Упругие элементы отрицательной жесткости для устройств автоматики

 
 
Российский федеральный ядерный центр −  
Всероссийский научно-исследовательский институт  
экспериментальной физики 
 
 
 
 
 
О. Ф. Липатов 
 
 
 
 
УПРУГИЕ ЭЛЕМЕНТЫ  
ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ЖЕСТКОСТИ 
ДЛЯ УСТРОЙСТВ АВТОМАТИКИ 
 
 
Монография 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Саров 
2023 

 
 
Л61 
УДК 681.5 
ББК 34.9 
        Л61 
DOI 10.53403/9785951505323 
 
 
Рецензент: кафедра теоретической и экспериментальной механики  
Саровского физико-технического института Национального  
исследовательского ядерного университета «МИФИ»,  
заведующий кафедрой доктор технических наук Михайлов А. Л. 
 
 
 Липатов О. Ф. 
Упругие элементы отрицательной жесткости для устройств 
автоматики: Монография. – Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 
2023. – 275 с., ил. 
 
ISBN  978-5-9515-0532-3 
 
 
Изложены принципы построения и методики расчета основных параметров упругих элементов отрицательной жесткости на 
основе гибких стержней и оболочек. Такие упругие элементы 
имеют существенно нелинейные силовые характеристики, на которых существуют участки с отрицательным обобщенным коэффициентом жесткости. Приведены примеры использования упругих элементов отрицательной жесткости в устройствах автоматики, а именно в пороговых датчиках инерционного типа. 
Книга предназначена для специалистов и инженеров-расчетчиков, занимающихся проектированием различных устройств автоматики; может быть полезной для инженеров-исследователей, 
аспирантов, студентов приборостроительных факультетов вузов. 
 
 
 
УДК 681.5 
ББК 34.9 
 
 
 
 
 
 
ISBN  978-5-9515-0532-3                          © Липатов О. Ф., 2023 
© ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2023 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
5 
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
8 
 
12 
Глава 1. Упругие элементы отрицательной жесткости и 
обоснование их применения в устройствах автоматики . . .  
1.1. Основные виды силовых характеристик упругих элементов применяемых в устройствах автоматики . . . . .  
 
12 
1.2. Сравнение быстродействия пороговых датчиков инерционного типа на основе упругих элементов с силовыми характеристиками, имеющих положительный 
и отрицательный коэффициенты жесткости . . . . . . . . .  
 
 
 
25 
1.3. Принцип построения датчиков-регистраторов импульсов ударных ускорений на основе упругих элементов 
отрицательной жесткости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
 
 
34 
1.4. Частотный анализ динамических систем пороговых 
датчиков инерционного типа с упругими элементами 
положительной и отрицательной жесткости . . . . . . . .  
 
 
42 
Глава 2. Упругие элементы отрицательной жесткости на 
основе гибких упругих стержней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
53 
2.1. Принципы построения и методика расчета упругих 
элементов на основе гибких упругих стержней . . . . . .  
 
53 
2.2. Метод эллиптических параметров . . . . . . . . . . . . . . . .  
61 
2.3. Основные соотношения между параметрами упругого 
звена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
67 
2.4. Упругие элементы в виде упругих гибких стержней, 
расположенных между плоскими непараллельными 
направляющими . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
 
 
98 
 
 
79 
2.5. Упругие элементы в виде упругих гибких стержней, 
расположенных между направляющими поверхностями имеющими криволинейную форму . . . . . . . . . . . 
2.6. Упругий элемент на основе гибкого стержня с силовой характеристикой отрицательной жесткости . . . . . . 
 
108 

Глава 3. Упругие элементы отрицательной жесткости на 
основе гибких оболочек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
120 
3.1. Обоснование возможности применения гибких оболочек в качестве упругих элементов устройств автоматики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
 
120 
3.2. Расчет основных параметров упругих элементов в виде 
жестко закрепленной гибкой плоской оболочки . . . . .  
 
124 
3.3. Расчет основных параметров упругих элементов в виде 
жестко закрепленной гибкой выпуклой оболочки . . . . 
 
