Моделирование волн цунами на основе уравнений Навье – Стокса

Федеральное государственное унитарное предприятие  
«Российский федеральный ядерный центр – 
Всероссийский научно-исследовательский институт 
экспериментальной физики» 
 
Министерство образования и науки Российской Федерации 
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение  
высшего образования «Нижегородский государственный технический 
университет им. Р. Е. Алексеева» 
 
 
 
 
 
А. С. Козелков 
 
 
 
 
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛН ЦУНАМИ  
НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ – СТОКСА 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Нижний Новгород – Саров 
2023 

УДК 532.5 
ББК 22.253.3 
К59 
DOI 10.53403/9785951505453 
 
 
К59 
Козелков А. С. Моделирование волн цунами на основе уравнений
Навье – Стокса. – Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2023. 417 с. 
 
ISBN 978-5-9515-0545-3 
 
 
 
Развиваются методы моделирования волн цунами на основе трехмерных уравнений Навье – Стокса на примере цунами, вызванных источниками несейсмического происхождения. Разработана технология расчета в рамках одной физико-математической 
модели всех стадий цунами космогенного и оползневого происхождения (источник, распространение и накат на берег). Методика расчета основана на решении системы уравнений Навье – Стокса, описывающей многофазные течения. Численное решение многофазной системы осуществляется с помощью полностью неявного метода, снимающего 
жесткие ограничения на шаг по времени и позволяющего моделировать распространение цунами на сколь угодно большие расстояния. Для эффективного параллельного расчета распространения цунами в больших акваториях представлен алгоритм, основанный 
на алгебраическом многосеточном методе. Описан механизм учета батиметрических 
данных для моделирования цунами в реальных акваториях Мирового океана. Представлены результаты моделирования экспериментальных задач и натурных случаев возникновения цунами, которые сравниваются с имеющимися данными наблюдений.  
Монография предназначена для студентов старших курсов, аспирантов и специалистов в области механики жидкости и газа, вычислительной гидродинамики, вычислительной математики и динамики океана. 
 
УДК 532.5 
ББК 22.253.3 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9515-0545-3                                                  ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2023 
                                                                                            Нижегородский государственный 
технический университет 
им. Р. Е. Алексеева, 2023 
 Козелков А. С., 2023 

СОДЕРЖАНИЕ 
 
Предисловие .………..…………………………………………………………… 
5
Глава 1. Вычислительные методы в механике однофазной жидкости ……….. 17
1.1. Введение …………………………......................................................... 17
1.2. Основные уравнения и метод численного решения ………………... 20
1.3. Моделирование турбулентности …………………………………….. 42
1.4. Ускорение гидродинамических расчетов …………………………… 49
1.5. Базис валидации для задач механики однофазной жидкости ………… 59
1.6. Сеточные модели ……………………………………………………….. 83
1.7. Сеточные модели для моделирования цунами на основе  
уравнений Навье – Стокса ……………………………………………… 91
Глава 2. Неявный метод численного решения уравнений Навье – Стокса  
для расчета многофазных течений со свободной поверхностью …… 100
2.1. Введение ………………………………………………………………. 101
2.2. Основные уравнения модели и описание метода …………………... 105
2.3. Параллельная реализация метода ……………………………………. 118
2.4. Верификация метода на задачах со свободной поверхностью ……. 135
2.5. Учет сил гравитации в задачах со свободной поверхностью ……… 154
2.6. Исследование свойств схем дискретизации уравнения переноса 
объемной доли …………………………………………..…….............. 168
2.7. Оценка параметров метода …………………………………………… 181
2.8. Верификация модели на задачах базиса NTHMP …………………... 193
Глава 3. Моделирование цунами космогенного происхождения ……………... 213
3.1. Введение ………………………………………………………………. 213
3.2. Астероидно-кометная опасность и методы расчета соударения  
с гидросферой …………………………................................................. 219
3.3. Синтетический источник и движение тела в трехмерной модели … 243
3.4. Моделирование космогенного цунами источниками 
различных типов …………………….................................................... 255
3.5. Моделирование падения метеорита при вхождении под углом …… 261
3.6. Моделирование падения метеорита  
в озеро Чебаркуль в 2013 году ……………………………………….. 273
 
 

