Дифференциальные уравнения, 2024, № 9

Российская академия наук
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 
УРАВНЕНИЯ
Том 60   № 9   2024   Сентябрь
Издается с января 1965 г.
ISSN: 0374-0641
Ежемесячный математический журнал
Журнал издается под руководством Отделения Математических наук
Российской академии наук, Отделения Нанотехнологий и информационных технологий РАН
Главный редактор
В.А. Садовничий
Редакционная коллегия:
А.В. Арутюнов, И.В. Асташова, В.А. Винокуров,
Д.В. Георгиевский, Н.А. Изобов, А.В. Ильин (зам. главного редактора),
В.И. Корзюк, А.Б. Куржанский, Ю.С. Осипов, С.И. Репин,
В.Г. Романов, Я.Т. Султанаев, В.В. Фомичев, Ф.Л. Черноусько
Ответственный секретарь: Н.В. Зайцева
Адрес редколлегии: 
119991, ГСП-1, г.  
Москва, 
Ленинские 
горы,
МГУ имени М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, комната 733б.
Телефон: 8 (495) 932-88-53.
Москва
Издательство «Наука» 
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Дифференциальные 
 уравнения” (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 60, номер 9, 2024
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Смена устойчивости инвариантных многообразий дифференциальных систем
с разномасштабными переменными
О. С. Кипкаева, Е. А. Щепакина
1155
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Существование и единственность решений нелинейных функционально-интегральных
уравнений Ито
Р. И. Кадиев, А. В. Поносов
1167
Объ¨
емные сингулярные интегральные уравнения для задач низкочастотного рассеяния
электромагнитных волн в анизотропных структурах
А. Б. Самохин, А. С. Самохина, И. А. Юрченков
1190
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
О существовании равновесия в модели Дикмана–Лоу в случае кусочно-константных ядер
М. В. Николаев, А. А. Никитин
1205
Интегро-дифференциальные уравнения в задаче рассеяния электромагнитных волн
на диэлектрическом теле, покрытом графеном
Ю. Г. Смирнов, О. В. Кондырев
1216
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Построение передаточной функции оператора Пуанкаре–Стеклова для упругой
полуплоскости с покрытием
А. А. Бобылев
1225
Использование вейвлетов Хаара для решения одномерного гиперсингулярного
интегрального уравнения
Д. А. Когтенев, Н. Л. Замарашкин
1241
Двухточечный метод коллокации численного решения одномерных гиперсингулярных
интегральных уравнений на неравномерных разбиениях
А. С. Ненашев
1261

Сходимость метода кусочно-линейных аппроксимаций и коллокаций для двумерного
гиперсингулярного интегрального уравнения на множестве с границей
А. В. Сетуха
1276

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2024, том 60, №9, с. 1155–1166
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.928
СМЕНА УСТОЙЧИВОСТИ ИНВАРИАНТНЫХ
МНОГООБРАЗИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
С РАЗНОМАСШТАБНЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
© 2024 г.
О. С. Кипкаева1, Е. А. Щепакина2
Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва
e-mail: 1kipkaeva.os@ssau.ru, 2shchepakina@ssau.ru
Поступила в редакцию 31.05.2024 г., после доработки 31.05.2024 г.; принята к публикации 02.07.2024 г.
Рассмотрены инвариантные многообразия со сменой устойчивости дифференциальных
систем с разномасштабными переменными, интерес к которым обусловлен их эффективным использованием при описании критических явлений в широком круге различных
прикладных задач. Исследованы вопросы существования непрерывных инвариантных
многообразий со сменой устойчивости в трёх критических случаях.
Ключевые слова: дифференциальная система, разномасштабные переменные, сингулярное возмущение, инвариантное многообразие, устойчивость, затягивание потери устойчивости
DOI: 10.31857/S0374064124090016, EDN: JYUGBN
ВВЕДЕНИЕ
Дифференциальные системы с несколькими временн´
ыми масштабами используются в
большом количестве прикладных задач разнообразной природы [1–6]. Традиционные методы исследования таких систем не могут быть применены в критических случаях, связанных,
например, с нарушением существования, единственности или непрерывности решений систем.
