Методы оптимального проектирования и междисциплинарной оптимизации. Основы

ФГУП «Российский федеральный ядерный центр – 
Всероссийский научно-исследовательский институт 
экспериментальной физики» 
 
 
 
 
 
 
 
 
А. Н. Верещага  
 
 
 
 
МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО 
ПРОЕКТИРОВАНИЯ 
И МЕЖДИСЦИПЛИНАРНОЙ 
ОПТИМИЗАЦИИ. ОСНОВЫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Саров 
2023 

УДК 519.8 
ББК 22.18 
В31 
 
 
 
 
В31 
Верещага А. Н. Методы оптимального проектирования и междисциплинарной оптимизации. Основы. – Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2023. –
336 с. 
 
ISBN 978-5-9515-0524-8 
 
 
 
Описаны этапы проектирования и уровни задач оптимизации. Приведена математическая постановка оптимального проектирования: критерии, целевые функции и ограничения. Описаны методы и алгоритмы одномерного, многомерного поиска, многокритериальной оптимизации.  
Обсуждается оптимизация на основе использования суррогатных 
моделей, в том числе нейронных сетей. Для технических объектов, параметры которых определяются несколькими физическими процессами, рассмотрены методы междисциплинарной оптимизации. Для разработки 
сложных технических объектов в условиях неопределенности описано 
применение метода нечеткой логики: теоретические основы и примеры использования для выбора параметров. 
Книга может быть полезна студентам инженерных специальностей 
вузов и технических университетов. 
 
 
УДК 519.8 
ББК 22.18 
 
 
 
На обложке: рисунки и графики из работ П. Шмольгрубера [8], 
Э. Николаидиса [26], С. Гудмундссона [32], Й. Мартинса [7, 41, 43],  
В.-Г. Гухо [34]. 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9515-0524-8                                     ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2023 
 А. Н. Верещага, 2023 

СОДЕРЖАНИЕ 
 
От автора ………………………………………………………………………….. 
6
Введение …………………………………………………………………………... 
8
1. Общие вопросы проектирования ……………………………………………... 12
1.1. Этапы проектирования ……………………………………………….. 13
1.1.1. Требования к техническому изделию ……………………........ 15
1.1.2. Концептуальное проектирование – этап разработки  
технического предложения …………………………………… 31
1.1.3. Предварительное (эскизное) проектирование ……………….. 54
1.2. Уровни задач оптимизации …………………………………………... 56
2. Оптимальное проектирование ………………………………………………… 59
2.1. Общая постановка задачи проектирования конструкций …………. 64
2.2. Целевая функция ……………………………………………………… 66
2.3. Постановка задачи ……………………………………………………. 68
2.4. Классификация задач оптимизации …………………………………. 83
3.  Методы одномерного поиска экстремума без ограничений ……………….. 96
3.1. Экспериментальная параметрическая оптимизация некоторых  
элементов кузова автомобиля ……………….………………………... 96
3.2. Основные этапы поиска экстремума …………………………………. 104
3.3. Методы одномерного поиска …………………………………………. 105
3.4. Этап установления границ интервала ………………………………… 107
3.5. Этап уменьшения интервала ………………………………………….. 109
3.6. Сравнение методов исключения интервалов ………………………… 119
4. Оптимизация функции нескольких переменных без ограничений ………… 120
4.1. Критерии оптимальности …….............................................................. 120
4.2. Методы прямого поиска (безградиентные методы оптимизации) … 123
4.3. Метод Нелдера – Мида ………………………………………………... 129
4.4. Обобщенный поиск по образцу (Generalized Pattern Search – GPS) .. 137
4.5. Метод генетических алгоритмов …………………………………….. 144
4.5.1. Генетические алгоритмы с бинарным кодированием  ………. 146
4.5.2. Генетические алгоритмы с вещественным кодированием ….. 150
5. Многокритериальная оптимизация …………………………………………... 157
5.1. Множественность целей ……………………………………………… 157
5.2. Оптимальность по Парето ……………………………………………. 159
5.3. Методы решения ……………………………………………………… 161
5.3.1. Взвешенная сумма ……………………………………………... 161
 