Глава 4. Моделирование цунами оползневого происхождения ………………. 290
4.1. Введение …………………………………………….………………… 290
4.2. Верификация метода для расчета цунами оползневого типа ............... 292
4.3. Учет реологических свойств оползневых структур ………………… 302
4.4. Неотражающие граничные условия …………………………………. 306
4.5. Исторические и экспедиционные данные о цунами  
на острове Монтсеррат ……………………………………………….. 316
4.6. Моделирование Монтсерратского цунами 2003 года ……………… 332
4.7. Моделирование оползневых цунами с учетом заплеска …………… 358
4.8. Исследование влияния турбулентности  
на накат волн на берег ….…………………………………………….. 374
Заключение ……………………………………………………………………….. 387
Список литературы ………………………………………………………………. 389
 
 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Создание физико-математических моделей и вычислительных технологий 
для изучения движения жидкости и газа, в частности, для описания таких грандиозных волн, как цунами, с целью прогнозирования поведения и обобщения 
закономерностей протекания этих процессов имеет большое значение с фундаментальной и практической точек зрения.  
Быстрое развитие в последние десятилетия различных областей науки  
и техники явилось следствием колоссального прогресса в применении численных методов в исследовании гидродинамики жидкостей, как теоретической, так 
и экспериментальной. Вычислительная гидродинамика по своей полноте, разнообразию задач и, что особенно актуально, практическому применению выделилась в самостоятельную науку. Практическому внедрению вычислительной гидродинамики способствует бурный рост производительности вычислительной 
техники, введение в строй суперкомпьютеров тера-, пета- и даже экзафлопсного 
класса, а также серьезные успехи, достигнутые за последние годы в области построения эффективных численных методов, которые позволяют успешно решать 
достаточно широкий класс практически важных задач в различных прикладных 
областях. Однако, несмотря на существенный прогресс в этой области, точное 
описание развития и предсказания характеристик многих гидродинамических 
процессов остается скорее исключением, чем правилом.  
Одной из наиболее важных задач механики жидкости и газа является 
адекватное описание возникновения, распространения и процесса наката на берег волн цунами. Среди природных стихий, катастрофических по своим последствиям для человечества, эти волны занимают особое место. Непосредственной 
причиной их возникновения чаще всего являются происходящие при землетрясениях изменения в рельефе океанического дна, приводящие к образованию 
крупных сбросов, провалов и т. п. [Пелиновский, 1996; Левин&Носов, 2005]. 
Доля таких цунами составляет около 79%. К другим причинам возникновения 
цунами относят оползни, вулканические извержения и метеорологические источники, составляющие около 6, 5 и 3% соответственно от всех случаев зарегистрированных цунами. Около 7% всех цунами относят к неизвестным источникам происхождения [Gusiakov, 2009; База данных по цунами ИВМиМГ СО РАН, 
2015]. Возможной причиной возникновения цунами может служить падение 
небесных тел, обладающих, как правило, колоссальной кинетической энергией 
[Kharif&Pelinovsky, 2005; Левин&Носов, 2005; Астероидно-кометная опасность, 
2010; Chapman&Morrison, 1989; Chapman, 2004; Hills&Goda, 1998].  
Цунами является относительно частым стихийным бедствием и занимает 
пятое месте по величине ущерба от природных стихий. Для смягчения его последствий, решения задач прогнозирования необходимы комплексные исследо