Различным критическим случаям в дифференциальных системах с разномасштабными переменными посвящено много работ (см., например, [1, 7, 8] и библиографию в них), поскольку
именно такие случаи часто являются особенно интересными с точки зрения приложений,
так как связаны с критическими явлениями в моделируемых процессах.
В рамках данной работы рассматриваются три критических случая, приводящих к смене
устойчивости и явлению затягивания потери устойчивости в дифференциальных системах
[9–13], исследуются вопросы существования непрерывных инвариантных многообразий со
сменой устойчивости для них. Первый случай связан с так называемыми траекториямиутками сингулярно возмущённых систем (см., например, пионерские работы [14, 15], а также
[3, 5, 6, 8] и библиографию в них) и наблюдается при смене знака собственного значения
матрицы Якоби быстрой подсистемы. Второй критический случай отвечает смене знака
вещественной части пары комплексно-сопряжённых собственных значений матрицы Якоби
быстрой подсистемы (см. [9, 10, 12], а также обзор [13] и приведённую в нём библиографию).
Дополнительно к этим двум известным критическим случаям ниже рассматривается ещё
один, связанный с переходом пары комплексно-сопряжённых собственных значений матрицы
Якоби быстрой подсистемы в пару вещественных собственных значений разных знаков.
1155

КИПКАЕВА, ЩЕПАКИНА
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим автономную сингулярно возмущённую систему дифференциальных уравнений
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜇, 𝜀),
(1)
𝜀𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝜇, 𝜀)
(2)
с малым положительным параметром 𝜀. Здесь 𝑥и 𝑦— векторные переменные, достаточно
гладкие векторные функции 𝑓и 𝑔принимают значения, сравнимые с единицей, 𝜇— вектор дополнительных параметров системы. Медленная и быстрая подсистемы описываются
уравнениями (1) и (2) соответственно.
Во многих теоретических и прикладных задачах необходимо рассмотреть поведение системы в целом, а не её отдельных траекторий. Для исследования динамики системы эффективным инструментом являются методы теории инвариантных многообразий (см., например,
работы [5, 6, 8] и библиографию в них). Напомним основные элементы этого подхода.
Определение 1. Непрерывная поверхность 𝑆𝜀называется инвариантным многообразием
системы (1), (2), если любая траектория системы, имеющая с 𝑆𝜀по крайнем мере одну общую
точку, целиком лежит на 𝑆𝜀.
В рамках данного исследования сосредоточим внимание на медленных инвариантных
многообразиях, которые представляют собой инвариантные поверхности размерности переменной 𝑥, движение фазовой точки на которых осуществляется со скоростью порядка
𝑂(1) при 𝜀→0. Устойчивость или неустойчивость медленного инвариантного многообразия
определяется устойчивостью или неустойчивостью его нулевого приближения (𝜀= 0) — так
называемой медленной поверхности.
Определение 2. Поверхность 𝑆, описываемая уравнением
𝑔(𝑥, 𝑦, 𝜇, 0) = 0,
(3)
называется медленной поверхностью. Если её размерность равна единице, то она называется
медленной кривой.
Пусть 𝑦= 𝜙(𝑥, 𝜇) — изолированное решение уравнения (3).
Определение 3. Подмножество 𝑆устойчиво, если спектр матрицы Якоби
𝐽= 𝜕𝑔
𝜕𝑦(𝑥, 𝜙(𝑥, 𝜇), 𝜇, 0)
(4)
находится в левой открытой комплексной полуплоскости. Если есть по крайней мере одно
собственное значение матрицы Якоби (4) с положительной вещественной частью, то подмножество медленной поверхности неустойчиво.
Как было отмечено выше, медленную поверхность можно рассматривать как приближение
нулевого порядка медленного инвариантного многообразия. Это означает, что в 𝜀-окрестности
устойчивой части медленной поверхности существует устойчивое медленное инвариантное
многообразие системы, а в 𝜀-окрестности её неустойчивой части — неустойчивое медленное
инвариантное многообразие.
