‖𝛼
𝑏
(𝑥−𝑦)
(︂
1
ˆ
0
exp
{︂
−2
𝑦
𝑣𝑠(𝑧) 𝑑𝑧
}︂
𝑑𝑠
)︂
𝑑𝑦=: ℎ11 +ℎ12.
(26)
Для ℎ11 справедлива оценка
ℎ11 ⩽𝐴(𝑏, 𝛼)‖𝑓(𝑡1)‖2𝛼‖𝑣(𝑡1)−𝑣(𝑡2)‖𝛼×
× exp
{︀
𝑎1(𝛼) max{‖𝑣(𝑡1)‖𝛼, ‖𝑣(𝑡2)‖𝛼}
}︀
(𝑏1 +𝑥−𝑏) exp{−2𝑎𝑒−𝑇(𝑥−𝑏)} ⩽
⩽𝐴1(𝑎𝑒−𝑇, 𝑏, 𝛼)‖𝑓(𝑡1)‖2𝛼‖𝑣(𝑡1)−𝑣(𝑡2)‖𝛼exp
{︀
𝑎1(𝛼) max{‖𝑣(𝑡1)‖𝛼, ‖𝑣(𝑡2)‖𝛼}
}︀
,
(27)
для ℎ12 — оценка
𝑥
ˆ
ℎ12 ⩽2‖𝑓(𝑡1)‖2𝛼‖𝑣(𝑡1)−𝑣(𝑡2)‖𝛼
𝑏
(𝑥−𝑦) exp{−2𝑎𝑒−𝑇(𝑥−𝑦)} 𝑑𝑦⩽
⩽2𝐴2(𝑎𝑒−𝑇, 𝑏)‖𝑓(𝑡1)‖2𝛼‖𝑣(𝑡1)−𝑣(𝑡2)‖𝛼.
(28)
Из (23)–(28) вытекает, что
Ввиду оценок (22) и (29) из (21) получаем предельное свойство
‖ℎ1‖𝛼⩽𝐴(𝑎𝑒−𝑇, 𝑏, 𝛼) exp
{︀
𝑎1(𝛼) max{‖𝑣(𝑡1)‖𝛼, ‖𝑣(𝑡2)‖𝛼}
}︀
×‖𝑓(𝑡1)‖2𝛼‖𝑣(𝑡1)−𝑣(𝑡2)‖𝛼.
(29)
‖ℎ(𝑥, 𝑡1)−ℎ(𝑥, 𝑡2)‖𝛼→+0
при
|𝑡1 −𝑡2| →+0.
(30)
Для производных функций ℎ1(𝑥) и ℎ2(𝑥) справедливы равенства
𝜕ℎ1(𝑥)
𝑥
ˆ
𝑥
ˆ
𝜕𝑥
= 4
(︂
1
ˆ
0
exp
{︂
−2
𝑦
𝑣𝑠(𝑧) 𝑑𝑧
}︂
𝑣𝑠(𝑥) 𝑑𝑠
)︂(︂
𝑥
ˆ
𝑦
[𝑣(𝑧, 𝑡1)−𝑣(𝑧, 𝑡2)] 𝑑𝑧
)︂
𝑓(𝑦, 𝑡1) 𝑑𝑦−
−∞
𝑥
ˆ
𝑥
ˆ
−2
(︂
1
ˆ
0
exp
{︂
−2
𝑦
𝑣𝑠(𝑧) 𝑑𝑧
}︂
𝑑𝑠
)︂
[𝑣(𝑥, 𝑡1)−𝑣(𝑥, 𝑡2)]𝑓(𝑦, 𝑡1) 𝑑𝑦,
−∞
𝜕ℎ2(𝑥)
𝜕𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑡1)−𝑓(𝑥, 𝑡2)−2𝑣(𝑥, 𝑡2)ℎ2(𝑥).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№10
2024

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
1305
𝜕𝑥
𝜕𝑥
−𝜕ℎ𝑘(𝑥, 𝑡2)
Из (30) и (31) заключаем
Повторяя те же рассуждения, что и при получении неравенств (22) и (29), будем иметь
оценки, из которых следует
⃦
⃦
⃦
⃦
𝜕ℎ𝑘(𝑥, 𝑡1)
⃦
⃦
⃦
⃦
2𝛼
→+0
при
|𝑡1 −𝑡2| →+0,
𝑘= 1, 2.