вания, направленные на изучение механизмов генерации волн цунами не только 
сейсмическими источниками, но и оползнями, вулканическими извержениями  
и падениями небесных тел. Необходима разработка адекватных физико-математических моделей распространения цунами в океане переменной глубины от источников различного типа, а также моделей взаимодействия цунами с инфраструктурой прибрежной зоны. Эти задачи охватывают широкий круг проблем 
механики сплошных сред, геофизики, гидродинамики и других разделов научных знаний.    
Современные методы исследования волн цунами основаны на теории мелкой воды и ее обобщениях. Обзор имеющихся аналитических решений в рамках 
этой теории представлен в [Стокер, 1959; Бетчелор, 1976; Сретенский, 1977; 
Уизем, 1977; Ландау&Лифщиц, 1986; Пелиновский, 1982, 1985, 1996; 
Левин&Носов, 2005; Куркин и др., 2004; Куркин, 2005; Pelinovsky et al., 2001]. 
На основании линейной теории мелкой воды получен один из важнейших результатов, используемых в практической работе службы цунами: скорость распространения головной волны цунами определяется только локальной глубиной 
океана.  Уравнения нелинейной теории мелкой воды, реализованные численно 
[Goto et al., 1997; Kirby et al., 1998], позволили смоделировать цунами многих 
исторических событий и получить адекватные оценки [Куркин и др., 2003; Yalciner et al., 2007; Kozelkov, 2004; Yalciner, 2004; Zahibo, 2003; Куркин, 2003; Pelinovsky, 2005; Талипова, 2005]. 
Несмотря на достигнутые успехи, расчет характеристик цунами представляет собой достаточно трудную задачу из-за неопределенности параметров очага 
и многочисленных дополнительных факторов, таких как, например, нелинейность 
и дисперсия. Для цунами сейсмического и вулканического происхождения эти 
процессы особо актуальны на стадии наката волн на берег, а для цунами, порожденных падением небесного тела, их учет важен и при выходе волны из источника. Кроме того, цунами обладают своими специфическими особенностями, 
требующими для их описания адаптации существующих методов и моделей. 
Наиболее полной системой уравнений, позволяющей учесть особенности 
цунами на всех стадиях, начиная от выхода из источника до наката на берег, является система уравнений Навье – Стокса, представляющая собой нелинейные 
дифференциальные уравнения в частных производных [Ландау, Лифщиц, 1986; 
Флетчер, 1991; Ferziger&Peric, 2002]. В общем случае данная система не имеет 
аналитического решения, и все решения находятся численно. Проблема дискретизации уравнений Навье–Стокса, а также их численное решение составляют 
один из ключевых этапов математического моделирования [Волков&Емельянов, 
2008, 2010; Волков и др., 2013, 2014а, 2014б, 2017а, 2017б, 2017в; Дерюгин и др., 
2013; Ефремов и др., 2017; Козелков и др., 2014а, 2014б, 2014в; 2014г; Козелков 
и др., 2015а, 2015б, 2015в, 2015г; Козелков и др., 2016а, 2016б, 2016в, 2016г, 
2016д; Козелков и др., 2017а, 2017б; Лашкин и др., 2016а, 2016б; Лашкин и др., 
2017; Погосян и др., 2013, 2015; Сафронов и др., 2014; Снегирев, 2009; Тарасова 

и др., 2015; Храбрый, 2013, 2014; Betelin et al, 2014; Emelyanov et al., 2017; Ferziger&Peric 2002; Jasak, 1996, 1999; Khrabry, 2010; Kozelkov et al., 2016a, 2016b; 
2017a, 2017b; 2018; Travin et al., 2000, 2002; Ubbink, 1997;]. Математическое моделирование в настоящее время, да и в ближайшем будущем, будет являться 
полным инструментом исследования волн цунами от источников различных 
типов. В настоящее время система уравнений Навье – Стокса для моделирования волн цунами практически не применяется. 
Для исследования всех аспектов возникновения и распространения цунами 
космогенного и оползневого происхождения вычислительные технологии по 
существу являются единственным инструментом для понимания процессов  
в планетарном масштабе. Многие из таких процессов, как высокоскоростные 
соударения и падения, плавление, излучение, обрушение, испарение и другие, 
невозможно воспроизвести в лабораторных условиях на Земле. Развитие существующих и построение новых физико-математических моделей для реалистичного моделирования этих процессов представляют достаточно актуальную  
и сложную проблему для современной математической физики. Уровень развития в этой области находится на самой начальной стадии, поскольку численные 
расчеты двумерных, а тем более трехмерных физико-математических задач, 
весьма трудоемки и сводятся к описанию лишь отдельных стадий и обособленных процессов. 
Проблема описания цунами несейсмического происхождения включает 
ряд гидродинамических задач, для которых требуется развитие новых и адаптация уже существующих вычислительных технологий: 
1. Возбуждение цунами несейсмического происхождения (падение небесного тела, эксплозивные извержения вулканов, сход в воду селей и оползней). 
На этой стадии необходимо выявить связь параметров в очаге с полем начального смещения водной поверхности. 
2. Выяснение основных факторов, влияющих на распространение сильно 
нелинейных волн цунами в открытом океане, – взаимодействие с воздушными 
потоками и неровностями дна. 
3. Обрушение и накат цунами на берег. Исследование особенностей шельфовой зоны, влияющей на усиление волны, а также воздействие волны на инфраструктуры побережья.    
Существующие стратегии численного моделирования цунами несейсмического происхождения, как, впрочем, и сейсмического, подразумевают использование различных моделей на разных стадиях [Weiss et al., 2006], от образования начального возмущения на поверхности до наката волн на сушу. Для генерации цунами несейсмического происхождения, как правило, глубина океана 
предполагается постоянной [Shuvalov&Trubestkaya 2002, 2007; Weiss et al., 2006; 
Saito et al., 2008; Fritz et al., 2009; Gisler et al., 2011], источник моделируется  
в параметризованном виде [Kharif&Pelinovsky, 2005; Badescu&Isvoranu, 2011; 
Левин&Носов, 2005], а накат вычисляется для модельного шельфа с определен