Медленное инвариантное многообразие может сменить свою устойчивость в некоторых
критических случаях, три из которых рассматриваются в данной работе. Как будет показано ниже, введение дополнительных условий на правые части системы позволяет построить
непрерывное медленное инвариантное многообразие со сменой устойчивости в этих критических случаях.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№9
2024

СМЕНА УСТОЙЧИВОСТИ ИНВАРИАНТНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
1157
2. СЛУЧАЙ НУЛЕВОГО КОРНЯ
Рассмотрим систему (1), (2) со скалярным параметром 𝜇, в которой положение равновесия быстрой подсистемы (2) становится неустойчивым с переходом одного вещественного
собственного числа матрицы (4) через нулевое значение при изменении медленных переменных. Это означает, что медленное инвариантное многообразие системы теряет устойчивость,
когда медленные переменные достигают поверхности (кривой или в скалярном случае точки)
на 𝑆, на которой выполняется условие
det
⃒
⃒
⃒
⃒
𝜕𝑔
𝜕𝑦(𝑥, 𝜙(𝑥, 𝜇), 𝜇, 0)
⃒
⃒
⃒
⃒= 0.
(5)
Частным случаем такой границы смены устойчивости является точка срыва (см. [2, с. 49;
6, § 8.2]).
Двигаясь по устойчивому медленному инвариантному многообразию и достигая поверхности (кривой или точки) срыва, фазовая точка системы срывается с медленного многообразия. Если специальным образом подобрать значение скалярного параметра 𝜇, то удаётся
склеить устойчивое и неустойчивое медленные инвариантные многообразия в одной точке
поверхности срыва. При этом возникает непрерывная траектория, которая сначала проходит
по устойчивому инвариантному многообразию, а затем непрерывным образом продолжает
движение по неустойчивому инвариантному многообразию (оба раза проходятся расстояния
порядка единицы). Такие траектории сингулярно возмущённых систем получили название
траекторий-уток [14, 15].
Описанная техника склейки в точке срыва устойчивых и неустойчивых медленных инвариантных многообразий для построения траекторий-уток впервые была предложена в [16].
Математическое обоснование этого подхода для случая, когда медленное инвариантное многообразие системы (1), (2) может быть представлено в виде 𝑦= ℎ(𝑥, 𝜇, 𝜀) = 𝜙(𝑥, 𝜇)+𝑂(𝜀),
𝜀→0, где ℎ(𝑥, 𝜇, 𝜀) является достаточно гладкой функцией от 𝜀, а переменные 𝑥и 𝑦—
скалярными, представлено в книге [5, гл. 1].
Траектории-утки и соответствующие значения параметра 𝜇могут быть выбраны в виде
асимптотических разложений по степеням малого параметра 𝜀. Вблизи медленной кривой
траектории-утки экспоненциально близки и имеют одно и то же асимптотическое разложение по степеням 𝜀. Аналогичное утверждение справедливо и для соответствующих значений параметров: любые два значения параметра 𝜇, для которых существуют траекторииутки, имеют одни и те же асимптотические разложения, разница между которыми равна
exp{−𝑐/𝜀}, где 𝑐— некоторое положительное число. Тогда можно констатировать единственность траектории-утки (и соответствующего значения параметра) для системы на плоскости
[14, 15].
Но в случае dim 𝑥⩾2 ситуация существенно меняется: если дифференциальная система
имеет траекторию-утку, то она имеет и однопараметрическое семейство траекторий-уток
сразу, и выбор значения дополнительного параметра 𝜇означает выбор точки на поверхности срыва, в которой склеены устойчивые и неустойчивые инвариантные многообразия.
Математическое обоснование этого факта для случая dim 𝑥⩾2, dim 𝑦= 1 см. в [8, гл. 8; 17].