135 
3.4. Анализ частот и форм собственных колебаний плоских круглых оболочек, а также гибких выпуклых 
оболочек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
 
 
145 
3.5. Упругий элемент в виде гибкой выпуклой оболочки с 
краевым гофром и коническим углублением в центральной части . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
 
 
162 
3.6. Упругий элемент в виде гибкой оболочки для датчиков-регистраторов параметров ударных нагружений . . .  
 
174 
Глава 4. Материалы с высокими упругими свойствами 
для изготовления упругих элементов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
190 
4.1. Материалы с высокими упругими свойствами и основные способы их упрочнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
 
190 
4.2. Обоснование возможности изготовления упругих 
элементов устройств автоматики из сверхтонкого 
проката . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
 
 
229 
Глава 5. Пороговые датчики инерционного типа на основе 
упругих элементов в виде гибких стержней и оболочек . . . . 
 
235 
5.1. Пороговые датчики инерционного типа на основе 
упругих элементов в виде гибких стержней, являющихся одновременно инерционным телом . . . . . . . . . .  
 
 
235 
5.2. Пороговые датчики инерционного типа на основе 
упругих элементов в виде гибких стержней имеющих 
инерционное тело . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
 
244 
5.3. Пороговые датчики инерционного типа на основе 
упругих элементов в виде гибких оболочек . . . . . . . . . 
 
258 
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  267 
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  273 
 
 

Предисловие 
 
Предлагаемая вниманию читателей монография посвящена 
теоретическим основам построения, методам расчета основных характеристик и вопросам применения упругих элементов в виде 
гибких стержней и оболочек, которые из-за возможности совершать большие упругие перемещения, имеют существенно нелинейные силовые характеристики.  
Подобные упругие элементы характеризуются тем, что они при 
перемещении из определенного положения, благодаря приданной 
им форме и созданным граничным условиям, могут генерировать 
восстанавливающую силу, величина которой в отличие от обычных 
упругих элементов типа винтовых пружин при их сжатии или растяжении не увеличивается, а уменьшается. Следовательно, такая 
силовая характеристика может быть описана уравнением, в которое 
обобщенный коэффициент жесткости входит как отрицательная 
величина. На основании этого упругие элементы с подобными силовыми характеристиками можно назвать для краткости упругими 
элементами отрицательной жесткости. 
Так как в отечественной и зарубежной технической литературе 
практически отсутствуют материалы по созданию и применению 
упругих элементов отрицательной жесткости, написание данной 
книги является попыткой систематического изложения исследований автора по созданию и разработке упругих элементов отрицательной жесткости, а также по применению подобных упругих 
элементов в устройствах автоматики. 
Как в любом инженерном или физическом исследовании, преимущества применения упругих элементов отрицательной жесткости в устройствах автоматики могут быть продемонстрированы на 
достаточно простой динамической модели, представляющей собой 
инерционную массу, поджатую к опоре упругим элементом и нагружаемую ускорением. Выбор данной динамической модели позволяет провести ее анализ и получить понятные и обозримые результаты. Это обстоятельство, а также стремление сделать книгу 
доступной возможно более широкому кругу читателей отразились 
и на форме изложения, и на самой структуре книги. 