ным углом наклона [Weiss et al., 2006]. В существующих стратегиях моделирования образование начальной волны, распространение и накат считаются по 
различным программам. Сгенерированный источник волны цунами передается  
в качестве граничного условия в программу расчета ее распространения, после 
чего по специальной программе вычисляется накат на берег.  
Современный уровень развития вычислительных технологий и алгоритмов 
[Волков и др., 2008, 2013, 2014; 2021], которые уже применяются в инженерной 
практике при проектировании высокотехнологичных технических изделий [Козелков и др., 2016г; Погосян и др., 2013б, 2015а, 2015б; Сафронов и др., 2014; 
Козелков и др., 2017б; Betelin et al., 2014; Kozelkov et al., 2021, 2022] позволяет 
перевести моделирование в проблеме цунами на качественно новый уровень. 
Адаптация и доработка существующих алгоритмов численного решения уравнений Навье – Стокса позволит объединить моделирование всех стадий цунами, 
что, несомненно, скажется на качестве исследований процесса в целом. Уровень 
развития схем дискретизации [Козелков и др., 2014в; Козелков&Курулин 2015; 
Козелков и др., 2017а; Kozelkov et al., 2016] позволит с достаточной детализацией 
описывать требуемые отдельные физические и амплитудные характеристики,  
а адаптация существующих суперкомпьютерных технологий ускорения [Волков 
и др., 2013; Козелков и др., 2014б; Козелков и др., 2016г; Козелков и др., 2017а, 
2017б, 2017в; Козелков и др., 2018, 2020;] расчета позволит в приемлемые сроки 
просчитать распространение цунами на любые расстояния. Однако накопленный 
к настоящему времени обширный фонд, содержащий разнообразные теоретические, численные и экспериментальные материалы по методам решения уравнений Навье – Стокса как отечественных, так и зарубежных исследователей, требует адаптации к проблеме моделирования волн цунами. Тем более, что, несмотря на существенные успехи, достигнутые в этой области, многие физикоматематические модели вычислительной гидродинамики и численные методы 
далеки от совершенства, поскольку изыскания по ним еще не окончены [Волков 
и др., 2008, 2013, 2014]. Использование многих моделей, методов и численных 
схем для решения задач различной направленности, а также определение границ 
их применимости составляют тему отдельного исследования, и цунами здесь  
не исключение. 
Для изучения процессов и прогностического моделирования цунами несейсмического происхождения необходима разработка вычислительных технологий, вбирающих весь существующий опыт вычислительной гидродинамики.  
В существенной степени это относится к методам расчета высокоскоростных 
соударений, применению схем высокого порядка точности, моделированию 
многофазных течений, а также моделированию турбулентности с использованием 
произвольных неструктурированных сеток, состоящих из многогранников произвольной формы, в областях со сложной геометрической конфигурацией (береговые линии и рельеф морского дна).  