Рассмотрим более общий случай, когда обе (медленная и быстрая) переменные являются
векторами. Пусть автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений с малым
положительным параметром 𝜀и дополнительным скалярным параметром 𝜇для переменных
𝑥, 𝑦и 𝑧приведена с помощью стандартной процедуры исключения независимой переменной 𝑡
к неавтономной форме
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝒴(𝑥, 𝑦, 𝑧1, 𝑧2, 𝜀),
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№9
2024

КИПКАЕВА, ЩЕПАКИНА
𝜀𝑑𝑧1
𝑑𝑥= 2𝑥𝑧1 +𝜇+𝒵1(𝑥, 𝑦, 𝑧1, 𝑧2, 𝜀),
𝜀𝑑𝑧2
𝑑𝑥= 𝐴(𝑥)𝑧2 +𝜇𝐵+𝒵2(𝑥, 𝑦, 𝑧1, 𝑧2, 𝜀).
(6)
Здесь 𝑥и 𝑧1 — скалярные переменные, |𝑧1| ⩽𝑟; 𝑦∈R𝑛; 𝑧2 ∈R𝑚и ‖𝑧2‖ ⩽𝑟; ограниченная
матрица 𝐴(𝑥) удовлетворяет условию Липшица, а её собственные числа 𝜆𝑖(𝑥) таковы, что
Re 𝜆𝑖(𝑥) ⩽−2𝛽< 0,
𝑖= 1, 𝑚;
𝐵— постоянный вектор; параметр 𝜇удовлетворяет неравенству
|𝜇| ⩽𝜀2𝐾;
(7)
непрерывные функции 𝒴, 𝒵1 и 𝒵2 удовлетворяют условиям
‖𝒴(𝑥, 𝑦, 𝑧1, 𝑧2, 𝜀)‖ ⩽𝑁,
(8)
|𝒵1(𝑥, 𝑦, 𝑧1, 𝑧2, 𝜀)| ⩽𝑀(𝜀2 +𝜀‖𝑧‖+‖𝑧‖2),
(9)
‖𝒵2(𝑥, 𝑦, 𝑧1, 𝑧2, 𝜀)‖ ⩽𝑀(𝜀2 +𝜀‖𝑧‖+‖𝑧‖2),
(10)
‖𝒴(𝑥, 𝑦, 𝑧1, 𝑧2, 𝜀)−𝒴(𝑥, ¯
𝑦, ¯
𝑧1, ¯
𝑧2, 𝜀)‖ ⩽𝑀(‖𝑦−¯
𝑦‖+‖𝑧−¯
𝑧‖),
(11)
|𝒵1(𝑥, 𝑦, 𝑧1, 𝑧2, 𝜀)−𝒵1(𝑥, ¯
𝑦, ¯
𝑧1, ¯
𝑧2, 𝜀)| ⩽𝑀
[︀
(𝜀+‖˜
𝑧‖)‖𝑧−¯
𝑧‖+(𝜀2 +𝜀‖˜
𝑧‖+‖˜
𝑧‖2)‖𝑦−¯
𝑦‖
]︀
,
(12)
‖𝒵2(𝑥, 𝑦, 𝑧1, 𝑧2, 𝜀)−𝒵2(𝑥, ¯
𝑦, ¯
𝑧1, ¯
𝑧2, 𝜀)‖ ⩽𝑀
[︀
(𝜀+‖˜
𝑧‖)‖𝑧−¯
𝑧‖+(𝜀2 +𝜀‖˜
𝑧‖+‖˜
𝑧‖2)‖𝑦−¯
𝑦‖
]︀
,
(13)
)︂
,
‖˜
𝑧‖ = max{‖𝑧‖, ‖¯
𝑧‖},
)︂
,
¯
𝑧=
(︂¯
𝑧1
¯
𝑧2
𝑧=
(︂𝑧1
𝑧2
где | ·| и ‖ ·‖ обозначают, соответственно, модуль и норму в векторном пространстве, а
константы 𝑀, 𝑁и 𝐾положительны.
Из (9) и (10) следует, что медленная поверхность (6) определяется уравнением 𝑧≡0.