Книга состоит из пяти глав. Первая глава посвящена обоснованию применения упругих элементов отрицательной жесткости 
в устройствах автоматики. Рассмотрены силовые характеристики 
упругих элементов, представляющие собой зависимости восстанавливающей силы от перемещения в виде уравнений, в которые 
обобщенный коэффициент жесткости входит как с положительным, так и отрицательным знаком, а также приведено этому соответствующее обоснование. Приведены результаты сравнения быстродействия пороговых устройств автоматики с упругими элементами положительной и отрицательной жесткости при динамическом 
нагружении, а также результаты частотного анализа их чувствительных элементов, представляющих собой нелинейные консервативные механические системы. 
Во второй главе изложены принципы построения упругих элементов в виде гибких стержней, обладающих силовыми характеристиками с положительным и отрицательным обобщенными коэффициентами жесткости. Изложена методика расчета основных геометрических и силовых параметров упругих элементов в виде 
гибких стержней, которым при закреплении их концов на опорных 
поверхностях или направляющих, имеющих различные формы 
и взаимное расположение, придана определенная конфигурация.  
В третьей главе приведено обоснование принципа построения 
упругих элементов отрицательной жесткости на основе гибких 
оболочек. Изложены методики расчета круглых гибких оболочек – 
плоской и выпуклой – при их нагружении силой, сосредоточенной 
в центре. Приведены аналитические выражения зависимости силы, 
генерируемой плоской и выпуклой гибкими оболочками, от перемещения их центральной части при условии, что перемещение или 
прогиб центра оболочки существенно превышает толщину оболочки, а края оболочки жестко закреплены. 
В четвертой главе приведены основные характеристики материалов для изготовления упругих элементов различного назначения, в том числе применяющихся в устройствах автоматики. Представлено обоснование возможности долговременного сохранения 
прочности упругих элементов в виде гибких стержней и оболочек, 
изготовленных из сверхтонкого исходного проката, и изложены 
результаты исследований, подтверждающих сохранение основных 
характеристик подобных упругих элементов, находящихся в пред 

варительно напряженном состоянии длительное время в составе 
устройств автоматики. 
В пятой главе приведены описания предложенных автором 
технических решений по построению пороговых датчиков инерционного типа на основе гибких стержней и оболочек, а также приведено описание основных конструктивных решений, внедрение 
которых позволит создавать датчики, обладающие более совершенными техническими характеристиками и более широкими 
функциональными возможностями. 
Книга предназначена для специалистов и инженеров-расчетчиков, занимающихся проектированием различных устройств автоматики. Она может быть также полезной для инженеров-исследователей, аспирантов, студентов приборостроительных факультетов вузов. 
Пользуясь случаем, выражаю глубокую признательность заслуженному деятелю науки Российской Федерации, доктору технических наук, профессору Ю. Н. Бухареву, прочитавшему рукопись и давшему ценные советы и замечания, позволившие улучшить содержание книги и изложение материала. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 
 
Упругие элементы в виде прямолинейных и криволинейных 
стержней, а также пластин, мембран и оболочек, срединные поверхности которых могут иметь самые разнообразные формы, широко применяются в различных устройствах автоматики. При этом 
упругие элементы в составе устройств автоматики являются, как 
правило, отдельными деталями, которые при действии на них силовой нагрузки – сосредоточенной или распределенной – упруго 
деформируются и после окончания ее действия принимают первоначальную форму. 
Упругие элементы в составе устройств автоматики можно разделить на два основных вида: упругие элементы для измерения физических величин, таких как сила, давление и т. п., которые входят 
в состав чувствительных элементов устройств автоматики и своими 
характеристиками определяют точность и стабильность их показаний, и силовые упругие элементы, которые служат в качестве замыкающих звеньев, накопителей энергии, демпферов, т. е. определяют во многом компактность и надежность работы приборов, но 
не участвуют непосредственно в процессе измерения физических 
величин. 
Основным показателем упругого элемента является упругая 
или силовая характеристика – зависимость силы, генерируемой упругим элементом, от перемещения его определенного сечения, которое иногда называют опорным сечением, в заданном направлении. При этом предполагается, что именно к данному сечению упругого элемента или к участку упругого элемента, где оно 
располагается, будет приложена силовая нагрузка при работе упругого элемента в составе устройства автоматики. 
Другим важным показателем упругого элемента является его 
статическая и усталостная прочность. Во всех случаях необходимо, 
во-первых, чтобы при рабочих перемещениях упругого элемента 
деформации в его сечениях были упругими, и, во-вторых, чтобы 
прочность упругого элемента была обеспечена в течение всего срока 
службы устройств автоматики. Первое требование отвечает в основном условиям статической прочности, а второе – усталостной. 
 