В настоящей монографии автор ставит целью развить существующие физико-математические модели и разработать сквозную вычислительную технологию для моделирования волн цунами космогенного и оползневого происхождения. В работе представлено описание полностью неявной методики расчета волн 
цунами на основе полной системы уравнений гидродинамики – системы уравнений Навье – Стокса. В данную методику внедрены методы ускорения гидродинамических расчетов на основе алгебраического многосеточного метода для эффективного моделирования распространения цунами на любые расстояния на 
высокопроизводительных системах петафлопсного класса. Для верификации  
и валидации описанной методики систематизированы задачи и представлен минимальный базис задач валидации, предназначенных для тестирования и калибровки методов расчета распространения волновых возмущений. Описаны результаты анализа и численного моделирования волн цунами, возникших в ходе 
астероидно-кометного взаимодействия, и цунами, зародившихся при схождении 
оползня со склонов надводных вулканов. 
В состав монографии входит четыре главы. В предисловии проанализирован современный уровень численного моделирования в проблематике цунами.  
Глава 1 дает представление о современном уровне развития вычислительных технологий, применяемых в индустриальных приложениях, которые могут 
быть адаптированы для расчета волн цунами. Описывается альтернативная схема 
дискретизации конвективных слагаемых, формулировка которой выполнена на 
базе диаграмм нормализованной переменной. Основная идея схемы – динамический уровень ограниченности, достигающий минимального значения в областях 
свободной эволюции вихревых структур и максимального – в проблемных областях типа пограничного слоя. Формулировка схемы выполнена таким образом, 
чтобы уменьшить ее нелинейность и, следовательно, увеличить скорость сходимости решения. Применение данной схемы в моделировании цунами позволило 
существенно повысить точность и вычислительную нагруженность расчетов по 
сравнению с классическими схемами аппроксимации конвективных потоков. 
Представлен способ ускорения гидродинамических расчетов, основанный на 
многосеточных технологиях. Проведено сравнение различных способов решения систем линейных алгебраических уравнений, полученных в результате дискретизации системы уравнений Навье – Стокса. Показано, что классические 
итерационные методы существенно проигрывают методам, основанным на многосеточных технологиях. Проведено исследование ускорения расчетов, основанное на применении метода глобального уровня и каскадного сбора. Показано, что 
алгоритм каскадного сбора обладает всеми возможностями для расчета задач 
динамики жидкости на расчетных сетках миллиардной размерности. В проблеме 
цунами такие технологии используются впервые, и именно они позволят смоделировать распространение волн в любой акватории мирового океана. Для верификации и валидации разработанных методов проведена систематизация задач 
динамики жидкости, имеющих аналитическое решение или надежные экспери

ментальные данные. Эти задачи представлены в виде минимального базиса задач валидации для пакетов программ, моделирующих гидродинамику жидкости. 
На основании решения всех задач базиса проведена валидация модуля SIMPLE 
пакета программ ЛОГОС, который лег в основу нового разработанного метода 
моделирования волн цунами, описанного в главе 2. Валидация показала достаточно хорошие результаты для всех режимов течения вязкой жидкости: ламинарного, турбулентного, естественно-конвективного и неизотермического. Приведено описание технологии построения сеточных моделей в областях сложной 
геометрической конфигурации. Данная технология достаточно отработана и хорошо зарекомендовала себя в решении промышленно ориентированных задач. 
Она основана на применении автоматических генераторов неструктурированных 
сеток, позволяющей в короткий срок построить сеточную модель в области любой сложности. Приведено описание адаптации данной технологии к построению сеточных моделей в акваториях Мирового океана с учетом батиметрических данных.   
В главе 2 представлено описание разработанного метода моделирования 
многофазных течений со свободной поверхностью, основанного на полностью 
неявной схеме и снимающего жесткие ограничения на шаг по времени. Метод 
основан на совместном решении уравнений сохранения импульса и неразрывности. Для моделирования многофазных течений используется модель смеси, позволяющая моделировать произвольное число фаз, включая любую комбинацию 
жидких, твердых или газообразных сред. Свободная поверхность описывается 
дополнительным уравнением переноса объемных долей для фаз смеси, которое 
также решается в полностью неявной постановке. Приведены основные формулы 
дискретизации уравнений модели с использованием метода конечных объемов  
и основные шаги вычислительной процедуры. Приведено описание параллельной реализации метода на произвольных неструктурированных многогранных 
сетках. Особое внимание уделено особенностям эффективного распараллеливания многосеточного решателя СЛАУ. Предложен способ построения локальных 
матриц с учетом фиктивных ячеек, позволяющий уменьшить число межпроцессных обменов в векторно-матричных операциях. В серии численных экспериментов с вариацией настроек многосеточного решателя показано, что применение  
V-цикла дает минимальное время решения задач. В серии численных экспериментов показано отсутствие дисбаланса нагрузки процессоров и то, что минимальное 
время счета задачи достигается при разбиении сетки до 10000 –20000 ячеек на 
процессор независимо от размера задачи. Представлено описание минимального 
верификационного базиса для задач со свободной поверхностью. Данные задачи 
являются классическими и не относятся напрямую к проблеме цунами: задача об 
обрушении плотины, задача о колебаниях воды в резервуаре под действием силы тяжести, задача об обрушении плотины на дно резервуара с препятствием, 
задача о гидравлическом ударе, задача о течении через шлюзовые ворота, задачи 
о падении шара, параллеппипеда и капли в жидкость. На представленных зада