Поверхность 𝑥=0 делит медленную поверхность на устойчивую (𝑥<0) и неустойчивую (𝑥>0)
части, в 𝜀-окрестности которых существуют, соответственно, устойчивое и неустойчивое
медленные инвариантные многообразия [18–20], имеющие представление
𝑧= ℎ(𝑥, 𝑦, 𝜇, 𝜀),
ℎ(𝑥, 𝑦, 𝜇, 𝜀) =
(︂ℎ1(𝑥, 𝑦, 𝜇, 𝜀)
ℎ2(𝑥, 𝑦, 𝜇, 𝜀)
)︂
,
ℎ1 ∈R,
ℎ2 ∈R𝑚,
где
|ℎ1(𝑥, 𝑦, 𝜇, 𝜀)| ⩽𝜀3/2𝑞,
|ℎ1(𝑥, 𝑦, 𝜇, 𝜀)−ℎ1(𝑥, ¯
𝑦, 𝜇, 𝜀)| ⩽𝜀3/2𝛿‖𝑦−¯
𝑦‖,
‖ℎ2(𝑥, 𝑦, 𝜇, 𝜀)‖ ⩽𝜀2𝑞,
‖ℎ2(𝑥, 𝑦, 𝜇, 𝜀)−ℎ2(𝑥, ¯
𝑦, 𝜇, 𝜀)‖ ⩽𝜀2𝛿‖𝑦−¯
𝑦‖,
𝑞> 0,
𝛿> 0.
Подходящим выбором 𝜇выбираем точку с координатами 𝑥= 0, 𝑦= 𝑦* на поверхности
𝑥= 0 медленной поверхности для склейки этих многообразий. Траектория 𝑦= 𝜑(𝑥, 𝜇, 𝜀), где
𝜑(0, 𝜇, 0) = 𝑦*, после участка движения по устойчивому медленному инвариантному многообразию 𝑧= ℎ(𝑥, 𝑦, 𝜇, 𝜀) продолжает движение по неустойчивому многообразию.
Достаточные условия существования траектории-утки системы (6) сформулированы в
следующей теореме.
Теорема 1. Пусть выполняются условия (7)–(13). Тогда существуют числа 𝜀0 >0 и 𝑞, 𝛿
такие, что для любого 𝜀∈(0, 𝜀0) существуют 𝜇=𝜇*(𝜀) и соответствующая 𝜇*(𝜀) траектория-утка, проходящая через точку (𝑥= 0, 𝑦= 𝑦*) медленного инвариантного многообразия.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№9
2024

СМЕНА УСТОЙЧИВОСТИ ИНВАРИАНТНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
1159
Таким образом, траектория-утка может быть определена как одномерное медленное инвариантное многообразие со сменой устойчивости, возникающее при особом выборе дополнительного параметра системы. Для построения многомерного инвариантного многообразия
со сменой устойчивости, когда склейка устойчивого и неустойчивого многообразий осуществляется одновременно во всех точках поверхности срыва, вместо параметра 𝜇необходима
функция 𝜇= 𝜇(𝑦, 𝜀) [8, гл. 8; 18; 19].
3. СЛУЧАЙ ПАРЫ ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ
Рассмотрим аналитическую быстро-медленную систему, полученную из (1), (2) перемасштабированием времени:
𝑑𝑥
𝑑𝜏= 𝜀𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜇, 𝜀),
𝑑𝑦
𝑑𝜏= 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝜇, 𝜀),
(14)
для которой особая точка уравнения быстрых движений становится неустойчивой с переходом пары собственных значений через мнимую ось при изменении медленных переменных.
Как и ранее, медленное инвариантное многообразие изменяет свою устойчивость, но, в
отличие от предыдущего случая, граница устойчивости не является поверхностью (кривой
или точкой) срыва, так как условие (5) не выполнено. Это означает, что траектория системы
(14) не срывается с медленного инвариантного многообразия сразу же, она продолжает двигаться вдоль неустойчивой части медленной поверхности в течение времени порядка 𝑂(𝜀−1)
после пересечения границы устойчивости, и этот участок имеет расстояние порядка 𝑂(1) при
𝜀→0. Только после этого траектория срывается с медленного инвариантного многообразия
и происходит переход к быстрому движению. Это явление затягивания потери устойчивости
впервые было исследовано в статье [9] и в более общем случае рассмотрено в [10].