(31)
‖ℎ(𝑥, 𝑡1)−ℎ(𝑥, 𝑡2)‖𝛼,2𝛼→+0
при
|𝑡1 −𝑡2| →+0,
что завершает доказательство леммы.
Пусть 𝑣— классическое решение задачи Коши (2), (3), тогда её можно переписать в
абстрактной форме:
𝑄2(𝑣)𝑑𝑣
𝑑𝑡+𝑄2(𝑣)𝑣= 2𝑣2,
𝑣(0) = 𝑣0.
(32)
В классе 𝑣∈C(1)([0, 𝑇]; 𝐶(1)
𝑏(𝜏𝛼, 𝜏2𝛼; R1)) при 𝛼> 1 абстрактная задача Коши (32) эквивалентна следующей задаче:
𝑑𝑣
𝑑𝑡+𝑣= 2𝑄−1
2 (𝑣)𝑣2,
𝑣(0) = 𝑣0,
из которой, в свою очередь, получаем интегральное уравнение
𝑣(𝑡) = 𝑣0𝑒−𝑡+2
𝑡
ˆ
0
𝑒−(𝑡−𝜏)𝑄−1
2 (𝑣(𝜏))𝑣2(𝜏) 𝑑𝜏.
(33)
Введём оператор
𝑄(𝑣)(𝑡) := 𝑣0𝑒−𝑡+2
𝑡
ˆ
0
𝑒−(𝑡−𝜏)𝑄−1
2 (𝑣(𝜏))𝑣2(𝜏) 𝑑𝜏.
(34)
Справедлива следующая
Лемма 4. Оператор (34) действует на любую функцию 𝑣0 ∈𝐶(1)
𝑏(𝜏𝛼, 𝜏2𝛼; R1) при 𝛼> 1
следующим образом:
𝑄: 𝐶([0, 𝑇]; 𝐶𝑏(𝜏𝛼; R1)) →𝐶(1)([0, 𝑇]; 𝐶(1)
𝑏(𝜏𝛼, 𝜏2𝛼; R1)).
(35)
Кроме того, справедливо неравенство 𝑄(𝑣)(𝑡) ⩾𝑣0𝑒−𝑡для всех (𝑥, 𝑡) ∈R1 ×[0, 𝑇].
Доказательство. Заметим, что оператор
𝑆𝜑:= 2
𝑡
ˆ
0
𝑒−(𝑡−𝜏)𝜑(𝜏) 𝑑𝜏
действует следующим образом:
𝑆: 𝐶([0, 𝑇]; 𝐶(1)
𝑏(𝜏𝛼, 𝜏2𝛼; R1)) →𝐶(1)([0, 𝑇]; 𝐶(1)
𝑏(𝜏𝛼, 𝜏2𝛼; R1)).
(36)
Оператор (34) можно представить в виде
𝑄(𝜑) = 𝑣0𝑒−𝑡+𝑆𝑄−1
2 (𝜑)𝜑2,
откуда с учётом (36) и леммы 3 получаем (35). Лемма доказана.
Замечание. Из (35) получаем, что 𝑄: 𝐶
(︀
[0, 𝑇]; 𝐶𝑏(𝜏𝛼; R1)
)︀
→𝐶
(︀
[0, 𝑇]; 𝐶𝑏(𝜏𝛼; R1)
)︀
. Кроме
того, если 𝑣0 ∈𝐶(1)
𝑏(𝜏𝛼, 𝜏2𝛼; R1) и выполнено неравенство 𝑣0 ⩾𝑎> 0 для всех 𝑥⩾𝑏> 0, то для
решений 𝑣(𝑡) интегрального уравнения (33) справедлива оценка 𝑣(𝑡) ⩾𝑣0𝑒−𝑡⩾𝑎𝑒−𝑇> 0 для
всех 𝑥⩾𝑏> 0, 𝑡∈[0, 𝑇].
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№10
2024