5.3.2. Метод эпсилон-ограничения  
(метод изменения ограничений) ……………………………… 163
5.3.3. Эволюционные алгоритмы ……………………………………. 163
5.4. Резюме …………………………………………………………………. 174
6. Оптимизация на основе суррогатных моделей ……………………………… 176
6.1. Когда используется суррогатная модель ……………………………. 177
6.2. Образцы (выборка) …………………………………………………… 179
6.3. Выборка на основе использования латинского гиперкуба ………… 180
6.4. Построение суррогатной модели …………………………………….. 184
6.5. Линейная регрессия методом наименьших квадратов ……………... 185
6.6. Кросс-валидация ……………………………………………………… 188
6.7. Используемые базисные функции …………………………………… 192
6.8. Искусственные нейронные сети ……………………………………... 194
6.9. Оптимизация и заполнение …………………………………………... 199
6.10. Краткие выводы ……………………………………………………… 200
7. Междисциплинарное оптимальное проектирование ……………................... 201
7.1. Необходимость МДО …………………………………………………. 202
7.2. Связанные модели …………………………………………………….. 207
7.3. Компоненты …………………………………………………………… 208
7.4. Модели и переменные связи …………………………………………. 209
7.5. Структура связанной системы ……………………………………….. 211
7.6. Единое описание архитектуры МДО ………………………………... 212
7.7. МДО на примере аэроструктурной оптимизации крыла самолета ... 222
8. Неопределенность в оптимальном проектировании ………………………… 227
8.1. Классификация неопределенности в естественных  
и инженерных науках ………………………………………………… 228
8.2. Классификация неопределенности проектирования  
и разработки сложных систем ……………………………………….. 231
8.3. Неопределенность условий проектирования сложного  
технического объекта ………………………………………………… 236
8.4. Неопределенность критериев выбора структуры сложного  
технического объекта ………………………………………………… 239
8.5. Неопределенность критериев выбора окончательного  
варианта сложного технического объекта …………………………... 239
8.6. Неопределенность как следствие нецелесообразности применения 
сложных инструментов обоснования и оптимизации параметров 
сложных технических объектов на начальных этапах разработки ... 240
8.7. Методы учета неопределенности при проектировании сложных 
технических объектов ………………………………………………… 242
8.8. Пример задачи выбора формы крыла в плане с точки зрения  
формирования благоприятного режима сваливания ……………….. 243
 

8.8.1. Качественный анализ влияния формы крыла в плане  
на отрыв потока ………………………………………………… 245
8.8.2. Переменные факторы, характеризующие задачу ……………. 250
8.8.3. Результаты моделирования зависимости характеристики 
сваливания от относительного удлинения, относительного 
сужения, угла стреловидности и угла атаки ……...................... 253
8.9. Пример оценки относительного собственного веса самолета  
на основе исторических данных ……………………………………... 262
Заключение ……………………………………………………………………….. 275
Список литературы ………………………………………………………………. 278
Приложение 1. Метод нечеткой логики ………………………………………… 282
Список литературы к Приложению 1 …………………………………………… 327
Приложение 2 …………………………………………………………………….. 331
П2.1. Задача выбора параметров прямоугольного крыла самолета …………... 331
П2.2. Задача выбора оптимального сечения балки под нагрузкой,  
консольно закрепленной к основанию сваркой …………………………. 333
 
 

ОТ АВТОРА 
 
 
Предлагаемая работа по основам оптимального проектирования и междисциплинарной оптимизации ставит своей целью показать читателю широкий 
круг проблем, связанных с проектированием сложных технических объектов,  
и методов их решения. Методы оптимизации, которые могут быть использованы 
на этапах проектирования, а также вопросы междисциплинарной оптимизации  
и проектирования в условиях неопределенности, сравнительно мало обсуждаются.  
 
Особенностью работы является попытка соблюсти некоторый баланс 
между описанием процесса проектирования, задачами, решаемыми на каждом  
из его этапов, и математической стороной методов оптимизации. Удалось ли это 
автору, решать читателю, но автор убежден в том, что проектировщик не должен замыкаться в области исключительно проектных проблем, как и не должен 
посвящать себя только проблемам методов оптимизации, их вычислительной 
реализации, их эффективности и т. д. Особенно это касается первых этапов – 
разработки требований и концептуального проектирования, – сопровождаемых 
высоким уровнем неопределенности, которая связана с временным фактором, 
недостатком имеющихся знаний и данных, сложностью формализации задач 
выбора структуры сложного технического объекта. 
 