Заметим, что траектории, описанные выше, ведут себя подобно траекториям-уткам. Однако есть некоторое различие между этими двумя явлениями. Траектории-утки существуют
в системах с конечной гладкостью, в то время как рассмотренное выше явление затягивания
потери устойчивости происходит только в аналитических системах. Кроме того, траекторииутки относятся к редким явлениям и существуют для экспоненциально малого интервала
значений дополнительного параметра, в то время как для затягивания потери устойчивости
не нужно выбирать параметры. В случае затягивания потери устойчивости функция, описывающая медленное инвариантное многообразие, имеет разрыв первого рода, а в случае
траектории-утки — бесконечный разрыв. Для того чтобы устранить этот разрыв первого
рода с помощью построения глобального медленного инвариантного многообразия со сменой
устойчивости, нужно выбрать пару дополнительных функций.
Рассмотрим быстро-медленную автономную систему для переменных 𝑥, 𝑦и 𝑧, которая
приведена с помощью стандартной процедуры исключения независимой переменной 𝑡к
неавтономной форме
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝜀𝒴(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜀),
𝑑𝑧
𝑑𝑥= 𝐴(𝑥)𝑧+𝜇(𝑦, 𝜀)+𝒵(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜇(𝑦, 𝜀), 𝜀).
(15)
Здесь 𝑥∈R, 𝑦∈R𝑛, 𝑧∈R2 и ‖𝑧‖ ⩽𝑟, матрица 𝐴(𝑥) имеет вид
)︂
,
𝐴(𝑥) =
(︂2𝑥
𝜈
−𝜈
2𝑥
векторные функции
𝜇(𝑦, 𝜀) =
,
𝒵(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜇(𝑦, 𝜀), 𝜀) =
𝜇2(𝑦, 𝜀)
(︃
𝜇1(𝑦, 𝜀)
)︃
(︃
𝒵1(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜇1(𝑦, 𝜀), 𝜇2(𝑦, 𝜀), 𝜀)
)︃
𝒵2(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜇1(𝑦, 𝜀), 𝜇2(𝑦, 𝜀), 𝜀)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№9
2024

КИПКАЕВА, ЩЕПАКИНА
и 𝒴(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜀) непрерывны и удовлетворяют следующим условиям:
‖𝒴(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜀)‖ ⩽𝑁,
(16)
‖𝒵(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜇(𝑦, 𝜀), 𝜀)‖ ⩽𝑀(𝜀+𝜀‖𝑧‖+‖𝑧‖2),
(17)
‖𝒴(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜀)−𝒴(𝑥, ¯
𝑦, ¯
𝑧, 𝜀)‖ ⩽𝑀(‖𝑦−¯
𝑦‖+‖𝑧−¯
𝑧‖),
(18)
‖𝒵(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜇(𝑦, 𝜀), 𝜀)−𝒵(𝑥, ¯
𝑦, ¯
𝑧, ¯
𝜇(¯
𝑦, 𝜀), 𝜀)‖ ⩽
⩽𝑀
[︀
(𝜀+‖˜
𝑧‖)‖𝑧−¯
𝑧‖+(𝜀+𝜀‖˜
𝑧‖+‖˜
𝑧‖2)‖𝑦−¯
𝑦‖+𝜀‖𝜇−¯
𝜇‖
]︀
,
‖˜
𝑧‖ = max{‖𝑧‖, ‖¯
𝑧‖},
(19)
‖𝜇(𝑦, 𝜀)‖ ⩽𝜀𝐾, ‖𝜇(𝑦, 𝜀)−𝜇(¯
𝑦, 𝜀)‖ ⩽𝜀𝐿‖𝑦−¯
𝑦‖,
(20)
где 𝑀, 𝑁, 𝐾и 𝐿— положительные константы.
Имеет место следующая
Теорема 2 [12]. Пусть для системы (15) выполнены условия (16)–(20). Тогда существуют числа 𝜀0 > 0 и 𝑞, 𝛿такие, что для любого 𝜀∈(0, 𝜀0) существуют функция 𝜇= 𝜇*(𝑦, 𝜀)
и медленное инвариантное многообразие со сменой устойчивости 𝑧=ℎ(𝑥, 𝑦, 𝜀), отвечающее
𝜇*(𝑦, 𝜀) и удовлетворяющее неравенствам
‖ℎ(𝑥, 𝑦, 𝜀)‖ ⩽𝜀𝑞,
‖ℎ(𝑥, 𝑦, 𝜀)−ℎ(𝑥, ¯
𝑦, 𝜀)‖ ⩽𝜀𝛿‖𝑦−¯
𝑦‖.