Оба эти условия могут быть удовлетворены, в первую очередь, 
надлежащим выбором материала и конструкцией упругого элемента, а также определенными ограничениями в величине рабочих перемещений и, соответственно, напряжений в его сечениях. 
Поэтому при конструировании устройств автоматики большую 
роль играет правильный расчет их упругих элементов. Определение силовой характеристики упругого элемента, выбор его размеров по виду силовой характеристики, а также определение запаса 
прочности и долговечности упругого элемента – все это вопросы, 
экспериментальное решение которых требует долгого и кропотливого труда и связано с большими затратами. Наличие теорий и методик расчета упругих элементов сильно облегчает работу конструкторов и позволяет заранее оценить возможность создания той 
или иной конструкции и расчетным путем определить необходимые размеры и форму упругих элементов, обеспечивающих правильную работу устройств автоматики. 
Если в задачах общего машиностроения достаточно в большинстве случаев ограничиться определением внутренних усилий 
и запаса прочности и рассматривать перемещения только как вспомогательное средство к раскрытию статической неопределимости, 
то при расчете упругих элементов устройств автоматики основной 
целью расчета является определение их силовых характеристик, 
причем особое значение имеет вопрос больших упругих перемещений упругих элементов, соизмеримых с их начальными размерами. 
Созданию и развитию методик расчета различных типов упругих 
элементов приборов посвящено большое количество работ как отечественных, так и зарубежных авторов. Наиболее значимыми работами отечественных авторов являются работы Пономарева С. Д. 
[1, 2], Попова Е. П. [3, 4], Феодосьева В. И. [5], Андреевой Л. Е. 
[6, 7], Феликсона Е. И. [8], которые широко использует в своей деятельности уже не одно поколение российских конструкторов и разработчиков устройств автоматики. При этом необходимо особо отметить работы Попова Е. П. [3, 4] и Феодосьева В. И. [5], в которых 
разработаны методики расчета упругих элементов в виде гибких 
стержней и оболочек с учетом их больших упругих перемещений. 
Упругие элементы в виде гибких стержней и оболочек характеризуются тем, что при работе в составе устройств автоматики, 
т. е. при действии на них силовой нагрузки, величина упругих пе

ремещений, как правило, существенно превышает их толщину. 
Причем конфигурация упругих элементов, например, в виде гибких 
стержней, которую они принимают при размещении в устройствах 
автоматики, может сильно отличаться от их первоначальной прямолинейной формы благодаря предварительным большим упругим 
перемещениям концов или определенных сечений стержня, сопоставимых по величине с его длиной, при которых деформации остаются малыми и материал работает упруго. 
Большие упругие перемещения упругих элементов в виде гибких стержней и оболочек уже в составе устройств автоматики при 
определенных граничных условиях, т. е. условиях закрепления их 
краев или условиях их взаимодействия с опорными поверхностями, 
позволяют получить существенно нелинейные силовые характеристики. При определенных условиях можно обеспечить такие силовые характеристики упругих элементов, которые характеризуются 
тем, что с увеличением перемещения упругого элемента величина 
генерируемой им силы уменьшается, т. е. на силовой характеристике появляются участки, на которых обобщенный коэффициент 
жесткости принимает отрицательные значения. Подобные упругие 
элементы для краткости будем называть упругими элементами отрицательной жесткости. 
Очевидно, что при использовании упругих элементов отрицательной жесткости с силовыми характеристиками, имеющими участок, на котором обобщенный коэффициент жесткости принимает 
отрицательные значения, необходимо иметь в виду, что упругий 
элемент в начальном положении находится, как правило, уже в деформированном состоянии и генерирует некоторую начальную 
силу. В связи с этим применение упругих элементов отрицательной 
жесткости возможно в основном в устройствах автоматики, в которых перемещение чувствительного элемента начинается при достижении силовой нагрузкой некоторой заданной пороговой величины. К таким устройствам автоматики относятся пороговые 
датчики инерционного типа, пороговые датчики давления, всевозможные автоматические переключатели, реле и т. п. 
Применение упругих элементов отрицательной жесткости 
в подобных устройствах автоматики позволит расширить их функциональные возможности, повысить их быстродействие, а также