Следствием неопределенности, сопровождающей проектирование сложных технических объектов, стало появление отдельной главы, посвященной этой 
проблеме и методам разработки математических моделей в условиях неопределенности. В частности, акцент сделан на применении методов нечеткой логики, 
позволяющих включить в круг моделируемых факторов качественные переменные, которые могут быть как частью вектора проектных переменных, так и частью вектора выходных переменных, характеризующих технический объект. 
 
В последние годы помимо методов классической и многокритериальной 
оптимизации в автомобильной и аэрокосмической технике все более широкое 
применение приобретают методы междисциплинарной оптимизации (МДО), 
которые позволяют существенно повысить качество решений, принимаемых при 
выборе параметров объектов проектирования. Этому вопросу посвящена отдельная глава – введение в эту обширную тему с описанием особенностей МДО, 
структуры моделей, методов МДО, а также примера МДО для случая взаимодействия и взаимозависимости аэродинамики и прочности при проектировании 
крыла магистрального пассажирского самолета. 
 
Автор считает необходимым указать еще на одно обстоятельство, не отраженное в книге, поскольку носит существенно более общий характер по сравнению с рассматриваемыми методами. Какие бы передовые методы оптимиза

ции не были использованы в процессе проектирования сложного технического 
объекта, окончательный результат разработки будет в значительной степени зависеть от уровня культуры (в широком смысле этого слова) общества, в котором 
это происходит, поскольку уровень культуры рождает используемые принципы, 
а те, в свою очередь, оказывают влияние на применяемые методы и тщательность, с которой может быть получен результат разработки. Вообще говоря, 
приведенное утверждение может быть показано на базе применения метода искусственных нейронных сетей, методы которых кратко излагаются в книге, но 
проблема выходит за рамки обсуждения. 

ВВЕДЕНИЕ 
 
 
Оптимальное проектирование представляет собой одну из инженерных 
дисциплин, предметом которой является изучение методов поиска наилучшего 
облика конструкции, выполняющей заданные требования в условиях ряда ограничений. Большое значение в оптимальном проектировании отводится подготовке полного перечня требований к разрабатываемому объекту на этапе разработки технического задания, выделению среди них показателей качества и преобразованию наиболее важных из них в критерии оптимизации.  
Вопросы обоснования технических требований и формирования критериев 
оптимальности мы рассмотрим ниже. Сейчас же следует сказать о методическом 
подходе к изучению курса оптимального проектирования. 
Оптимальное проектирование представляет собой свертку двух процессов: 
проектирования и оптимизации. И, как представляется автору, в интересах проектировщика его не следует сводить ни к одному из них. Наибольшее число 
учебников в этой области написано с акцентом на методах и алгоритмах оптимизации, например, [1 – 7]. Являясь, безусловно, полезными, они не показывают 
другую сторону оптимального проектирования – выбор проектных решений, 
который во многом представляет собой тот источник проблем, который математические методы оптимизации отражают математическими средствами. Последнее обстоятельство, по сути, служит причиной подобия проектных методов поиска наилучшего решения и математических методов решения той же задачи. 
Неформализованным или плохо формализованным все еще остается ряд проблем, свойственных процессу проектирования сложных технических объектов: 
– возможности и качество разработки математической модели критериев 
оптимальности технического объекта. В том случае, если такая модель не связана 
с необходимостью описания сложных физических процессов, модель не бывает 
очень сложной (например, вес технического объекта может быть представлен 
громоздкой моделью, но это не является препятствием к ее формулировке).  
В иных случаях модель может быть достаточно сложной и связанной с описанием процессов газодинамики или прочности на основе использования подходов 
различной степени глубины. В ряде же случаев для создания модели можно воспользоваться историей разработки технических объектов, аналогичных проектируемому, и для построения такой модели использовать метод суррогатных моделей*,1например, на основе искусственных нейронных сетей. В других случаях 
                                                          
 
*Мы будем пользоваться термином «суррогатная модель» за неимением более 
адекватного. Термин «имитационная модель» может считаться наиболее близким к используемому. 1 