Отметим, что в случае затягивания потери устойчивости, рассмотренном в [9, 10], склейка устойчивых и неустойчивых частей одномерного медленного инвариантного многообразия
для случая dim 𝑦= 0 требует два дополнительных параметра. Но для построения инвариантного многообразия со сменой устойчивости при dim 𝑦⩾1 необходима пара функций.
4. СЛУЧАЙ КРАТНОГО НУЛЕВОГО КОРНЯ
Изучим случай, когда действительные (а также мнимые) части пары комплексно-сопряжённых собственных значений матрицы Якоби (4) обращаются в нуль одновременно, с последующим возникновением пары вещественных собственных значений разных знаков. Следует отметить, что эта бифуркация является одной из негрубых. Тогда могут возникнуть
траектории, подобные траекториям-уткам. Рассмотрим этот случай на следующем примере.
Пример 1. Для системы
˙
𝑥= 1,
𝜀˙
𝑦= 𝑧,
𝜀˙
𝑧= 𝑎𝑥𝑦+𝑏𝑥𝑧,
(21)
где 𝑎и 𝑏— константы, медленная кривая определяется вырожденной системой
𝑧= 0,
𝑎𝑥𝑦+𝑏𝑥𝑧= 0.
Отметим, что в данном случае медленная кривая совпадает с точным медленным инвариантным многообразием системы.
Собственные значения матрицы Якоби (4) имеют вид
𝑏2𝑥2 +4𝑎𝑥
𝜆1,2 = 𝑏𝑥±
√
2
.
При положительных значениях 𝑎и 𝑏и 𝑥< −4𝑎/𝑏2 собственные числа являются отрицательными вещественными, при 𝑥∈(−4𝑎/𝑏2, 0) — комплексно-сопряжёнными с отрицательной
вещественной частью. При 𝑥= 0 вещественные части и коэффициенты при мнимой части
этой пары комплексно-сопряжённых собственных значений одновременно обнуляются, т.е.
возникает кратный нулевой корень. При 𝑥>0 собственные числа становятся вещественными
и имеют разные знаки. Таким образом, на интервале 𝑥∈(−∞, 0) медленное инвариантное
многообразие системы (21) устойчиво, а на интервале 𝑥∈(0, +∞) — нет.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№9
2024

СМЕНА УСТОЙЧИВОСТИ ИНВАРИАНТНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
1161
Аналогичный сценарий смены устойчивости медленным инвариантным многообразием
при прохождении медленной переменной через нуль наблюдается и для 𝑎<0 и 𝑏<0, но уже
не при возрастании 𝑥, а при убывании.
На рис. 1 и 2 продемонстрирован случай 𝑎> 0 и 𝑏> 0, а именно когда 𝑎= 1, 𝑏= 1 в
системе (21), с начальными условиями 𝑥(0) = −4.95, 𝑦(0) = 2, 𝑧(0) = 1.5 и значениями параметров 𝛼0 = 1, 𝛼1 = 1.2, 𝛼2 = 0.1, 𝛼3 = 1, 𝜀= 0.01. Ось 𝑥является точным инвариантным
многообразием со сменой устойчивости. Траектория системы с начальной точкой в области влияния его устойчивой части быстро притягивается к многообразию и следует вдоль
Рис. 1. Инвариантное многообразие со сменой устойчивости (сплошная линия) и траектория системы (21) (штриховая линия)
Рис. 2. Графики компонентов решения системы (21) в зависимости от времени: штриховая линия —
𝑥(𝑡), пунктирная линия — 𝑦(𝑡), сплошная линия — 𝑧(𝑡). На врезках приведены выделенные участки
в увеличенном масштабе
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№9
2024