могут быть не очень ясны критерии, определяющие оптимум разрабатываемого 
объекта. Примером тому столовые приборы или емкости для косметики, например, духов, где крайне важны качественные оценки, для моделирования которых 
традиционные методы не применимы; 
– с предыдущей проблемой связан вопрос уровня моделирования при оптимизации технического объекта. По мере усложнения модели, например, от 
отдельных деталей через сборочные узлы к техническому объекту в целом  
(а затем, возможно, к системе взаимодействующих между собой технических 
объектов), особенно на начальных этапах проектирования, происходит рост неопределенности, зависящей от целого ряда обстоятельств: недостатка информации, неопределенности некоторых требований, неопределенности технологий, 
неполноты необходимых знаний и т. д. Такого рода неопределенность может 
преодолеваться различными способами: ранним участием в выставках с демонстрацией начальных вариантов разработок, применением экспериментальных 
методов исследования как источника недостающих данных, применением неклассических методов моделирования, позволяющих учесть и сложность, и неопределенность; 
– на различных этапах разработки технических объектов существуют различные возможности применения методов оптимизации. Например, на этапе 
предпроектных исследований или разработки технического предложения не 
следует использовать сложные математические модели (например, уравнения 
Навье – Стокса с усреднениями по числу Рейнольдса), которые вследствие трудоемкости реализации вступают в противоречие с изменчивым характером облика конструкции на этом этапе. Важно, чтобы модель критерия оптимальности 
позволяла описать существенные зависимости от вектора проектных переменных, не принимая во внимание описание некоторых физических процессов ради 
того, чтобы можно было предложить один или несколько вариантов облика технического объекта, а окончательные его характеристики обосновать на следующих этапах его разработки;  
– наличие, как правило, не одного, а нескольких критериев, определяющих 
облик сложного технического объекта. Зачастую эти критерии являются конфликтными, поскольку каждый из них зависит от одного и того же вектора проектных переменных, и следует выбрать компромиссную стратегию оптимизации, которая учитывала бы каждый из них; 
– на ряде этапов разработки в качестве окончательного варианта редко 
выбирается тот, который получается по результатам оптимизационных расчетов, 
поскольку помимо формальных критериев оптимальности для оценки текущего 
результата привлекаются и неформальные критерии. Последними могут быть 
необходимость каких-то финансовых вложений в капитальное строительство 
или внешний вид, или даже характер зависимости оптимума от вектора проектных переменных, который редко бывает острым, а зачастую представляет собой 

достаточно пологую гиперповерхность, что позволяет выбрать окончательный 
вектор проектных переменных несколько в стороне от формального оптимального значения, упростив сложности, возможно, связанные с оптимальным вариантом; 
– наконец (возможно, об этом следовало бы сказать раньше), крайне редко, 
а на практике почти никогда не используются методы оптимизации структуры 
сложных технических объектов, выбор которой предшествует последующим 
этапам разработки, чей результат часто является ключевым для успешности результата проектирования. Проблема выбора структуры (например, компоновочной схемы самолета) в терминах оптимального проектирования почти никогда 
не обсуждается, и уход от такого обсуждения оправдывается утверждением, что 
решение этой задачи представляет собой прерогативу человека. 
Перечисленные особенности важно иметь в виду при изучении курса оптимального проектирования и помнить о возможности их учета подходящими 
для этого методами. Но из сказанного следует также, что оптимальное проектирование не стоит сводить лишь к математическим проблемам, а следует понимать процесс проектирования во всей его сложности, чувствовать его особенности, от этого зависит уместность применения математических методов моделирования критериев оптимальности и методов оптимизации. 
Не существует алгоритмов оптимизации, эффективных при решении всех 
типов задач. В поиске более автоматизированного процесса проектирования не 
следует пренебрегать значением инженерной интуиции, которую часто сложно 
(если не невозможно) преобразовать в строгую формулировку задачи и соответствующий алгоритм. 
В предлагаемом учебнике автор стремился показать как этапы проектирования, на которых может выполняться поиск наилучшего решения в процессе 
разработки изделия, так и математические методы поиска наилучшего решения 
в процессе разработки сложного технического объекта. Уровни решаемых  
в процессе проектирования задач образно можно представить в виде матрешки. 
Не с точки зрения их значимости, а с точки зрения последовательности решаемых задач. Если двигаться от внешнего слоя «матрешки» внутрь и при этом сделать акцент на задачах оптимального проектирования, то этот путь предстает 
как последовательность: общая постановка задачи проектирования технического 
объекта (ограничимся таким верхним уровнем), постановка задач проектирования элементов сложного технического объекта, постановка задачи оптимального 
проектирования и анализ результатов оптимизации, разработка методов оптимизационных расчетов и их совершенствование, выполнение оптимизационных 
расчетов. 
В связи с этим книга состоит из двух частей: в одной описывается процесс 
проектирования с акцентом на поиск оптимального решения, а во второй – математические методы оптимизации по мере возрастания сложности задач опти